南开大学2019年9月高等数学(二)期末考试答案

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2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)UB

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2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)一、解答题1.判断下列函数在原点O (0,0)处是否连续:33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解:(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=,且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0,0)点,则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0,0)点,则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0,0)处不连续.2.指出下列各微分方程的阶数:(1) 2()20;x y'yy'x -+=一阶 (2) 20;x y''xy'y -+=二阶 (3) 220;xy'''y''x y ++=三阶 (4) (76)d ()d 0.x y x x y y -++=一阶3.把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧; (2) Σ是抛物面z = 8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解:(1)平面Σ:326x y ++=上侧的法向量为n ={3,2,},单位向量为n 0={35,25},即方向余弦为3cos 5α=,2cos 5β=,cos γ=.因此:()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ:F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0,Σ上侧的法向量n ={ F x ,F y ,F z }={ 2x ,2y ,1} 其方向余弦:cos α=,cos β=,cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.计算下列对面积的曲面积分: (1)4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分; (2)()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰,其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分;(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;(4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分; (5)()222d s Rx y ∑--⎰⎰,其中∑为上半球面z =解:(1)4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题(每题4分,共20分)1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$,答案为(B)2.2.已知 $2x^2y=2$,求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$,答案为(D)不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$,答案为(D)$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续,且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$,则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的(A)极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续,且 $F(0)=0$,则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为(D)$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空:(每题4分,共20分)1.$\iint\limits_D dxdy=1$,若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$,则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为(未完成)。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为(未完成)。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$,则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为(未完成)。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$,若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$,则 $D$ 的面积为(未完成)。

高数2试题及答案.(DOC)

高数2试题及答案.(DOC)

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意:答案请写在考试专用答题纸上,写在试卷上无效。

(本卷考试时间100分)一、单项选择题(每题3分,共24分)1、已知平面π:042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是( ) (A )垂直 (B )平行但直线不在平面上(C )不平行也不垂直 (D )直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x ( )(A )不存在 (B )3 (C )6 (D )∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的( )条件.(A )必要条件 (B )充分条件(C )充分必要条件 (D )非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ,这里0 a ,则a =( )(A )4 (B )2 (C )1 (D )0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分,则=a ( )(A )-1 (B )0 (C )2 (D )16、曲线积分=++⎰L z y x ds222( ),其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L(A )5π(B )52π (C )53π (D )54π7、数项级数∑∞=1n na发散,则级数∑∞=1n nka(k 为常数)( )(A )发散 (B )可能收敛也可能发散(C )收敛 (D )无界 8、微分方程y y x '=''的通解是( )(A )21C x C y += (B )C x y +=2(C )221C x C y += (D )C x y +=221 二、填空题(每空4分,共20分)1、设xyez sin =,则=dz 。

2、交换积分次序:⎰⎰-222xy dy e dx = 。

[南开大学(本部)]《高等数学(一)》19秋期末考核(答案参考)

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[南开大学(本部)]《高等数学(一)》19秋期末考核(答案参考)【奥鹏】-[南开大学(本部)]《高等数学(一)》19秋期末考核试卷总分:100 得分:100第1题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第2题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第3题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第4题,A、0B、1C、2D、3正确答案:第5题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第6题, A、AB、BC、CD、D正确答案:第7题,A、0B、1C、2D、3正确答案:第8题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第9题,A、1B、2C、3D、0正确答案:第10题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第11题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第12题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第13题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第14题,A、1B、2C、3D、4正确答案:第15题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第16题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第17题, A、AB、BC、CD、D正确答案:第18题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第19题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第20题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第21题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第22题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第23题,A、(-1)B、0C、1D、2正确答案:第24题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第25题,A、0B、1C、2D、3正确答案:第26题,余切函数是无界的函数。

