1.1函数与极限

注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
对映射
若 f (X ) Y , 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
例1. 设f : R R, 对每个x R, f ( x) x2.
4(1)(3)(7)(9)；6； 12(1)(5);15(1)(4)；16.
x2 , 1 x 0
例. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2(0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] ,
与初等数学相比较，高等数学呈现出概念更 复杂、理论性更强、表达形式更抽象、推理更 严谨的显著特点.
为什么要学习高等数学？
•数学不仅是学习专业课程与工程计算的工 具，而且是创新人才攀登现代科技高峰的必 要基础； •思想方法的熏陶和能力的培养； •为学生打下“终身受用”的数学基础； •数学教育是一种素质教育。
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄里克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
3. 反函数与复合函数
(1) 反函数
若函数
为单射, 则存在逆映射
f是一个映射，D f R, R f { y / y 0}
例2. 设X {( x, y) | x2 y2 1},Y {( x,0) | x 1}, f : X Y , 对每个( x, y) X , 有唯一确定的
（x,0) Y与之对应。
例3. 设f :[ , ] [1,1],对每个x [ , ], f (x) sin x.
二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
Байду номын сангаас
X
f
Y
基本概念：像 、原像、定义域、值域、单射、满射 双射、逆映射、复合映射.
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
B ABAc
B AB A
3. 区间 开区间
a,b R,且a b.
{x a x b} 记作 (a,b)
oa
b
x
闭区间
{x a x b} 记作[a,b]
oa
b
x
左闭右开区间 {x a x b} 记作[a,b) 左开右闭区间 {x a x b} 记作 (a,b] 无穷区间 [a,) {x a x} (,b) {x x b}
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x , y) x A, y B
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射
引例.
D1
D
手电筒
D2
复合映射 D
定义.
设有映射链
g
xD
f
u D1
u g(x) g(D)
则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x D.
g(D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少.
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
高等数学
课程性质
高等数学不仅为学习后续课程奠定必要 的数学基础，而且在工农业生产如国防、 经济等领域中有着广泛的应用，尤其在 计算机的使用日益普及的今天，本课程 的作用更显重要。是理工科大学生的一 门重要的数学基础课。
初等数学与高等数学有何区别？ 研究的对象不同：
常量 → 变量
研究的方法不同：
静止孤立 → 辨证法
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
若
x1, x,2 f (x1) ,
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
f( M
x2
), 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
y
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
22
22
f是一个映射，D f
[ 2 , 2 ], Rf
[1,1].
2. 逆映射与复合映射
(1) 逆映射 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 g 为 f 的逆映射 .
f
习惯上 , y f (x), x D D
f (D)
的逆映射记成
g
y f 1(x) , x f (D)
记 ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
y
又如,
y
f (x) ex
ex 2
奇函数
ex
ex
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
记
th x 双曲正切
y
1 y th x
o
x
1
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应法则的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦函数
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
例1. 已知函数
y
f
(x)
2 x, 1 x ,
0 x 1 x 1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2.陈万勇、葛玉凤主编 高等数学学习指导 东南大 学出版社
3.詹瑞清、卢海敏主编 高等数学全真课堂 学苑出 版社
主要内容 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续★
2. 微积分学: 一元微积分(上册) ★ 多元微积分 (下册)
3. 常微分方程 ★
4. 无穷级数
5. 向量代数与空间解析几何
第一章 函数与极限
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . M *表示 M 中排除 0 的集 ;
注: M 为数集
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A
a1
,
a2
,,
an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
则称 f ( x ) 无界单.调减函数 .
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
(d ) 三角函数 y sin x y cos x