2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测(B卷)理
2021-2022年高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷理
2021年高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷理一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 【xx广西柳州两校联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．2. 等比数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】 试题分析：232341111334114027S a a q a q a q q q qa a q q ++++++===. 考点：等比数列.3. 【xx 江西新余一中四模】如图，已知，若点满足， ，（ ），则（ ）A. B. C. D.【答案】D4. 若对于任意的,关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】A【解析】试题分析：设，根据已知条件知：，该不等式表示的平面区域如图所示，设，所以，所以该方程表示以原点为圆心，半径为的圆，原点到直线的距离为，所以该圆的半径，解得，故选A.考点：简单的线性规划求最值.5. 设是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）A．存在唯一直线，使得，且B．存在唯一直线，使得，且C．存在唯一平面，使得，且D．存在唯一平面，使得，且【答案】C【解析】考点：空间点线面位置关系.6. 在三棱锥中，侧面、侧面、侧两两互相垂直，且，设三棱锥的体积为，三棱锥的外接球的体积为，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】试题分析：由侧面、侧面、侧两两互相垂直知两两相互垂直，不妨设，，，则．三棱锥的外接球的直径，所以，所以，故选A．考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．7. 【xx辽宁沈阳四校联考】正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】A外接球的表面积为：4πr 2=7π故选：A ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．8. 平行四边形中，4,2,4AB AD AB AD ===, 点在边上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】考点：平面向量的数量积的运算.【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得，构造函数，利用函数的单调性求出函数的值域，问题得以解决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.9. 设成等比数列，其公比为3，则的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】B【解析】 试题分析：1211232334112211229a a a a q q a a a q a q q q +++===+++ 考点：等比数列通项公式10. 【xx 江西新余一中四模】已知数列满足，且（），则的整数部分是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】（），()11111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++∴==-=------ 1220171223201720182018111111111131111111a a a a a a a a a a ++=-+-+⋅⋅+-=-------- ，24133133128181a ⎛⎫=-+>⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，， 20182017201642a a a a ∴>>>⋅⋅⋅>>则的整数部分为故选点睛：本题考查数列的综合运用，需根据条件利用裂项法构造新的数列，运用裂项求和得出和的结果，然后推导出其整数部分，注意条件的运用及转化11. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（ ）（1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ；（3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】考点：空间中直线与平面之间的位置关系12. 如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B 正确.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______．【答案】【解析】试题分析：由，得()2222244a a b a b a b =+=++，即，所以＝． 考点：1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．14. 已知数列的前项和为，，则数列的前项和 .【答案】【解析】考点：等比数列求通项公式与求和.【方法点晴】本题考查学生的是等比数列求通项公式与求和,属于基础题目.首先由和的等式,求出通项公式,基本方法有两种,一种是用替换原式中的得到另一个等式,两式作差消去,是一个关于与的递推关系式,从而求出;第二种是把代入,消去,先求出再求.求出通项公式后判断其为等比数列,用求和公式即可求解.15. 【xx湖南五市十校联考】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，，球的表面积.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16. 三棱锥内接于球，，当三棱锥的三个侧面积和最大时，球的体积为 ．【答案】【解析】考点：几何体的外接球．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点．找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心．三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且，为的中点.（I ）求证：平面； （II ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I ）详见解析（II ）【解析】ED CB AP试题解析：解：（I ）连接，交于点，连接，则是的中点. 又∵是的中点，∴是的中位线，∴，又∵平面，平面，∴平面.（II ）∵，，，∴平面，如图，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，由，得，110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令，则，，∴，又∵， ∴1cos ,=3||||33n PB n PB n PB ==-⨯， ∴直线与平面所成角的正弦值为.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.（1）求；（2）若，，，且，求的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到，，满足的一个式子，再进行三角恒等变形即可求解；考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形．19. 【xx 江西南昌摸底】已知数列的前项和，记.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用，同时验证时也满足，可得通项公式；（2）利用分组求和及等比数列前项和公式可求得结果.试题解析：（1）∵，∴当时，∴；当时， 11222n n n n n n a S S +-=-=-=，又，∴（2）由（1）知， ，∴()()12231122444222n n n n T b b b +=+++=+++-+++ ()()1241441224242141233nnn n ++--=⨯-=⋅-+--． 点睛：解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，否则容易出错；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列， 为等比数列等.20. 已知数列的首项，且.（Ⅰ）证明：数列是等比数列.（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：利用代入化简1211111111()2422422n n n n n a a a a a ++-=-=-=-，再说明不为零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根据等比数列通项公式求，即得，代入，可得，因此其前项和应用错位相减法求。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(苏教版)精练检测五 平面向量
单元滚动检测五 平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝________.2．(2016·常州一模)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，若向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为______．3．(2016·苏州模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)满足向量m a ＋n b 与向量a －2b 共线，则mn ＝________.4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.5．(2016·江苏泰州二模)若函数f (x )＝3sin(πx ＋π3)和g (x )＝sin(π6－πx )的图象在y 轴左、右两侧最靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM →·ON →＝________.6．设O ，A ，B 为平面上三点，且P 在直线AB 上，OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________. 7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )， m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．8.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →＝________.9．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为________．