中考复习之 全等三角形
2022年中考数学满分攻略全等三角形
2022年中考数学专题复习第4.3讲全等三角形★★★知识梳理★★★知识点一、全等三角形的概念和性质1．两个三角形叫做全等三角形.2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应.知识点二、全等三角形的判定1．全等三角形的判定方法：（1）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”；（2）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”；（3）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”；（4）对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”；（5）对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”；2．证明三角形全等的一般思路如下：（1）若已知两边对应相等，则找第三条边（SSS）或它们的夹角（SAS）或找直角（HL）（2）若已知两角对应相等，则找它们的夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；（3）若已知一边和邻角对应相等，则找这边的另一邻角（ASA）或找这边的对角（AAS）或找这个角的另一边（SAS）；（4）若已知一边和它的对角对应相等，则找一角（AAS）或已知角为直角的情况下，找一边（HL）.★★★中考典例剖析★★★考点一：平移类型例1 （2021·大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．【跟踪训练】1.（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．考点二：轴对称类型例2 （2021·杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若，求证：BE＝CD．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）【跟踪训练】2.（2021·吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE．3.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．考点三：一线三等角类型例3 （2021·南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．【跟踪训练】4.（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长考点四：旋转型例4 （2021·黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【跟踪训练】5.（2021·重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD例5 （2021·徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数.【跟踪训练】6.（2021·威海）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF·AC★★★真题达标演练★★★1.（2021·兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：AC ＝DF．2.（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：（1）△ABE≌△DCF；（2）四边形AEFD是平行四边形．3.（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4.（2021·济宁）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件，使△ABC≌△ADC．5.（2021·台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝.（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．6.（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ）A ．∠ABC ＝∠DCB B ．AB ＝DC C ．AC ＝DBD ．∠A ＝∠D7.（2021·无锡）已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ． 求证：（1）△ABO ≌△DCO ；（2）∠OBC ＝∠OCB ．2108.（2021·南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．9.（2021·福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．10.（2021·成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD11.（2021·菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．12.（2021·铜仁）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为，结论为；（2）证明你的结论．13.（2021·柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？14.（2021·广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF.证明：AE＝DF．15.（2021·怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．16.（2021·哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°17.（2021·齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）18.（2021·湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C 旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．19.（2020·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．20.（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为.21.（2021·福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．（1）求证：∠ADE＝∠DFC；（2）求证：CD＝BF．22.（2021·西藏）如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．23.（2021·陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．2022年中考数学专题复习第4.3讲全等三角形★★★知识梳理★★★知识点一、全等三角形的概念和性质1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应相等.知识点二、全等三角形的判定1．全等三角形的判定方法：（1）基本事实：三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”；（2）基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”；（3）基本事实：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”；（5）斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”；2．