双曲线性质小结
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线部分性质知识点总结
一、双曲线的定义1、第一定义：21212F F a PF PF <=-（a >0））。
注意：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)二、双曲线的标准方程（222a b c +=，其中|1F 2F |=2c ，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）；焦点在y 轴上：12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）焦点不确定时：)0(,122<=+mn ny mx ；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （)22b k a <<-） 与双曲线12222=-b y a x 共渐进线（x a by ±=）的双曲线系方程是)(,2222o by a x ≠=-λλ三、特殊双曲线： 等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b ）1、形式：λ=-22y x （0λ≠）； 2、离心率2=e ； 3、两渐近线互相垂直，为y=x ±；； 4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线） 1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。
四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 五、相关性质：1、点与双曲线的位置关系：2、中点弦的存在性3、以PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）4\若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的切线方程是00221x x y y a b -=.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.5、双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦点角形的面积为2tan212PF F b S ∠=6、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.8、设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce a αγβ==±- 9、已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -1，F 1、F 2是162x －202y =1的焦点，其上一点P 到F 1的距离等于9则P 到焦点F 2的距离. 172．双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则 △PF 2Q 的周长是 .3．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是22y －42x=14．已知21,F F 是双曲线的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为35．过点A （0，2）可以作_4__条直线与双曲线x 2－42y ＝1有且只有一个公共点6．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有3条7．若116922=-y x 上点P 满足64||||21=•PF PF （321π=∠PF F 或），求31621=∆PF F S 8．动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？9．若)0,5(),0,5(C B -是三角形ABC 的顶点，且A C B sin 53sin sin =-，求顶点A 的轨迹 10．圆M 与圆2)4(:221=++y x C 外切，与圆2)4(:222=+-y x C 内切，求M 轨迹11．已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 12．求与8222=+y x 有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为 2813求与64422=+y x 有公共焦点，且渐近线为03=-y x 的双曲线为1123622=-y x 14．12222=-b y a x 左支一点P 到左准线l 距离为d ，若d, |||,|21PF PF 成等比，求e 范围15．C ：12222=-by a x 右顶点为A ，x 轴上一点Q （2a,0），若C 上一点P 使0=•PQ AP ，求e 范围16. 渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为53或5416. 已知双曲线的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e=217. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为218．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解析： (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1 ②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14. ∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 19．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C 的方程；1322=-y x （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围. )1,33()33,1(⋃-- 19直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。
具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。
双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。
二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。
2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。
3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。
4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。
5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。
6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。
7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。
2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。
