直线参数方程教学案例
直线的参数方程(第一课时)
教 案直线的参数方程（第一课时）教学设计一、教学目标1、初步能推导直线的参数方程，理解其几何意义2、了解何时选用直线的参数方程3、体会参数方程的消元作用，初步能用联系的观点理解参数的意义二、教学重点：直线参数方程的推导及简单应用三、教学难点：直线参数方程几何意义的应用四、教学过程1、引入：引例1. 直线的参数方程方案1. 已知直线上定点M 0（X 0、y 0）和倾斜角解决1. 如图1. 述M 0作X 轴、Y 轴垂线交于H在RT △MHM 0中易得cos sin x xo MMo x y yo MMo x=+⎧⎨=+⎩ 当点M 与Mo 重合时也适合⊗⎩⎨⎧=+=+==⎩⎨⎧-=-=为参数的参数方程可得直线合左行时也可得在同理，当t x ts yo y x t xo x mmosocx yo y x mmo xo x mo cos l , ter |t ||mmo |cos m 其中，参数t 为几何意义是｜t ｜表示直线上任一点M 0到定点M 的距离，式称为直线参数方程的标准式。
解法2. 从直线普通方程化为参数方程)t (0cos 0x cos )(cosxsomx yo y )x -mx(t =y -y 的点斜式方程为L 直线0X 2)1(为参数即得记比值为时或π当⎩⎨⎧+=+=-=-⇒-==⇒≠≠tsomx y y x t x t x xo x somx yo y xo x x X ⊗为参数注意：也可写成的距离到定点表示直线上统一点的几何意义是其中参数为参数的参数方程为直线时也适合上式或当t o t M M |t |)(o Yo y cos t Xo X 02)2(⎩⎨⎧+=+=⎩⎨⎧+=+=∴==ttaonX Y Y Xo X o t t mXTs X l X X2.解法3，用向量方法推导直线的参数方程如图2的几何意义同上为参数的倾斜角则为直线，，可以取为参数，）（使得则存在平行即与非零向量若直线t t cos ,cos ),(,R 11),(a ),(⎩⎨⎧=+=+===⎩⎨⎧+=+=⇒==-=--xts go y x t xo x l x somx m x l ter t tmyo y tl xo x m l t yo y xo x T l MoM m l l Yo Y Xo X MoM ε你还有其他方案吗？程的非标准形式式为直线参数方的水平距离与定点终点的几何意义表示直线上其中参数时，符合）当（为参数，则记比值为时当的点斜式方程为直成和斜率⋯⋯⎩⎨⎧+=+==⎩⎨⎧+=+=-=≠=@o @x 2)(k yo -y 0k (1)xo)-k(x yo -y l K Yo ）o,X o(M 上定点L 已知直线 2.方案m m t ktyo y t xo o k t ktyo y t xo x t xo x 练习2(1)o(1,2)32m,103203(t )cos 20l M x y x tsom o y t o χ+-==+⎧⎨=⎩设直线过点倾斜角为试写出它的一个参数方程。
直线的参数方程及其应用学案
直线的参数方程及其应用学案一、直线的参数方程定义：直线是平面上的一种图形，可以用直线上的一个点和方向来唯一确定。
通过参数方程，可以将直线的方程转化为参数的形式。
x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)为直线上的一个点，a和b为直线的方向向量。
二、直线参数方程的应用：1.直线的点线距离：直线的一般方程为Ax+By+C=0，点(x0,y0)到直线的距离为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)利用直线的参数方程，可以将点线距离公式转化为参数的形式：d=，(a,b)×(x0-x,y0-y)，/√(a^2+b^2)其中，(a,b)为直线的方向向量，(x,y)为直线上的点坐标。
2.直线的夹角：直线的夹角是指两条直线之间的夹角，可以通过直线的方向向量来求解。
直线的方向向量为(a,b)和(c,d)，夹角θ的余弦公式为：cosθ = (a * c + b * d) / (√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2))3.直线的平行与垂直关系：两条直线平行或垂直的条件为，它们的方向向量成比例或互相垂直。
假设直线的方向向量分别为(a,b)和(c,d)，则有以下判断条件：-平行关系：a*d-b*c=0；-垂直关系：a*c+b*d=0。
4.直线的位置关系：两条直线的位置关系可以通过它们的方向向量和一个公共点来判断。
-相交关系：两条直线的方向向量不成比例，且它们通过一个公共点；-重合关系：两条直线的方向向量成比例，且它们通过无穷多个公共点；-平行关系：两条直线的方向向量成比例，且它们不通过任何公共点。
三、直线参数方程的解题步骤：1.根据已知条件确定直线的方向向量(a,b)；2.根据直线上的一个点(x0,y0)和方向向量(a,b)，写出直线的参数方程；3.根据具体的问题要求，进行参数的取值范围限制；4.根据参数方程求解具体的点坐标，或利用参数方程进行相关计算。
四、直线参数方程的例题分析：例题1：已知直线L1的一个点为A(2,3)，方向向量为(1,-2)，求直线L1与直线L2：x=3t+1,y=2t-1的夹角。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教案标题：直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线的参数方程表示方法；2. 掌握求解直线参数方程的方法；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、计算器等；2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入直线方程的概念，提醒学生之前学习过的直线方程形式；2. 引导学生思考，直线是否可以用参数方程来表示。
二、讲解直线参数方程的概念（10分钟）1. 教师通过示意图，引导学生理解参数方程的概念；2. 解释直线参数方程的定义和意义；3. 提供直线参数方程的一般形式：x = x₁ + at, y = y₁ + bt，并解释各个参数的含义。
