求最小函数依赖集
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因为 H 的函数依赖集在第三步发生了改变，因此我们需要回到第二步。 最后得到的函数依赖集为 H=｛ADC， CB， ADF， BE｝
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闭包最小依赖集
例1：有关系模式R(A,B,C,D)，其上的函数依赖集： F= {A→ C , C → A, B → AC, D → AC } (1) 计算(AD)+ (2) 求F的最小等价依赖集Fm。 (AD)+=ACD Fm={ A → C, C → A, B → A ,D → A } 不唯一
例2: 有关系模式R(A,B,C,D,E,F)满足下列函数依赖： AB→ C BC → D BE → C CF → BD C→A ACD → B CE → FA D → EF
3、快速求解侯选关键字的方法 将关系模式R的属性分四类： (1)仅出现在F的函数依赖左部的属性为L类 (2)仅出现在F的函数依赖右部的属性为R类 (3)在F的函数依赖左右两边均未出现的属性为N类 (4)在F的函数依赖左右两边均出现的属性为LR类 结论1: L类、N类属性必是主属性，R类属性一定不是主属性 2: 如果X是有N类和L类组成的属性集，如果X+的包含了 R的全部属性，则X是R的唯一侯选关键字。
1、函数依赖集的等价 设F和G是两个函数依赖集，如果F数依赖集的最小集 对于给定的一个函数依赖集F，当满足下列条件时称为F的 最小集，记为F’。 (1) F’的每个依赖的右部都是单个属性； (2) 对于F’的任一函数依赖X→ A来说， (F’ - {X → A}) 与F’都不等价； (3) 对于F’的任一函数依赖X→ A来说， (F’ - {X → A}) ∪(Z → A)与F’都不等价, 其中Z为X的任一子集； 注：函数依赖集的最小集不唯一
第五章作业： 第五章作业： 1、有关系模式R(A,B,C,D,E)，其上的函数依赖集： F={A → BC, CD → E, B → D, E → A} (1) 计算B+ (2) 求出R的所有侯选关键字 2、设有关系模式R(U,F),其中： U={E,F,G,H} F={E → G, G → E,F → EG,H → EG,FH → E} 求F的最小依赖集。 3、设有关系模式R(U,F),其中： U={A,B,C,D} F={A → B, B → C, D → B} (1)如果把R分解成{ACD,BD}，求F在这两个模式上的投影。 (2)ACD和BD是BCNF吗？如果不是，请进一步分解。
最小函数依赖集Fmin求解算法研究及实现
最小函数依赖集Fmin求解算法研究及实现
邸振山
【期刊名称】《电脑编程技巧与维护》
【年(卷),期】2012(000)018
【摘要】函数依赖反映了现实世界中数据的完整性约束,对关系数据库的分析和设计起着重要的作用.最小函数依赖集和模式规范化是规范化理论和模式分解中的两个最重要概念.研究并实现了最小函数依赖集的求解算法.