证明三角形全等的一般思路如下：（1）若已知两边对应相等，则找第三条边（SSS）或它们的夹角（SAS）或找直角（HL）（2）若已知两角对应相等，则找它们的夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；（3）若已知一边和邻角对应相等，则找这边的另一邻角（ASA）或找这边的对角（AAS）或找这个角的另一边（SAS）；（4）若已知一边和它的对角对应相等，则找一角（AAS）或已知角为直角的情况下，找一边（HL）.★★★中考典例剖析★★★考点一：平移类型例1 （2021·大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．【思路分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】证明：∵AD＝BE∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE∵AC∥DF∴∠A＝∠EDF又∵AC＝DF∴△ABC≌△DEF（SAS）∴BC＝EF【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.【跟踪训练】1.（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AC∥DF∴∠CAB＝∠FDE∵BC∥EF∴∠CBA ＝∠FED 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） 考点二：轴对称类型例2 （2021·杭州）在①AD ＝AE ，②∠ABE ＝∠ACD ，③FB ＝FC 这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB （不与点A ，点B 重合），点E 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BE ，BE 与CD 相交于点F ．若 ，求证：BE ＝CD ．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）【思路分析】若选择条件①，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“SAS ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件②，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件③，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，再证明∠ABE ＝∠ACD ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ．【解析】证明：选择条件①的证明为： ∵∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC在△ABE 和△ACD 中 ∴△ABE ≌△ACD （SAS ） ∴BE ＝CD选择条件②的证明为：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FED CBA DEAB FDE CAB ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE A A AC AB∵∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC在△ABE 和△ACD 中 ∴△ABE ≌△ACD （ASA ） ∴BE ＝CD选择条件③的证明为： ∵FB ＝FC ∴∠EBC ＝∠DCB ∵∠ABC ＝∠ACB ∴∠DBC ＝∠ECB 在△DCB 和△EBC 中 ∴△DCB ≌△EBC （SAS ） ∴BE ＝CD【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键. 【跟踪训练】2.（2021·吉林）如图，点D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C. 求证：AD ＝AE ．【解析】证明：在△ABE 与△ACD 中 ∴△ACD ≌△ABE （ASA ）⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠A A ACAB ACD ABE ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EBC DCB CBBC ECB DBC ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C B AC AB A A∴AD ＝AE3.（2021云南）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点E ． 求证：∠DAC ＝∠CBD ．【解析】证明：在△DCA 和△DCB 中∴△CDA ≌△DCB （SSS ） ∴∠DAC ＝∠CBD 考点三：一线三等角类型例3 （2021·南充）如图，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．求证：AF ＝BE ．【思路分析】根据AAS 证明△BAE ≌△ACF ，再根据全等三角形的对应边相等即可得解． 【解析】证明：∵∠BAC ＝90° ∴∠BAE ＋∠FAC ＝90° ∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ∴∠BEA ＝∠AFC ＝90° ∴∠BAE ＋∠EBA ＝90° ∴∠EBA ＝∠FAC 在△ACF 和△BAE 中⎪⎩⎪⎨⎧===CD DC BD AC BC AD∴△ACF ≌△BAE(AAS) ∴AF ＝BE【点评】本题考查三角形全能的判定与性质，解题关键是根据已知条件证明△ACF ≌△BAE. 【跟踪训练】4.（2020·宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道（ ）A ．△ABC 的周长B ．△AFH 的周长C ．四边形FBGH 的周长D ．四边形ADEC 的周长【解析】∵△GFH 为等边三角形 ∴FH ＝GH ，∠FHG ＝60° ∴∠AHF ＋∠GHC ＝120° ∵△ABC 为等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，∠ACB ＝∠A ＝60° ∴∠GHC ＋∠HGC ＝120° ∴∠AHF ＝∠HGC ∴△AFH ≌△CHG （AAS ） ∴AF ＝CH∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形 ∴BE ＝FH∴五边形DECHF 的周长＝DE ＋CE ＋CH ＋FH ＋DF ＝BD ＋CE ＋AF ＋BE ＋DF ＝（BD ＋DF ＋AF ）＋（CE ＋BE ）＝AB ＋BC ∴只需知道△ABC 的周长即可 故选：A ．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BA AC EBA FAC BEA AFC考点四：旋转型例4 （2021·黄石）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF ∥AB ，DF 交AC 于E 点，DE ＝EF ．（1）求证：△ADE ≌△CFE ；（2）若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．【思路分析】（1）先根据CF ∥AB 可得∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ，再结合DE ＝EF 即可证明△ADE ≌△CFE （AAS ）；（2）由（1）得出AD ＝CF ，利用BD ＝AB ﹣AD 即可求解. 