甘肃省民乐一中、张掖二中2020届高三数学上学期第一次调研考试(12月)试题理

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2019届甘肃省民乐一中、张掖二中高三上学期第一次调研考试(12月)数学(文)试题(解析版)

甘肃省民乐一中、张掖二中2019届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足(1+i)z=i+2，则z的虚部为()A. 32B. 12C. −12D. −12i【答案】C【解析】解：∵(1+i)z=i+2，∴(1−i)(1+i)z=(i+2)(1−i)，∴2z=3−i，∴z=3 2−12i.则z的虚部为−12，故选：C．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2−x−6<0}，则P∩Q等于()A. [1,2，3]B. {1,2}C. [1,2]D. [1,3)【答案】B【解析】解：P={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q=(−2,3)；∴P∩Q={1,2}．故选：B．先得出P={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，通过解不等式x2−x−6<0而得出集合Q，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法及交集的运算．3.已知曲线f(x)=lnx+x2a 在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为3π4，则a的值为()A. 1B. −4C. −12D. −1【答案】D【解析】解：函数f(x)=lnx+x2a (x>0)的导数f′(x)=1x+2xa，∵函数f(x)在x=1处的倾斜角为3π4∴f′(1)=−1，∴1+2a=−1，∴a=−1．故选：D．求出函数f(x)=lnx+x2a (x>0)的导数f′(x)=1x+2xa，利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为3π4得f′(1)=−1，由此可求a的值本题考查导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角的转换，属于基础题．4.已知数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，则其公差d=()A. −29B. 29C. −89D. 89【答案】D【解析】解：∵数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，∴{a10=a1+9d=10S10=10a1+10×92d=60，解得a1=2,d=89．故选：D．利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出首项和公差．本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.执行如图所示的程序框图，则输出的S值是()A. −1B. 23C. 32D. 4【答案】D【解析】解：第1次判断后循环，S=−1，i=2，第2次判断后循环，S=23，i=3，第3次判断后循环，S=32，i=4，第4次判断后循环，S =4，i =5，第5次判断后循环，S =−1，i =6，第6次判断后循环，S =23，i =7，第7次判断后循环，S =32，i =8，第8次判断后循环，S =4，i =9，第9次判断不满足9<8，推出循环，输出4．故选：D ．直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i =9<9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．6. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，若(a ⃗ +m b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数m 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 3【答案】D【解析】解：∵|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ | |b ⃗ |cos120∘=3×2×(−12)=−3．∵(a ⃗ +mb b ⃗ )⊥a ⃗ ，∴(a ⃗ +m b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+m a ⃗ ⋅b ⃗ =32−3m =0，解得m =3．故选：D ．由(a ⃗ +mb b ⃗ )⊥a ⃗ ，可得(a ⃗ +m b ⃗ )⋅a ⃗ =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m ；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m =34，那么可以估计π的值为( )A. 227B. 4715C. 5116D. 5317【答案】B【解析】解：由题意，120对都小于l 的正实数对(x,y)，满足{0≤y <10≤x<1，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x 2+y 2<1且{0≤y <10≤x<1，x +y >1，面积为π4−12，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(x,y) 的个数m =34，所以34120=π4−12，所以π=4715．故选：B ．由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x ，y ，满足{0≤y <10≤x<1，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x 2+y 2<1且{0≤y <10≤x<1，x +y >1，面积为π4−12，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．8. 如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3+4 B.2π+43C. π3+4D. π+43【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体)．该几何体的体积=π×12×12×2+(12×2×1×2−13×12×2×1×2)=π+43．故选：D ．由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体)．本题考查了三视图的有关计算、柱体与锥体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2e)=−f(x)(其中e =2.7182…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a =ln22，b =ln33，c =ln55，则f(a)，f(b)，f(c) 的大小关系(用不等号连接)为( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(b)>f(c)>f(a)C. f(a)>f(b)>f(c)D. f(a)>f(c)>f(b)【答案】A【解析】解：∵f(x)是R 上的奇函数，满足f(x +2e)=−f(x)， ∴f(x +2e)=f(−x)， ∴函数f(x)关于直线x =e 对称， ∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数， ∴f(x)在区间[0,e]上为增函数， ∵a =ln22，b =ln33，c =ln55，通过lnx x单调性判断，易知0<c <a <b <e∴f(c)<f(a)<f(b)，故选：A ．由f(x)是R 上的奇函数及f(x +2e)=−f(x)，可得f(x +2e)=f(−x)，从而可知f(x)关于x =e 对称，由f(x)在[e,2e]上的单调性可得f(x)在[0,e]上的单调性，由a ，b ，c 的大小关系，进而得到f(a)、f(b)、f(c)的大小关系．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，属中档题．10. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+y 2m=1的离心率为( )A. √32B. √5C. √32或√52D. √32或√5 【答案】D【解析】解：依题意可知m =±√2×8=±4当m =4时，曲线为椭圆，a =2，b =1，则c =√3，e =ca =√32当m =−4时，曲线为双曲线，a =1，b =2，c =√5则，e =√5 故选：D ．先根据等比中项的性质求得m 的值，分别看当m 大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b ，则c 可求得，继而求得离心率．当m <0，曲线为双曲线，求得a ，b 和c ，则离心率可得.最后综合答案即可．本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．11. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A −BCD 的外接球，BC =3，AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A. [π,4π]B. [2π,4π]C. [3π,4π]D. (0,4π]【答案】B【解析】解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D =3sin600×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=3，在Rt △OO 1D 中，R 2=3+(3−R)2，解得R =2， ∵BD =3BE ，∴DE =2在△DEO 1中，O 1E =√3+4−2×√3×2×cos300=1∴OE =√O 1E 2+OO 12=√2过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选：B ．设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2=3+(3−R)2，解得R =2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，属于中档题．12. 已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x 满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)=4x −m ⋅2x −3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [−√3,√3)B. [−2,+∞)C. (−∞,2√2]D. [−2√2,√3]【答案】B【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f(−x)=−f(x)有解即可；即4−x −m ⋅2−x −3=−(4x −m ⋅2x −3)； ∴4x +4−x −m(2x +2−x )−6=0；即(2x +2−x )2−m(2x +2−x )−8=0有解即可；设2x +2−x =t(t ≥2)，则方程等价为t 2−mt −8=0在t ≥2时有解；设g(t)=t 2−mt −8，对称轴为x =m2；①若m ≥4，则△=m 2+32>0，满足方程有解； ②若m <4，要使t 2−mt −8=0在t ≥2时有解，则需： {g(2)=−2m −4≤0m<4；解得−2≤m <4；综上得实数m 的取值范围为[−2,+∞)．故选：B ．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程(2x +2−x )2−m(2x +2−x )−8=0有解.