二次根式加减法
八年级数学二次根式的加减法
化成最简二次根式，被开方数相同, 根指数相同(都等于2).
请判断：
1、被开方数相同的根式是同类
二次根式 （×）
2、125 与
1 是同类二次根式（√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
5
3、ab5c7与
c 是同类二次根式（√
ab
）
动动手，练一练：
下列各组里的根式是不是同类二次根式？
(1) 63 , 28 （是） (2) 3 2 , 2 3 （否）
3a3b 和 3a3bc B
2b a
和
a 2b
C 27b 和 3a2b
16a
32
D
4 a3b4 和
3
1 a4b3 3
论一论：
下列二次根式是不是同类二次根式？
x3 x2y
化简：
x2 y2 x y
x3 x2y = x2(x y) = x x y
x2 y2 x y
=
(x y)(x y) (x y)
解：由题意，得
a+1=2 2a+5=4a+3b
请思考,讨论:
若 p22 p 1与 p2 8 是同类二次根
式,求p的值.
解:由题意,得
p2-2=2
解得 p=±2
∵p= -2时,p+1= -1,无意义.
∴p= 2
本堂课我们学到 了什么新知识？
；/ 期货开户 ；
买一套玉瓶岂不更好？”价值连城啊！见她回来后一脸の舍不得,婷玉忍不住说.哎玛,“你别跟我提古董.”陆羽强烈抗议,努力按住自己那颗蠢蠢欲动の良心,.婷玉见状,唇角微不可见地弯了一下,双眼死死盯着正在播放の电视剧,有关盗墓の.“余家女子又送了蜂蜜来,你好好想想该送她什么回 礼.”“不
二次根式的加减法(2)
第2课时
我们学习了哪些运算律： 加法交换律：a+b+c=a+c+b
加法结合律：(a+b)+c=a+(c+b) 乘法交换律：abc=acb 乘法结合律：(ab) c=a (cb) 乘法分配律：(a+b) c=ac+bc 整数的乘法同样适用二次根式
我们学习了哪些乘法公式： 平方差公式：
6 3 6
86
36
4 3 3 2
这里运用了乘法分配律
练习P14第1题的1、2小 题， 复习巩固P15第4题的1、 4小题，
例3
计算：
(2)(4 2 3 6) 2 2
解：原式 4 2 2 2 3 6 2 2
3 2 2 3
(3)2 2 (4 2
如何计算呢？
8)
例4
计算：
(1)( 2 3)( 2 5)
解：原式 ( 2) 3 2 5 2 15
2
2 2 2 15 13 2 2
例4
计算：
(2)( 5
3)( 5
2
3)
2
解：原式 ( 5)
( 3)
53 2
练习P14第2题，
复习巩固P15第4题3、3小题，
拓展与思维
1、已知a b 3,ab 2, 计算
b
a
1
a 的值 b
3 2 ,x
2
2、已知x 则x x 的值
2 2 1 2
3
2,
3、已知x
1
x
7 ,则x
1
x
九年级数学上册《二次根式的加减法》教案、教学设计
2.通过二次根式的学习，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高学生对数学价值的认识。
3.培养学生严谨、求实的科学态度，使学生形成良好的学习习惯和道德品质。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。在此基础上，结合以下教学内容，进行教学设计。
2.思维能力：九年级学生的抽象思维能力逐渐增强，但仍有部分学生依赖具体形象思维。在教学过程中，教师应注重培养学生的抽象思维能力，引导学生运用分类讨论等方法解决问题。
3.学习方法：学生在学习过程中，可能仍依赖模仿和记忆，缺乏主动探究和合作学习的能力。教师应引导学生转变学习方式，培养学生的自主学习能力和合作意识。
二、教学内容
1.二次根式的概念及性质
2.二次根式的书写与化简
3.二次根式的加减法运算
4.二次根式的实际应用
三、教学过程
1.导入：通过实际问题，引出二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.基本概念：讲解二次根式的定义，让学生理解并掌握二次根式的性质。
3.书写与化简：教授二次根式的书写方法，引导学生进行二次根式的化简。
2.应用提高题：完成课本第46页第7-10题，这些题目将考察学生对二次根式加减法的掌握程度。学生需要运用所学的运算规则，解决实际问题，提高数学应用能力。
3.拓展思维题：选择课本第47页第11题作为拓展题目，鼓励学生通过小组讨论或独立思考，解决具有一定难度的二次根式问题。这类题目旨在培养学生的逻辑思维和创新能力，激发学生对数学学习的兴趣。
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。针对以下问题进行讨论：
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
7.2二次根式的加减法教学设计
7.2二次根式的加减法【学习目标】1、通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则。
2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。
3、会利用法则进行二次根式的加减运算。
【学习重点】同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则。
【学习难点】熟练进行二次根式加减法的运算。