【解析】（1）证明：∵CF ∥AB ∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF 在△ADE 和△CFE 中 ∴△ADE ≌△CFE （AAS ） （2）∵△ADE ≌△CFE ∴AD ＝CF ＝4∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解决问的关键在于熟练掌握全等三角形的判定方法. 【跟踪训练】5.（2021·重庆）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FE DE F ADE FCE AA．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD【解析】证明：∵BF＝EC∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF又∵∠B＝∠E∴添加条件为AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故A不符合题意；添加条件为∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故B不符合题意；添加条件为AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；添加条件为AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故D不符合题意；故选：C．例5 （2021·徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数.【思路分析】（1）先证明∠ACE＝∠BCD，再证明△ACE≌△BCD（SAS）即可得到AE＝BD；（2）由△ACE≌△BCD得到∠A＝∠B，由对顶角得到∠ANC＝∠BNF，推出∠ACN ＝∠BFN＝90°，即可求得∠AFD的度数.【解析】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC∴∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD （SAS ） ∴AE ＝BD（2）解：如图，设AE 与BC 交于点N∵△ACE ≌△BCD ∴∠A ＝∠B对顶角性质可知：∠ANC ＝∠BNF ∵∠ACB ＝90° ∴∠A ＋∠ANC ＝90° ∴∠B ＋∠BNF ＝90°∴∠NFD ＝90°即∠AFD ＝90°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和与外角定理，解决问的关键在于找到全等的三角形. 【跟踪训练】6.（2021·威海）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠CAB ＝∠DAE ＝36°，AB ＝AC ，AD ＝AE ．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝∠AEB B ．CD ∥ABC ．DE ＝GED ．BF 2＝CF ·AC【解析】①∵∠CAB ＝∠DAE ＝36°∴∠CAB ﹣∠CAE ＝∠DAE ﹣∠CAE ，即∠DAC ＝∠EAB⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC又∵AB＝AC，AD＝AE∴△DAC≌△EAB（SAS）∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；②∵∠CAB＝∠DAE＝36°∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE＝36°由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°∴CD∥AB，故B选项不符合题意；③假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一个外角∴∠AEG＝∠EAB＋∠ABE而事实上∠AEG≠∠EAB＋∠ABE∴假设不成立，故C选项符合题意；④∵∠CAB＝∠CBF＝36°，∠C＝∠C＝72°∴△ABC∽△BCF∴BC2＝CF·AC又∵BC＝BF∴BF2＝CF·AC，故D选项不符合题意故选：C．★★★真题达标演练★★★1.（2021·兰州）如图，点E ，C 在线段BF 上，∠A ＝∠D ，AB ∥DE ，BC ＝EF.求证：AC ＝DF ．【解析】证明：∵AB ∥DE ∴∠B ＝∠DEF 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） ∴AC ＝DF2.（2021·新疆）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE ＝CF ．求证：（1）△ABE ≌△DCF ； （2）四边形AEFD 是平行四边形．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ∴∠ABE ＝∠DCF ＝90° 在△ABE 和△DCF 中 ∴△ABE ≌△DCF （SAS ） （2）∵四边形ABCD 为矩形⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC DEF B D A ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF BE DCF ABE DC AB∴AD ∥BC ，即AD ∥EF ，AD ＝BC ∵BE ＝CF∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF ∴AD ＝EF∴四边形AEFD 是平行四边形3.（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别在取OC ＝OD ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【解析】证明：在△COM 和△DOM 中 ∴△COM ≌△DOM （SSS ）∴∠COM ＝∠DOM ，即OM 是∠AOB 的平分线 故选：D ．4.（2021·济宁）如图，四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠DAC ，请补充一个条件 ，使△ABC ≌△ADC ．【解析】当AB ＝AD 时，△ABC ≌△ADC （SAS ）； 当∠B ＝∠D 时，△ABC ≌△ADC （AAS ）； 当∠ACB ＝∠ACD 时，△ABC ≌△ADC （ASA ）；⎪⎩⎪⎨⎧===MD MC OM OM OD OC故答案为：AB ＝AD 或∠B ＝∠D 或∠ACB ＝∠ACD.5.（2021·台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝.（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数． 【解析】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中 ∴△ABC ≌△ADC （SSS ）（2）如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E∵BE ⊥AC ，∠BCA ＝45° ∴△BCE 为等腰直角三角形 ∴BE ＝BC ·sin45°＝10 在RT △ABE 中，，即∠BAE ＝30° ∵△ABC ≌△ADC ∴∠BAC ＝∠DAC∴∠BAD ＝2∠BAE ＝2×30°＝60°6.（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ）210⎪⎩⎪⎨⎧===AC AC DC BC AD AB 212010sin ===∠AB BEBAEA ．∠ABC ＝∠DCB B ．AB ＝DC C ．AC ＝DBD ．