最小二乘法求回归直线方程
直线拟合的四种方法
直线拟合的四种方法直线拟合是一种常见的数据分析方法，用于找到一条直线来描述数据集中的趋势。
在实际应用中，直线拟合常用于回归分析、统计建模、机器学习等领域。
下面将介绍四种常用的直线拟合方法。
1. 最小二乘法（Least Squares Method）最小二乘法是最常见的直线拟合方法之一、该方法的基本思想是通过最小化实际观测数据点与直线的残差平方和来确定最佳拟合直线。
具体步骤如下：(1)给定包含n个数据点的数据集；(2) 设直线方程为y = ax + b，其中a为斜率，b为截距；(3)计算每个数据点到直线的垂直距离，即残差；(4)将残差平方和最小化，求解a和b的值。
2. 总体均值法（Method of Overall Averages）总体均值法也是一种常用的直线拟合方法。
该方法的基本思想是通过计算数据集的x和y的均值，将直线拟合到通过这两个均值点的直线上。
具体步骤如下：(1)给定包含n个数据点的数据集；(2) 计算x和y的均值，即x_mean和y_mean；(3) 利用直线方程y = a(x - x_mean) + y_mean拟合数据。
3. 多项式拟合法（Polynomial Fitting Method）多项式拟合法是一种常见的直线拟合方法，适用于数据集中存在非线性趋势的情况。
该方法的基本思想是通过将数据拟合到多项式模型，找到最佳拟合直线。
具体步骤如下：(1)给定包含n个数据点的数据集；(2) 设多项式方程为y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n；(3) 通过最小二乘法求解a0, a1, a2, ..., an的值；(4)通过求解得到的多项式方程进行数据拟合。
4. 支持向量机（Support Vector Machine）支持向量机是一种经典的机器学习方法，适用于直线拟合问题。
该方法的基本思想是找到离数据集最近的点，然后构建一条平行于这两个点的直线。
具体步骤如下：(1)给定包含n个数据点的数据集；(2)将数据点划分为两个类别，如正类和负类；(3)找到离两个类别最近的点，将其作为支持向量；(4)根据支持向量构建一条平行于两个类别的直线，使得两个类别之间的间隔最大化。
EXCEL最小二乘法拟合直线
EXCEL最小二乘法拟合直线最小二乘法处理数据直线拟合求最佳经验公式的一种数据处理方法是最小二乘法(又称作一元线性回归)，它可克服用作图法求直线公式时图线的绘制引入的误差，结果更精确，在科学实验中得到了广泛的应用。
1.最小二乘法的理论基础:若两物理量x、y满足线性关系，并由实验等精度地测得一组实验数据，且假定实验误差主要出现在上，设拟合直线公式为，当所测各值与拟合直线上各估计值之间偏差的平方和最小，即时，所得拟合公式即为最佳经验公式。
2.用最小二乘法求最佳经验公式: 设由实验数据求得最佳经验公式为y=a+bx，根据最小二乘法原理有:即:化为:其解为: 将得出的、代入即可得最佳经验公式。
、的不确定度与很多因素有关，如实验数据的多少、实验数据之间的关系与直线关系的符合程度(即以下介绍的相关系数)、实验数据的分散度等等，在此不作介绍。
3.直线拟合的相关系数:对任何两个变量x、y的一组实验数据都可按上述计算方法拟合一条直线，但必须指出只有当x和y之间存在线性关系时，拟合的直线才有意义，为此我们引入一个参量:相关系数，它定义为:，其中表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度，，绝对值越接近于1，x和y的线性关系越好;如果接近于0，可以认为x和y之间不存在线性关系。
物理实验中r绝对值如能达到0.999以上(3个9以上)就表示实验数据线性良好。
最小二乘法直线拟合时除给出截距a、斜率b外，还要给出相关系数r值。
4.最小二乘法的推广应用:物理实验中，有很多情况下两物理量x、y之间满足的是曲线方程，我们可以通过变量变换使一些特殊的曲线拟合问题转化为直线拟合的问题来求解(但应注意原来等精度的实验点变换后可能会不等精度，需要用到加权拟合)，举例如下:令转化为直线拟合问题:则令转化为直线拟合问题:则令转化为直线拟合问题:先通过仔细画图取一点()有:两式相减化为: 令转化为直线拟合问题:则:5.a、b、r的具体求解方法:计算器、计算机的普及使得a、b、r的求解简便易行，以下简单介绍几种方法: 1( 用有二维统计功能的计算器可直接求得a、b、r;2( 用计算机程序Excel中的intercept、slope、correl函数也可直接求得a、b、r;3( 可以根据实际情况自己编程求a、b、r。
最小二乘法
4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂ni i n i i n i i i x b x a y x b D 再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂n i i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
高中数学最小二乘估计-例题解析
