2016-2017高等数学试卷(A)
2016-2017学年高等数学期末试卷A及参考答案-精品文档
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2016~2017学年第2学期 考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设两点(3,1,1)A ,(2,0,1)B ，则与AB 方向相同的单位向量=e .2．设函数2(,)(f x y y x =+-，则(1,1)y f = ．3．已知{}22(,)4D x y x y =+≤，则2d d Dx y =⎰⎰ ．4．幂级数1(1)2nnn x n +∞=-⋅∑的收敛区间为 ． 5．若2xy Ce=为微分方程()0yp x y '+=的通解，则()p x = ．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．直线11211x y z -+==-与平面1x y z -+=的位置关系是（ ） A ．平行； B ．垂直；C ．夹角为4π； D ．夹角为4π-．2．设z =，则 z zxy x y∂∂+=∂∂ （ ） A ．0； B ．12； C； D． 3．设22{(,)|,0}D x y xy x y =+≤≥，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）A．100(,)dy f x y dx ⎰⎰； B．100(,)dy f x y dx ⎰⎰； C ．1100(,)dx f x y dy ⎰⎰； D．100(,)dx f x y dy ⎰⎰．4．下列级数收敛的是 （ ）A．n +∞=； B．1n +∞=； C．n +∞=； D．1n +∞=5．差分方程122t t ty y t +-=⋅的特解形式为 （ ）A ．2t t y A =⋅；B ．2t t y At =⋅；C ．()2t t y At B =+⋅；D ．()2t t y t At B =+⋅．三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）1. 求过点(2,1,0)且与直线520350x y z y z +--=⎧⎨--=⎩垂直的平面方程．2. 设函数yz x =（0,1x x >≠），求2zx y∂∂∂．3. 求函数arctanxz xy y=+在点(0,1)处的全微分．4．试将函数2()12xf x x x=+-展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间．5．计算二重积分22Dx I dxdy y =⎰⎰，其中D 是由直线,2y x x ==及1xy =所围成的闭区域．6．求微分方程30xy y '''+=满足初始条件(1)1,(1)2y y '==-的特解．四、解答题（本大题共3小题，第1题 10分，第2、3题各6分，共 22 分） 1．设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y (单位:千件), 利润函数为22(,)2336590L x y x xy y x y =---++（单位:万元），问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？2．设0S 为初始存款，年利率为(01)r r <<，t 年末金额累积到t S （1,2,t =）．若以复利累积，试求t S 满足的差分方程，并解此差分方程．3．若0,1n a n ≥≥，级数21n n a +∞=∑收敛，试讨论级数1nn a n+∞=∑的敛散性。
2016-2017学年高数试卷A卷
《高等数学》试卷，第1页，共4 页《高等数学》试卷，第2页，共4页江西应用科技学院2016—2017学年第一学期期末考试高等数学 A 卷机械设计制造及自动化、车辆服务与工程 专业一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列极限存在的是（ ）A ．11lim 0-→x x eB ．xx e 10lim →C ．x x sin lim ∞→D ．221lim x x x -∞→2．若120lim(1)xx ax e -→+=则a=（ ）A. -2B. 12-C. 2D. 123． 设⎩⎨⎧=≠-+=-0,00),11()(1x x x x x f 则0=x 是)(x f 的（ ）A 、可去间断点B 、无穷间断点C 、连续点D 、跳跃间断点4．函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 C 、充分必要条件B 、充分但非必要条件 D 、既非充分又非必要条件5．31log d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )32221111ln .;.log ;.;..ln 3ln 3ln 3xA B xdx C D dx x x x x --6. 若曲线ln(5+2)y x =在0x x =处的切线平行于直线23y x =-，则 x 0=（ ）A. -1B. 0C. 1D. -2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的五个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号 内。
多选、少选、错选均无分。
7. 若211limx x x kA x→++=- ， 则k= ，A= 8. 曲线tan y x =在点(3π处的切线斜率为9. 函数3()3f x x x =-在[0,2]上的最小值是________________________10. 作直线运动的质点的运动方程是322+31s t t =-，则t=2时的瞬时速度为 _____11. 定积分dx x xx ⎰-+554231sin =___________三 、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）12. 求极限201limln(1)x x x →+⎰《高等数学》试卷，第3页，共4 页《高等数学》试卷，第4页，共4页…………………………………… 密 ……………………………… 封 …………………………. 线 ………………………………13. 已知yxe y -=1，求dxdy14. 设)(xe f y -=，)(x f ''存在，求22,dx y d dx dy15. 求曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点)1,0(的法线方程。
武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A卷)
x 2+ax +b(x −1)(x +2) , x /= 1d x 1+cos 2x√ cos 2 x x10 1+x 2a武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)一. 计算 lim n →∞ n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)√ √ √二. 计算 lim x −√ a + x −a . (7分) x →a +x 2−a 2续.(7分)2,x = 1四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .六. 设y = arctan 1+x , 求y II . (7分)1−x七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)八. 计算J 1+cos 2x d x . (7分)九. 计算J 1 d x . (7分)2+ x +1十. 计算J ln cos xd x . (7分)十一. 设f (x ) = x arctan 1+ J x e t 2 d t , 求f I(1). (7分)十二. 计算J 1(√1 + x + 2x） d x . (7分) 十一. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ, 使得f (b ) − f (a ) =ξf I (ξ) ln b . (7分) 十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)一. 