∠A ＝∠D【解析】在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC A ：当∠ABC ＝∠DCB 时，△ABC ≌△DCB （ASA ），故A 能证明； B ：当AB ＝DC 时，不能证明两三角形全等，故B 不能证明； C ：当AC ＝DB 时，△ABC ≌△DCB （SAS ），故C 能证明； D ：当∠A ＝∠D 时，△ABC ≌△DCB （AAS ），故D 能证明； 故选：B ．7.（2021·无锡）已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ． 求证：（1）△ABO ≌△DCO ；（2）∠OBC ＝∠OCB ．【解析】证明：在△ABO 和△DCO 中 ∴△ABO ≌△DCO （AAS ） （2）由（1）知，△ABO ≌△DCO ∴OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB8.（2021·南京） 如图，AC 与BD 交于点O ，OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作EF ∥CD ，交BD 的延长线于点F ． （1）求证：△AOB ≌△DOC ；（2）若AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1，求EF 的长．【解析】（1）证明：∵OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC AB DCO ABO COD AOB又∵∠AOB ＝∠DOC ∴△AOB ≌△DOC （AAS ）（2）∵△AOB ≌△DOC ，AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1 ∴AB ＝DC ＝2，BE ＝BC ＋CE ＝3＋1＝4 ∵EF ∥CD ∴△BEF ∽△BCD ∴，即 ∴EF ＝9.（2021·福建）如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且DE ＝DF ，CE ＝BF ．求证：∠B ＝∠C ．【解析】证明：∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ∴∠DEC ＝∠DFB ＝90° 在△DEC 和△DFB 中 ∴△DEC ≌△DFB （SAS ） ∴∠B ＝∠C10.（2021·成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ）BC BE CD EF =342=EF 38⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BF CE DFB DEC DFDEA ．BE ＝DFB ．∠BAE ＝∠DAFC ．AE ＝AD D ．∠AEB ＝∠AFD【解析】由四边形ABCD 是菱形可得：AB ＝AD ，∠B ＝∠D A ：添加BE ＝DF ，可用SAS 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； B ：添加∠BAE ＝∠DAF ，可用ASA 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； C ：添加AE ＝AD ，不能证明△ABE ≌△ADF ，故符合题意；D ：添加∠AEB ＝∠AFD ，可用AAS 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； 故选：C ．11.（2021·菏泽）如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且∠ADM ＝ ∠CDN ，求证：BM ＝BN ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AD ＝CD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠C 在△AMD 和△CND 中 ∴△AMD ≌△CND （ASA ） ∴AM ＝CN∴AB ﹣AM ＝BC ﹣CN ，即BM ＝CN12.（2021·铜仁）如图，AB 交CD 于点O ，在△AOC 与△BOD 中，有下列三个条件：①OC ＝OD ，②AC ＝BD ，③∠A ＝∠B ．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． （1）你选的条件为 ，结论为 ； （2）证明你的结论．【解析】（1）由AAS ，选的条件是：①，③，结论是：②；⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDN ADM CDAD C A（2）证明：在△AOC 和△BOD 中 ∴△AOC ≌△BOD （AAS ） ∴AC ＝BD13.（2021·柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？【解析】证明：在△DEC 和△ABC 中 ∴△DEC ≌△ABC （SAS ） ∴DE ＝AB14.（2021·广州）如图，点E 、F 在线段BC 上，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BE ＝CF. 证明：AE ＝DF ．【解析】证明：∵AB ∥CD ∴∠B ＝∠C 在△ABE 和△DCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OD OC BOD AOC B A ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE ACB DCE CA CD ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CF BE C B D A∴△ABE ≌DCF （AAS ） ∴AE ＝DF15.（2021·怀化）已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 、A 、C 、F 在同一直线上，AE ＝CF ．求证：（1）△ADE ≌△CBF ；（2）ED ∥BF ．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴DA ＝BC ，DA ∥BC ∴∠DAC ＝∠BCA∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∠BCA ＋∠FCB ＝180° ∴∠EAD ＝∠FCB 在△ADE 和△CBF 中 ∴△ADE ≌△CBF （SAS ） （2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ∴∠E ＝∠F ∴ED ∥BF16.（2021·哈尔滨）如图，△ABC ≌△DEC ，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ，若∠BCE ＝65°，则∠CAF 的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．35°D ．65°【解析】解：∵△ABC ≌△DEC ∴∠ACB ＝∠DCE ∵∠BCE ＝65°∴∠ACD ＝∠BCE ＝65°⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB AD FCB EAD CF AE∴∠AFC＝90°∴∠CAF＋∠ACD＝90°∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°故选：B．17.（2021·齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD∵AC＝AD∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为：∠B＝∠E或∠C＝∠或AB＝AE．18.（2021·湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C 旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．