27.6(2)正多边形与圆
专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-． 二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。
华东师大版九年级数学下册教案：274 正多边形和圆
课题27.4 正多边形和圆授课人教 学 目 标知识技能使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；能应用正多边形的边角关系进行有关计算． 数学思考 使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维． 问题解决 使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神． 情感态度通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心.教学 重点 理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其求法．教学 难点 探索正多边形和圆的关系．授课 类型 新授课课时教具 多媒体 教学活动 教学 步骤师生活动设计意图 回顾(多媒体演示)问题： 1．切线长定理的内容是什么？请画出一个三角形的内切圆． 2．请画出垂径定理的基本图形，并说明其中的数量关系． 3．什么是正多边形？你对正多边形有多少了解？师生活动：教师引导学生进行解答，并适时做出补充和讲解． 回顾以前学习过的且对本节课的学习有基础作用的知识，为学习新知打下基础.活动一： 创设 情境 导入 新课【课堂引入】(课件展示)观看下列美丽的图案，提出问题：图27－4－4(1)你能从这些美丽的图案中找出正多边形吗？(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作出一个正多边形呢？师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解．教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从图案中发现正多边形和圆的关系．创设情境，使学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生探索的热情，调动学生学习的积极性. 活动 【探究新知】二：实践探究交流新知问题1：将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论．师生活动：教师演示作图并提示学生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程．教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：图27－4－5如图27－4－5，∵AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EA︵，∴AB＝BC＝CD ＝DE＝EA.∵BAD︵＝CAE︵＝3AB︵，∴∠C＝∠D.同理可证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∴五边形ABCDE是正五边形．∵A，B，C，D，E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形.活动二：实践探究交流新知教师小结：圆心O到各边的距离都相等，记为r，那么以点O为圆心、r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它就是正五边形的内切圆．归纳：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．问题2：如果将圆n等分，依次连结各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形．师生活动：学生思考，然后小组内交流、讨论，教师根据学生的回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解．教师重点关注：学生能否利用正多边形的定义进行判断；学生能否由圆内接正多边形的各边相等得到弦相等及弦所对的弧相等；学生能否举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．1.将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法．2．教学中，使学生明确圆内接正多边形必须满足各边相等，各角相等，培养学生严谨的态度和思维批判性．3．通过学生探索、归纳，教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、【应用新知】活动一：教师演示课件，根据正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念进行相关计算．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a，半径R，边心距r有什么关系？(3)正多边形的面积如何计算？图27－4－6师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论：正n边形的中心角等于360°÷n，(a2)2＋r2＝R2.活动二：提出问题：如何把一个圆进行n等分呢？师生活动：学生小组内讨论，得到：把中心角n等分，则弧被n等分，即可得到正多边形．教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明两条半径和一边构成等边三角形．正六边形.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图27－4－7，有一个亭子，它的地基是边心距为2 3的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留根号)．图27－4－7解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，而OB＝OC，OP⊥BC，∴△OBC是等边三角形，∠BOP＝∠COP学生在教师的引导下，将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等集中在一个三角形中研究，可以利用勾股定理进行计＝30°，∴BC ＝OB ，cos 30°＝OPOB，而OP ＝2 3，∴BC ＝OB ＝4，∴该地基的周长＝4×6＝24，面积＝6×12×4×2 3＝24 3.师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答．教师总结：正六边形中由两条半径和边组成的三角形为等边三角形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积再乘6即可． 变式训练如图27－4－8，正六边形螺帽的边长是2 cm ，这个扳手的开口a 的值应是(A )A ．2 3 cmB . 3 cm 图27－4－8C .2 33cm D ．1 cm算，进而能够求得正多边形的所有量．教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题.【拓展提升】例2 已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图27－4－9(续表)活动三：开放训练体现应用方法一：①用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；②连结AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．方法二：①用量角器画圆心角∠BOC＝120°；②在⊙O上用圆规截取弧AB＝弧BC；③连结AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．方法三：①作直径AD；②以点D为圆心，OD长为半径画弧，交⊙O于点B，C；③连结AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．例3如图27－4－10，AB，CD是⊙O中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA为半径画弧，与⊙O交于E、F两点．(1)求证：AE是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形．解：(1)证明：连结OE，OF，AF，∵AE＝OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，故∠OAE＝60°，同理可证：△OAF是等边三角形．∴∠OAF＝60°，∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°，∴AE是正六边形的一边．图27－4－10(2)以B为圆心，AE长为半径画弧，与⊙O交于点G，H，然后顺次将A，E，G，B，H和F连结起来就得到正六边形.及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.活动四：课堂总结反思【达标测评】1．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(B)A．6，3 2B．6，3 3C．3 3，6D．6，3 2．如图27－4－11，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列结论错误的是(A)A．∠BAC＝30°B.AC︵＝BC︵C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长图27－4－11 图27－4－123.如图27－4－12，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y＝kx位于第一象限的图象上，则k的值为__9_3__.(续表)活动四：课堂总结反思4.如图27－4－13，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)求证：∠G＝2∠F.图27－4－13解：(1)∵五边形ABCD是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝108°，∵DC＝BC，∴△CDB是等腰三角形．∵∠C＝108°，∴∠1＝∠CBD＝36°.∵AF∥CD，∴∠F＝∠1＝36°.∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°，∴∠F＝∠BAF＝36°，∴△BAF是等腰三角形，进而可得∠GEA＝∠G＝∠2＝72°，∴△FDG，△AEG是等腰三角形，故等腰三角形有△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.(2)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB，得∠1＝36°，∴∠2＝108°－36°＝72°.又∵AF∥CD，∴∠F＝∠1＝36°，故∠G＝180°－∠2－∠F＝180°－72°－36°＝72°＝2∠F.师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案.设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？布置作业：教材P67习题27.4第1，2，3题．巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.【知识网络】提纲挈领，重点突出.(续表)活动四：课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系的，是可以相互转化的，并培养和训练学生综合运用知识和解决实际问题的意识，渗透数形结合的思想和方法．②[讲授效果反思]引导学生注意以下几点：(1)正多边形的相关概念；(2)正多边形中的相关计算；(3)正多边形的画法．③[师生互动反思]从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体验知识的发生和发展过程，学有所获．④[习题反思]好题题号__________________________________________错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.典案二导学设计编写人时间月日学生姓名班级年级班组学习目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
几何中的正多边形与圆的内切外切
几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。
正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。
本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。
一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。
内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。
以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。
内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。
二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。
外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。
外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。
三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。
1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
2正多边形与圆(第1课时)课件
当n为奇数时,
操作并视察:
n=3时, 有三条对称轴
n=5时, 有五条对称轴
n=7时, 有七条对称轴
一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴, 各边的垂直平分线都是它们的对称轴.