4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。
四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。
2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。
3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。
五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线22a x -22by ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±abx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e ＝ac＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22by ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22by ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝ac(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝cb 2，与椭圆相同. 3.焦半径(22a x -22b y ＝1,F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线22a x -22by ＝1的右支上时，｜pF 1｜＝ex 0+a,｜pF 2｜＝ex 0-a;P 在左支上时，则 ｜PF 1｜-(ex 1+a),｜PF 2｜＝-(ex 1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y ＝-23x,且经过点Q(8，63)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为564，渐近线方程为y ＝±43x ，求双曲线方程. 分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b 之间的关系，以Q 点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b 的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为42x -92y ＝λ(λ≠0)，将Q 点坐标代入求得 λ＝4故所求双曲线方程为 162x -362y ＝1.(2)当双曲线的焦点在x 轴上时，设其方程为22a x -22by ＝1,依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,43,56422222b a c a b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.366422b a 故所求双曲线方程为 642x -362y ＝1当双曲线焦点在y 轴上时，同理求得其方程为：22)332(x -22)9128(y ＝1综上所述，所求双曲线的方程为642x -362y ＝1或22)332(x -22)9128(y ＝1.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点F 2，作斜率为2的弦AB ，求｜AB ｜的长.分析 运用焦半径知识较为简便. 依题意有a ＝3,c ＝5,e ＝35,F 2(5,0) 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=1169)5(222y x x y 消去y 得 5x 2-90x+261＝0. 设方程的两根为x 1,x 2. 于是｜AB ｜＝e(x 1+x 2)-2a ＝35×590-6＝24. 注：若用弦长｜AB ｜＝221+·212214)(x x x x -+解计算量显然大一些，本例中AB 为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l 和双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)及其渐近线依次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：｜AB ｜=｜CD ｜.分析 若直线l 和x 轴垂直，结论显然成立；若直线l 不与x 轴垂直，则可设l 的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2(m 2+b 2)=0,设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=22222ka b kma -再将y=kx+m 代入双曲线渐近线方程b 2x 2-a 2y 2=0 并整理得 (b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2m 2=0.设B(x 3,y 3),C(x 4,y 4),则x 3+x 4=22222ka b kma - ∴x 1+x 2=x 3+x 4表明线段AD 的中点和线段BC 的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线162x -92y ＝1的渐近线方程为：y ＝±43x将x ＝2代入方程y ＝43x 得y ＝43·2＝23<3 ∴点(2，3)在直线y ＝43x 的上方，于是设所求的双曲线方程为：22a y -22bx ＝1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=123432222b a b a )2()1( 由(1)设a ＝3k,b ＝4k ，代入(2)得：299k -2164k ＝1∴k ＝±23(舍负) ∴a ＝323b ＝23∴所求方程为：4272y -122x ＝1即2742y -122x ＝1分析二 与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为162x -92y ＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为162x -92y ＝λ，(1)将点(2，3)代入(1)得：164-99＝λ ∴λ＝-43 所求方程为：162x -92y ＝-43即：2742y -122x ＝1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a 、b ，进而求出双曲线方程.(2)方程22αx -22βy ＝λ 当λ＝0时，表示两条直线：αx +βy ＝0和αx -βy＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线22αx -22βy ＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线122y -132x ＝1的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y 1+y 2;(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标. 分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义. (2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)∵a ＝23,b ＝13,c ＝5,∴e ＝a c＝325＝635.