设f(x ) = , 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连− √ 2 2✓ ✓ x 2 − a 2 x → +ax →a + (x − a )(x + a )(x − a )(x + a ) 1 − − −武汉大学2016-2017学年第一学期末 《高等数学C1》试卷(A 卷)答案一. 计算 lim n →∞n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)解.lim n →∞ n [ln(n +2) ln n ] = lim n →∞n ln(1+ 2 )(2分) = lim nn →∞ln[(1+ 2 n ) 2 ] n = 2(5分).二. 计算 limx →a +√x −√a +√x −a . (7分) x −a解.√x − √a + √x − a√x − √a √x − a ](2分)li m √ = lim [ + x − a √x − a = lim [ ✓(x − a )(x + a )(√x + √a ) + ✓(x − a )(x + a )] = √2a. (5分)三. 设f (x ) =x 2+ax +b(x −1)(x +2), x /= 1, 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连续.(7分)2,x = 1解. 由lim(x 1)(x + 2) = 0, 1 + a + b = 0, a = b 1(3分). 又 x →1由x 2− (b + 1)x + b = (x − 1)(x − b )及lim (x −1)(x −b ) = 1−b = 2得, b = −5.由此, a = 4(4 分).x →1 (x −1)(x +2)1+2四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)解. 由y l =√2x +1 − √ x −1 (5分), d y = [ √2x +1 − √ x −1 ]d x.(2分) 2 x 2+x −1 x 2−2x +3 2 x 2+x −1 x 2−2x +32x →a +d x −1+cos 2xr √五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .解. 方程两边同时对x 求导得, 2yy l + 2 y l = 6x 5(5分). 故d y = 3x 5y (2分).yd x y 2+1六. 设y = arctan 1+x , 求y ll . (7分)1−x解.1 + 1+x21 − x + 1 + x1y l= 1−x (1−x ) = 1 + (1+x )2 (1−x )2=(1 − x )2 + (1 + x )2 1 + x 2(4分),y ll = 2x.(3分)(1 + x 2)2七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)解. 由f l(x ) = 5x 4−20x 3+15x 2 = 5x 2(x −1)(x −3), 函数在区间[−1, 2]有驻点x = 0, x = 1(4分). 又f (−1) = −10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = −7, 函数 在区间[−1, 2]上的最大值为f (1) = 2, 最小值为f (−1) = −10(4分). 八. 计算J 1+cos 2 xd x . (7分)解.1 + cos 2x d x = 1 + cos 2x1 + cos2 x 2 cos 2 x d x (3 分) = 1 r( 1 + 1)d x = tan x + x + C. (4分)九. 计算J 21d x . (7分) cos 2 x 2 2r2 +t cos 2 xr r r −r − x 1 01+x 21 + x + 11 d x = (1 + x )32 + ln(1 + x 2)1 a解. 令t = √x + 1, 则x = t 2 − 1, d x = 2t d t (3分),1 2 + √x + 1 d x = r2t d t = 2t − 4 ln |2 + t | + C =2√x + 1 − 4 ln |2 + √x + 1| + C. (4分) 十. 计算J ln cos xd x . (7分)解.ln cos x d x = ln cos x d tan x = tan x ln cos xtan x d ln cos x(3分)cos 2 x = tan x ln cos x + rtan 2 x d x = tan x ln cos x + (11)d xcos 2 x = tan x ln cos x + tan x − x + C.(4分)十一. 设f (x ) = x arctan 1 + J x e t 2d t , 求f l(1). (7分)解. 由f l (x ) = arctan 1 − x + e x 2 (5分), f l(1) = π − 1 + e (2分).x1+x 242十二. 计算J 1 (√1 + x + 2x） d x . (7分)解.r 1 (√2x '2 1 114√2 2= 3 − 3+ ln 2. (2分)十三. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ ∈ (a, b ), 使得f (b )−f (a ) =ξf l (ξ) ln b . (7分)证. 令g (x ) = ln x , 则函数f (x ), g (x )在区间[a, b ]上满足Cauch 中值定理 的条件(3分). 故存在ξ ∈ (a, b )使得0 0 3 1 + x 2 0 r (5分)ξ a d x2 6 f (b ) − f (a ) = f l (ξ) = f l(ξ) .g (b ) − g (a ) g l (ξ) 1即有f (b ) − f (a ) = ξf l (ξ) ln b (4分).十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)解. 设小正方形的边长为x , 则无盖方盒子的底边长为a − 2x , 高为x ,体积V = (a −2x )2x (3分). 由d V = (6x − a )(2x − a ), 函数V 有驻点x = a , x = a . 故小方块边长为x = a 盒子的容积最大, 此时小盒子的容积为2a 3(5分).627。
2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
北京大学学第精编学期 高等数学A期末考试试卷
北京大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。
2.设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ=。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。
4．设yz u x =，则du =。
5．级数11(1)npn n ∞=-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →=（）A ．14B ．12-C ．14-D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面πB ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ=（）A ．33()2b a π-B ．332()3b a π-C ．334()3b a π-D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是（）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑B ．2111n n n ∞=++∑C ．1121n n ∞=-∑D．n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
