双曲线的性质
双曲线性质
双曲线性质双曲线性质双曲线，数学术语，简称双曲线。
指具有两个渐近线的函数图形，即渐近线垂直相交的两条曲线，常用I表示。
其中渐近线是一组平行于x轴的直线，其距离为常数。
1。
任何双曲线都可以用“割线法”求出其渐近线。
2。
一般地，双曲线可以分为一般双曲线和极限双曲线。
3。
双曲线和圆有着密切的联系。
4。
双曲线的渐近线是由双曲线和一点构成的向量组成的一个平面区域。
5。
双曲线有无数条渐近线，由这些渐近线所围成的平面区域就是所谓的“双曲面”。
6。
双曲线有无数条渐近线，由这些渐近线所围成的平面区域就是所谓的“双曲面”。
7。
两个双曲线相交，它们的公共点就是交点;不在同一个单位球上的双曲线，它们的公共点也不是交点。
8。
任意两个双曲线都可以通过坐标轴化简为一个平面区域。
9。
已知任意两个双曲线的一个面积和另一个面积之比，那么它们的公共面积也可以求出来。
10。
两个双曲线相交，只要它们的面积之比不超过两个公共点之间的距离的平方，就可以说这两个双曲线相互平行。
11。
一条双曲线与两条直线相交，若一条双曲线在此直线的左方，则这两条直线在这条双曲线右方;若一条双曲线在此直线的右方，则这两条直线在这条双曲线的左方。
12。
如果双曲线的一支过(0， 1)，且方程是x=ax+b，另一支过(-1， 0)，且方程是x=bx+c，则两者在y轴的截距分别为|a-b|与|c-a|。
13。
若两双曲线相交，两双曲线的交点在(0， 1)，且方程是x=ax+b，则(-b， a)在双曲线y轴的截距为|-b|与|a-b|之和。
14。
设双曲线的一支过(a， b)，另一支过(0， -b)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|a-b|与|-b|之差。
15。
若两条相交双曲线的交点在(0， b)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|-b|与|-b|之和。
16。
若两双曲线相交，两双曲线的交点在(-b， a)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|-b|与|a-b|之差。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
双曲线的定义和性质
双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。
虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。
双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。
（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。
（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。
（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。
双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。
（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。
（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。
（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。
（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。
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04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
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目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是数学中的一种常见曲线类型，具有独特的性质和应用。
本文将介绍双曲线的基本概念以及它所具有的一些重要性质。
1. 基本概念双曲线是由与两个固定点F1和F2的距离之差恒定的点P所构成的轨迹所形成的曲线。
这两个固定点称为焦点，用F1和F2表示；而距离之差的常数值称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还包括一条称为主轴的线段，它是与离心率的方向相垂直且通过双曲线的两个焦点的连线。