10．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，OC ＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为________．11．(2016·温州四校联考)已知两点A (－m,0)，B (m ，0) (m >0)，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．12．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.13．(2017·苏北四市调研)已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________．14．(2016·石嘴山三中第三次适应性考试)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(14分)(2016·连云港一模)如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值．16.(14分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设向量d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d .17.(14分)(2016·无锡一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos C ＝310. (1)若CB →·CA →＝92，求c 的最小值；(2)若向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝(cos 2B,1－2sin 2B2)，且x ∥y ，求sin(B －A )的值.18.(16分)(2016·太原一模)已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)． (1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．19.(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值.20.(16分)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )， n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域．答案解析1.OC →解析 由题意，如题图，OA →＋BC →＋AB →＝OB →＋BC →＝OC →. 2.26解析 由(2a －c )·(3b －c )＝0，得6a·b －(2a ＋3b )·c ＋c 2＝0，即c 2－(－1,5)·c ＝0.设向量(－1,5)与c 的夹角为θ，则|c |2－26|c |·cos θ＝0，所以|c |＝0或|c |＝26cos θ， 所以|c |的最大值为26. 3．－12解析 ∵m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)， 且(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴(2m －n )(－1)＝4(3m ＋2n )， 即14m ＝－7n ，∴m n ＝－12.4．23解析 由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12， 所以|a ＋2b |＝2 3. 5．－89解析 令f (x )＝g (x )，得3sin(πx ＋π3)＝sin(π6－πx )，化简得2sin(πx ＋π6)＝0.∴πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k －16，k ∈Z .则M (－16，32)，N (56，－32)，∴OM →·ON →＝－89.6．1解析 因为点P 在直线AB 上，所以有AP →＝λAB →(λ∈R )， 即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，化简得OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 即m ＝1－λ，n ＝λ，故m ＋n ＝1. 7.5π6解析 若m ∥n ，则(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理可得(a ＋b )(b －a )－c (3a ＋c )＝0， 化简为a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝5π6.8．4解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°，且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°. 因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB→＝16＋34×42×4cos 135°＝4.9.3214解析 设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，∴bc cos A ＝3，a ＝3， 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.10.23解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)． 由∠AOC ＝π4，知OE ＝CE ＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.11．[5，＋∞)解析 ∵点P 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点P (x ，－3x －254)，∴AP →＝(x ＋m ，－3x －254)，BP →＝(x －m ，－3x －254)．又∠APB ＝90°，∴AP →·BP →＝(x ＋m )(x －m )＋(－3x －254)2＝0，即25x 2＋150x ＋625－16m 2＝0.由Δ≥0，即1502－4×25×(625－16m 2)≥0， 解得m ≥5或m ≤－5.又m >0，∴m 的取值范围是[5，＋∞)． 12.12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.13．[6－1，6＋1]解析 因为OA →·OB →＝|OA →|×|OB →|×cos 〈OA →，OB →〉＝1， |OA →|＝|OB →|＝2，所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，所以〈OA →，OB →〉＝π3，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2，0)，B (22，62)． 令OP →＝OA →＋OB →＝(322，62)，则|OP →|＝6，因为|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OP →－OC →|＝1，所以点C 的运动轨迹是以点P 为圆心，1为半径的圆，而|OP →|＝6，则|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1]． 14．[4,6]解析 如图，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，∴AB 所在直线的方程为x 3＋y3＝1，则y ＝3－x .设N (a,3－a )，M (b,3－b )， 且0≤a ≤3,0≤b ≤3，不妨设a >b ， ∵MN ＝2，∴(a －b )2＋(b －a )2＝2， ∴a －b ＝1，∴a ＝b ＋1，∴0≤b ≤2， ∴CM →·CN →＝(b,3－b )·(a,3－a ) ＝2ab －3(a ＋b )＋9＝2(b 2－2b ＋3) ＝2(b －1)2＋4,0≤b ≤2， ∴当b ＝0或b ＝2时有最大值6； 当b ＝1时有最小值4. ∴CM →·CN →的取值范围为[4,6]． 15．解 (1)由已知条件易知， OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝－3，OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos ∠AOC ＝－4，OB →·OC →＝0，∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OB →·OC →)＝9， ∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3.(2)由OC →＝mOA →＋nOB →可得，OA →·OC →＝mOA →2＋nOA →·OB →， 且OB →·OC →＝mOB →·OA →＋nOB →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4. 16．解 (1)因为(a ＋k c )∥(2b －a )， 又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 所以2·(3＋4k )－(－5)·(2＋k )＝0， 所以k ＝－1613.(2)因为d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255.所以d ＝(20＋55，5＋255)或d ＝(20－55，5－255)．17．解 (1)因为CB →·CA →＝92，所以ab cos C ＝92.由cos C ＝310，得ab ＝15，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －2ab ×310＝21.因为c >0，所以c ≥21，所以c 的最小值为21. (2)因为x ∥y ，所以2sin B (1－2sin 2B2)＋3cos 2B ＝0，所以2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0， 即sin 2B ＋3cos 2B ＝0， 所以tan 2B ＝－3，所以2B ＝2π3或5π3， 所以B ＝π3或5π6.因为cos C ＝310<12，所以C >π3，所以B ＝π3，所以sin(B －A )＝sin [B －(π－B －C )]＝sin(C －π3)＝sin C cos π3－cos C sin π3＝9110×12－310×32＝91－3320. 18．解 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， ∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )， ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)， 又AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②，化简得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6， 此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16；当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.19．