最小二乘估计-例题解析变量之间存在着一种不确定的关系——相关关系.在现实生活中,相关关系大量存在.因变量与自变量的关系有线性的和非线性的两种.反映相关变量之间线性关系的方程称为“线性回归方程”，这就是本节的重要内容.回归直线方程将部分观测值所反映的规律性进行了延伸,是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据,有广泛的应用.本节讨论回归分析中最简单、最基本的类型——只有一个自变量的类型,其原理与具有多个自变量的类型是一样的.因此了解本节的线性回归分析的基本思想是很重要的.线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上的一个难点,好在这些运算只涉及+、－、×、÷,用科学计算器能方便的处理.【例1】 高三·一班学生每周用于数学学习的时间x(单位:h)与数学成绩y(单位:分)之间有如下对应数据:如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.分析:本题数据表中,自变量x 的取值没有按从小到大排列,这更接近实际,对结论没有任何影响.从表中看出:同样是每周用16 h 学数学,一位同学成绩是64分,另一位却是68分,这反映了y 与x 只有相关关系,没有函数关系.解:(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算.设回归直线方程为y ˆ=bx+a,则b=53.34.1544.545101022101101≈=-∑-∑==xx yx y x i i i i i ,a=5.134.1753.39.74≈⨯-=-x b y ,因此所求的回归直线方程是y ˆ=3.53x+13.5.点评:最小二乘估计是求回归直线方程的常用方法,可以通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性.为了计算方便,通常将有关数据列成表格,然后借助于计算器算出各个量,为求回归直线方程扫清障碍. 【例2】 每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm3)之间的关系有如下数据:(1)对变量y 与x 进行相关性检验;解：如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.分析:求回归直线方程和相关系数,通常是和计算器来完成的.在有的较专门的计算器中,可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数,而如果要用一般的科学计算器进行计算,先列出相应的表格,有了表格中的那些相关数据,回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解: b=2205126005186.7220512943182⨯-⨯⨯-=304.0300143474≈, a=y －b x =72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程是y ˆ=0.304x+10.28.同类变式:以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系:(1)依据这些数据画出散点图并作直线yˆ=78+4.2x,计算101=∑i (yi －y ˆi)2;分析：见第（3）小题分析解：散点图与直线y ˆ=78+4.2x 的图形如下图所示,对x=1,3,…,13,有y ˆ=82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6, 101=∑i (yi －y ˆi)2=178.48.1413121110987验(年) (2)依据这些数据由最小二乘法求回归直线方程,并据此计算101=∑i (yi －y ˆi)2;分析：见第（3）小题分析解：x =101101=∑i xi=7,lxx=101=∑i (xi －x )2=142,y =108, lxy=101=∑i (xi －x )(yi －y )=568,所以b=xxxyl l =142568=4,a=y －b x =108－4×7=80, 故y ˆ=4x+80.y ˆi=84,92,96,96,104,112,120,120,124,132.101=∑i (yi －y ˆi)2=170.(3)比较(1)和(2)中的残差平方和101=∑i (yi －y ˆi)2的大小.分析:由一元线性回归方程的回归系数的最小二乘估计的计算公式进行计算. 解:比较可知,用最小二乘法求出的101=∑i (yi －y ˆi)2较小.点评:通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性.【例3】 一机器可以按各种不同速度运转,其生产的物件有一些会有问题,每小时生产有问题物件的多寡,随机器运转的速度而变化,下列即为其试验结果:速度 每小时生产有问题物件数 8 5 12 8 14 9 1611(1)求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程;分析:把题中的量用回归分析的专用术语改写成后再顺着回归分析的一般步骤解题.解：用x 来表示机器速度,y 表示每小时生产的有问题的物件数,那么有(x1,y1)=(8,5),(x2,y2) =(12,8),(x3,y3)=(14,9),(x4,y4)=(16,11),则x =12.5,y =8.25. 回归直线的斜率为b=2211xn x yx n y x i ni i i ni -∑-∑===0.7286.截距a=y －b x =－0.8571.所以所求的回归方程为y ˆ=0.7286x －0.8571.(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10,那么,机器的速度不得超过多少转/秒?解:根据公式y ˆ=0.7286x －0.8571,要使y ˆ≤10,即0.7286x －0.8571≤10,∴x ≤14.9013, 即机器的速度不能超过14.9013转/秒.点评:求出回归直线方程后,往往用来作为现实生产中两变量之间相关关系的近似关系,从而可以用来指导生产实践.。
最小二乘法LSQ(least square)_计算公式
的一个二元函数， 把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M = M ( a , b ) 在那 些点处取得最小值. 些点处取得最小值
7 ∂M ∂a = −2∑ [ yi − (at i + b )]t i = 0, i =0 令 7 ∂M = −2∑ [ yi − (at i + b )] = 0; ∂b i =0
7 7 7
(1)
计算得
∑t
i =0 7 i =0
7
i