2. 方程表示双曲线的一般方程可表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) -(x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 图形特征双曲线具有以下几个重要的性质和特征：- 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于双曲线的两个分支。
渐近线是曲线逐渐趋近但永远不会到达的直线。
- 弦长公式：对于双曲线上的一条弦，其长度可以通过双曲线焦点之间的距离和与双曲线焦点的连线的夹角来计算。
- 曲率：双曲线上不同点的曲率不同，与点到双曲线焦点连线的方向有关。
4. 应用领域双曲线在数学和其他学科中具有广泛的应用。
以下是其中一些典型的应用领域：- 物理学：双曲线可用于描述光和声波的传播、电磁场的分布等现象。
- 工程学：双曲线的性质可用于设计天线、抛物面反射器等。
- 经济学：双曲线可用于描述成本和收益关系、货币供给和需求等经济现象。
- 统计学：双曲线可用于建模统计分布如正态分布、泊松分布等。
- 计算机图形学：双曲线可用于绘制和渲染曲线和物体的形状。
通过了解双曲线的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用这个有趣而重要的数学曲线类型。
无论是在纯数学研究还是实际应用中，双曲线都具有广泛而深远的影响。
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双曲线的对称性
x ≥ a 或x ≤ −a y ≥ a 或 y ≤ −a
关于x 轴对称、 关于 轴y 轴对称、关于原点对称
x ≤ a, y ≤ b
0<e=
c <1 a
e=
b y=± x a
c >1 a
a y=± x b
无
作 业 • 课本P83习题3-3 A组 第5题、第7题
顶点坐标：A1( -a ,0 顶点坐标： 实轴： A1A2 实轴： 虚轴： 虚轴： B1B2 )、 A2( a ,0 ) 、 x= - a x=a
实轴长： 实轴长： |A1A2 |=2a 虚轴长： 虚轴长： |B1B2 |=2b
双曲线的顶点
代数角度研究 双曲线与x轴的交点，纵坐标为0
x2 y2 把y = 0代入方程 2 − 2 = 1 a b 2
（2）双曲线的离心率取值范围： ）双曲线的离心率取值范围：
Qc > a > 0, ∴e > 1
e >1
（3）离心率与双曲线开口大小的关系 离心率e越大，双曲线的开口越大。 离心率 越大，双曲线的开口越大。 越大
双曲线的渐近线
5.焦点在 轴上双曲线的渐近线方程是什么？焦点 焦点在x轴上双曲线的渐近线方程是什么 焦点在 轴上双曲线的渐近线方程是什么？ 轴上渐近线方程又如何？ 在y 轴上渐近线方程又如何？ 焦点在x轴上的渐近线方程： 焦点在 轴上的渐近线方程： 轴上的渐近线方程
c e = >1 a a x b
y=±
双曲线的对称性
1.你能类比我们研究椭圆对称性的方法，从几何和代数两 你能类比我们研究椭圆对称性的方法， 你能类比我们研究椭圆对称性的方法 个角度说明双曲线的对称性吗？ 个角度说明双曲线的对称性吗？ 代数角度研究 双曲线的标准方程
x y − 2 =1 (a > 0, b > 0) 2 a b
预习提纲
1.你能类比我们研究椭圆对称性的方法， 你能类比我们研究椭圆对称性的方法， 你能类比我们研究椭圆对称性的方法 从几何和代数两个角度说明双曲线的对称性吗？ 从几何和代数两个角度说明双曲线的对称性吗？ 2.你能类比我们研究椭圆范围的方法，从几何和代数 你能类比我们研究椭圆范围的方法， 你能类比我们研究椭圆范围的方法 两个方面说明双曲线的范围吗？ 两个方面说明双曲线的范围吗？ 3.你能类比我们研究椭圆顶点的方法，从几何和代数 你能类比我们研究椭圆顶点的方法， 你能类比我们研究椭圆顶点的方法 两个角度求出双曲线的顶点吗？ 两个角度求出双曲线的顶点吗？什么是双曲线有长的 实轴和虚轴，它们的长度分别是多少？ 实轴和虚轴，它们的长度分别是多少？ 4. 什么是双曲线的离心率？双曲线离心率的取值范围 什么是双曲线的离心率？ 是什么？如何得到？ 是什么？如何得到？双曲线的开口大小与离心率的关 系是怎样的？ 系是怎样的？ 5. 什么是双曲线的渐近线？焦点在 轴上双曲线的渐近 什么是双曲线的渐近线？焦点在x轴上双曲线的渐近 线方程是什么？焦点在y 轴上渐近线方程又如何？ 线方程是什么？焦点在 轴上渐近线方程又如何？
双曲线的范围 2.你能类比我们研究椭圆范围的方法，从几何和代数 你能类比我们研究椭圆范围的方法， 你能类比我们研究椭圆范围的方法 两个方面说明双曲线的范围吗？ 两个方面说明双曲线的范围吗？
代数角度研究
x2 y2 Q 2 − 2 =1 a b y2 x2 x2 − a2 ∴ 2 = 2 −1 = b a a2 故当x ≥ a时，y有实数解； 当− a < x < a时，y无实数解，无图像.