当n为偶数时,
操作并视察:
n=4时, 有四条对称轴
n=6时, 有六条对称轴
基本概念
E
D
中心角 360
n AOG BOG 180
n
边心距r R2（ a）2 ， 2
中心角
F
.O
.
C
R
a
r
a
2
AGB
面积S
1 2
L
•
边sin心18距0 （r） n
1 2
ncao•s边18心0 距 （r） n
tan 180 n
cot 180 n
如果正n边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距 中的任意一项，都可以求出其它各项.最终，转化成解直 角三角形的问题.
P
HB
O
H
O
G
C
E
Hale Waihona Puke BON M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
视察：正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身 重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称 性？
正三角形绕着它的中心每旋转120度可以与它自身重合.正方形 绕着它的中心每旋转90度可以与它自身重合.正六边形绕着它的 中心每旋转60度可以与它自身重合.
《正多边形和圆》重点、难点
《正多边形和圆》重点、难点
1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。
2.正多边形与圆的关系
（1）把圆分成n （n ≥3）等份，有如下结论：
其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。
其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n 边形的内切圆。
（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
3.有关的概念
（1）正多边形的中心
（2）正多边形的半径
（3）正多边形的边心距
（4）正多边形的中心角
4.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
这里我们设：正n 边形的中心角为α，半径为R ，边心距为r ，边长为a n ，周长为P n ，面积为S n ，则有
（）；（）；（）；（）；（）；（）；1360221803180414561212222α=︒=⋅︒=⋅︒=⋅=⋅=⋅⋅=⋅n
a R n r R n R r a P n a S n r a r P n n n n n n n sin cos
（）正多边形的每一个内角，内角和721802180=-⋅︒=-⋅︒()().n n n
5.每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
6.重点和难点：
（1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。
（2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
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知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
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正多边形
各边相等，各角也相等的多边形.
正多边形及外接圆中的有关概念 中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径. 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
E
中心角 半径R . .边 心 距 r
D
F
中心O
C
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
例一：如图，已知正三角形ABC的半径长为R，求 这个正三角形的中心角3 ，边长 a3 ，边心距 r3 ， 周长 P3 和面积 S3
例二、 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半径为R，则 该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图, 设AB切 ⊙ O于M， 连结OA、 OB OM , 则OM AB于M , AM BM . 在RtAOM中, 1 AOM AOB 30, 2 AM OM R ，tan30 , OM 1 AM OM tan30 3R 3 P6 6 AB 12AM 4 3R
思考： 如何作圆的内接正三边形，正四边形？
如图，在正n边形中，分别经过各定点 的半径将这个正n边形分为n个 等腰 三角形，每个等腰三角形的腰是正n边 形的 半径，底边是正n边形的 边 ， 顶角是正n边形的 中心角 ，底边上的 高是正n边形的 内切圆 的半径，它 的长是正n边形的边心距 边心距 。
n ， 设正n边形的半径长为 R ，中心角为 边长为 a n，边心距为 rn ，则利用等腰三 角形OAB，通过解直角三角形OAH，可由 其中两个量求出其余的两个量，进一步还 可求出这个正n边形的周长和面积A M R F O E Nhomakorabea C B
1 1 S 6 6 AB OM 4 3R R 2 3R 2 2 2
例三：已知圆O，试用直尺和圆规作圆O的 内接正六边形
作法一： 1.在⊙O上任取一点A,以A为圆心,OA为半径作弧, 在⊙O上依次截得点B、C、D、E、F(即将圆六等 分). 2.顺次联结AB、BC、CD、DE、EF、FA. 六边形ABCDEF就是所求作的圆内接正六边形. 作法二： 1.作⊙O的直径 2.以A为圆心，AO为半径作弧，交⊙O于C、D两点 3.以B为圆心，BO为半径作弧，交⊙O于E、F两点 4.顺次联结AD、DF、FB、BE、EC、CA