【解析】（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，即∠ECD＝∠ACB∵AC＝EC，CB＝CD∴△ACB≌△ECD（SAS）（2）解：∵CB ＝CD ，∠B ＝70° ∴∠DCB ＝180°－2×70°＝40° ∴∠ECA ＝∠DCB ＝40° ∵△ACB ≌△ECD ，∠A ＝10° ∴∠E ＝∠A ＝10°∴∠AFE ＝∠E ＋∠ECA ＝50°19.（2020·黔东南）如图1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形． 探究发现（1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用（2）若B 、C 、E 三点不在一条直线上，∠ADC ＝30°，AD ＝3，CD ＝2，求BD 的长． （3）若B 、C 、E 三点在一条直线上（如图2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD 的长．【解析】（1）△BCD 与△ACE 全等 证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形 ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB+∠ACD ＝∠DCE+∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE 在△ACE 和△BCD 中∴△ACE ≌△BCD （ SAS ） （2）由（1）得：△BCD ≌△ACE ∴BD ＝AE∵△DCE 是等边三角形⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CE BCD ACE BC AC∴∠CDE ＝60°，CD ＝DE ＝2 ∵∠ADC ＝30°∴∠ADE ＝∠ADC+∠CDE ＝30°+60°＝90° 在Rt △ADE 中， ∴BD ＝（3）如图，过A 作AF ⊥CD 于点F∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形 ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60° ∵B 、C 、E 三点在一条直线上∴∠BCA+∠ACD+∠DCE ＝180°，即∠ACD ＝60° 在Rt △ACF 中，AF ＝AC ·sin ∠ACF ＝1×＝，CF ＝AC ·cos ∠ACF ＝1×＝∴S △ACD ＝CD ·AF ＝×2×FD ＝CD ﹣CF ＝2－＝在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2+FD 2＝，即AD ＝ 20.（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标（2，3），直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为 .13232222=+=+=DE AD AE 132323212121212321233)23()23(22=+3【解析】如图，过点B 作y 轴的平行线l ，过点A 、C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点由题意及作图可知：B （﹣2，﹣3），D （2，﹣3） ∵∠ABD ＋∠CBE ＝90°，∠ABD ＋∠BAD ＝90° ∴∠CBE ＝∠BAD 在△ABD 与△BEC 中 ∴△ABD ≌△BEC （AAS ） ∴BE ＝AD ＝6，CE ＝BD ＝4 ∴C （4，﹣7） 故答案为：（4，﹣7）．21.（2021·福建）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，△EFD 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．（1）求证：∠ADE ＝∠DFC ；（2）求证：CD ＝BF ．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AB BC BAD CBE ADB BEC【解析】（1）证明：∵△EFD 是以EF 为斜边的等腰直角三角形 ∴∠ADE ＋∠ADF ＝90° ∵∠ACB ＝90° ∴∠ADF ＋∠DFC ＝90° ∴∠ADE ＝∠DFC（2）证明：如图，连接AE平移性质可知：AE ∥BF ，AE ＝BF ∴∠EAD ＝∠ACB ＝90° ∴∠EAD ＝∠DCF ∵△EFD 是等腰直角三角形 ∴DE ＝FD由（1）可知：∠ADE ＝∠DFC 在△AED 和△CDF 中 ∴△AED ≌△CDF （AAS ） ∴AE ＝CD ∴CD ＝BF22.（2021·西藏）如图，AB ∥DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，∠A ＝90°，EC ⊥BD ，且AB ＝CD ．求证：AC ＝CE ．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FD DE CFD ADE DCF EAD【解析】证明：∵AB ∥DE∴∠B ＝∠D∵EC ⊥BD ，∠A ＝90°∴∠DCE ＝90°＝∠A在△ABC 和△CDE 中∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AC ＝CE23.（2021·陕西）如图，BD ∥AC ，BD ＝BC ，且BE ＝AC ．求证：∠D ＝∠ABC ．【解析】证明：∵BD ∥AC∴∠ACB ＝∠EBD在△ABC 和△EDB 中∴△ABC ≌△EDB （SAS ）∴∠ABC ＝∠D ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECD A CDAB D B ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB AC EBD C BD CB。
中考数学总复习全等三角形的五种模型
全等三角形的五种模型一、手拉手模型已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O结论：①△ABD ≌△AEC；②∠α＋∠BOC＝180°；③OA平分∠BOC已知：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O结论：①△ACD ≌△ABE；②∠BOC＝90°；③OA平分∠BOC已知：直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE，CD，二者交点为H结论：①△ABE≌△DBC；②AE＝DC；③∠DHA＝60°；④△AGB≌△DFB；⑤△EGB≌△CFB；⑥连接GF，GF∥AC；⑦连接HB，HB平分∠AHC模型应用1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D 在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．2.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD 与BE的位置关系，并说明理由半角模型已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°结论：将△ADF绕点A旋转90°到△ABG，则：①EF＝DF＋BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°结论：将△AEB绕点A为旋转90°到△ADE′，则：EF＝DF－BE已知：在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A 作AH⊥EF于点H，BE＝EH结论：①△ABE≌△AHE；②△AHF≌△ADF；③∠EAF＝45°；④EF＝BE＋DF模型应用3. (2015·深圳改编)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE 折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE＝45°；④DG＝DE.