【教学过程】一、复习回顾1、同类项的特点？如何合并同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）a +2b －b +2a ， （2）2223a b ba ab +-二、自主学习（一）问题：1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？根据上面三个问题，自学课本第10页至11页例1以上的内容。
三、合作探究根据自学内容，完成下面的题目，未解决的小组合作解决。
1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与（3）205与 （4）1218与2、判断：被开方式不同的几个二次根式，一定不是同类二次根式。
（ ）3、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？4、几个二次根式化成_______________后，如果它们的________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。
同类二次根式可以像________那样进行合并。
5、二次根式相加减，应先把各个二次根式化成___________,然后把_____________分别合并。
四、自主学习（二）例1、计算：例2、五、有效训练1、做课本第11页练习2.2、计算：（1）(（2）2（3六、精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
七、拓展提升教师节到了，为了表达对老师的敬意，八（一）班做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一张面积为800平方厘米，另一张面积为450平方厘米，该班团支书小芳想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，她现在有一条长1.2米的金彩带，请你帮忙算一算，她的金彩带够用吗？若不够用，还需要购买多长的金彩带？八、总结反思学生总结本节课主要学习了哪些内容？并说出应注意什么问题，解决问题的步骤是什么？九、达标测试：1、选择题（1中，与是同类二次根式的是（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④（2与3m-）1.414,≈结果保留整数位）A．m=2,n=2 B．m=2,n=1 C．m=1,n=2 D．m=6,n=1(3)若x y==则x+y的值为（）．A．．C．a+b D．a-b(4)下列计算：=；②2+=；③=；④=）A．1 B．2 C．3 D．42、计算：（1）38550（2）112130.5327十、作业A组（必做）：课本11习题A组1、2、3题。
数学教案-二次根式的加减法(第二课时)
数学教案－二次根式的加减法（第二课时）教学目标•理解二次根式的定义和性质；•掌握二次根式的加减法的基本方法；•运用二次根式的加减法解决实际问题。
教学内容1.二次根式的回顾2.二次根式的加法3.二次根式的减法4.实际问题解决教学步骤步骤一：二次根式的回顾•复习学生上节课的内容，回顾二次根式的定义和性质。
•提醒学生在计算二次根式时要注意化简和合并同类项的方法。
步骤二：二次根式的加法1.引导学生分析二次根式的加法规律。
2.通过示例，教授二次根式的加法运算方法。
–先合并同类项，然后进行化简；–若根号内有相同的项，则合并相同项。
3.再通过基础练习巩固学生对二次根式的加法的掌握程度。
–提醒学生在计算时要注意合并同类项和化简。
步骤三：二次根式的减法1.引导学生分析二次根式的减法规律。
2.通过示例，教授二次根式的减法运算方法。
–先合并同类项，然后进行化简；–若根号内有相同的项，则合并相同项。
3.再通过基础练习巩固学生对二次根式的减法的掌握程度。
–提醒学生在计算时要注意合并同类项和化简。
步骤四：实际问题解决1.提供一个实际问题，要求学生运用二次根式的加减法解决问题。
–问题示例：某户外广告牌的底座一边的长度是√5 米，另一边是√7 米，求广告牌底座的周长。
2.引导学生分析并解决实际问题。
–通过合并同类项求出底座的周长。
教学要点•二次根式的加法和减法的基本方法；•注意合并同类项和化简的步骤；•运用二次根式的加减法解决实际问题。
教学拓展1.深入讨论二次根式的加减法在实际问题中的应用。
–提供更复杂的问题，要求学生进行分析和解决。
2.引导学生通过练习进一步巩固二次根式的加减法的运算技巧。
总结•通过本节课的学习，学生理解了二次根式的加减法的基本方法，并能够灵活运用于实际问题。
•学生要注意合并同类项和化简的步骤，且在运用二次根式的加减法解决问题时，要善于进行问题分析和解决。
注意：以上教学内容及步骤为一种设置方式，仅供参考。
实际教学中，可以根据学生的实际情况和教学需要进行灵活调整。
二次根式的加减法课件
( a ≥ 0, b ≥ 0).
a a = ( a ≥ 0, b > 0). b b 2.被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方 的因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
27 = 3
2
×3
= 3 3,
5 5×3 15 = = . 12 12×3 6
探索新知
• 化简下列各数
(1) 2, 8, 18
二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根 式，然后把同类二次根式分别合并.