可设2x +2−x =t(t ≥2)，从而得出需方程t 2−mt −8=0在t ≥2时有解，从而设g(x)=t 2−mt −8，得出其对称轴为x =m2，从而可讨论m 的值，求出每种情况下m 的范围，再求并集即可．考查奇函数的定义，理解“局部奇函数”的定义，完全平方式的运用，换元法的应用，熟悉二次函数的图象．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x +y ≥0x +2y −4≤0，则z =x −2y 的最大值为______．【答案】32【解析】解：由约束条件{x −y −1≤0x +y ≥0x +2y −4≤0作出可行域如图，联立{x +y =0x−y−1=0，解得A(12,−12)，化目标函数z =x −2y 为y =x 2−z2，由图可知，当直线y =x 2−z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为32．故答案为：32．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −√2)2+y 2=1相切，则此双曲线的离心率为______．【答案】√2【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx +ay =0，圆(x −√2)2+y 2=1的圆心(√2,0)，半径为1，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −√2)2+y 2=1相切，可得：√2b √b 2+a 2=1，可得a 2=b 2，c =√2a ， ∴e =√2．故答案为√2．求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a 、b 关系，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15. 不论k 为何实数，直线y =kx +1与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是______．【答案】−1≤a ≤3【解析】解：直线y =kx +1恒过(0,1)点的直线系，曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0表示圆圆心(a,0)，半径为：√4+2a)，直线与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：√a 2+12 ≤√4+2a 所以，−1≤a ≤3 故答案为：−1≤a ≤3．直线y =kx +1与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．16. 抛物线y 2=8x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，∠OFA =2π3，则tan∠ACB =______．【答案】4√3【解析】解：∵抛物线方程为y 2=2px =8x ，∴p =4∴F 点坐标为(2,0)，准线l 方程x =−2， ∴C 点坐标为(−2,0) ∵∠OFA =2π3，∴直线AB 的斜率为：√3．∵直线AB 经过点F(2,0)∴直线AB 方程为y =√3(x −2)又∵点A 与点B 在抛物线上，∴两方程联立{y =√3(x −2)y 2=8x ，得到3x 2−20x +12=0，解得A(6,4√3)，B(23,−4√33)∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,−4√33)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,4√3)∴cos∠ACB =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=643−16√(83)2+(4√33)2⋅√64+48=17，sin∠ACB =√487∴tan∠ACB =4√3．故答案为：4√3．先求出抛物线焦点F 坐标(2,0)，准线为l ：x =−2，从而得到C 点坐标.由题意可知直线AB 的方程，由AB 方程与抛物线方程消去y 得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解．本题考查了抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查了求根公式，最后利用向量的数量积来求角的三角函数值是关键．三、解答题（本大题共7小题）17. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m 的最小值．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， f(x)的最小正周期为T =2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，可得2x −π6∈[−5π6,2m −π6]，即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3，则m 的最小值为π3．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值； (Ⅱ)求得2x −π6的范围，结合正弦函数的图象可得2m −π6≥π2，即可得到所求最小值．18. 如图在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，PA =PD =AD =2，点M 在线段PC 上，且PM =2MC ，N 为AD 的中点． (1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P −NBM 的体积．【答案】(1)证明：如图，∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，∴BN⊥AD∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB(2)解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD= AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN=NB=√3，点到P平面ABCD的距离为√3．∴S△PNB=12×√3×√3=32．∵AD⊥平面PNB，AD//BC，∴BC⊥平面PNB．∵PM=2MC，∴V P−NBM=V M−PNB=23V C−PNB=23×13×12×√3×√3×2=23．∴三棱锥P−NBM的体积为23．【解析】(1)由N为AD的中点及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中结合已知条件证得AD⊥BN，然后由线面垂直的判断得到AD⊥平面PNB；(2)由平面PAD⊥平面ABCD结合面面垂直的性质得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=√3，把三棱锥P−NBM的体积转化为23倍的三棱锥C−PNB的体积求解．本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量x(单位：箱)76656收入y(单位：元)165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21−50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．附：回归方程y ^=b ^x +a ^，其中b =∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2,a ^=y −b ^x ．【答案】解：(1)由题意可求得回归方程为y ^=20x ^+26，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元；x =7+6+6+5+65=6,y =165+142+148+125+1505=146，b ̂=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)219+0+0+21+01+0+0+1+0=20,a ̂=y −b ̂x =146−20×6=26，∴y ̂=20x ̂+26，当x =9时，y ̂=20×9+26=206，即某天售出9箱水的预计收益是206元； (2)设事件A 1：甲获一等奖；事件A 2：甲获二等奖；事件B 1：乙获一等奖，事件B 2：乙获二等奖，事件C 1：丙获一等奖；事件C 2：丙获二等奖，则总事件有：(A 1,B 1,C 1)，(A 1,B 1,C 2)，(A 1,B 2,C 1)，(A 1,B 1,C 2)，(A 2,B 1,C 1)，(A 2,B 1,C 2)，(A 2,B 2,C 1)，(A 2,B 2,C 2)，8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有(A 2,B 2,C 2)1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率P =18．【解析】(1)由题意首先求得线性回归方程，然后利用线性回归方程的预测作用预计收入的数值即可；(2)由题意列出所有可能的基本事件，然后利用古典概型公式计算概率值即可．本题考查线性回归方程及其应用，古典概型的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(2,0)，以原点O 为圆心，OF 为半径的圆与椭圆在y 轴右侧交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形． (I)求椭圆方程；(Ⅱ)过圆外一点M(m,0)(m >a)，作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【答案】解：(I)∵△AOB 为正三角形，且A ，B 两点关于x 轴对称，OF =2=OA ． ∴x A =OAcos30∘=√3，y A =OAsin30∘=1，可得A(√3,1)．∴3a 2+1b 2=1，a 2=b 2+22，解得：a 2=6，b 2=2． ∴椭圆方程为：x 26+y 22=1．(II)由题意可得直线l 的方程为：y =−√33(x −m)，联立{y =−√33(x −m)x 26+y 22=1，化为：2x 2−2mx +m 2−6=0，由△>0，可得：4m 2−8(m 2−6)>0，解得−2√3<m <2√3．又m >√6，可得：√6<m <2√3．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−62，y 1y 2=[−√33(x 1−m)]⋅[−√33(x 2−m)]=13x 1x 2−m 3(x 1+x 2)+m 23．又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=43x 1x 2−m+63(x 1+x 2)+m 23+4=43⋅m 2−62−m+63⋅m +m 23+4=2m(m−3)3．∵点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(m−3)3<0，解得0<m <3．又√6<m <2√3． ∴√6<m <3．∴m 的取值范围是(√6,3)．【解析】(I)△AOB 为正三角形，且A ，B 两点关于x 轴对称，OF =2=OA.可得：x A =OAcos30∘，y A =OAsin30∘，可得A 坐标.代入可得3a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+22，解出即可得出．(II)由题意可得直线l 的方程为：y =−√33(x −m)，与椭圆方程联立可得：2x 2−2mx +m 2−6=0，由△>0，m >√6，可得m 范围.设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，把根与系数的关系代入：FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=43x 1x 2−m+63(x 1+x 2)+m23+4，根据点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(m−3)3<0，解得0<m <3.