根据双曲线的第二定义，可得：｜AF ｜＝e(y 1-c a 2)＝ey 1-a ＝635y 1-23, ｜CF ｜＝e(y 2-c a 2)＝ey 2-a ＝635y 2-23, ｜BF ｜＝e(6-c a 2)＝6e-a ＝6×635-23=33. 又｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列，∴｜AF ｜+｜CF ｜＝2｜BF ｜，即(635y 1-23)+( 635y 2-23)＝2×33,∴y 1+y 2＝12. (2)证明：设x 1+x 2＝t ，则线段AC 的中点为(2t,6).∵1221y -1321x ＝1, 1222y -1322x ＝1.∴12))((2121y y y y -+-13))((2121x x x x -+＝0,∴2121x x y y --＝131(x 1+x 2)＝13t .∴线段AC 的垂直平分线的斜率k ＝-t 13，从而其方程为y-6＝-t 13 (x-2t)，即(y-225)t+3x ＝0，显然它过定点(0，225). 点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线22a x -22by ＝1上一点P(x 1,y 1)的左、右焦半径长为｜PF 1｜＝±(ex 1+a),｜PF 2｜＝±(ex 1-a)(其中P 在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)左、右焦点分别为F 1和F 2，P 是它左支上点，P 到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P ，使d,｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x 0,y 0)且x 0≤-a ，使d ，｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，则｜PF 1｜2=d ｜PF 2｜， 设d ′为P 点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：dPF 1='2d PF =e ∴｜PF 1｜=ed,∴(ed)2=d ·ed ′，∴ed=d ′，∴e(-c a 2-x 0)=-x 0+ca 2, ∴x 0=e e a -+1)11( ∵x 0≤-a,∴ee a -+1)11(≤-a,∴e 2-2e-1≤0，∴1-2≤e ≤2+1,又e ＞1， ∴1＜e ≤2+1.故当双曲线的离心率e ∈(1, 2+1)时，存在满足条件的P ，而当e ∈(2+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜=2｜CD ｜，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.当（32≤λ≤43)时，求双曲线离心率e 的取值范围.分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称.依题意，记A(-C ，0)，C(2c ,h),E(x 0,y 0,)其中c=21｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h 42e -22b h =1,①42e (12+-λλ)2-(1+λλ)222b h =1 ②由①式得22bh =42e -1③把③式代入②式，整理得42e (4-4λ)=1+2λ 故λ=1-232+e由题设32≤λ≤43得32≤1-232+e ≤43.解得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为［7,10］.注：本例先求出C 点纵坐标，用a 、b 、c 表示，然后将E 点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e 与λ的等式，由λ范围求出e 的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M 、N ，点M 的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N 的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N 的轨迹有且只有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)恰是线段AB 的中点?若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N 的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知 ｜｜SM ｜-｜SN ｜｜=｜｜TM ｜-｜TN ｜｜≠0 ∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM ｜=13,｜TM ｜=15.1°当｜SM ｜-｜SN ｜=｜TM ｜-｜TN ｜时，有｜TN ｜-｜SN ｜=2＜14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的双曲线C 的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C 的方程：x 2-482y =1(x ＜0). ∴点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0,y ≠±12). 2°当｜SM ｜-｜SN ｜=-(｜TM ｜-｜TN ｜)时，有｜TN ｜+｜SN ｜=28＞14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的椭圆Q ，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q 方程：1962x +1472y =1.∴点N 的轨迹方程为1962x +1472y =1(y ≠±12).综合1°、2°，点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0＝和1962x +1472y =1，其中y ≠±12.(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k 不存在时，直线l 的方程为x=1，可得m=1.2°当k 存在时，设直线l :y=kx+m-k.若l 过点M 或点D.∵两点M 、D 既在双曲线C 上，又在椭圆Q 上，但不在点N 的轨迹上 ∴l 与点N 的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l 不过M 、D 两点.当-43＜k 2＜43时(双曲线C 的渐近线方程为y ±43=0)，利用图像知，直线l 与点N 的轨迹有三个公共点，不合题意.当-∞＜k ≤-43或43＜k ≤+∞时，直线l 与点N 的轨迹有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)是AB 的中点. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则在 3x 21+4y 21=12×49, ① 3x 22+4y 22=12×49, ② ①-②，得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)(y 1-y 2) ③ 将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m,2121x x y y -- =k 代入③，得k=-m43.