1.求2.计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷
河海大学2016—2017学年第一学期 《高等数学》 期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。
A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。
A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。
A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。
A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。
A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。
2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。
3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。
4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。
5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。
三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。
XX大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A卷高数1-2(A)
XX 大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A 卷高等数学1—2注意事项:1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。
2 .请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间120分钟专业 学号 姓名_________________一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________. 4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________. 5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段. 8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.高等数学1--2 参考答案与评分标准一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yz x e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分） 解：10(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n n x n 6分1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=⎰5分()13202xx x dx =-+6分=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-= 3分 又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。
2016-2017第一学期《高等数学A(一)》安徽大学期中考试试卷参考答案
2
n n2 1
2
由夹逼准则知
lim
n
1 n2
1
n2
2
2
n2
n
n
1 2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分
12． lim esin x 1 3 cos x lim sin3 x cos x lim x3 cos x 2 lim cos x 2
t t3
2
1t2 2 1t2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分
17．解：
x
0,
f
(x)
arctan
1 x2
x 1
1
1 x4
(
1 x4
)
2
x
arctan
1 x2
2x2 1 x4
x
0
，
f
'(0)
lim
x arctan
1 x2
0
x0
x
2
lim f '(x) lim[arctan 1 2x2 ] f '(0)
1
e 2
x0
x0
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分
14．解： lim x 0
cos x sin x
x sin x x sin x
lim
x0
x
sin x3
x
1 cos x
lim
x0
3x2
lim
x0
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一、判断题
1．由5,12u y u x ==-的复合而成函数是(12)5x y -=。
（ ）
2．若函数()y f x =在区间(,)a b 内的'()0f x >，则曲线()y f x =在区间(,)a b 内是凹的。
（ ）
3．函数11
y x =-在1x =处不连续。
（ ） 4．sin cos xdx x C =+⎰。
（ ）
5．函数的极小值就是函数的最小值。
( )
6．若2lim ()x f x A →=，则2lim ()x f x A +→= 。
（ ） 7. 罗比达法则是求“00，∞∞
”两种未定型极限常用的方法。
（ ） 8．(2)2d x xdx =。
（ ）
9.导数运算与积分运算互为逆运算。
（ ）
10. ()()kf x dx k f x dx =⎰⎰。
（ ） 二、选择题(
1. 下列分部积分法公式正确的是( )。
A. udv uv vdu =-⎰⎰;
B.udv uv vdu =+⎰⎰
; C.udv uv v du =-⎰⎰; D.udv uv v du =-⎰⎰. 2. 下列错误的是( )。
A. 22lim(5ln )5limln x x x x →→=.;
B.()()sin 'sin 'x x x x =;
C. (4)4x x d e de =;
D.2255x dx x dx =⎰⎰ 3. 下列等式正确的是( )。
A.2313
x dx x =⎰; B.22x dx x =⎰;
C.2313
x dx x C =+⎰ D.22x dx x C =+⎰ 4. 下列等式错误的是( )。
A.1ln 2ln 222
xdx xd x =⎰⎰; B.ln(21)2ln(21)(21)x d x x d x +=++⎰⎰; C.1ln(21)ln(21)(21)2x dx x d x +=++⎰⎰
; D.ln 2ln 22xdx xd x =⎰⎰.
5．下列等式错误的是( )。
A.lim[()()]lim ()lim ()x a x a x a
f x
g x f x g x →→→±=±； B ．[()()]'()'()'f x g x f x g x ±=± ；
C ．[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰；
D ．[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ⨯=⨯⎰⎰⎰ 。
三、求下列函数的极限
1．2243lim 1x x x →+- 2．01lim x x e x
→- 3．20lim sin x x x → 四、求下列函数的导数
1．3324y x x =+- 2．2
cos y x x =
3．sin 0y x y -= 4. 2(2)y x =- 五、求下列不定积分（每小题5分，共20分）。
1．3(423)x x dx -+⎰ 2．2(2)x dx -⎰ 3．1sin x dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎰ 4.x xe dx ⎰。