在以上4个结论中，正确的共有()A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A作AH⊥EF于点H.若EF＝BE＋DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH＝FD；③∠EAF ＝45°；④S△EAF＝S△ABE＋S△ADF；⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的个数是() A. 2 B. 3C. 4D. 5第三题第四题倍长中线模型已知：在△ABC 中，AD 是BC 边中线结论：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，则：①△ADC ≌△EDB ；②AD< 21(AB ＋AC)已知：在△ABC 中，AD 是BC 边中线结论：作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE ，则：①△BDE ≌△CDF ；②BE ∥FC模型应用6. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF.一直线三垂直模型已知：AE＝DE，AE⊥DE，∠B＝∠C＝90结论：①△ABE≌△ECD；②BC＝AB＋CD已知：在正方形ABCD中，∠ABF＝∠C＝90°，AF⊥BE，交于点H结论：①△ABF≌△BCE；②EC＝AB－FC模型应用7. (2016·深圳改编)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F作FG∠CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S∠FAB∠S四边形CBFG＝1∠2；③∠ABC＝∠ABF.其中正确的结论的个数是()A.1B. 2C. 3D. 08. 如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM.其中正确的结论有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE∠AG于点E，BF∠DE，交AG 于点F.给出以下结论：①∠AED∠∠BFA；②DE－BF＝EF；③∠BGF∠∠DAE；④DE－BG＝FG.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. (2018·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．对角互补模型已知：已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB结论模型应用11.(2012·深圳)如图，Rt∠ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形6，则另一直角边BC的长为________．对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝212. (2017·深圳)如图，在Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt∠MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
初中中考复习之三角形全等（精编含答案）
中考复习之三角形全等一、选择题：1.图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD ABCD）关于）关于BD 所在的直线对称，所在的直线对称，AC AC 与BD 相交于点O ，且AB≠AD，则下列判断不正确．．．的是【的是【 】】 A ．△ABD≌△CBD ．△ABD≌△CBD B B B．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC C C C．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB D D D．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD2.如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是【的条件是【 】】A. AB=ACB. ∠BAC=90°C. BD=AC A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=ACD. ∠B=45°D. ∠B=45°D. ∠B=45°3.如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，在同一条直线上，AB=DE AB=DE AB=DE，，BC=EF BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【是【 】】 A A．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F B B B．∠B=∠E ．∠B=∠E ．∠B=∠EC ．BC∥EF ．BC∥EFD ．∠A=∠EDF ．∠A=∠EDF4.如图，AB∥CD，如图，AB∥CD，E E ，F 分别为AC AC，，BD 的中点，若AB=5AB=5，，CD=3CD=3，则，则EF 的长是【的长是【 】】A ．4B ．3C ．2D ．15.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【等的是【 】】 (A) (A)两条边长分别为两条边长分别为4，5，它们的夹角为β (B) (B)两个角是两个角是β，它们的夹边为4(C) (C)三条边长分别是三条边长分别是4，5，5 (D)5 (D)两条边长是两条边长是5，一个角是β6.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【的线段是【 】】 A A．．PO B ．PQ C PQ C．．MO D ．MQ7.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC AC，，BD 相交于点O ，且AC≠BD，则图中全等三角形有【AC≠BD，则图中全等三角形有【 】】A.4对B. 6对.C.8对D.10对二、填空题：1.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，中，∠ACB=90°，BC=2cm BC=2cm BC=2cm，CD⊥AB，在，CD⊥AB，在AC 上取一点E ，使EC=BC EC=BC，过点，过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm EF=5cm，则，则AE= cm AE= cm．．2.如图所示，如图所示，AB=DB AB=DB AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，， 使使ΔABC≌ΔDBE DBE．． ( (只需添只需添加一个即可加一个即可) )3.如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，在一条直线上，AC=EF AC=EF AC=EF，，AD=FB AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是这个条件可以是 ．．（只需填一个即可）（只需填一个即可）4.如图，点D ，E 分别在线段AB AB，，AC 上，上，BE BE BE，，CD 相交于点O ，AE=AD AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．5.如图．