当43≤k ＜+∞，即43≤-m43＜+∞时，有-163≤m ＜0.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知双曲线kx 2-2ky 2=4的一条准线是y=1，则实数k 的值等于( ) A.23 B.-32 C.-23 D.32 2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )A.顶点B.焦点C.准线D.渐近线3.过点(2，-2)且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.-42x +22y =1B. 42x -22y =1C.- 22x +42y =1D. 22x +42y =14.已知双曲线的半焦距为C ，两准线间的距离为d ，且c=d,则双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C.3D.25.当8＜k ＜17时，曲线k x -172+ky -82=1与82x +172y =1有相同的( )A.焦距B.准线C.焦点D.离心率二、填空题 6.以y=±21x 为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 . 7.双曲线42x -82y =1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .三、解答题9.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.10.过双曲线92x -162y =1的右焦点F 作倾斜角为4的弦AB ，求弦AB 的长及AB 的中点M到右焦点F 的距离.AA 级一、选择题1.在下列双曲线中，与双曲线32x -y 2=1的离心率和渐近线都相同的是( )A.3y 2-x 2=9 B.x 2-3y 2=9C.3y 2-9x 2=1D.3x 2-y 2=3 2.双曲线的两条渐近线方程为y=±43x,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.2 C.45或35D.25或215 3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是( )A.49 B.29C.9D.104.已知双曲线642x -362y =1上的一点P 到右焦点的距离为14，则P 点到左准线的距离为( )A.22B.24C.26D.285.已知双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率k PF 的取值范围是( )A.k ≤0或k ≥1B.k ＜0或k ＞1C.k ≤-1或k ≥1D.k ＜-1或k ＞1二、填空题6.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .7.双曲线32x -y 2=1的共轭双曲线的准线方程是 .8.双曲线22ax -22b y =1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .三、解答题9.直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点(-2，0)和AB 中点，求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围.10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.【素质优化训练】1.过点A(1，1)且与双曲线x 2-y 2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )A.33B. 2C.3D.23.若双曲线的两条渐近线是y=±23x ，焦点F 1(-26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是( )A.26138B.26134C.261318D.261394.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x 2+25y 2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )A. 62x -42y =1B. 42x -62y =1C.52x -32y =1D.32x -52y =15.已知E 、F 分别是离心率为215 的双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF 等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题6.已知双曲线162x -92y =1和点A(6，2)、B(5，0)，M 是双曲线上的一个动点，则45｜MA ｜+｜MB ｜的最小值为 .7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .8.渐近线为y=±21x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .三、解答题9.已知点A(5，0)和曲线y=142x (2≤x ≤25)上的点P 1，P 2，…，P n ，若｜P 1A ｜，｜P 2A ｜,…，｜P n A ｜成等差数列并且公差d ∈(51,51),求n 的最大值.10.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)离心率e=323，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离23. (1)求双曲线方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.【生活实际运用】1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为362x -225162y =1.【知识验证实验】1.已知双曲线2x 2-y 2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C 、D 两点，且使N 为CD 的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x 0,y 0)，双曲线方程为22a x -22by =1，若过点N 的双曲线的中点弦存在，则N 点应在什么位置?其方程又为何?2.点P 是双曲线32x -122y =1右分支上任意一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，求证：3tan2α=tan 2β. 解：在△PF 1F 2中，利用正弦定理及分比定理得βsin 1PF =αsin 2PF =)sin(21βα+F F =αβsin sin 21--PF PF ，∴2cos2sin28βαβα++=2sin2cos24αββα-+，即2sin2αβ-=sin2βα+,展开并简化，得3sin2αcos 2β=sin 2βcos 2β， ∴3tan 2α=tan 2β.【知识探究学习】舰A 在舰B 的正东6km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4s 后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s ，炮弹的速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，则A 、B 、C 舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，23).