= 28, = 208.5,
∑t
i =0 7 i =0
7
2 i
= 140, = 717.0
∑y
i
∑yt
i i
代入方程组（ ） 代入方程组（1）得
140a + 28b = 717, 28a + 8b = 208.5.
解此方程组， 解此方程组，得到 a = −0.3036, b = 27.125. 这样便得到所求经验公式(回归方程 为 这样便得到所求经验公式 回归方程 )为
在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
y 表示从实验开始算起的时间， 其中 τ 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻τ 反应物的量． 反应物的量．试定出经验公式 y = f (τ ).
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t ).
最小二乘法公式的多种推导方法
最小二乘法公式的多种推导方法最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，因其推导方法比较复杂，高中数学《必修3》简单介绍了最小二乘法的思想，直接给出了回归直线斜率a和截距b的计算公式，省略了公式的推导过程。
中学数学教师没有引起足够的重视。
在文[1]中作者的困惑之一就是“公式推导，教不教？”，为了加强学生学习能力的培养和数学思想方法的渗透，让师生更好的了解数学发展的价值，公式推导，不仅要教，而且要好好的教。
下面给出几种公式推导的方法，供教学参考。
给出一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且实数xi不全相等，求回归直线y=ax+b的斜率a和截距b，使得所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小。
设实数xi不全相等，所求直线方程为y=ax+b要确定a，b，使函数f（a，b）=∑ni=1（axi+b-yi）2最小。
方法1[2]由于f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）+（-a）-b]2=∑ni=1{[yi-axi-（-a）]2+2[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+[（-a）-b]2}=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+2∑ni=1[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+n[（-a）-b]2，注意到∑ni=1[yi-axi-（-a）][（-a）-b]=（-a-b）∑ni=1[yi-axi-（-a）]=（-a-b）[∑ni=1yi-a∑ni=1xi-n（-a）]=（-a-b）[n-na-n（-a）]=0，因此f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+n[（-a）-b]2=a2∑ni=1（xi-）2-2a∑ni=1（xi-）（yi-）+∑ni=1（yi-）2+n（-a-b）2=n（-a-b）2+∑ni=1（xi-）2[a-∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2]2-[∑ni=1（xi-）（yi-）]2∑ni=1（xi-）2+∑ni=1（yi-）2在上式中，后两项和a，b无关，而前两项为非负数，因此要使f取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即a=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2，b=-a（其中x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，（x，y）称为样本点的中心。
经典最小二乘法最常考
高一数学强化（最小二乘法）1、线性回归方程：a bx y +==b ， =a2（1）求线性回归方程y=bx+a（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 解：（1）根据公式225222155221155xx x x yx y x y x y x b -++-+++=（2）回归直线方程是 y=1.23x+0.08,当x=10(年)时，y=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38（万元），即估计使用10年时维修费用是12.38万元. 3、（2007·广东高考）下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据：（1） 请画出上表数据的散点图（2） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y=bx+a（3） 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？） 解：(1)由题设所给数据，可得散点图如右图．(2)计算得：x －＝ 4.5，y －＝ 3.5， 由225222155221155xx x x yx y x y x y x b -++-+++=得b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ＝y －－b x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为 y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．答：预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤．.08.0423.15;23.1103.1245905453.1122=⨯-=-===⨯-⨯⨯-=x b y a b 有4、假设某设备的使用年限x 与所支出的维修费 用y （万元）有如下的统计资料： （1） 画出散点图，两个变量之间是否有线性相关关系？（2） 求出线性回归方程； （3） 估计使用年限为9年时，维修费用是多少？解：（1）（2）计算得： x －＝5，y －＝2.5， 由225222155221155xx x x y x y x y x y x b -++-+++= 得b ＝77.0125-13562.5-2.70= , a ＝y －－b x －＝2.5-0.77×5= - 1.35线性回归方程： y ＝0.77x - 1.35（3）使用年限为9年时，维修费用 y=0.77×9- 1.35=5.58万元.5(1)、假定y 与x 之间有线性相关关系，求其回归直线方程。