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.第 11 页 共 11 页∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 20．解 (1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由正弦定理得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B .在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2， y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B ) ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin(2B －π6)． ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6， ∴12＜sin(2B －π6)≤1， ∴32＜1＋sin(2B －π6)≤2，即32＜y ≤2， ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域为(32，2]．。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(文)(苏教版)精练检测：五 平面向量全国通用含解析
单元滚动检测五平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷（解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．如图所示,四边形ABCD是梯形，AD∥BC,则＋＋＝________。
2．（2016·常州一模）已知向量a＝（1,1），b＝(－1，1),若向量c满足(2a－c）·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为______．3．(2016·苏州模拟）已知向量a＝（2,3)，b＝（－1，2)满足向量m a＋n b与向量a－2b共线,则错误!＝________。
4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0），|b|＝1，则|a＋2b|＝________。
5．（2016·江苏泰州二模）若函数f（x）＝错误!sin(πx＋错误!）和g（x)＝sin（错误!－πx)的图象在y轴左、右两侧最靠近y轴的交点分别为M、N,已知O为原点，则·＝________。
6．设O，A，B为平面上三点，且P在直线AB上，＝m＋n,则m＋n＝________.7．△ABC的内角A，B,C所对边长分别是a，b,c，设向量n＝(3a ＋c,sin B－sin A），m＝(a＋b，sin C),若m∥n，则角B的大小为________．8.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°,且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________.9．已知向量a＝（3，－2），b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数,则错误!＋错误!的最小值是________．10．已知A（－3,0),B(0,2)，O为坐标原点,点C在∠AOB内,OC＝2错误!，且∠AOC＝错误!，设＝λ＋（λ∈R)，则λ的值为________．11．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝（2,1），且λa＋b＝0（λ∈R)，则|λ｜＝________。
2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测A卷文36
滚动检测05 向量 数列 不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 设平面α、β，直线a 、b ，a α⊂，b α⊂，则“//a β，//b β”是“//αβ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】考点：1.平面与平面平行的判定定理与性质；2.充分必要条件2. 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．．C ．．【答案】A【解析】试题分析：根据三视图的规则可知，该三棱锥的体积为1112332V S h =⨯=⨯⨯⨯=俯视图选A.考点：三视图与几何体的体积．3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足546523,23a S a S =+=+,则此数列的公比为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】试题分析：由546523,23a S a S =+=+可得5562a a a =-,即356=a a ,故应选B. 考点：等比数列的有关知识及运用.4. 【2018河南漯河中学二模】已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（ ） A. B. C. D.【答案】B故选B5. 【2018四川成都七中一模】在四面体S ABC -中， ,2,AB BC AB BC SA SC ⊥====平面SAC ⊥平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（） A. 163π B. 8π C. 83π D. 4π 【答案】A【解析】AB BC ⊥， A B BC ==2AC ∴=，2,SA SC ==SAC ∴为等边三角形又平面SAC ⊥平面BAC取AC 中点D ，连接SD ，则球心O 在SD 上，有r3r = ∴该四面体外接球的表面积为163π 故选A6. 若数列{}n a 满足()111211121,31,2n n n n n a a a a a n a a a -+-++=-==≥，则n a =（ ） A.21n + B.22n + C.23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】考点：求数列的通项.【思路点晴】本题考查的是根据数列的递推关系求数列的通项公式，关键是第一步可以看出等式右边可以拆分成两项的和,11211+-+=n n n a a a 加上数列中对通项的理解及等差中项判定数列成等差，可以得到}1{na 为等差数列，其中首项为11a ，公差为211a 112=-=a d ，求得)1(21)1(2111+=-+=n n a n ，进而求得12+=n a n . 7. 【2018四川成都七中一模】已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 912216,4,2a a a =+=则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A. 1112 B. 1011 C. 910 D. 89【答案】B。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(人教B版全国通用)单元滚动检测五 平面向量含解析
单元滚动检测五平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，四边形ABCD是梯形,AD∥BC，则错误!＋错误!＋错误!等于( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!2．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝3错误!,则（)A.错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!B.错误!＝错误!错误!＋错误!错误!C。
错误!＝错误!错误!－错误!错误! D.错误!＝错误!错误!－错误!错误!3．已知点A(1,3)，B（4，－1)，则与向量错误!方向相反的单位向量是( ）A．（－错误!，错误!) B．（－错误!，错误!）C．(错误!，－错误!）D．(错误!,－错误!）4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0),｜b｜＝1，则|a＋2b|等于( ）A.错误!B．2错误!C．4 D．125．已知|错误!|＝1，|错误!|＝2,错误!·错误!＝0，点D在∠CAB内,且∠DAB ＝30°，设错误!＝λ错误!＋μ错误!(λ,μ∈R）,则错误!等于（)A．3 B。
错误! C.错误!D．2错误!6．设O，A，B为平面上三点，且P在直线AB上，错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n等于( )A．0 B．－1 C．1 D．不能确定7．△ABC的内角A,B,C所对边长分别是a，b，c，设向量n＝(错误!a ＋c,sin B－sin A）,m＝（a＋b，sin C），若m∥n，则角B的大小为( ) A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!8。
如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°,且AC＝BC＝4,点M满足错误!＝3错误!，则错误!·错误!等于( )A．2 B．3C．4 D．69．已知向量a＝（3，－2)，b＝（x，y－1),且a∥b，若x，y均为正数，则错误!＋错误!的最小值是（)A.错误!B。
2018届高考数学 滚动检测05 向量 数列 不等式和立体几何的综合同步单元双基双测(B卷)理