记动物所在位置为P ，则｜PB ｜=｜PC ｜，于是P 在BC 中垂线上，其方程为3x-3y+73 =0.又A 、C 两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB ｜-｜PA ｜=4,于是P 在双曲线42x -52y =1的右支上，求得P 点坐标是(8，53)且｜PA ｜=10.又k PA =3，∴直线PA 的倾斜角为60°，于是舰A 发射炮弹的方位角是北偏东30°，设发射的仰角是θ，初速度为v 0=3320g ,则g v θsin 20=θcos 100v ，∴sin2θ=210v g =23, ∴仰角θ=30°参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.D3.A4.B5.A6. 202x -52y =1或202x -52y =-1 7. 334,arctan228.332 9.解：由椭圆1692x +1442y =1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线92x -162y =1的渐近线相切，即圆心到直线y=±34x 的距离为圆的半径.∴r=50354⨯-⨯±=4 于是圆的方程为(x-5)2+y 2=16.10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB 的方程代入双曲方程，得7x 2+90x-369=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-790,x 1x 2=-7369,∴｜AB ｜=212214)(2x x x x -+=7184322=7192，又x m =221x x +=-745,∴｜MF ｜=2｜x M -5｜=7280 AA 级1.B2.C3.B4.B5.B6.-5217.y=±21 8.a9.解：由⎩⎨⎧=-+=1122y x kx y 消去y 得，(1-k 2)x 2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k 2)x 2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A 、B 两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<-=+>-+=0)1()1(2120)1(84222122f k k k x x k k △ 解得1＜k ＜2，又AB 中点为(221k k -,211k -)，∴直线l 的方程为211k y-=2122+-+k kx ⇒y=2222++-+k k x ，令x=0,b=2222++-k k =1617)41(12+--k ，由k ∈(1, 2)知b ＜-2-2或b ＞2，故直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2,+∞).10.证明：设PQ 是过焦点F 的弦，M 是PQ 的中点，l 是与F 相应的准线，分别过P 、Q 、M 作l 的垂线，垂足为P 1、Q 1、M 1，则｜MM 1｜=21｜｜PP 1｜±｜QQ 1｜｜=21·｜e PF 1±e PF 2｜=e21｜PQ ｜=e R＜R ，当P 、Q 位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ 为直径的圆必与准线l 相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos RMM 1=2arccose1为定值. 【素质优化训练】1.B2.C3.A4.A5.C6. 277.arctan 724 8. 42x -y 2=19.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即42x -y 2=1,(2≤x ≤25,y ≥0),A(5 ,0)是它的右焦点，其右准线为l :x=54,e=25,设P n (x n ,y n )(2≤x n ≤25,y n ≥0)，则｜P n A ｜=e(x n -54)=25x n -2,∴｜P n A ｜min=5-2,｜P n A ｜max=3,依题意，可设等差数列首项a 1＝5-2,第n 项a n =3=5-2+(n-1)d,得d=155--n (n ＞1)，又51＜d ＜51，∴51＜155--n ＜51,得55-4＜n ＜26-55,而7＜55-4且26-55＜15，∴7＜n ＜15，故n 可取最大值为14.10.解：(1)过AB 的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得22b a ab +=23①，又e=a b a 22+=332 ②，由①、②得b=1,a=3，即所求双曲线方程为32x -y 2=1(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=132y x mkx y 消去y,得(3k 2-1)x 2+6kmx+3(m 2+1)=0，当3k 2-1≠0即k ≠±33时，△=12(m 2-3k 2+1)＞0,即m 2-3k 2+1＞0 ③，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 中点为M(x 0,y 0).则x 0=221x x +=1332--k km ，y 0=kx 0+m=-132-k m，因C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，∴AM ⊥CD,而k AM =km m k 313--- k CD =k ，∴km m k 313---=-k1⇒3k 2=4m+1 ④，由④得：4m+1＞0m ＞-41 ⑤，将④代入③：m 2-(4m+1)+1＞0，得m ＜0或m ＞4，综合⑤得m 的取值范围为(-41，0)∪(4,+∞)。
双曲线的性质总结
双曲线的性质总结双曲线，是数学中一种重要的曲线类型。
它与椭圆、抛物线一起构成了经典的圆锥曲线家族。
双曲线具有独特的特点和性质，本文将对其性质进行总结和探讨。
一、基本定义和形状特征双曲线是通过圆锥曲面与一个平面相交而得到的曲线。
它的定义是平面上到两个给定焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线的形状与焦点距离大于常数的椭圆相似，但焦点距离小于常数的部分则向无穷远处延伸，呈现出两个分离的曲线臂。
二、双曲线的方程双曲线的方程有多种表示形式，常见的有标准方程和参数方程。
标准方程是最常见和常用的表示形式，形如x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中a和b是与焦点距离相关的常数。
参数方程将双曲线定义为曲线上各点的x和y坐标由参数t决定的函数关系。
三、对称性和中心与椭圆和抛物线不同，双曲线具有许多特殊的对称性。
双曲线关于x轴、y轴、原点的对称轴，这些对称性使得我们可以更容易地分析和计算双曲线的性质。
双曲线还具有中心对称性，即如果点(x, y)在双曲线上，则(-x, -y)也在双曲线上。
这种对称性使得我们可以更方便地绘制双曲线的图形。
四、焦点、顶点和准线像椭圆和抛物线一样，双曲线也有焦点和顶点。
焦点是双曲线的两个特殊点，它们与双曲线上的每个点的距离之差等于常数。
顶点是双曲线最接近原点的点，也是双曲线的中心。
与椭圆不同的是，双曲线还定义了准线，它是与双曲线的渐近线相切的直线。
准线的斜率等于平面与圆锥曲面相交的直线的斜率。
五、渐近线和极限性质双曲线具有两条对称的渐近线。