进而得出m 的取值范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式定解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. 已知函数f(x)=lnx +x 2+ax(a ∈R)，g(x)=e x +x 2．(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f(x)≤g(x)成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=lnx +x 2+ax(a ∈R)，0)'/>，令，即2x 2+ax +1=0，△=a 2−8；①当a 2−8≤0时，即−2√2≤a ≤2√2时，2x 2+ax +1≥0恒成立，即，此时f(x)在(0,+∞)单调递增，无极值点． ②当a 2−8>0时，即a <−2√2或a >2√2，若a <−2√2，设方程2x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a2>0x 1x 2=12>0；故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0,x 1)， 0'/>，f(x)单调递增，x ∈(x 1,x 2)，，f(x)单调递减， x ∈(x 2,+∞)，0'/>，f(x)单调递增，故x 1，x 2分别为f(x)的极大值点和极小值点，因此a <−2√2时，f(x)有两个极值点；若a >2√2，设方程2x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a2<0x 1x 2=12>0，故x 1<0，x 2<0，此时f(x)无极值点；综上：当a <−2√2时，f(x)有两个极值点，当a ≥2√2时，f(x)无极值点；(2)不等式f(x)≤g(x)等价于ln x +x 2+ax ≤e x +x 2，即e x −ln x ≥ax ，x ∈(0,+∞)；因此a ≤e x −lnx x，设ℎ(x)=e x −lnx x，，当x ∈(0,1)时，e x (x −1)+ln x −1<0，即，ℎ(x)单调递减；当x ∈(1,+∞)时，e x (x −1)+ln x −1>0，即 0'/>，ℎ(x)单调递增．因此x =1为ℎ(x)的极小值点，即ℎ(x)≥ℎ(1)=e ，故a ≤e ．【解析】(1)对函数f(x)求导数，利用求得f(x)的极值点，讨论函数极值点的个数；(2)不等式f(x)≤g(x)等价于lnx +x 2+ax ≤e x +x 2，分离常数法得出a ≤e x −lnx x，设ℎ(x)=e x −lnx x，利用导数求出ℎ(x)的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题．22. 已知直线l 的参数方程为{x =4+√22t y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值．【答案】解：(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2−4x =0，所以圆C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4．将直线l 的参数方程代入圆C ：(x −2)2+y 2=4，并整理得t 2+2√2t =0，解得t 1=0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2． (2)直线l 的普通方程为x −y −4=0．圆C 的参数方程为{y =2sinθx=2+2cosθ(θ为参数)，可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，则点P 到直线l 的距离d =√2=|2cos(θ+π4)−√2|，当cos(θ+π4)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2．所以S △ABP ≤12×2√2×(2+√2)=2+2√2，即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．【解析】(1)根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C 的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；(2)求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，求出点P 到直线l 的距离，结合三角函数的性质求出△ABP 的面积的最大值．本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．23. 已知函数f(x)=|2x −a|−|x +3|，a ∈R ．(I)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)当x ∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立，求a 的取值范围．【答案】解：(I)当a =1吋，函数f(x)=|2x −1|−|x +3|，当x ≤−3时，f(x)=1−2x +(x +3)=4−x ，此时f(x)min =f(−3)=7，当−3<x <12时，f(x)=1−2x −(x +3)=−3x −2，此时f(x)>f(12)=−3×12−2=−72 当x ≥12时f(x)=2x −1−(x +3)=x −4，此时f(x)min =f(12)=12−4=−72 综上f(x)的最小值为−72…(5分)(I)当x ∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立，可化为|2x −a|≤x +7，即−x −7≤2x −a ≤x +7恒成立，得x −7≤a ≤3x +7由x∈[0,3]，得3x+7≥7且，x−7≤−4，得−4≤a≤7，即a的取值范围是[−4,7]．【解析】(I)当a=1时，结合分段函数的表达式即可求f(x)的最小值；(Ⅱ)当x∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的应用，讨论x的范围，去掉绝对值号是解决本题的关键．。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项．（1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈．（1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<．（1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞【解答】解：因为{|||1}(1,1)A x x =<=-，{|21}(,0)x B x =<=-∞，则(,1)A B =-∞U ．故选：D ．2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g )A ．5BC ．13D 【解答】解：由(32)23z i i i =-=+，得22||13z z z ===g ．故选：C ．3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r )A ．3B C ．D ．5【解答】解：Q 平面向量,a b rr 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ， ∴()(1a a b +=rr r g ，2)(2--g ，2)2(2)(2)0t t -=-+--=g ，求得1t =，∴(3,1)b =-r ，则||b ==r故选：B ．4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．BCD ．-【解答】解：由题意可得2(22)22p =g 所以2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以2222MF k ==，故选：A ．5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x =+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且22cos(2)cos2()||||()()x xf x ln x ln x f x x x--=-+=+=-，故()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ；又cos2(1)1cos201f ln =+=<，可排除D ．故选：A ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．2【解答】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为by xx a=±，圆22:240E x y x y ++-=的圆心为(1,2)-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-，则有2ba=，即2b a =，则22225c a b a =+=，即5c a =，则双曲线的离心率5ce a==．故选：B ．7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得1234535x ++++==，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =++++=，0.10.0423a ∴=⨯-，0.026a =，所以线性回归方程为0.0420.026y x =-，由0.0420.0260.5x ->，得13x …，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%，故选：C ．8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解答】解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知：在①中，若//m α，//n β，//αβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误；在②中，若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则由线面垂直的性质定理得//m α，故②正确；在③中，若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确．故选：C ．9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，可得()f x 在(,0)x ∈-∞单调递增，所以()f x 在(0,)+∞单调递减；因为12ln π<<，1201e -<<，所以12()()a f ln b f e π-=<=，2221113log log log 2864-=<<=-Q ，2211(log )(log )(266c f f ==-∈，3)，所以c a <，故选：A ．10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 【解答】解：将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数11()sin()26f x x π=+．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()sin[()]sin()23623y g x x x πππ==++=+的图象，令123x k ππ+=，k Z ∈，则223x k ππ=-，k Z ∈，当1k =时，43x π=，则函数()y g x =图象的一个对称中心为4(3π，0) 故选：D ．11．（5分）若1)n x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．