滚动检测05 向量 数列 不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 【2018广西柳州两校联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ﹣ABCD ，如图所示，该几何体的俯视图为C ．故选：C ．2. 等比数列{}n a 的前n 项和为,3n S q =，则44S a =（ ） A.409 B.809C.4027D.8027 【答案】C【解析】 试题分析：232341111334114027S a a q a q a q q q q a a q q ++++++===. 考点：等比数列.3. 【2018江西新余一中四模】如图，已知OAB ∆，若点C 满足2AC CB =， OC OA OB λμ=+，（ ,R λμ∈），则11λμ+=（ ） A. 13 B. 23 C. 29 D. 92【答案】D4. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立，则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．14 【答案】A【解析】试题分析：设()232f a x ax b =++，根据已知条件知：(1)230(0)0f a b f b -=-++≤⎧⎨=≤⎩，该不等式表示的平面区域如图所示，设222z a b =+-，所以222a b z +=+，所以该方程表示以原点为圆心，圆，原点到直线230a b -++=≥15z ≥-，故选A.考点：简单的线性规划求最值.5. 设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥【答案】C【解析】考点：空间点线面位置关系.6. 在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21V V =（ ） A．3 B ．113π C．3 D ．83π 【答案】A【解析】试题分析：由侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直知,,PA PB PC 两两相互垂直，不妨设1PA =，2PB =，3PC =，则111123132V =⨯⨯⨯⨯=．三棱锥P ABC -的外接球的直径2R ==所以3243V R =π=213V V =，故选A ． 考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．7. 【2018辽宁沈阳四校联考】正三角形ABC 边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A. 7πB. 19π【答案】A 外接球的表面积为：4πr 2=7π故选：A ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．8. 平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ===, 点P 在边CD 上，则PA PB 的取值范围是（ ）A.[]1,8-B.[)1,-+∞C.[]0,8D.[]1,0-【答案】A【解析】考点：平面向量的数量积的运算.【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出︒=60A ，再建立坐标系，得1)2(2--=⋅x ，构造函数)(x f ，利用函数的单调性求出函数的值域m ，问题得以解决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.9. 设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为3，则432122a a a a ++的值为（ ） A ．1 B ．91 C ．61 D ．31 【答案】B【解析】 试题分析：1211232334112211229a a a a q q a a a q a q q q +++===+++ 考点：等比数列通项公式10. 【2018江西新余一中四模】已知数列{}n a 满足143a =，且()111n n n a a a +-=-（*n N ∈），则122017111a a a ++的整数部分是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】()111n n n a a a +-=-（*n N ∈）， ()11111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++∴==-=------ 1220171223201720182018111111111131111111a a a a a a a a a a ++=-+-+⋅⋅+-=-------- 143a =， 2244131339a ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭ 23131313319981a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ 24133133128181a ⎛⎫=-+>⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，， 20182017201642a a a a ∴>>>⋅⋅⋅>>201811a ∴->，20181011a ∴<<- 201812331a ∴<-<- 则122017111a a a ++的整数部分为2故选C点睛：本题考查数列的综合运用，需根据条件利用裂项法构造新的数列，运用裂项求和得出和的结果，然后推导出其整数部分，注意条件的运用及转化11. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（ ）（1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ；（3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】考点：空间中直线与平面之间的位置关系12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图像最有可能的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当1x =；（2）当12x =；（3）当x =（1）当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；（2）当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当x =A为半径作一个球，其弧长为1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值，对照选项可得B 正确.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当1x =；（2）当12x =；（3）当x =其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数()f x 的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______． 【答案】31-【解析】 试题分析：由2a a b =+，得()2222244a a b a b a b =+=++，即2a b b =-，所以cos ,a b a b a b =＝22133b b -=-． 考点：1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．14. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)1(34-=n n a S ，则数列}{2n a 的前n 项和=n T . 【答案】1516161-+n【解析】考点：等比数列求通项公式与求和.【方法点晴】本题考查学生的是等比数列求通项公式与求和,属于基础题目.首先由n a 和n S 的等式,求出通项公式n a ,基本方法有两种,一种是用1-n 替换原式中的n 得到另一个等式,两式作差消去n S ,是一个关于n a 与1-n a 的递推关系式,从而求出n a ;第二种是把()21≥-=-n S S a n n n 代入,消去n a ,先求出n S 再求n a .求出通项公式后判断其为等比数列,用求和公式即可求解.15. 【2018湖南五市十校联考】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】283π 【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2， 三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，3r ==，球的表面积27284433r πππ=⨯=. 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16. 三棱锥P ABC -内接于球O ，3PA PB PC ===，当三棱锥P ABC -的三个侧面积和最大时，球O 的体积为 ．【答案】2【解析】考点：几何体的外接球．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为,,a b c则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点．找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心．三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PD AB ⊥，PD BC ⊥，且1PD =，E 为PC 的中点.（I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）求直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值.【答案】（I ）详见解析（II ）13【解析】试题解析：解：（I ）连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 是AC 的中点. 又∵E 是PC 的中点，∴OE 是PAC ∆的中位线， ∴//OE PA ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE .（II ）∵PD AB ⊥，PD BC ⊥，ABBC B =，∴PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，11(0,,)22E ， ∴(1,1,1)PB =-，11(0,,)22DE =，(1,1,0)DB =， 设平面BDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，由n DE ⊥，n DB ⊥得，110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，则1y =-，1z =，∴(1,1,1)n =-，又∵(1,1,1)PB =-，∴1cos ,=3||||3n PB n PB n PB ==-⨯，∴直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值为13.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（1）求cos B ；（2）若b =5c =，a c <，且2AD DC =，求BD 的长度.【答案】（1）45；（2）3.【解析】试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到A ，B ，C 满足的一个式子，再进行三角恒等变形即可求解；考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形．19. 【2018江西南昌摸底】已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记()*n n n b a S n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）12244233n n ++⋅-+ 【解析】试题分析：（1）利用11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，同时验证1n =时也满足，可得通项公式；（2）利用分组求和及等比数列前n 项和公式可求得结果.