A、错误B、正确正确答案:第27题,函数在间断点处没有定义。

A、错误B、正确正确答案:第28题,函数在可导点处必有极限。

A、错误B、正确正确答案:第29题,收敛数列是有界数列。

A、错误B、正确正确答案:第30题,发散数列必是无界数列。

A、错误B、正确正确答案:第31题,函数在连续点处必有定义。

A、错误B、正确正确答案:第32题,无限个无穷小的乘积不一定是无穷小。

2019-2020学年高数下试卷2及答案

2019-2020学年高数下试卷2及答案
2019—2020学年第二学期考试卷2
承诺:我将严格遵守考场纪律,知道考试违纪、作弊的严重性,还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位,愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名:
试卷编号:(A)卷
《高等数学(A)Ⅱ》课程(工科本科级)课程类别:必
闭卷(√)考试日期:
得分评阅人得分源自评阅人得分评阅人
得分
评阅人
下面同上
得分
评阅人
得分
评阅人
得分
评阅人
四、综合题(每题9分,共18分)
得分
评阅人
得分
评阅人
下面评分同上
得分
评阅人
五、证明题(8分)
题号





总分
1
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
9
9
8
阅卷人
(全名)
考生注意事项:1、本试卷共6页,总分100分,考试时间120分钟。
2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
得分
评阅人
一、填空题(每题2分,共10分)
得分
评阅人
二、选择题(每题3分,共15分)
三、计算题(每题7分,共49分)

《高等数学(Ⅱ)》期末考试试卷参考答案

《高等数学(Ⅱ)》期末考试试卷参考答案

北京化工大学2016-2017学年第二学期《高等数学(Ⅱ)》期末考试试卷参考答案一.填空题 1. 02.)(32dy dx + 3.224. 35.2ππ-+e e 6.x e c c 321-+二.解答题 1.,,0xy z y x z z x z x x z yy +--=∂∂⇒=+∂∂+∂∂+zy zx y x y x y y x zz x +--=∂∂⇒=∂∂+∂∂++,0zx y x z y z y z z y xx y +--=∂∂⇒=∂∂+∂∂++01-=∂∂∂∂∂∂∴z yy x x z 2. )1(141114414103413x d x dx x x dy x dx I x ---=-=-=⎰⎰⎰⎰61)1(6101234=-=x 3.,02,111lim,1<<-⇒<∴==++=∞→x t R nnx t n 令)0,2(,2,0-=收敛域为时,皆发散x )111)(1(])1()[1()1)()1(()(,111'--++='++=++=∑∑∞=∞=-x x x x x x x n x s n n n n )0,2(,1)(2-∈+=x x xx s 4. 22111)2,1,0(,2)0(,1)0(,1)0(-=-==='=='=='z y x t z t y t x 故切线方程为此点坐标为5.22)313(,02:,022πππ=-==-+=∴→=⎰⎰D DS dxdy x x I y x 总补线:,42,4)2(20022-=∴==-=⎰π求补I y dy y I6.xy x xy yx yye yx x x y 163)83()128(22223+=+∂∂=++∂∂偏积分即有两边同时对该方程为全微分方程。

x xy yx xu∴+=∂∂∴∴2283y ye yx x yx x y yuy x yx y y x u 1288)(,4)(),(2323223++=++'=∂∂∴++=ψψ.2234)1(12),(),1(12)(y x yx y e C y x u y e C y y y ++-+=-+=ψC y x yx y e y =++-∴2234)1(12通解为7.==-⇒-=-=='∑∑∞=∞=-)()0()(,!)1(!)()(02022x f f x f n x n x ex f n nn n n x ),()12(!)1(012+∞-∞∈+-∑∞=+x n n x n n n , 三.解答题 1.共四个坐标,2,0,3,10360963212122==-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-+=∂∂y y x x y y yfx x xf ,,66,0,662>--====+==B AC y f C f B x f A yy xy xx 若有极值,则1,11,1>-<<->⇒y x y x 或为极值点和只有)2,3()0,1(-∴,4)0,1(,012),0,1(-=∴>=f A 极小值为对于32)2,3(,0),2,3(=-∴<-f A 极大值为对于2.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+++=+-++=V dV z y x dV x z y x I )(]12[222222)(由奇偶性可知⎰⎰⎰Ω=-0)2(dV x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=ΩΩππϕϕθπ010420222sin )(;34drr d d dV z y x V 而15323454,5451*2*2πππππ=+=∴==求I3. ∑∑∞=∞=∞→∴=>=111,111sin lim ),0(1sin n a n n a a n a n nu nn a n u 同敛散与即收敛时,1,1,1∑∞=>n a n a 绝对收敛即收敛∑∑∞=∞=11,n n n nu u)2,0(sin )2,0()1,0(1,101ππ∈⊆∈≤<∑∞=x x n u a a n n 在且发散。