这些渐近线与双曲线近似平行，随着曲线向无穷远处延伸，与双曲线的臂趋于无限远。
这一性质使得双曲线具有特殊的极限性质，它们在曲线上的每个点附近都有两个渐近线。
六、离心率和焦距双曲线的离心率是一个重要的参数，它表征了双曲线形状的独特性。
离心率等于焦点距离除以准线距离。
离心率大于1，表明焦点距离大于准线距离，曲线形状狭长；离心率等于1，表明焦点距离等于准线距离，曲线形状圆形；离心率小于1，表明焦点距离小于准线距离，曲线形状胖短。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
它具有独特的性质和特点，本文将详细介绍双曲线的基本概念与性质。
一、双曲线的定义与表示双曲线是平面上一组点的集合，这组点的到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数。
数学上，双曲线可以用以下方程表示： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (1)或者y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (2)其中，a和b都是正实数，决定了双曲线的形状和尺寸。
二、双曲线的基本性质1. 中心与焦点：双曲线的中心是坐标原点O(0,0)；双曲线的焦点是坐标轴上的两个点F1(-c,0)和F2(c,0)；2. 弦与渐近线：双曲线上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，都满足OA - OB = 2a；双曲线还有两条渐近线，与双曲线无交点但无限趋近于双曲线；3. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称；4. 弧长与面积：双曲线的弧长计算公式为s = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx；双曲线的面积计算公式为A = ∫(y * dx)；5. 双曲率：双曲线的曲率计算公式为k = |-2a^2 * y / (a^2 - x^2)^(3/2)|；三、不同双曲线的特点对于方程(1)和(2)，当参数a和b取不同的值时，双曲线呈现出不同的形状和特点。
1. a > b时：双曲线的轴线平行于x轴，焦点在x轴上方或下方，称为水平双曲线。
2. a < b时：双曲线的轴线平行于y轴，焦点在y轴的左侧或右侧，称为垂直双曲线。
3. a = b时：双曲线的轴线与对角线重合，形状接近于两个无限远的平行直线。
四、应用领域与示例双曲线在物理、工程和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线常用于描述电磁场、光学、天体物理等领域的运动和效应。
2. 工程学中，双曲线常用于建筑设计、交通规划等领域的结构和曲线优化。
3. 计算机科学中，双曲线广泛用于曲线拟合、数据可视化等领域的数学计算和图形绘制。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。
双曲线的简单几何性质
(2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， c 2 ∴c＝4.∵e＝ ＝2，∴a＝2，∴b ＝12， a ∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(± 4,0)， b 渐近线方程为 y＝± x，即 y＝± 3x，化 a 为一般式为 3x± y＝0.
【答案】 (1)D (2)(± 4,0) 3x± y＝0
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定
式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是
指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况
下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”
设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定
义法或待定系数法确定a，b的值．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪 条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四 线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和 两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系， 明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简 化解题过程．
变式练习
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( C ) 2 5 A. B. ，0 2 2 ，0 6 C. D．( 3，0) ，0 2
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2， 焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x y C. － ＝1 10 6
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28．P
是双曲线
x
y
= =
a secϕ b tanϕ
（a＞0，b＞0）上一点，则点
P
对双曲线两焦点张直角的充要条件是 e2
=
1−
1 tan 2
ϕ
.
29．设
A,B
x2
为双曲线
a2
−
y2 b2
= k （a＞0,b＞0， k
> 0, k
≠ 1 ）上两点，其直线
AB
x2
与双曲线
a2
−
y2 b2
= 1相交于 P,Q ,则
双曲线
1. PF1 − PF2 = 2a
x2 2.标准方程 a2
−
y2 b2
= 1
3. PF1 = e > 1 d1
4．点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角.
5．PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.
x0 x a2
−
y0 y b2
=
x02 a2
−
y02 b2
.
x2 14．若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）内，则过
Po
的弦中点的轨迹方程是
x a
2 2
−
y2 b2
=
x0 x a2
−
y0 y b2
.
x2 15．若 PQ 是双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（b＞a
x2
交点的轨迹方程是
a2
+
y2 b2
= 1.
10．若 P0 (x0 ,
y0
)
在双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0 x a2
−
y0 y b2
= 1 .
11．若
P0
( x0
,
y0
)
在双曲线
x2 a2
− y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）外
，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直
和 F，又 D 为 l 上一点，则 CD 与双曲线 Γ 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点.