三、求解直线参数方程的步骤（15分钟）1. 教师通过示例，详细讲解求解直线参数方程的步骤；2. 强调确定直线上的一点和直线的方向向量的重要性；3. 指导学生如何通过已知条件确定直线上的一点和直线的方向向量。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习题，求解给定直线的参数方程；2. 学生互相讨论解题思路和答案，教师进行指导和纠正。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，引导学生将其转化为直线参数方程的求解；2. 学生个人或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调直线参数方程的重要性和应用；2. 引导学生思考，直线参数方程在其他数学领域的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固直线参数方程的求解方法；2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多直线参数方程的应用实例。
教学反思：教案中通过导入、讲解、练习、应用等环节，全面引导学生理解和掌握直线参数方程的概念、求解方法和应用实例。
通过练习和应用实例的训练，能够提高学生对直线参数方程的理解和运用能力。
同时，鼓励学生自主拓展，培养学生对数学知识的独立思考和应用能力。
《2-3 直线的参数方程》教案
选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）一、教学目标：知识与技能：掌握直线的参数方程。
过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。
教学难点：直线的参数方程中参数t 的几何意义。
三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程（一）复习引入：（1）经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。
【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．（2）直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t 。
（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？12121M M t t =-（）， 1222t t t +=（） 【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。
（二）基础练习1．直线 的倾斜角为________________。
2．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，求B 点坐标 ________。
《直线的参数方程》教案
《直线的参数方程》教案（第1课时）一、【教学目标】1、知识与技能：能根据直线的几何条件，选择参数写出直线的参数方程；能比较深刻的理解直线参数方程中参数t的几何意义并初步应用;2、过程与方法：启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用3、情感态度价值观：在探求直线参数方程中注重锻炼学生的发散式思维，在探究活动中培养学生思考问题的严密性和概括能力.二、【教学重点、难点】重点：联系向量知识写出直线的参数方程,并理解参数的几何意义；难点：从直线的几何条件联想到向量；参数t的几何意义及简单应用的探究.三、【教学方法与手段】启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用四、【教学过程】（一）复习引入1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？3、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？（二） 任务一：探求直线的参数方程1.我们知道过定点000(,)M x y ，且倾斜角为α（2πα≠）的直线l 可以唯一确定，其普通方程是00tan ()y y x x α-=-.2.其参数方程如何建立呢？引导学生思考：倾斜角可以刻画直线的方向，那么能否换一个量来刻画直线的方向呢？从而引进直线l 的单位方向向量(c o s ,s i n ),[e αααπ=∈.又000(,)M M x x y y =--，0//M M e ，由向量共线定理的坐标表示易知存在实数t R ∈，使得00(,)(cos ,sin ),x x y y t αα--=化简得直线的参数方程为（三）梳理归纳（1）直线的参数方程中的变量和常量；（2）直线参数方程的形式；(3) 参数t 的取值范围是什么?（4) 参数t 的意义是什么? （问而不答，通过探究表让学生自己探究，见附页）{00cos ,(t )sin ,x x t y y t αα=+=+为参数随堂检测：（四） 探究参数的几何意义及简单应用梳理归纳：参数t 的意义主要体现在2个方面：①t 的大小（即绝对值）等于0M M 的长度（即0M 与M 的距离）； ②t 的正负决定了0M M 的方向.（五）、任务二：例题讲解通过例题数学生对直线参数方程以及参数t 的几何意义理解更清楚，如下例。
直线的参数方程 教案
直线的参数方程教案教案标题：直线的参数方程教案目标：1. 理解直线的参数方程的定义和概念；2. 掌握求解直线的参数方程的方法；3. 能够应用直线的参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线的参数方程的定义和概念；2. 求解直线的参数方程的方法。
教学难点：1. 运用直线的参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、黑板、彩色粉笔、教案、课件；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，复习直线的一般方程和斜率截距方程。
二、知识讲解（15分钟）1. 介绍直线的参数方程的概念和定义；2. 讲解直线的参数方程的一般形式和求解方法；3. 通过示例演示如何将直线的一般方程或斜率截距方程转化为参数方程。
三、示范演练（15分钟）1. 给出一些直线的一般方程或斜率截距方程，要求学生转化为参数方程；2. 学生跟随教师的指导进行演练。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直线的参数方程解决；2. 学生独立或小组合作完成拓展应用题。
五、讲评与总结（10分钟）1. 教师对学生的演练和拓展应用进行讲评；2. 总结直线的参数方程的求解方法和应用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课后习题中与直线的参数方程相关的题目。