例1 计算：
(1) 54 + 24 ;
2 a +3 . ( 2) 9a 3 4
解 : (1) 54 + 24 = 9×6 + 4×6 = 3 6 + 2 6 = 5 6 ; 2 a 3 7 +3 =2 a+ = ( 2) 9a a a. 3 4 2 2 例2 计算： 90 - 2 20 + 5 4 . 5 4 4 5 - 2 20 + 5 = 9×10 - 2 4×5 + 5 × 解 : 90 5 5×5 = 3 10 - 4 5 + 2 5 = 3 10 - 2 5.
1 = 50
1 = 27
பைடு நூலகம்
1 2 2 = 50 2 10
1 3 = 27 3 3 9
2和
1 1 , 75、 和 3是同类二次根式 50 27
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
5 2 + 2 = (5 + 1) 2 = 6 2 , 6 5 - 4 5 = ( 6 - 4) 5 = 2 5 .
(3) 5, 20,3 5
(2) 3, 12, 27
观察上面各数，你发现他们有什么特点吗？
22.3.1二次根式的加减法 学案
22.3.1 二次根式的加减法（一）学案教学目标1.知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的加减运算；2.经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方法；3.认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培养乐学、会学的思想。
研讨过程回顾交流，运算导入（1）计算：2324+ 运用分配率可计算出2324+____2(______)==（2） 计算：2712+= + =导入概念：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
导入方法：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配率进行加减运算，（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算.范例学习，加深理解例：1、下列各式中，哪些是同类二次根式？b a b xy 26,8,32,3,271,501,75,22是同类二次根式.2．迁移探究教师归纳：二次根式相加减，第一步是把各个二次根式化成 ，第二步就是合并 ，学习中可以对整式的加减进行.随堂练习，加深理解课本P 12练习第1、2、3（1）（2）1.计算：（1）4832714122+- （2）x x x x 1246932-+（3）已知： 的值求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--+x y x x x y x y x x y x y x 51932,010644222222.计算：=+1233.计算二次根式的结果是y x x x 9735+--4.以下二次根式①12;②22;③32;④27中，与3是同类二次根式的是（ ）A ①和②B ②和③C ①和④D ③和④5.下列各式：①;36333=+ ②1771=；③22862==+；④22324＝其中错误的有（ ） A 3个 B 2个 C 1个 D 0个6.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈455451354180,236.25求的值， （结果精确到0.01）课堂总结，提高认识本节课从研究、解决问题的实际需要出发，得出一个新概念——同类二次根式，在所给出的二次根式中，哪些是同类二次根式，能熟练准确地化二次根式为最简二次根式，对于二次根式的加减首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了，整式实际就是去括号与合并同类项，二次根式加减也是如此，注意加法运算律仍然适用，应注意：该化简的没有化简，如：（1）结果中有212+；（2）化简得不正确； （3）不该合并却合并了，如532=+五、布置作业P 12习题22.3第1、2、4课后反思：。
二次根式的加法与减法课件
（3）3 3-2 2+ 3- 2 4 3-3 2
作业
❖ 习题9.2的1（3）（4）、2题
拓展提升
❖把二次根式 23-a与 8 分别化成最简二次根式后, 被开方式相同.
❖(1)如果a是正整数,那么符合条件的a有哪些? ❖(2)如果a是整数,那么符合条件的a有多少个?最大
值是什么?有没有最小值？
(3) 2 3
先化为最简二次根式， 把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变。
你有什么发现？
归纳总结
二次根式加减法法则：
目标2.通过具体题目的运算，得到二次根式 的加法与减法的运算步骤及注意问题.
m a n a =（m n) a
二次根式相加减，应先把各个二次根式化为最简二次根式， 然后把其中的同类二次根式分别合并（. 不是同类二次根式的不能合并）.