b y=± x a y=± a x b
焦点在y轴上的渐近线方程： 焦点在 轴上的渐近线方程： 轴上的渐近线方程
例题讲解
• 例3如图火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕 其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所得到的曲面， 其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所得到的曲面， 已知塔的总高度为150m 塔顶直径为70m 150m， 70m， 已知塔的总高度为150m，塔顶直径为70m，塔的最 小半径（喉部半径为67m 喉部标高112.5m 67m， 112.5m， 小半径（喉部半径为67m，喉部标高112.5m，求双 曲线的标准方程？ 曲线的标准方程？
预习检测
双曲线
图形
方程 对称性 范围 顶点坐标 离心率 渐近线方程
x2 y2 − 2 =1 2 a b
y2 x2 − 2 =1 2 a b
关于x 轴对称、 关于 轴y 轴对称、关于原点对称
x ≥ a 或x ≤ −a y ≥ a 或 y ≤ −a
(-a,0) ,(a,0)
b y =± x a
(0,-a) ,(0,a)
几何角度研究 轴对折， ①沿y轴对折，图形能完全重合 轴对折 图形能完全重合. 轴对折， ②沿x轴对折，图形能完全重合 轴对折 图形能完全重合. ③把双曲线绕原点旋转180°图 把双曲线绕原点旋转 ° 形能原图完全重合. 形能原图完全重合
双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴的轴对称图形, 双曲线是以 轴和 轴为对称轴的轴对称图形 又是以原点为对称中心的中心对称图形， 又是以原点为对称中心的中心对称图形，这个 对称中心称为双曲线的中心. 对称中心称为双曲线的中心
352 37.52 − 2 =1 2 33.5 b
∴ b≈123.9 ∴所求的标准方程是
x2 y2 − =1 2 2 33.5 123.9
巩固练习
课堂小结
椭圆与双曲线性质的对比
椭圆 双曲线
图形
方程 对称性 范围 顶点坐标 离心率 渐近线方程
x2 y2 + 2 =1 2 a b
y2 x2 x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 2 − 2 =1 2 − 2 =1 2 a b a b a b
例题讲解 分析:为了要得到双曲线的标准方程,以最小直径处所 在直线为x轴,直径的垂直平分线为y轴，建立平面直 角坐标系如图 由已知得：A（33.5,0），C(35,37.5) 设双曲线的标准方程为 x2 y2 − 2 = 1 (a > 0, b > 0) 2 a b 则a=33.5 把C(35,37.5)代入双曲线的方程有
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双曲线的简单性质
单位： 单位：晨光中学 主讲： 主讲：赵 红 星
教学目标： 教学目标 1.掌握双曲线的简单性质，了解双曲线的渐近线及方程。 2.会求双曲线的顶点坐标、长轴和短轴长、离心率。 3.能够利用双曲线的性质，解决一些简单的实际问题。 4.能够类比椭圆性质的研究方法，从几何和代数的角度研究 双曲线的性质，体会数形结合的思想。 教学重点：双曲线的性质及应用 教学难点：利用双曲线的性质解决实际问题 教学方法：先学后教，当堂巩固 学生学法：类比学习
双曲线的对称性
几何角度研究
双曲线在直线x=a和x=-a的外侧 和 双曲线在直线 的外侧
双曲线在直线x=a和x=-a的外侧，无限伸展 x≥a或x≤和 的外侧， 双曲线在直线 的外侧 无限伸展. 或 a, y∈R. ∈
双曲线的顶点 3.你能类比我们研究椭圆顶点的方法，从几何和代数 你能类比我们研究椭圆顶点的方法， 你能类比我们研究椭圆顶点的方法 两个角度求出双曲线的顶点吗？什么是双曲线有长的 两个角度求出双曲线的顶点吗？ 实轴和虚轴，它们的长度分别是多少？ 实轴和虚轴，它们的长度分别是多少？
x 得 2 =1 即x = ±a a
几何角度研究
故顶点坐标为（− a,0 , (a,0) ）
双曲线的离心率
4. 什么是双曲线的离心率？双曲线离心率的取值范围 什么是双曲线的离心率？ 是什么？如何得到？ 是什么？如何得到？双曲线的开口大小与离心率的关 系是怎样的？ 系是怎样的？
c （1）双曲线的离心率： e = ）双曲线的离心率： a