【总页数】3页(P14-15,21)
【作者】邸振山
【作者单位】秦皇岛市人力资源和社会保障局信息中心,河北秦皇岛066004【正文语种】中文
【相关文献】
1.关系模式最小函数依赖集的求解与应用 [J], 裴祥喜;李珉;赵福伟
2.一个用于求解关系模式上最小函数依赖集合（F）min的算法 [J], 庆振
树;chen,PP
3.函数依赖最小覆盖集求解算法——在数据库设计中的应用 [J], 邹炜;周定康
4.LR最小替换集求解算法研究 [J], 郝忠孝;刘国华;姚春龙
5.用最小不动点理论求解最小函数依赖集 [J], 谢宝永;李磊
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数据库系统概论候选码的求解方法
3 ST,ZIP +包含CSZ的所有属性,所以 ST,ZIP 是一个 候选 码，
4 ST,CITY +也包含CSZ的所有属性,所以 ST,CITY 是一个 候选码，
例：设有关系模式R A,B,C,D,E ,其函数依赖集 F=A→BC,CD→E,B→D,E→A,求R的所有候选码， 解： 1 Fm=A→B, A→C,CD→E,B→D,E→A 2 A,B,C,D,E五个属性在F中各个函数依赖的右边和左边都出现 了,所以候选码中可能包含A,B,C,D,E，
候选码为：SI,SB,SQ,SO
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3 在F2中去掉多余的依赖， 对于CD→B,在剩下的函数依赖中,由于 CD +=CDAEGB,所以CD→B是多余 的,则Fm=AB→C,C→A,BC→D,D→E, D→G,BE→C, CG→B ,CG→D,CE→G 或者对于CG→B,由于 CG +=ABCDEG,所以CG→B是多余的,则 Fm=AB→C,C→A,BC→D,CD→B,D→E, D→G,BE→C,CG→D,CE→G
例：设有关系模式R A,B,C,D,E,P ,其函数依赖集 F=A→D,E→D,D→B,BC→D ,DC→A,求R的所有候选码，
解：考察F发现,C、E两属性是L类属性,由上面定理1可知,C、E 必是R的候选码的成员；
P是N类属性,由上面的定理3可知,P也是R的候选码的成员，
又因为 CEP +=ABCDEP,所以CEP必是R的唯一候选码，
最小函数依赖
最小函数依赖最小函数依赖（MinimumFunctionalDependencies，MFDs）是数据库理论中最重要的概念之一，它主要用于描述一个表里不同属性间的依赖关系。
换句话说，最小函数依赖能够描述一个表里的属性是如何联系起来的。
最小函数依赖的定义引入了一个表里的任何属性X，其他属性Y的值依赖于X的值，即X->Y。
而且这里的依赖是根据最小原则来定义的，即Y只能有一个属性X。
最小函数依赖的概念在关系数据库设计中起着非常重要的作用，它不仅能帮助我们正确地设计关系型数据库，还能帮助我们确定哪些属性是主键，也能帮助我们更好地理解属性之间的一对多（one-to-many）和多对多（many-to-many）的关系。
首先，最小函数依赖能够帮助我们设计合理的关系型数据库。
通过描述属性之间的依赖关系，我们不但可以把握准确的数据结构，还可以避免出现重复数据，从而大大提高数据库的可维护性。
其次，最小函数依赖也能帮助我们确定主键。
通过MFD的定义，我们可以明确一个表中的属性X能唯一确定其他属性Y，这样X就能作为主键，而Y可以看作其联系属性。
最后，最小函数依赖也能够帮助我们更好地理解属性之间的一对多（one-to-many）和多对多（many-to-many）的关系。
通过MFD的定义，我们可以将复杂的关系简单化，有效地解决类似“一对多”和“多对一”等关系中属性之间的对应问题。
总之，最小函数依赖是数据库理论中最重要的概念之一，它在关系数据库设计中的作用十分重要，能够帮助我们正确地设计关系型数据库，还可以帮助我们确定哪些属性是主键，更好地理解属性之间的一对多（one-to-many）和多对多（many-to-many）的关系。
最小函数依赖的概念和作用不仅仅是非常重要的，它也为数据库设计提供了理论基础，在实际应用中也非常有用。
最小函数依赖集的求法
(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。
D．设CE→A为冗余的函数依赖，则去掉CE→A，得：F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}
一、等价和覆盖
定义：关系模式R<U,F>上的两个依赖集F和G，如果F+=G+，则称F和G是等价的，记做F≡G。若F≡G，则称G是F的一个覆盖，反之亦然。两个等价的函数依赖集在表达能力上是完全相同的。
二、最小函数依赖集
定义：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。
(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。
B．设CG→B为冗余的函数依赖，则去掉CG→B，得：F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}
计算(CG)F2+：设X(0)=CG
计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。