56【解答】解：Q 二项式系数和为256，2256n ∴=，得8n =，则展开式的通项公式为8848331888811()()k kk k n kk k k k k k k T C C C x C x x x-----+=====，当2k =时，对应的有理项为，2828C =，当5k =时，对应的有理项为，544856C x x --=，当8k =时，对应的有理项为，8x -，则二项式展开式中有理项系数之和为2856185++=，故选：A ．12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞【解答】解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数||x y e =与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2x e mx =有两个不同的正根，令2()x e h x x =，则3(2)()x e x h x x -'=，(0,2)x ∈时，()0h x '<，(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，∴函数()h x 在(0,2)上单减，在(2,)+∞上单增，此时()min h x h =（2）24e =；又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，24e m ∴>．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 10 ．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，画出可行域，如图：由2z x y =-可得1122y x z =-，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大然后平移直线:02L x y =-，当直线2z x y =-过点A 时z 最大由20220y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(6,2)A -时，z 最大值为10 故答案为：10．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，则共有44444444444(4334)414414241344A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=，故答案为：134415．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 20B B -=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 (2,3) ．【解答】解：因为cos 20B B -=，所以2sin()26B π+=即sin()16B π+=，所以13B π=，因为1b =，由余弦定理可得，222221()3()3()2a c a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯…，解可得，2a c +„，当且仅当a c =时取等号，所以13abc a c ++=++„，又1a c b +>=，所以2a b c ++>，故23a b c <++„，故答案为：(2，3]．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 20 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．【解答】解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图：取34O O 的中点E ，△234O O O 的重心F ，连接1O F ，则1O F ⊥平面234O O O ， 2633O E ， 263322133O F == 22161(213)216O F =-=所以最上面球的球质距离地面的高度约为61) 故答家为：20，21(61)+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项．（1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．【解答】解：（1）证明：n a 是1-与1n a +的等差中项，可得121n n a a +=-，即121n n a a +=+，可化为112(1)n n a a ++=+，又11a =，故数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列，即有11222n n n a -+==g ，所以数列{}n a 的通项公式为21n n a =-；（2）由（1）可得2221n n a n n +=+-，则2(12)1(2482)(13521)(121)122n nn S n n n -=+++⋯+++++⋯+-=++--1222n n +=+-．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则1A C ⊥平面EFGHIJ ．（2）如图所示，建立空间直角坐标系．则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1H ，0，0)，(2I ，1，0)，(0G ，0，1)．∴1(2BD =-u u u u r ，2-，2)，(1HI =u u u r，1，0)，(1HG =-u u u r ，0，1)．设平面EFGHIJ 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ．则0n HI n HG ==u uu r u u u r r r g g ，0x y ∴+=，0x z -+=．取(1n =r，1-，1)，则1cos BD <u u u u r ，13123n >==⨯r ．1BD ∴与该平面所成角的正弦值为13．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 11112111(0),(20)462443624P P ξξ==⨯===⨯+⨯=，111211511121(40),(60)4623641226434P P ξξ==⨯+⨯+⨯===⨯+⨯=，111(80)4624P ξ==⨯=，故ξ的分布列为ξ 0 20 40 60 80 P1241451214124ξ∴的数学期望为11511()0204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元)；（2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为14030060002⨯⨯=（元)． 20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，c a b =，所以椭圆的方程为22186x y +=，（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立直线与椭圆得22(34)12120m y my ++-=，所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+，所以12121122OAM OANOMAN S S S y y y ∆∆=+=⨯+⨯=-=四边形．令t =，则t所以OMAN S t t==+四边形因t2t t +…所以OMAN S 四边形„，当且仅当t =0m =时取等号．即四边形OMAN面积的最大值 21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈．（1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--．【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x +-++--'=-+==， ①当0a „时，由()0f x '<可得1x >，由()0f x '<可得01x <<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ②01a <<时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得01x <<或1x a >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a上单调递减，1(a ，)+∞上单调递增，③当1a =时，2(1)()0x f x x-'=…，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，④当1a >时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得1x >或1x a <，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，（2）证明：当2a =-时，要证：1()2x f x e x x<--，只要证2x lnx e +<，令()2x g x lnx e =-+，0x >，则1()x g x e x'=-在(0,)+∞上单调递减，且0x →时，()0g x >，g '（1）10e =-<故存在0(0,1)x ∈使得001x e x =即00x lnx =-，使得0()0g x '=，当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，函数单调递减，故000000011()()222()x max g x g x lnx e x x x x ==-+=--+=-+，因为0(0,1)x ∈，0012x x +>，所以()220max g x <-+=，即()0g x < 故当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=．（2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2πθαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，所以2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得到||2cos OA α=，曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则||OB α=，所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3πα=时，|||OA OB +取得最大值．此时l 的极坐标方程为3πθ=，即直角坐标方程为y =．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<．（1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．【解答】解：（1）()(1)5f x f x +-<即为|1||2|5x x -+-<，等价为1125x x x ⎧⎨-+-<⎩„或12125x x x <<⎧⎨-+-<⎩或2125x x x ⎧⎨-+-<⎩…，解得11x -<„或12x <<或24x <„，所以原不等式的解集为{|14}x x -<<，由题意可得1m =-，4n =；（2）证明：由（1）可得41x y +=，由0x >，0y >，可得11114(4)()559y x x y x y x y x y +=++=+++…，当且仅当123y x ==时等号成立，故119x y+…，即9x y xy +…．。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试(12月)数学(文)试卷Word版含答案