试题解析：（1）∵122n n S +=-，∴当1n =时，∴1111222a S +==-=；当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=，又12a =，∴2n n a =（2）由（1）知，1242n n n n n b a S +=⋅=⋅-，∴()()12231122444222n n n n T b b b +=+++=+++-+++()()1241441224242141233n nn n ++--=⨯-=⋅-+--． 点睛：解题中，在利用1n n n a S S -=-的同时一定要注意1n =和2n ≥两种情况，否则容易出错；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列， {}n b 为等比数列等.20. 已知数列{}n a 的首项11a =，且*14()2nn n a a n N a +=∈+. （Ⅰ）证明：数列11{}2n a -是等比数列. （Ⅱ）设2n n n nb a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）222n n n S +=-【解析】试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：利用142n n n a a a +=+代入化简1211111111()2422422n n n n n a a a a a ++-=-=-=-，再说明不为零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根据等比数列通项公式求111111()2222n n na --==，即得11122n n a =+，代入2n n n nb a =-，可得2n n n b =，因此其前n 项和应用错位相减法求。
2018届高考数学专题5.2数列的综合同步单元双基双测A卷文
专题5.2 数列的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于 A ．16 B ．8 C ．22 D ．4 【答案】D 【解析】考点：等差数列的判断及等差数列的通项公式．2. 【2018辽宁庄河联考】已知数列{}n a 满足111,2n n n a a a +==+，则10a =（ ） A. 1024 B. 1023 C. 2048 D. 2047 【答案】B【解析】a n +1=a n +2n； ∴a n +1−a n =2n；∴(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+…+(a 10−a 9)=2+22+…+29=()921212--=1022；∴a 10−a 1=a 10−1=1022； ∴a 10=1023. 本题选择B 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=24n n S a -，n N *∈，则n a =（ ）A ．12n + B ．2n C ．-12n D ．-22n【答案】A【解析】考点：递推关系式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系、等比数列的性质等知识的应用，本题的解答中利用递推关系式，两式相减可得122n n n a a a -=-，即12nn a a -=，所以得到数列{}n a 是首项为4，公比是2的等比数列是解答问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．4. 已知数列{}n a 的通项公式()*21log N n n na n ∈+=，设其前n 项和为n S ，则使4-<n S 成立的自然数n 有（ ）A ．最大值15B ．最小值15C ．最大值16D ．最小值16 【答案】D 【解析】试题分析： 121222221231...log log log ...log log 2341n n n n n S a a a a n n --=++++=+++++ 22212311log ...log log (1)23411n n n n n n -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯==-+ ⎪++⎝⎭，则()2log 14n -+<-， 所以 412,n +>即15n >故选D ．考点：1．对数运算；2．数列求和．5. 【2018河南林州调研】数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有123.....21n n a a a a ++++=-，则22212......n a a a +++=（ ）A. ()221n - B. ()1413n - C. ()1213n - D. 41n - 【答案】B【解析】当1n =时， 11a =，当2n ≥时， ()11121212n n n n n n a S S ---=-=---= ，所以12n n a -=，则214n n a -= ， ()222221123141......144 (4)41143n n n n a a a a --++++=++++==--，选B. 6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()211122,3n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n +【来源】【百强校】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（文）试卷（带解析） 【答案】A 【解析】试题分析：当1n =时，()2213234,7a a ⋅+-⋅==，故A 选项正确. 考点：数列求通项．7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为 A ．2015 B ．2013 C ．1008 D ．1007 【答案】C 【解析】考点：数列的求和 8. 已知11a =，131nn n a a a +=+，则数列{}n a 的通项为n a =（ ）A ．121n - B ．21n - C ．132n - D.32n - 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得131113n n n n a a a a ++==+，所以数列1{}na 是公差为3的等差数列，1113(1)32n n n a a =+-=-，132n a n =-. 考点：由数列的递推式求通项公式.9. 已知数列{}n a 满足)2(log 1+=+n a n n )(*N n ∈，定义：使乘积123k a a a a ⋅⋅为正整数的*()k k ∈N 叫做“期盼数”，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为 A ．2036 B ．4076 C ．4072 D ．2026 【答案】D 【解析】考点：数列求和10. 数列{}n a 满足1=1a ，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++，则1220111a a a +++等于 A ．4021 B ．2021 C ．1910 D ．2019【答案】A 【解析】试题分析：：∵数列{}n a 满足1=1a ，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++， ()()()()11211111212n n n n n n n a a n a a a a a a n n +-+∴-=+∴=-++-+=+-++=11121n a n n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭则122011111111140212122320212121a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 考点：数列的求和11. 已知等差数列的前n 项和为n S ，若,0,01213><S S 则此数列中绝对值最小的项为（ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项 【答案】C 【解析】 试题分析：由等差数列的性质得00130771313<∴<=∴<a a s s 又00)(6076761212>+∴>+=∴>a a a a s s 故076>>a a ．易知公差0<d ，所以选C考点：等差数列的性质及前n 项和12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，给出下列结论：（1）01q <<；（2）2016201810a a ->；（3）2016T 是数列{}n T 中的最大项；（4）使1n T >成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（ ） A ．（2）（3） B ．（1）（3） C ．（1）（4） D ．（2）（4）【来源】【百强校】2017届江西南昌市高三上学期摸底调研数学（文）试卷（带解析） 【答案】 B 【解析】考点：等比数列公比【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =____________. 【答案】-6 【解析】试题分析：由题意得223142222=(2)(2)(4)6a a a a a a a ⇒+=-+⇒=- 考点：等比数列与等差数列综合 14.【2018四川绵阳联考】 已知数列的首项，且，如果是单调递增数列，则实数的取值范围是__________． 【答案】(，) 【解析】因为，所以，两式作差得 ，数列中，奇数项和偶数项分别为公差等于2的等差数列，又由条件可得，，若数列为递增数列，则只需，解得.故填(，). 点睛：本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列和数列分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据求解，注意分类讨论，即当n 为奇（偶）数时，为偶（奇）数.15. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【考点定位】等差数列和递推关系．16. 数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点定位】数列通项，裂项求和三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =-，55a =． （1）求{}n a 的通项n a ； （2）若n n n a b 2+=，求{}n b 前n 项和n S【答案】（1）52-=n a n ；（2）22412-+-=+n n n n S ． 【解析】试题分析：（1）因为是等差数列，所以代入基本量首项，和公差，列方程组，解得通项；（2）根据上一问的结果，得到数列{}n b 的通项公式，是等差数列加等比数列，所以利用分组转化的方法求和． 