2019—2020学年第二学期期末考试试卷和答案

2019—2020学年第二学期期末考试试卷和答案

收敛收敛收敛 =-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4 则,设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成,则已知、三、计算题 (共5题,每题8分,共40分)方程处的切平面方程与法线,,在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中,分利用球面坐标求三重积、的线段,,与点,,为连接点其中,求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题,每题10分,共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中,分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分,共15分)11、 ;收敛、 2;213、;44、;)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分,共15分) D 1、;A 2、;C 3、;A 4、;B 5、 三、计算题(每题 8分,共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解:、1246-='='='z F y F x F z y x ,,则 ,}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ,即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解:⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{,,解: -==AB s , 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ,即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x , 2,3,1='='-='⇒z y x t t , 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解: ,41=∴R 时当41-=x , 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ,时当41=x ,发散级数∑∞=11n n,)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解:、,则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1,1ln ln ln C x p +=故,x C y x C p 11='=⇒,即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分,共30分)1、解:x y f y x f y x 33 3322+-='+=',,解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-,,, 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''='',, , 在点)0 0(,处,092>=-=∆AC B ,不取极值在点)1 1(-,处,060272>=<-=-=∆A AC B 且,取极小值,极小值为1)1 1(=-,f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=,令解:、,则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂, ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解:,1 0 21-==⇒r r 、,x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解,1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、,x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABC

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABC

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)一、解答题1.将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解:(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2.求下列欧拉方程的通解:2(1)0x y xy y '''+-=解:作变换e t x =,即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解:设e tx =,则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解,代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解: 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-, 故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解:22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式,得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4.计算下列对坐标的曲面积分:(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧;(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰,其中f (x , y , z )为连续函数,Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧; (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰,其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧;(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰,其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面,取外侧为正向;(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑,其中Σ为x =y =z =0,x =y =z =a 所围成的正方体表面,取外侧为正向;解:(1)Σ:z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为:x 2+y 2≤R 2.((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示,Σ在xOy 面的投影为一段弧,图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰,Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1,0≤z ≤3},此时Σ可表示为:x =(y ,z )∈D yz,故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1,0≤z ≤3},此时Σ可表示为: y =(x ,z )∈D xz,故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此:d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示,平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1},n 的方向余弦为cos α=,cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得:()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示:图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4.其方程分别为Σ1:z =0,Σ2:x =0,Σ3:y =0,Σ4:x +y +z =1, 故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知.1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此.d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω,由高斯公式有:()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω, P =y (x -z ),Q =x 2,R =y 2+xz . 由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.求下列齐次方程的通解:(1)0xy y'-=;解:d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为:2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解:d ln d y y y x x x= 令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解:2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解: 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ,并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解:1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ,并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解:d d y yx=即d d x x y y =令x v y =, 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量,得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式,得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6.从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线:220(1),5;x x y C y =-==解:当0x =时,y =5.故C =-25 故所求曲线为:2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解: 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时,y =0故有10C =. 又当x =0时,1y '=.故有21C =. 故所求曲线为:2e xy x =.7.利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分: (1)d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2,x +y +z = 0,若从x 轴的正向看去,这圆周是取逆时针的方向;(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰,其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体:0≤x ≤1,0≤y ≤1,0≤z ≤1的表面所得的截痕,若从Ox 轴的正向看去,取逆时针方向; (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰,其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ,z =2,若从z 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向; (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ,其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9,z =0,若从z 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向.解:(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧,Σ的面积为πa 2(大圆面积),Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==. 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧,可求得Σ(是一个边长为2的正六边形); Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n . 由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ:z=2,D xy:x2+y2≤4的上侧,由斯托克斯公式得:()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9,z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9,z=0,取Σ:z=0,D xy:x2+y2≤9由斯托克斯公式得:()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下,求指定的转动惯量:(1)D:22221x ya b+≤,求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成,求I x和I y;(3)D为矩形闭区域:0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解:(1)令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D :22221x y a b+≤变化为D ':r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9.求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。

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