(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。
举例：已知关系模式R<U,F>，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函数依赖集。
解1：利用算法求解，使得其满足三个条件
关系数据理论练习题及答案详细
第一部分:一、求最小依赖集例：设有依赖集：F={AB-C, C-A, BC—D, ACD-B, D—EG, BE—C, CG—BD, CE f AG},计算与其等价的最小依赖集。
解：1、将依赖右边属性单一化，结果为：F1={AB—C, C—A, BC—D, ACD—B, D—E, D—G, BE—C, CG—B, CG—D CE―A, CE—G}2、在F1中去掉依赖左部多余的属性。
对于CE—A,由于C—A成立，故E是多余的；对于ACD—B,由于(CD) +=48。
£»6,故A是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F2={AB—C, C—A, BC—D, CD—B, D—E, D—G, BE—C, CG—B, CG—D, CE—G }3、在F2中去掉多余的依赖。
对于CG—B,由于(CG) +=ABCEDG,故CG—B是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F3={AB—C, C—A, BC—D, CD—B, D—E, D—G, BE—C, CG—D, CE—G }CG—B与CD—B不能同时存在，但去掉任何一个都可以，说明最小依赖集不唯一。
二、求闭包例：关系模式R (U, F),其中U={A, B, C, D, E, I}, F={A—D, AB—E, BI—E, CD—I, E—C},计算(AE) +。
解：令X={AE}, X (0) =AE；计算X(1)；逐一扫描F集合中各个函数依赖，在F中找出左边是AE子集的函数依赖，其结果是：A—D, E—C。
于是X (1) =AE U DC=ACDE；因为X (0)W X (1),且X (1)WU,所以在F中找出左边是ACDE子集的函数依赖，其结果是：CD—I。
于是X (2) =ACDE UI=ACDEI。
虽然X (2)W X (1),但在F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X (2) 的子集，所以不必再计算下去，即(AE) +=ACDEI。
一个用于求解关系模式上最小函数依赖集合（F）min的算法
一个用于求解关系模式上最小函数依赖集合（F）min的算法庆振树;chen,PP
【期刊名称】《计算机工程》
【年(卷),期】1989(000)006
【摘要】本文介绍一个采用DDHD技术求解关系模式上最小函数依赖集合(F)min 的算法,采用这种方法可以方便地从任意给定的函数依赖集合F直接求得相应的最小函数依赖集合,这种方法是关系数据库设计和规范化的有用工具。
【总页数】11页(P32-42)
【作者】庆振树;chen,PP
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TP311.13
【相关文献】
1.关系模式最小函数依赖集的求解与应用 [J], 裴祥喜;李珉;赵福伟
2.最小函数依赖集Fmin求解算法研究及实现 [J], 邸振山
3.函数依赖最小覆盖集求解算法——在数据库设计中的应用 [J], 邹炜;周定康
4.用最小不动点理论求解最小函数依赖集 [J], 谢宝永;李磊
5.大型Petri网模型最小trap (siphon)集合的快速求解算法 [J], 廖晶静;王明哲;倪枫;郭法滨
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函数依赖及范式
函数依赖及范式函数依赖基本概念：•函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集，r 是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X 函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。
X→Y为模式R的一个函数依赖。
•部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为完全函数依赖。
•传递依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y），A X（A不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。
•函数依赖集F的闭包F+: 被逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包(clo sure),记为F+。
•最小依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件(1)F中每个函数依赖的右部都是单属性；(2) F中的任一函数依赖X→A，其F-{X→A}与F是不等价的；(3)F中的任一函数依赖X→A，Z为X的子集，（F-{X→A}）∪{Z→A}与F不等价。