试题解析：解：（1）等差数列知，6325==-d a a ，即2=d ,112-=+=d a a ，故31-=a ，代入通项公式得52-=n a n（2）由n n n a b 2+=，则()()()()()()()()22421212252322225211325221212312321321321-+-=--+-+-=+++++-+++--=+-+++++-++-=++++=+n nn nnn n n n n n n b b b b S 考点：1．等差数列；2．等差数列求和；3．等比数列求和．18. 【2018豫西南部分高中联考】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a -=；（2）1133n n -+-（1）当1n =时， 11231S a =-，得11a =，当2n ≥时， 11231n n S a --=-，将231n n S a =-与1231n n S a -=-左右相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，又因为11a =，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=. （2）由（1）得121213n n n n a ---=，∴122135232113333n n n n n T ----=+++++，① 3252321333333n n n n n T ----=+++++，②，②-①得22223233n T =+++++2122133n n n ----= 1111213321313n n n ----+⨯-- 12263n n -+=-，∴1133n n n T -+=-.19. 已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【来源】【百强校】2017届河南息县第一高级中学高三上阶段测三数学（文）试卷（带解析） 【答案】（I ）5nn a =；（II ）21n nn T =+． 【解析】试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，∴2111211154,.a a q a q a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得15a q ==，故5n n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ），得5log n n b a n ==，所以(1)2n n n S +=． ∴12112()(1)1n S n n n n ==-++， 故数列1{}nS 的前n 项和为111112[(1)()()]2231n T n n =-+-++-+122(1)11nn n =-=++． 考点：数列的基本概念，裂项求和法． 20. 已知数列n a 和n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ；（2）记数列n n a b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2;nn n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈【解析】(2)由(1)知，2nn n a b n =⋅ 所以23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅所以2311222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=--所以1(1)22n n T n +=-+.【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和. 21. 【2018河南天一大联考】已知数列的首项为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先构造等比数列：，再根据等比数列通项公式得，即得数列的通项公式；（2）先化简，再根据，利用裂项相消法求和 试题解析：解：（Ⅰ）由得，则数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，可得，从而.（Ⅱ）依题意， ，故 ，故 .点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.22. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1(1)2n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：12n S <； （3）设函数13()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++…，求1231111n nT b b b b =++++…． 【来源】【百强校】2017届天津耀华中学高三上学期开学考试数学（文）试卷（带解析） 【答案】（1）1()3nn a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】试题解析：（1）当2n ≥时，111(1)(1)22n n n a a a -=---11122n n a a -=-+，12n n n a a a -=-+， ∴113n n a a -=，由1111(1)2S a a ==-，得113a =，11 ∴数列{}n a 是首项113a =，公比为13的等比数列， ∴1111()()333n n n a -=⨯=． （2）111()11331()12313n n n S ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎣⎦==-⎢⎥⎣⎦-， ∵411()13n-<， ∴1111()232n ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，即12n S <． （3）∵13()log f x x =， ∴111211123333log log log log ()n n n b a a a a a a =+++=……12131log ()3n +++=…(1)122n n n +=+++=…． ∵12112()(1)1n b n n n n ==-++， ∴121111111122(1)()()22311n n n T b b b n n n ⎡⎤=+++=-+-++-=⎢⎥++⎣⎦……． 考点：数列的基本概念，数列求和．【方法点晴】已知n S 求n a 是一种非常常见的题型，这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示．。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(人教A版全国通用)：精练检测五 平面向量全国通用含解析
单元滚动检测五平面向量考生注意:1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则错误!＋错误!＋错误!等于( )A。
错误!B.错误!C.错误!D。
错误!2．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝3错误!，则( ）A.错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!B。
错误!＝错误!错误!＋错误!错误!C.错误!＝错误!错误!－错误!错误!D.错误!＝错误!错误!－错误!错误!3．已知点A(1，3），B(4，－1），则与向量错误!方向相反的单位向量是( ）A．（－35,45）B．（－错误!，错误!）C．(错误!，－错误!) D．(错误!，－错误!)4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0)，|b｜＝1，则|a＋2b|等于（）A。
错误!B．2错误!C．4D．125．(2016·枣庄八中南校区月考）已知向量a，b，其中a＝(－1，错误!），且a⊥（a－3b)，则b在a方向上的投影为( )A．1B.错误!C.错误!D。
错误!6．设O,A，B为平面上三点，且P在直线AB上,错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n等于（)A．0B．－1C．1D．不能确定7．△ABC的内角A，B,C所对边长分别是a,b，c，设向量n＝（错误! a＋c，sin B－sin A)，m＝(a＋b，sin C)，若m∥n,则角B的大小为( ) A。
错误!B。
错误!C.π3D.错误!8。
如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4，点M满足错误!＝3错误!，则错误!·错误!等于( )A．2 B．3C．4 D．69．已知向量a＝(3，－2)，b＝（x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则错误!＋错误!的最小值是（）A。
2018届高考数学 滚动检测03 向量 数列的综合同步单元双基双测(B卷)理
向量 数列的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 在ABC ∆中，若点D 满足2=，则=（ ）A ．AB AC 3231+ B ．AC AB 3235- C ．3132- D ．3132+【答案】D 【解析】试题分析：由DC BD 2=，得()AD AC AB AD -=-2，因此AB AC AD +=23，因此3132+=，故答案为D ． 考点：平面向量的应用．2. 在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则7513a a -的值为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．72 【答案】C 【解析】考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．3. 公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ）A.18B.24C.60D.90 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()()()211181263878322a d a d a d S a d ⎧+⋅+=+⎪⎨⨯=+=⎪⎩，整理得21132278d a d a d ⎧=-⎨+=⎩，因为0d ≠，所以132a d =-⎧⎨=⎩，所以10110910602S a d ⨯=+=，故选C. 考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式.4. 【2018江西宜春调研】公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若643a a =，且104S a λ=，则λ的值为（ ）A. 15B. 21C. 23D. 25 【答案】D【解析】依题意， 6411135392a a a d a d a d =⇒+=+⇒=-，其中0d ≠；()10411104532525S a a d a d d d λλλλ=⇒+=+⇒=⇒=，故选D.5. 【2018安徽蒙城两校联考】已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A. 1B. 2D. 3 【答案】B6. 已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等边三角形B.