46．过双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的右焦点
F 作直线交该双曲线的右支于
M,N
两点，弦 MN 的垂直平分线交
x
轴于
P，则 | PF | = e . | MN | 2
x2 47．设 A（x1 ,y1）是双曲线 a2
A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
42．设双曲线方程
x2 a2
−
y2 b2
= 1,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l ：
y
=
kx 的共轭直线
y
=
k 'x 上,而且 kk '
=
b2 a2
.
43．设
A、B、C、D
为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD
所在直线的倾斜角分别为α , β
线方程是
x0 x a2
−
y0 y b2
= 1 .
x2 12．AB 是双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM
⋅ kAB
= ba22 .
x2 13．若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是
F1、F2 分别垂直 l
于
R、S，当
P
跑遍整个双曲线时，R、S
形成的轨迹方程是
x2
+
y2
= a2 ( c2 y2
=
a2 y2 − b2 x ( x ± c)2 a2 y2 − b2 ( x ± c)2
).
45．设△ABC 三顶点分别在双曲线 Γ 上，且 AB 为 Γ 的直径，l 为 AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线 AC、BC 于 E
，直线
AB
与 CD
相交于
P,且
P
| PA | ⋅ |
不在双曲线上,则
| PC | ⋅ |
PB | PD |
=
b2 cos2 β b2 cos2 α
− a2 − a2
sin2 β sin2 α
.
x2 44．已知双曲线 a2
− y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）,点 P 为其上一点 F1, F 2 为双曲线的焦点， ∠F1PF2 的内（外）角平分线为 l ，作
38．MN
x2
是经过双曲线
a2
−
y2 b2
= 1 （a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心
O
的半弦 OP ⊥ MN
，则
2 − 1 = 1 − 1 . a | MN | | OP |2 b2 a2
39．设双曲线 x2 − y2 = 1（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与双曲线相 a2 b2
A2a2
− B2b2
≤ C2 .
33 ． 双 曲 线
(x
− x0 )2 a2
−
( y − y0 )2 b2
= 1 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 与 直 线
Ax + By + C =0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是
A2a2 − B2b2 ≤ ( Ax0 + By0 + C)2 .
x2 34．设双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为
F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2 中，记
∠F1PF2
= α , ∠PF1F2
= β , ∠F1F2P
= γ ，则有
sin α ±(sin γ − sin
= β)
c= a
e.
x2 35．经过双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的实轴的两端点
x2 24．P 为双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A
为双曲线左支内一定点，则 |
AF2
| −2a
≤|
PA | + |
PF1
|,
当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 在左支时，等号成立.
25 ． 双 曲 线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 上 存 在 两 点 关 于 直 线
则 c − a = tan α co t β （或 c − a = tan β co t α ）.
c+a
2 2 c+a
22
22．双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式： F1(−c, 0)
,
F2 (c, 0)
当 M (x0 , y0 ) 在右支上时，| MF=1 | ex0 + a ,| MF=2 | ex0 − a .
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）上任一点，过 A 作一条斜率为 b2 x1 a2 y1
的直线 L，又设 d 是原点到直线
L 的距离, r1, r2 分别是 A 到双曲线两焦点的距离，则 r1r2 d = ab .
x2 48．已知双曲线 a2
− y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）和
x a
2 2
− y2 b2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）上一点，P1P2 为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2 斜率存在，记为 k1, k 2,
则
直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , −my0 ) (m ≠ 1) 的充要条件是 k1 ⋅ k=2
1+ 1−
m m
⋅
b2 a2
.
x2 19．过双曲线 a2
−
y2 b2
= γ ，则双曲线的焦点
角形的面积为 S∆F1PF2
= b2 cot γ 2
， P(±
a c
c2 + b2 cot2 γ , ± b2 cot γ ) . 2c 2
21．若
P
为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点,
∠PF1F2 = α , ∠PF2F1 = β ，
6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设 P 为双曲线上一点，则△PF1F2 的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点.
x2 9．双曲线 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为 A1(−a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2
= 1（a＞0,b＞o）上任一点 A(x0 , y0，则直线 BC
有定向且 kBC
=
− b2 x0 a2 y0
（常数）.
20．双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P