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i2. 已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2-x-6<0},则P∩Q等于( )A.{1,2,3}B.{1,2}C.[1,2]D.[1,3)3. 已知曲线f(x)=ln x+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为( )A.1B.-4C.-D.-14. 已知数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,则其公差d=( )A.-B.C.-D.5. 执行如图所示的程序框图,则输出的S值是( )A.-1B.C.D.46. 已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为( )A.3B.2C.D.17. 关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为( )A. B. C. D.8. 如图为几何体的三视图,则其体积为( )A.+4B.C.+4D.π+9. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 28),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)10.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B. C.D.11.已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,AB=2,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )A.[2π,4π]B.,4πC.,4πD.,4π12.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为.14. 双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-)2+y2=1相切,则此双曲线的离心率为.15. 不论k为何实数,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.16. 抛物线y2=8x的焦点为F,弦AB过点F,原点为O,抛物线准线与x轴交于点C,∠OFA=,则tan∠ACB= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.18.（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD 的中点.(1)求证:AD⊥平面PNB;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.19.（本题满分12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21~50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)若x与y成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率.附:回归方程x+,其中.20.（本题满分12分）已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),以原点O为圆心,OF为半径的圆与椭圆在y轴右侧交于A,B两点,且△AOB为正三角形.(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点M(m,0)(m>a),作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点,若点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2.(1)讨论函数f(x)极值点的个数;(2)若对∀x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.23.（本题满分10分）已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.1.C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.2.B 解析∵P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q=(-2,3),∴P∩Q={1,2}.故选B.3.D 解析由题意f'(x)=,由函数f(x)在x=1处的倾斜角为,∴f'(1)=-1, ∴1+=-1,∴a=-1. 故选D.4.D 解析∵数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,∴解得故选D.5.D 解析当i=1时,S==-1;当i=2时,S=;当i=3时,S=;当i=4时,S==4;故循环的周期为4.故当i=8时,S=4;当i=9时,输出的S=4.6.A 解析∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,∴a·b=|a||b|cos 120°=3×2×-=-3.∵(a+m b)⊥a, ∴(a+m b)·a=a2+m a·b=32-3m=0,解得m=3.故选A.7.B 解析正实数对(x,y),且所在区域面积为1,能够成钝角三角形的条件为x2+y2<1且x+y>1,其区域面积为,根据概率公式得p=得π=,故选B.8.D 解析几何体是半个圆柱和一个四棱锥的组合体,如图所示,所以选D.9.A 解析∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x).∴f(x)的图象关于直线x=e对称.∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数,∴f(x)在区间[0,e]上是增函数.令y=,则y'=,∴y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减.∴a==c>0,a-b=<0,a-c=>0,∴0<c<a<b<e, ∴f(b)>f(a)>f(c).10.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.11.A 解析如下图,设△BDC的中心为O1,球O的半径为R,连接O1D,OD,O1E,OE,则O1D=3sin 60°×,AO1==3,在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2,∵BD=3BE,∴DE=2.在△DEO1中, O1E==1,∴OE=.过点E作圆O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,此时截面圆的半径为,最小面积为2π.当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4π.故选A.12.B 解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥2时有解,则需:解得-2≤m<4.综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.解析满足约束条件的可行域如下图所示:由图可知,由可得C,-,由可得A(-4,4),由可得B(2,1),平移x-2y=0,知过C点时,z=x-2y取最大值.14.解析因为双曲线的渐近线是y=±x,所以圆心C(,0)到渐近线的距离d==1,即2b2=c2⇒2c2-2a2=c2,解得e=,故答案为.15.-1≤a≤3解析由题知2a+4>0,则a>-2.注意到直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有02+12-2a·0+a2-2a-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.综上,-1≤a≤3.16.4解析∵抛物线y2=8x,∴p=4,焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,C点坐标为(-2,0),∵∠OFA=, ∴直线AB的斜率为,∵弦AB过F, ∴直线AB的方程为y=(x-2).∵点A与点B在抛物线上, ∴两方程联立得到3x2-20x+12=0, 解得A(6,4),B,-,∴=,-, =(8,4). ∴cos∠ACB===,sin∠ACB=, ∴tan∠ACB=4.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解 (1)因为f(x)=sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin.因为x∈,所以2x-.要使f(x)在上的最大值为,即sin上的最大值为1.所以2m-,即m≥. 所以m的最小值为.18.解 (1)∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD,∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BN⊥AD.∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB=,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,∴PN⊥平面ABCD,∴PN⊥NB,∴S△PNB=,∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,∴BC⊥平面PNB,又PM=2MC,设M,C到平面PNB的距离分别为h,H,则,∴h=H.∴V P-NBM=V M-PNB=V C-PNB=×2=.19.解 (1)=6,=146,==20,=146-20×6=26,∴=20+26,当x=9时,=20×9+26=206,即某天售出9箱水的预计收益是206元.(2)设甲获一等奖为事件A1,甲获二等奖为事件A2,乙获一等奖为事件B1,乙获二等奖为事件B2,丙获一等奖为事件C1,丙获二等奖为事件C2,则总事件有:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B1,C2),(A1,B2,C2),(A2,B2,C2),8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1 000的事件有(A2,B2,C2)1种情况,则求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率P=.20. 解 (1)∵△AOB为正三角形,且A,B关于x轴对称,OF=2,∴OA=OF=2,∴y A=1,x A=,即点A(,1).∴=1,又c=2,解得a2=6,b2=2.故椭圆方程为=1.(2)易知直线l:y=-(x-m)(m>),联立消去y得2x2-2mx+m2-6=0,由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-2<m<2,∵m>,∴<m<2,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m, x1x2=,∴y1y2=-(x1-m)·-(x2-m)=x1x2-(x1+x2)+.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 则=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-(x1+x2)++4=·m++4=, ∵F在圆E的内部,∴<0,∴<0,解得0<m<3,∵<m<2,∴<m<3,即m的取值范围为(,3).21.解 (1)f'(x)=+x+a=(x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4.①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x)≥0,此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点.②当a2-4>0时,即a<-2或a>2,若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1>0,x2>0,此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a<-2时,f(x)有两个极值点.若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1<0,x2<0,此时f(x)无极值点.综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)≤g(x)等价于ln x+x2+ax≤e x+x2,即e x-ln x+x2≥ax,因此a≤.设h(x)=,h'(x)==,当x∈(0,1)时,e x(x-1)+ln x+x2-1<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,e x(x-1)+ln x+x2-1>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一22.解 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2,所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==|2cosθ+-|.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,即△ABP的面积的最大值为2+2.23.解 (1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x≤-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7,当-3<x<时,f(x)=1-2x-(x+3)=-3x-2,此时f(x)>f=-3×-2=-,当x≥时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f=-4=-,综上,f(x)的最小值为-.(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7,即-x-7≤2x-a≤x+7恒成立,得x-7≤a≤3x+7恒成立,由x∈[0,3],得3x+7≥7,x-7≤-4,∴-4≤a≤7,即a的取值范围为[-4,7].。