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形D.直角三角形- 3 -【答案】C 【解析】考点：向量加法的平行四边形法则、向量垂直和向量数量积的应用.【思路点晴】本题考查的是平面向量数量积的运算，三角形形状的判断，关键是判断+表示以与AB 同向的单位向量和与AC 同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，结合||(AB 0||=⋅+BC AC 判断出A ∠的平分线与BC 垂直，从而推断三角形为等腰三角形，现根据向量的数量积公式求得角C 为120，所以ABC ∆为等腰非等边三角形. 7. 数列}{n a 满足11=a ，对任意的*∈N n 都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a （ ） A ．20162015 B ．20174032 C ．20174034D ．20172016【答案】B 【解析】试题分析：11=a ,且对于任意的n a a a N n n n ++=∈+11*,,11+=-∴+n a a n n ,所以当2≥n 时,()()()()()2112...1...12211+=+++-+=-++++-=---n n n n a a a a a a a n n n n n ,当1=n 时也成立,()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∴+=∴1112121,21n n n n a n n a n n ,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为121112111...31212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n S n ， 2017403212016201621...11201621=+⨯=+++a a a ,故选B. 考点：1.累加法；2.裂项相消求和.【思路点晴】本题是一道关于数列的题目,解题关键是充分利用已知条件得到新的公式,考查了累加法求数列通项以及裂项相消法求数列的和,属中档题目.由已知可得11+=-+n a a n n ,进而累加法求得n a 的通项公式以及n a 1,接下来从na 1的通项公式入手裂项,从而得到前n 项和121112111...31212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n S n . 8. 【2018全国名校联考】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， (),60a c b c --=︒，则c 的最大值等于（ ）D. 1 【答案】A【解析】-5 -故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则n S 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C【答案】C 【解析】考点：数列求通项公式10. 【2018辽宁沈阳四校联考】在矩形ABCD 中， 12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ） A. 3B. 5 D. 2【解析】如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系， 则A （0，0），B （1，0），D （0，2），C （1，2），∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ， ∵BC=2，CD=1，∴∴12BC•CD=12BD•r，∴r=5， ∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45，设点P 的坐标为（5cos θ+1， 5sin θ+2）， ∵AP AB AD λμ=+，∴（255cos θ+1， 255sin θ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），θ+1=λ，θ+2=2μ，∴λ+μcos θθ+2=sin （θ+φ）+2，其中tan φ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3，- 7 -11. 【2018河南豫南豫北联考】数列{}n a 满足()*1116,51n n n a a a n N a +-==∈-，若对*n N ∈，都有12111nk a a a >+++成立，则最小的整数k 是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】由111n n n a a a +-=-得()111n n n a a a +-=-， 所以()11111111n n n n na a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，且1n a >。
2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(苏教版)精练检测：五平面向量全国通用含解析
单元滚动检测四三角函数、解三角形考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题）两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．（2016·河北衡水中学月考）若点（sin错误!,cos错误!)在角α的终边上，则sinα的值为________．2．(2016·无锡一模）已知角α的终边经过点P（x，－6)，且tanα＝－错误!，则x的值为________．3．(2016·四川)cos2错误!－sin2错误!＝________。
4．函数y＝2sin（错误!－2x）的单调递增区间为______________．若α为锐角，且sin(α－错误!)＝错误!，则cos2α＝________.6．(2016·南通一模）若将函数f(x）＝sin(2x＋φ）（0<φ〈π)图象上所有的点向右平移错误!个单位长度后得到的图象关于原点对称,则φ＝________。
7．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c,若（a2＋c2－b2）tan B＝错误!ac，则角B的值为____________．8．已知函数f(x)＝错误!sin x－cos x，x∈R，若f(x）≥1,则x的取值范围是_______．9．（2016·昆明统一检测题）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，sin A＋2sin B＝2sin C，b＝3，当内角C最大时,△ABC的面积为________．10．(2016·贵阳检测）已知函数f(x）＝sin（ωx＋φ）(ω＞0，|φ｜＜错误!)的部分图象如图所示，如果x1,x2∈(－错误!,错误!），且f(x1）＝f（x2）,则f（x1＋x2）＝________.11．(2016·泰州一模）已知函数f（x)＝A sin(x＋θ）－cos错误!·cos（错误!－错误!）（其中A为常数,θ∈（－π，0))，若实数x1，x2,x3满足:①x1〈x2〈x3;②x3－x1〈2π;③f(x1）＝f(x2)＝f（x3），则θ的值为________．12．已知函数f(x)＝3sin(ωx－错误!）(ω〉0）和g（x）＝3cos(2x＋φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2]，则f(x)的取值范围是________．13．已知函数f(x）＝A tan（ωx＋φ)（ω＞0,｜φ｜＜错误!)，y＝f（x)的部分图象如图，则f(错误!)＝________。
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滚动检测05 向量 数列 不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 【2018广西柳州两校联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ﹣ABCD ，如图所示， 该几何体的俯视图为C ．故选：C ．2. 等比数列{}n a 的前n 项和为,3n S q =，则44S a =（ ） A.409 B.809 C.4027 D.8027【答案】C 【解析】试题分析：232341111334114027S a a q a q a q q q q a a q q ++++++===.考点：等比数列.3. 【2018江西新余一中四模】如图，已知OAB ∆，若点C 满足2AC CB =， OC OA OB λμ=+，（ ,R λμ∈），则11λμ+=（ ）A.13 B. 23 C. 29 D. 92【答案】D4. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立，则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．14【答案】A 【解析】试题分析：设()232f a x ax b =++，根据已知条件知：(1)230(0)0f a b f b -=-++≤⎧⎨=≤⎩，该不等式表示的平面区域如图所示，设222z a b =+-，所以222a b z +=+，所以该方程表示以原点为圆心，圆，原点到直线230a b -++=15z ≥-，故选A.考点：简单的线性规划求最值.5. 设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ） A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥ B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥ 【答案】C 【解析】考点：空间点线面位置关系.6. 在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21V V =（ ） AB ．113πCD ．83π【答案】A 【解析】试题分析：由侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直知,,PA PB PC 两两相互垂直，不妨设1PA =，2PB =，3PC =，则111123132V =⨯⨯⨯⨯=．三棱锥P ABC -的外接球的直径2R =所以32433V R =π=213V V =，故选A ． 考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．7. 【2018辽宁沈阳四校联考】正三角形ABC 边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A. 7π B. 19π【答案】A外接球的表面积为：4πr 2=7π 故选：A ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．8. 平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ===, 点P 在边CD 上，则PA PB 的取值范围是（ ） A.[]1,8- B.