2、4 2- 2=43 2 3、2+ 3= 5
× （ ）为结果的系数； × 2、指数和被开方式都不变；
（ ）3、不是同类二次根式的不能合并；
× 4、3 2- 1 2=2 51 22 （ ）4、系数是带分数的要化为假分数，若
× 2
22
是一个二次根式与一个多项式的积,则
5、a 5+b 5=（aa++bb）5 5 （ ）多项式加括号.
2.字母和字母的指数有何变化？ 不改变
3.不是同类项的能否合并？
不能合并
温故知新
目标1. 类比“合并同类项”的知识， 推导二次根式的加法与减法运算法则。
2、化简下列二次根式
化成最简二次根式后，
8 __2__2__; 12 _2__3__; 被开方式相同的二次根
18 ___3 _2___; 27 _3_3___; 式
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算是指两个二次根式进行加法或减法运算。
要
进行二次根式的加减运算，需满足被开方数相同，且根号内的数也相同。
即若两个二次根式为√a和√b，则可进行加减运算的前提是a＝b。
具体操作时，对于加法运算，将两个二次根式的系数相加，并保
持根号内的数不变。
例如：√a + √a = 2√a。
对于减法运算，将两个二次根式的系数相减，并保持根号内的数
不变。
例如：√a - √a = 0。
需要注意的是，除非被开方数相同，否则两个二次根式不能进行
加减运算。
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4 36 2
5
3 32 54 98
6
3 20 2 45 9 5
12 2 3 6 7 2
(12 7) 2 3 6
6 5 6 5 9 5
(6 6 9) 5
19 2 3 6
2.计算：
9 5
1
2 3 22 7
2
2
35 8
75 18
2 3 2 2 7
1 3 2 2 7
2 3 10 2 5 3 3 2
2 5 3 (3 10) 2
2 2 2 7
3 3 7 2
5
E
2 矩形ABCD的面积为 2 5cm 矩形BEFC的面积为 3 5cm 2 因此它们的面积之和 为 (2 5 3 5) cm2
它们的面积之和等于矩 形AEFD的面积，因此 2 (2 3) 5 5 5( cm ) 它等于
上述表明:
2 5 3 5 (2 3) 5 5 5
①
①式中第一个等号成立的理由是：实数的运算满足乘法对加法的分配律．
计算： (1) 7 2 3 2
(2) 5 2 2 3 2
解：(1) 7 2 3 2 (7 3) 2 4 2 (2) 5 2 2 3 2 5 2 2 2 3 (5 1) 2 2 3
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 八年级下
湖南教育出版社
4.3.1 二次根式的加、减法
如图矩形ABCD的边AD，AB的长 分别为 5 cm，2cm，矩形BEFC 的边EF，BE分别为 5 cm，3cm， 点B，C分别在线段AE，DF上， 试问：这两个矩形的面积之和是 多少？
D
C
F
5
A B 3
6 2 2 3
从例1的第（2）小题看到，二次根式的加、减法运算需要运用实数 的加法交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律．
像 7 2, 2 3 那样，其中7叫作 7 2 的系数，－2叫作 2 3 的系数，注意 2 的系数是1（这是因为 2 1 2 ）， 2 系数 是－1（这是因为 2 1 2 ）
从例1看到，二次根式的加、减运算，只要把开方数相同的二新根 式的系数相加、减，而被开方数不变．
3 2 5 8 等于多少?
先把8
化简，然后做加法运 算．
3 2 5 8 3 2 5 22 2 3 2 5 2 2 3 2 10 2 3 10 2 13 2
2 32 2 55 2
17 2 3 9 4 3 34 3 36 3
34 36 3
1 2 3 5 3
1 23 2 5 2 3 5 3
6 2 5 2 5
6 5 2 5
2 3
2 5
1.计算：
由此看出，二次根式的加、减运算，首先要把每个根式化简，然后 再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变．
计算：
1
17 12 9 48 17 12 9 48
2 2 18 50 2
1 45 3 1 45 3
解
1
2 18 50
17 22 3 9 42 3
1
5 3 3
2Байду номын сангаас
10 2 3 5 7 2
5 1 3
4 3
10 7 2 3 5
3 2 3 5
3
4 18 9 2
4
5 12 3 8 2 27
12 2 9 2
(12 9) 2
3 2
10 3 6 2 6 3