甘肃省张掖市高三数学第一次(12月)诊断联考试题文(含解析)

数学（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则AB =（）A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅2．i 是虚数单位，=（）A.1+2iB.﹣1﹣2iC.1﹣2iD.﹣1+2i 3．等差数列}{n a 中，23a =，349a a +=，则61a a 的值为（）A ．14B ．18C ． 21D ．274．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（）A. 向左平移21个单位长度B. 向右平移21个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度5．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A.πB.34π+C.4π+D.24π+6．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ．则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=BAC 30∠=，若M BC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y 1,,2，则x y14+的最小值为（） A.20 B.18 C.16 D .9 8．函数cos y x x =+的大致图像是（）9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（） A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 10．某程序框图如图所示，则输出的n 值是( )A ．21B ．22C ．23D ．2411．已知二次曲线224x y m+=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．[2B ．[2C ．D ．12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-. 则其中真命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ _____．14．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 . 15．设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·0a ；②若0a 与a平行，则a ＝|a |·0a ；③若0a与a 平行且|a |＝1，则a ＝0a .上述命题中，假命题个数是________． 16．已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x x x x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T 18．（本大题12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10．（I ）求棱1A A 的长；（II ）若11AC 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.19．（本大题12分）某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指2（II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率．20．（本大题12分）已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为2，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4.(I) 求椭圆方程;(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且AP PB λ=.若4OA OB OP λ+=,求m 的取值范围。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试(12月)数学(理)试卷Word版含解析

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

甘肃省张掖市2020届高三数学第一次(12月)诊断联考试题文(无答案)

张掖市2020年度高三第一次诊断考试数学（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =I （）A ．{}2-B ．{}2 C ．{}2,2-D ．∅2．i 是虚数单位，=（） A.1+2i B.﹣1﹣2iC.1﹣2iD.﹣1+2i3．等差数列}{n a 中，23a =，349a a +=，则61a a 的值为（）A ．14B ．18C ． 21D ．274．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（） A. 向左平移21个单位长度 B. 向右平移21个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度5．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A.πB.34π+C.4π+D.24π+6．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ．则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=u u u r u u u r，BAC 30∠=o，若MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y1,,2，则x y 14+的最小值为（）A.20B.18C.16 D .9 8．函数cos y x x =+的大致图像是（）9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（） A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.710．某程序框图如图所示，则输出的n 值是( )A ．21B ．22C ．23D ．2411．已知二次曲线224x y m +=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（）A．2 B．[2 C． D． 12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-. 则其中真命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ _____．14．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 . 15．设a ρ为单位向量，①若a ρ为平面内的某个向量，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；②若0a ρ与a ρ平行，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；③若0a ρ与a ρ平行且|a ρ|＝1，则a ρ＝0a ρ.上述命题中，假命题个数是________．16．已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x xx x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T18．（本大题12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD ACD -，且这个几何体的体积为10．（I ）求棱1A A 的长；（II ）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.19．（本大题12分）某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指 AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（I ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；（II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率．20．（本大题12分）已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为22，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4. (I) 求椭圆方程;(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且AP PB λ=u u u r u u u r .若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r,求m 的取值范围。

甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第一次诊断考试数学试题(含答案解析)

甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第一次诊断考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题
A．π
90二、多选题
三、填空题
四、解答题
参考答案：
1．B
【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果.
【详解】解法一：R M N ⊆ ð,R M N ∴⊇ð，据此可得()R M N M ∴= ð.故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，
矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合R M ð，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足R M N ⊆ð，结合图形可得：()R M N M = ð.故选：B.