则称F为最小函数依赖集合，记为Fmin。
函数依赖的公理系统：设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U中属性的函数依赖集，推理规则如下：•自反律：如果Y X U,则X→Y在R上成立。
•增广律：如果X→Y为F所蕴涵，Z U，则XZ→YZ在R上成立。
(XZ表示X∪Z，下同) •传递律：如果X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
以上三条为Armstrong公理系统•合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。
•伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。
•分解律：如果X→Y和Z Y成立，那么X→Z成立。
这三条为引理注意：•函数依赖推理规则系统(自反律、增广律和传递律)是完备的。
•由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖。
四种范式的含义：•如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库模式是属于第一范式的数据库模式。
最小函数依赖集F‘的最优算法
２ 属性闭包 ． ２
设有 关 系模式Ｒ ｕ （ ，Ｆ） Ａ Ｕ， ，ｒ ＿ Ｃ
一 能 由 Ｆ根 据 Ａ ｍｓ ｏ ｇ 理 导 出 ｝ ｒ ｔｎ 公 ｒ
＝ Ｉ 似
则 函数 依 赖 Ｗ － ＷＹ是冗 余 的 ．在 关 系 数 Ｘ－ ￣
据 库 的设 计 中 ， 多 设 计 算 法 都 是基 于一 个 无 冗 许 余 的 函数 依 赖 集 ，尤 其 是 关 系设 计 的属 性综 合 法 ， 基 本 思 想 是将 具 有 相 同决 定 子 的所 有 函数 其 依 赖 中 的属 性 构 成 一个 关 系模 式 ， 就要 求 给 出 这
由 函数 依 赖 的定 义 及 函数 依 赖 的 公 理 系统 （ ｒ ｔｎ Ａ ｍｓｏ ｇ公 理 ） ｒ ，我 们 能 由已 知 的 函数 依 赖 推 导 出新 的 函数 依 赖 ，则 在一 个 函数 依 赖集 Ｆ 中 ， 可 能 会 有 冗 余 的 函数 依 赖 ．例 如 ：给定 关 系 模 式 Ｒ ｕ， （ 及 函数 依 赖集 Ｆ＝ ｛ 一ｙ ， ｚ ， ， ｗＹ｝ 由 —ｙ及 ｕ中 ， 推 出函数 依 赖 ， 可
依 赖 是 现 实 世 界 属性 间相 互 联 系 的抽 象 ， 数 据 是 的 内在 性 质 ， 是语 义 的 体 现 ， 数依 赖 的确 定 决 函 定 于 设 计 者 对 相 关语 义 的理 解 ．
２１ 函数依赖集的闭包 ．
设 有 函数依 赖集 Ｆ，它 的闭 包 就 是 能够 和用 Ｊ 推 导规 则 由 Ｆ推 导 出来 的所 有 函数 依 赖 的集 合 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ ０ ０ ２— ３—２ ５
称 为属 性 关 于 函数 依 赖集 Ｆ的 闭 包 ．
由属 性 闭包 的定 义 可 以证 明 判 断 ｙ 是用 Ａ ｍ— ｒ
最小函数依赖集Fm的求法
最小函数依赖集Fm的求法：1.根据分解规则，将函数依赖的右端分解成单个属性2.对于F中的每个函数X→A，设G=F-{X→A}，如果A∈X G+，则将X→A从中删除，否则保留。
3.对于F中每一个左端包含多个属性的X→A，选择X的每个子集Z，如果A∈Z F+，则用Z→A代替X→A。
例如：F={BE→G,BD→G,CDE→AB,CD→A,CE→G,BC→A,B→D,C→D}求Fm。
解：1）右端分解成单个属性F={BE→G,BD→G,CDE→A, CDE→B,CD→A,CE→G,BC→A,B→D,C →D}2）设G=F-{X→A}，如果A∈X G+，则将X→A删除，否则保留（1）G=F-{ BE→G }={BD→G,CDE→A, CDE→B,CD→A,CE→G,BC →A,B→D,C→D}，则（BE）G+=BEDG，包含G，则删除。
（2）G=F-{BD→G, }={ CDE→A, CDE→B,CD→A,CE→G,BC→A,B →D,C→D}，则（BD）G+=BD，不包含G，则保留。
（3）G=F-{CDE→A}={ BD→G, CDE→B,CD→A,CE→G,BC→A,B →D,C→D}，则（CDE）G+= CDEBGA，包含A，则删除。
（4）G=F-{CDE→B}={ BD→G, CD→A,CE→G,BC→A,B→D,C→D}，则（CDE）G+= CDEAG，不包含B，则保留。
（4）G=F-{CD→A,}={ BD→G, CDE→B，CE→G,BC→A,B→D,C→D}，则（CD）G+= CD，不包含A，则保留。
（5）G=F-{ CE→G,}={ BD→G, CDE→B，CD→A, BC→A,B→D,C →D}，则（CE）G+= CEDBAG，包含G，则删除。
（5）G=F-{ BC→A,}={ BD→G, CDE→B，CD→A, B→D,C→D}，则（BC）G+= BCDGA，包含A，则删除。
（6）G=F-{ B→D,}={ BD→G, CDE→B，CD→A, C→D}，则（B）G+= B，不包含D，则保留。