教学反思：本节课通过引入直线的概念，再结合直线的一般方程和斜率截距方程，引出了直线的参数方程的概念和定义。
通过示例演示和学生的跟随指导进行演练，加深了学生对直线的参数方程求解方法的理解和掌握。
通过拓展应用，培养了学生运用直线的参数方程解决实际问题的能力。
在讲评与总结环节，对学生的答案进行了讲评，巩固了学生的学习成果。
最后，布置了课后作业，巩固学生的学习效果。
整节课教学内容紧凑，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
高中数学直线参数方程教案
高中数学直线参数方程教案
目标：学习如何用参数方程表示直线
一、直线方程的一般形式
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般形式的方程表示为：
Ax + By + C = 0
其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
二、直线的参数方程
一个方程组可以用参数形式表示为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
其中x0、y0分别是直线上的一个点的坐标，a、b为实数。
三、如何求直线的参数方程
1.已知直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，可以先求出直线的斜率：
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
然后，根据直线的斜率和一个已知点的坐标，可以得出直线的参数方程。
2.已知直线的一般形式方程Ax + By + C = 0，可以先求出一个点P(x0, y0)：
x0 = -C / A
y0 = 0
然后，根据这个点和直线的斜率，可以得出直线的参数方程。
四、练习题
1.已知直线L过点P(1, 2)和Q(-2, 5)，求直线L的参数方程。
2.已知直线L的一般形式方程2x - 3y + 6 = 0，求直线L的参数方程。
五、思考题
1.直线的参数方程和一般形式方程有何区别？
2.如果已知直线的参数方程x = 2t - 1，y = 3t + 4，如何表示这条直线的斜率？
六、作业
1.完成练习题。
2.思考题中的问题，并写下自己的回答。
本节课重点：学习如何用参数方程表示直线，以及如何根据已知条件求出直线的参数方程。
直线的参数方程课时教案(第一课时)
课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。
三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。
2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。
借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。
问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。
借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。
问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。
可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。
探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。
问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。
由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。
问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。
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x2 a2
y2 b2
1
上任一点P到两渐近线
距离之积为定值
Y A
O
P
X
B
解：设P（a sec , btg )
两渐近线方程为 ： bx ay = 0
则
asbe ctg asbe ctg
d1d2
• a2b2
a2b2
=
a 2b 2 a2 b2
小结1 圆锥曲线参数方程一用来
证明定值问题、定点问题 及 有关等式问题，避免复杂的消 参过程
例4 点P在椭圆 x 2 y 2 1 上运动， 4
直线x+2y-2=0交椭圆于点A、B，问P处 于何处时，P到直线的距离最大？
y
A P
B
O
x
分析：设P( x1, y1),
d= x1 2y1 2
5
又
x12 y 2 1
4
1
得
y1
1 x12 4
设P 2co,sin 02
2cos2sin 2
y
A P B
x O
xtco
解:设y=mx参数方程为 yo (s 2 c o ss i)tn 2 0
2 1 1 t1t2 y
opO 2coA s O sinB t1t2
A
2
P
即：2cosOP +sinOP =4
B
2x + y = 4
x O
例求3 证：双曲线
参数方程的应用 1 直线参数方程 2 曲线参数方程
xx0tcos
直线参数方程 yy0tsin
t的几何意义： 直线上动点到定点（x0，y0）的 有向线段的数量
已知：直线 x 1 3t（t为参数） 5 y 2 4t
与曲线(y-2)2 - x2 = 15交于A、B两点 （1）求弦AB的长 （2）求P（－1，2）与AB的中点
d 5
2 2sin1
5 4
y
A P B
O
引伸 P、Q是抛物线y2 = x 与圆 (x-3)2+y2=1上的两 动点，求PQ的最小值
Q y
P
Ax
小结 恰当应用圆锥曲线参数 方程解题的优点：
1 变量少，参数范围易得 2 简化消参过程
参数方程的应用
求弦长
1 直线参数方程 中点问题
（相关元素共线） 求轨迹
C的距离
xx0cos
yy0sin 弦长公式 ABt1t2
中点公式 PC t1 t2
若直线方程为
2
则
xx0 at yy0 bt
AB a2b2t1t2
PC a2b2 t1t2 2
例2： 已知直线y=mx与抛物线y=x2-2x+2 交于A、B两点，在线段AB上有 动点P，满足OA、OP、OB的倒数 成等差数列，求P点轨迹