[)1,-+∞ C.[]0,8 D.[]1,0- 【答案】A【解析】考点：平面向量的数量积的运算.【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出︒=60A ，再建立坐标系，得1)2(2--=⋅x ，构造函数)(x f ，利用函数的单调性求出函数的值域m ，问题得以解决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.9. 设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为3，则432122a a a a ++的值为（ ）A ．1B ．91C ．61D ．31 【答案】B 【解析】 试题分析：1211232334112211229a a a a q q a a a q a q q q +++===+++ 考点：等比数列通项公式10. 【2018江西新余一中四模】已知数列{}n a 满足143a =，且()111n n n a a a +-=-（*n N ∈），则122017111a a a ++的整数部分是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C 【解析】()111n n n a a a +-=-（*n N ∈）， ()11111111111111n n n n nn n n a a a a a a a a ++∴==-=------ 1220171223201720182018111111111131111111a a a a a a a a a a ++=-+-+⋅⋅+-=-------- 143a =， 2244131339a ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭23131313319981a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭24133133128181a ⎛⎫=-+>⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，， 20182017201642a a a a ∴>>>⋅⋅⋅>>201811a ∴->，20181011a ∴<<-201812331a ∴<-<-则122017111a a a ++的整数部分为2故选C点睛：本题考查数列的综合运用，需根据条件利用裂项法构造新的数列，运用裂项求和得出和的结果，然后推导出其整数部分，注意条件的运用及转化11. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（ ）（1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ；（3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B 【解析】考点：空间中直线与平面之间的位置关系12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图像最有可能的是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当1x =；（2）当12x =；（3）当x =（1）当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；（2）当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当x =A为1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值，对照选项可得B 正确.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当1x =；（2）当12x =；（3）当x =其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数()f x 的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______． 【答案】31- 【解析】试题分析：由2a a b =+，得()2222244a a b a b a b =+=++，即2a b b =-，所以cos ,a b a b a b=＝22133bb -=-． 考点：1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角． 14. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)1(34-=n n a S ，则数列}{2n a 的前n 项和=n T . 【答案】1516161-+n【解析】考点：等比数列求通项公式与求和.【方法点晴】本题考查学生的是等比数列求通项公式与求和,属于基础题目.首先由n a 和n S 的等式,求出通项公式n a ,基本方法有两种,一种是用1-n 替换原式中的n 得到另一个等式,两式作差消去n S ,是一个关于n a 与1-n a 的递推关系式,从而求出n a ;第二种是把()21≥-=-n S S a n n n 代入,消去n a ,先求出n S 再求n a .求出通项公式后判断其为等比数列,用求和公式即可求解.15. 【2018湖南五市十校联考】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】283π【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2， 三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r ==，球的表面积27284433r πππ=⨯=.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16. 三棱锥P ABC -内接于球O ，3PA PB PC ===，当三棱锥P ABC -的三个侧面积和最大时，球O 的体积为 ．【解析】考点：几何体的外接球．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为,,a b c则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点．找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心．三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PD AB ⊥，PD BC ⊥，且1PD =，E 为PC 的中点.（I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）求直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值.【答案】（I ）详见解析（II ）13【解析】试题解析：解：（I ）连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则O 是AC 的中点. 又∵E 是PC 的中点，∴OE 是PAC ∆的中位线， ∴//OE PA ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE .（II ）∵PD AB ⊥，PD BC ⊥，ABBC B =，∴PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，11(0,,)22E ， ∴(1,1,1)PB =-，11(0,,)22DE =，(1,1,0)DB =， 设平面BDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，由n DE ⊥，n DB ⊥得，110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，则1y =-，1z =，∴(1,1,1)n =-，又∵(1,1,1)PB =-，∴1cos ,=3||||3n PB n PB n PB ==-⨯，∴直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值为13.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（1）求cos B ；（2）若b =5c =，a c <，且2AD DC =，求BD 的长度.【答案】（1）45；（2. 【解析】试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到A ，B ，C 满足的一个式子，再进行三角恒等变形即可求解；考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形．19. 【2018江西南昌摸底】已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记()*n n n b a S n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）12244233n n ++⋅-+ 【解析】试题分析：（1）利用11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，同时验证1n =时也满足，可得通项公式；（2）利用分组求和及等比数列前n 项和公式可求得结果.试题解析：（1）∵122n n S +=-，∴当1n =时，∴1111222a S +==-=；当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=，又12a =，∴2n n a =（2）由（1）知，1242n n n n n b a S +=⋅=⋅-，∴()()12231122444222n n n n T b b b +=+++=+++-+++()()1241441224242141233n nn n ++--=⨯-=⋅-+--． 点睛：解题中，在利用1n n n a S S -=-的同时一定要注意1n =和2n ≥两种情况，否则容易出错；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列， {}n b 为等比数列等.20. 已知数列{}n a 的首项11a =，且*14()2nn n a a n N a +=∈+. （Ⅰ）证明：数列11{}2n a -是等比数列. （Ⅱ）设2n n n nb a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）222n n n S +=-【解析】试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：利用142n n n a a a +=+代入化简1211111111()2422422n n n n n a a a a a ++-=-=-=-，再说明不为零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根据等比数列通项公式求111111()2222n n na --==，即得11122n n a =+，代入2n n n nb a =-，可得2n nn b =，因此其前n 项和应用错位相减法求。