2．A
【分析】根据,p q 之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】设A 为正方体，其棱长为2，体积为8，B 为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然,A B 在等高处的截面面积不相等，若q 是p 的不必要条件，当A ，B 在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A ，B 的体积相等，所以充分性成立，因此q 是p 的充分不必要条件．故选A ．
【点睛】两个条件之间的关系判断，可依据命题“若p 则q ”、“若q 则p ”真假来判断，此类问题属于基础题.3．B
【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．。

甘肃省民乐一中张掖二中2018-2019高三上学期第一次调研考试12月数学文含答案

民乐一中张掖二中2018-2019高三第一次调研文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i2. 已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2-x-6<0},则P∩Q等于()A.{1,2,3}B.{1,2}C.[1,2]D.[1,3)3. 已知曲线f(x)=ln x+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为()A.1B.-4C.-D.-14. 已知数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,则其公差d=()A.-B.C.-D.5. 执行如图所示的程序框图,则输出的S值是()A.-1B.C.D.46. 已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为()A.3B.2C.D.17. 关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为()A. B. C. D.8. 如图为几何体的三视图,则其体积为()A.+4B.C.+4D.π+9. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 28),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)10.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.11.已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,AB=2,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是()A.[2π,4π]B.,4πC.,4πD.,4π12.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为.14. 双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-)2+y2=1相切,则此双曲线的离心率为.15. 不论k为何实数,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.16. 抛物线y2=8x的焦点为F,弦AB过点F,原点为O,抛物线准线与x轴交于点C,∠OF A=,则tan∠ACB=.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.18.（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,P A=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.(1)求证:AD⊥平面PNB;(2)若平面P AD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.19.（本题满分12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21~50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)若x与y成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率.附:回归方程x+,其中.20.（本题满分12分）已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),以原点O为圆心,OF为半径的圆与椭圆在y轴右侧交于A,B两点,且△AOB为正三角形.(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点M(m,0)(m>a),作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点,若点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2.(1)讨论函数f(x)极值点的个数;(2)若对∀x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.23.（本题满分10分）已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.民乐一中、张掖二中2019届高三第一次调研考试数学（文）答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.1.C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.2.B解析∵P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q=(-2,3),∴P∩Q={1,2}.故选B.3.D解析由题意f'(x)=,由函数f(x)在x=1处的倾斜角为,∴f'(1)=-1, ∴1+=-1,∴a=-1. 故选D.4.D解析∵数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,∴解得故选D.5.D解析当i=1时,S==-1;当i=2时,S=;当i=3时,S=;当i=4时,S==4;故循环的周期为4.故当i=8时,S=4;当i=9时,输出的S=4.6.A解析∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,∴a·b=|a||b|cos 120°=3×2×-=-3.∵(a+m b)⊥a, ∴(a+m b)·a=a2+m a·b=32-3m=0,解得m=3.故选A.7.B解析正实数对(x,y),且所在区域面积为1,能够成钝角三角形的条件为x2+y2<1且x+y>1,其区域面积为,根据概率公式得p=得π=,故选B.8.D解析几何体是半个圆柱和一个四棱锥的组合体,如图所示,所以选D.9.A解析∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x).∴f(x)的图象关于直线x=e对称.∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数,∴f(x)在区间[0,e]上是增函数.令y=,则y'=,∴y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减.∴a==c>0,a-b=<0,a-c=>0,∴0<c<a<b<e, ∴f(b)>f(a)>f(c).10.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.11.A解析如下图,设△BDC的中心为O1,球O的半径为R,连接O1D,OD,O1E,OE,则O1D=3sin 60°×,AO1==3,在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2,∵BD=3BE,∴DE=2.在△DEO1中, O1E==1,∴OE=.过点E作圆O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,此时截面圆的半径为,最小面积为2π.当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4π.故选A.12.B解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解, 令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥2时有解,则需:解得-2≤m<4.综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.解析满足约束条件的可行域如下图所示:由图可知,由可得C,-,由可得A(-4,4),由可得B(2,1),平移x-2y=0,知过C点时,z=x-2y取最大值.14.解析因为双曲线的渐近线是y=±x,所以圆心C(,0)到渐近线的距离d==1,即2b2=c2⇒2c2-2a2=c2,解得e=,故答案为.15.-1≤a≤3解析由题知2a+4>0,则a>-2.注意到直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有02+12-2a·0+a2-2a-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.综上,-1≤a≤3.16.4解析∵抛物线y2=8x,∴p=4,焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,C点坐标为(-2,0),∵∠OFA=, ∴直线AB的斜率为,∵弦AB过F, ∴直线AB的方程为y=(x-2).∵点A与点B在抛物线上, ∴两方程联立得到3x2-20x+12=0, 解得A(6,4),B,-,∴=,-, =(8,4). ∴cos∠ACB===,sin∠ACB=, ∴tan∠ACB=4.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解(1)因为f(x)=sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin.因为x∈,所以2x-.要使f(x)在上的最大值为,即sin上的最大值为1.所以2m-,即m≥. 所以m的最小值为.18.解(1)∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD,∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BN⊥AD.∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB=,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,∴PN⊥平面ABCD,∴PN⊥NB,∴S△PNB=,∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,∴BC⊥平面PNB,又PM=2MC,设M,C到平面PNB的距离分别为h,H,则,∴h=H.∴V P-NBM=V M-PNB=V C-PNB=×2=.19.解(1)=6,=146,==20,=146-20×6=26,∴=20+26,当x=9时,=20×9+26=206,即某天售出9箱水的预计收益是206元.(2)设甲获一等奖为事件A1,甲获二等奖为事件A2,乙获一等奖为事件B1,乙获二等奖为事件B2,丙获一等奖为事件C1,丙获二等奖为事件C2,则总事件有:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B1,C2),(A1,B2,C2),(A2,B2,C2),8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1 000的事件有(A2,B2,C2)1种情况,则求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率P=.20. 