点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC AB=AC，，AD=AE AD=AE．．请写出图中的全等三角形请写出图中的全等三角形 ( ( (写出一对即可写出一对即可写出一对即可))．6.如图，己知AC=BD AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 ( ( (填一个即可填一个即可填一个即可) )三、解答题：1.已知：如图，AB AE =，1=2ÐÐ，=B E ÐÐ，求证：BC ED =2.如图，已知AB=DC AB=DC，，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（）在（11）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？3.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，上，AB=AC AB=AC AB=AC，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：BE=CD BE=CD BE=CD．．4.如图，AB∥CD，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB AB，，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP AP，交，交CD 于点M 。
全等三角形—知识讲解及典型例题解析
中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAO AO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。
2024年中考数学复习+全等三角形课件
3．(2020·衡阳8分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)求证：DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90° ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C
BD=CD
强调：两角一边一定能判定三角形全等
方法指 ----全等常见的判定思路： 引
已知一角一边： 找角的邻边 找边的邻角 找边的对角
已知两边：
找第三边 找夹角 找直角
已知两角： 找夹边
找对边 找第三边
方法指 引
E
全等与图形的变换：
D
F
G 轴对称
直观发现全等
平移
旋转
通过图形的变换， 直观发现全等；发现相等的边、相等的角.
1．(2022·衡阳6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的 点，且BD＝CE.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
AB=AC
∠B=∠C
全等五行
∴△BADB=DC≌E △ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
2．(2021·衡阳6分)如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AB＝DE， AC∥DF，BC∥EF.求证：△ABC≌△DEF.
4．(2018·衡阳6分)如图，线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE. (1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．
（1）证明：在△ABE和△DCE中，
AE=DE
∠AEB=∠DEC
BE=CE
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD. ∵AB＝5，∴CD＝5.
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
中考一轮复习--第17讲 全等三角形
2
考点梳理
自主测试
2.如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作
PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N.
(1)①∠MPN=
;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否
1
1
1
1
=BP,PC=DN. ∴GM=2AM,HP=2BP,PL=2PC,NK=2ND,
∵AM=BP,PC=DN,∴MG+HP+PL+KN=a,GH=LK=a,∴MP+PN=
MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a.
考点梳理
自主测试
(2)证明:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,O为AD中点,
考点梳理
自主测试
考点二
类型
一般
三角
形的
判定
全等三角形的判定
图
形
已知条件
A1B1=A2B 2,
B1C1=B2C2,
A1C1=A2C2
∠B1=∠B2,
B1C1=B2C2,
∠C1=∠C2
∠B1=∠B2,
∠C1=∠C2,
A1C1=A2C2
A1B1=A2B 2,
∠B1=∠B2,
B1C1=B2C2
是否全等 形成结论
应邻边.
考法
对应练1如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一
C
个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
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性质 判定
角平分线上的点到角两边的 ______ 距离 相等 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的 ____________ 上 平分线
第19讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 全等三角形性质与判定的综合应用
命题角度： 1. 利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等； 2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计 算问题．
基本判 定方法
第19讲┃ 考点聚焦
拓 展 延 伸
总 结
满足下列条件的三角形是全等三角形： (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； (2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； (3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等； (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等； (5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角 (或钝角 )三角形 全等； (6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角 )三角形 全等 判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相 等，且其中最少要有一组对应边相等
[2012· 柳州] 如图 19－3，小强利用全等三角形的知识 测量池塘两端 M、N 的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测 出其长度的线段是 ( B )
A．PO
B．PQ
图 19－3 C．MO
D．MQ
第19讲┃ 归类示例
[解析] 要想利用△PQO≌△NMO 求得 MN 的长，只 需求得线段 PQ 的长，故选 B.