“最小二乘法求线性回归方程”教学设计
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ “最小二乘法求线性回归方程”教学设计最小二乘法求线性回归方程教学设计一．内容和内容解析本节课的主要内容为用最小二乘法求线性回归方程。
本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。
在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程后，解决好用数学方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式最小二乘法，有助于更好的理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行优劣评价是假设检验的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。
了解最小二乘法思想，比较各种估算方法，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。
最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现。
而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。
所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估1 / 10算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞割裂；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
基于上述内容分析，确定本节课的教学重点为知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
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《可怕的龙卷风》
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野外躲避 1.在野外遭遇龙卷风时，要快跑不要乱跑。应与龙 卷风前进路线垂直的方向逃离。或迅速找一个低 洼地趴下。
技能站 龙 卷 风 安 全 躲 避
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Tri-State龙卷风 时间：1925年3月18日 发生地：多个城市
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龙卷风的形成
• 龙卷风是云层中雷暴的产物。 • 具体的说，龙卷风就是雷暴巨大能量中的一小部分在很小 的区域内集中释放的一种形式。
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龙卷风经过水面，能吸水上升，形成水柱，同云相接， 俗称“龙吸水”。
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室内躲避
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第二名
Natchez龙卷风 时间：1840年5月7日 发生地：多个城市 死亡人数：317人
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•龙卷风常在夏季的雷雨天气时发生，尤以下午至傍晚最为多见；
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•龙卷风出现的随机性大，仅仅靠常规的气象监测手段很难预报。
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尘卷也是一种柱状的垂直旋转气流，因此和龙卷风很像。
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中小学公共安全教育·精彩一课
如果你所在的地区遇到了龙卷风，你该如何 做才是安全的呢？
《可怕的龙卷风》
中小学公共安全教育·精彩一课
知识屋 强烈旋风出现时 龙卷风是从对流积雨云中伸向地面的小 范围强烈旋风。龙卷风出现时，往往有一 个或数个如同“象鼻子”样的漏斗状云柱 从云底向下伸展。
·初三
《可怕的龙卷风》
中小学公共安全教育·精彩一课
学习目标
了解龙卷风的危害； 知道龙卷风来时如何躲避。
《可怕的龙卷风》
中小学公共安全教育·精彩一课
2012年，山东菏泽市发生了12级的龙卷风，晚 上7点多，先是刮了一阵小风，十多分钟后乌云密 布、电闪雷鸣，狂风夹杂着暴雨冰雹就来了。村民 们眼睁睁地看着自家院子里的几棵树被风刮断了， 一些被风吹倒的大树倒在民房和电线上，不少电线 杆都是齐刷刷地连根断掉了！龙卷风所过之处，成 片的树林倒向了一边，村子里是一片狼藉！