第19讲┃ 全等三角形
第19讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 全等图形及全等三角形
能够完全重合的两个图形就是 ____________ 全等图形 全等图形 大小 完全相同 全等图形的形状和 ________ 全等三角形 能够完全重合的两个三角形就是全等三角形 完全重合有两层含义： 说明 (1)图形的形状相同； (2)图形的大小相等
第19讲┃ 考点聚焦型
已知三角形的三边，求作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形 已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形
第19讲┃ 考点聚焦 考点5 角平分线的性质与判定
第19讲┃ 归类示例
证明：∵∠ 1＝∠2， ∴∠1＋∠ BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD. ∴在△BAC与△EAD中， ∠ B＝∠ E， AB＝ AE， ∠ BAC＝∠EAD. ∴△ BAC≌△ EAD，∴BC＝ ED.
第19讲┃ 归类示例
1．解决全等三角形问题的一般思路：① 先用全等三角形 的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件； ②再用 已判定的全等三角形的性质去解决其他问题，即由已知条件 (包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关 系； 2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等； 3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例 如对顶角相等、互余、互补等．
第19讲┃ 归类示例
► 类型之四
角平分线
命题角度： (1)角平分线的性质； (2)角平分线的判定．
第19讲┃ 归类示例
(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角 (如 图 19－ 4所示)．设计了如下方案： (Ⅰ)∠ AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射 线 OA、 OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、 N 重合，即PM＝PN，过角尺顶点 P的射线 OP就是∠ AOB的平 分线． (Ⅱ)∠ AOB是一个任意角，在边 OA、 OB上分别取 OM＝ ON，将角尺的直角顶点P介于射线 OA、 OB之间，移动角尺 使角尺两边相同的刻度与 M、 N重合，即PM＝ PN，过角尺 顶点 P的射线 OP就是∠ AOB的平分线．
第19讲┃ 考点聚焦 考点3 全等三角形的判定
1.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等 (简记为 ____________) SAS 2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等 (简记为 ____________) ASA 3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个 AAS 三角形全等(简记为 ____________) 4.三条边对应相等的两个三角形全等 (简记为 S.S.S.) 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等 (简记为 ________________) HL
第19讲┃ 归类示例
►
类型之二
全等三角形开放性问题
命题角度： 1. 三角形全等的条件开放性问题； 2. 三角形全等的结论开放性问题．
第19讲┃ 归类示例
[2012· 义乌] 如图 19－2，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其延长线上分别取 点 E、 F， 连结 CE、 BF.添加一个条件， 使得△BDF≌△CDE， 并加以证明．你添加的条件是______．(不添加辅助线)
第19讲┃ 归类示例
[2012· 重庆] 已知：如图19－1，AB＝AE，∠1 ＝∠2，∠B ＝∠E，求证：BC＝ED.
图19－1
第19讲┃ 归类示例
[解析] 由∠1＝∠2 可得：∠EAD＝∠BAC，再由条件 AB＝AE，∠B＝∠E 可利用 ASA 证明△ABC≌△AED，再 根据全等三角形对应边相等可得 BC＝ED.
图 19－2
第19讲┃ 归类示例
[解析] 由已知可证∠EDC＝∠BDF，又 DC＝DB，因 为三角形全等条件中必须是三个元素， 并且一定有一组对应 边相等．故添加的条件是：DE＝DF 或(CE∥BF 或∠ECD ＝∠DBF 或∠DEC＝∠DFB)；
第19讲┃ 归类示例
解：添加的条件是： DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝ ∠ DBF或∠ DEC＝∠DFB等)． 证明：在△BDF和△CDE中， BD＝ CD， ∵∠ EDC＝∠ FDB， DE＝ DF， ∴△BDF≌△ CDE.
第19讲┃ 考点聚焦 考点2 全等三角形的性质
性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 性质 5
全等三角形的对应边 ________ 相等 相等 全等三角形的对应角 ________ 相等 全等三角形的对应边上的高 ________ 相等 全等三角形的对应边上的中线 ________ 全等三角形的对应角平分线 ________ 相等
第19讲┃ 归类示例
由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出 (有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出 全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全 等三角形的掌握的牢固与灵活程度．
第19讲┃ 归类示例 ► 类型之三 利用全等三角形设计测量方案
命题角度： 全等三角形的判定．