解(1)∵△AOB为正三角形,且A,B关于x轴对称,OF=2,∴OA=OF=2,∴y A=1,x A=,即点A(,1).∴=1,又c=2,解得a2=6,b2=2.故椭圆方程为=1.(2)易知直线l:y=-(x-m)(m>),联立消去y得2x2-2mx+m2-6=0,由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-2<m<2,∵m>,∴<m<2,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m, x1x2=,∴y1y2=-(x1-m)·-(x2-m)=x1x2-(x1+x2)+.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),则=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-(x1+x2)++4=·m++4=,∵F在圆E的内部,∴<0,∴<0,解得0<m<3,∵<m<2,∴<m<3,即m的取值范围为(,3).21.解(1)f'(x)=+x+a=(x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4.①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x)≥0,此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点.②当a2-4>0时,即a<-2或a>2,若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1>0,x2>0,此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a<-2时,f(x)有两个极值点.若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1<0,x2<0,此时f(x)无极值点.综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)≤g(x)等价于ln x+x2+ax≤e x+x2,即e x-ln x+x2≥ax,因此a≤.设h(x)=,h'(x)==,当x∈(0,1)时,e x(x-1)+ln x+x2-1<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,e x(x-1)+ln x+x2-1>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一22.解(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2,所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==|2cosθ+-|.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,即△ABP的面积的最大值为2+2. 23.解(1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x≤-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7,当-3<x<时,f(x)=1-2x-(x+3)=-3x-2,此时f(x)>f=-3×-2=-,当x≥时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f=-4=-,综上,f(x)的最小值为-.(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7,即-x-7≤2x-a≤x+7恒成立,得x-7≤a≤3x+7恒成立,由x∈[0,3],得3x+7≥7,x-7≤-4,∴-4≤a≤7,即a的取值范围为[-4,7].。

甘肃省张掖二中2020届高三数学上学期周考试题(一)理

张掖二中2020学年度第一学期周考试卷一高三数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}821|,02|12≤≤=>--=-x x N x x x M ，则=⋂N M （）A ． (]4,2B ． []4,1C ． (]4,1-D ． [)+∞,42．设12:,10:≥<<xq x p ，则p 是q 的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题x x R x q x R x p <∈∀>-∈∃,:,02,:命题，则下列说法正确的是（） A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ⌝∧是真命题D ．命题)(q p ⌝∨是假命题4．设4.0log ,3.0log ,5.084.04.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A ． c b a <<B ． a b c <<C ． a c b <<D ． b a c <<5．已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f 是（）A ．偶函数，且在R 上是增函数B ．奇函数，且在R 上是增函数C ．偶函数，且在R 上是减函数D ．奇函数，且在R 上是减函数6．已知函数()223ln f x x x x =--，则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．下面四个命题：:1p 命题“n n N n 2,2>∈∀”的否定是“02,200n n N n ≤∉∃”；:2p 向量),1(),1,(n b m a -==ρρ，则n m =是b a ρρ⊥的充分必要条件；:3p “在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若B A sin sin ≤，则B A ≤”；:4p 若q p ∧是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是（） A ．21,p p B ． 32,p pC ．42,p pD ． 31,p p8．函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为A ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． (]0,2 9．函数)32ln(2++-=x x y 的减区间是（） A ． (]1,1-B ． [)3,1C ． (]1,∞-D ． [)+∞,110．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x ax a x f x 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为（） A ．[4,8)B ． (4,8)C ．(1,+∞)D ． (1,8)11．已知)(x f 是定义在[]b b +-1,2上的偶函数，且在[]0,2b -上为增函数，则)2()1(x f x f ≤- 的解集为（）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1C ． []1,1-D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,3112．已知)(x f 为偶函数，对任意)2()(,x f x f R x -=∈恒成立，且当10≤≤x 时，222)(x x f -=.设函数x x f x g 3log )()(-=，则)(x g 的零点的个数为（）A ． 6B ． 7C ． 8D ．9二、填空题:本题共4小题,每小题5分. 13．若函数()1,021≠>-=-a a ay x 且的图像恒过点P ，则点P 的坐标为_______．14．设函数)(x f 满足x x x f +=⎪⎭⎫⎝⎛+-111，则=)(x f ____________．15．已知函数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧>-≤-=371),1(log 1,12)(2f f x x x x f x 则__________． 16．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且2)4(-=-f ，当[]2121,3,0,x x x x ≠∈且时，都有0)()(2121<--x x x f x f ．则给出下列命题：①2)2008(-=f ；②函数)(x f y =图象的一条对称轴为6-=x ；③函数)(x f y =在[]6,9--上为减函数；④方程0)(=x f 在[]9,9-上有4个根；其中正确的命题序号是___________.三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求值.（1）252)008.0(949827325.032⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--；（2）()()12lg22lg 5lg 2lg2lg 222+-+⋅+.18．（12分）设全集U R =，集合{}1|2 1 x A x -=≥， {}2|450 B x x x =--<. （1）求()(),U U A B C A C B ⋂⋃；（2）设集合{}|12 1 C x m x m =+<<-，若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围. 19．（12分）已知命题:p 函数12)(2+-=mx x x f 在()1,∞-上是减函数，命题2000:,4(42)10q x R x m x ∃∈+-+≤(1) 若q 为假命题，求实数m 的取值范围； (2) 若“q p ∨”为假命题，求实数m 的取值范围.20．（12分）已知二次函数()f x 的最大值为3，且()()155f f ==-．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]2,2a +（0a >）上的最大值．21．（12分）已知定义在R 上的函数()221xx a f x -=+是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t R ∈，不等式()()220f t t f k -+->恒成立，求实数k 的取值范围． 22．（12分）已知()f x 为偶函数，)(x g 为奇函数，且满足)1(log 2)()(+=+x x g x f a . （1）求函数)(),(x g x f 的解析式；（2）是否存在实数t a ,，当()2,-∈a t x 时，函数)(x g 的值域是()?1,∞-若存在，求出实数t a ,，若不存在，说明理由.张掖二中2020学年度第一学期周考试卷一高三数学（理科）答案1．A；2．B；3．C；4．D；5．B；6．C；7．B；8．D; 9．B10．A【详解】指数函数的单调递增，则：，一次函数单调递增，则：且当时应有：(，解得：，综上可得，实数的取值范围是[4，8）．故选：A．11．B【解析】分析：先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，结合x∈[﹣2，2]，求出x的范围．详解：∵f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，∴﹣2b+1+b=0，∴b=1，∵函数f（x）在[﹣2b，0]上为增函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上为增函数，故函数f（x）在[0，2]上为减函数，则由f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，即（x﹣1）2≥4x，求得﹣1≤x≤，再结合x∈[﹣2，2]，故f（x﹣1）≤f（2x）的解集为[﹣1，]，故选：B．12．C【解析】由为偶函数，对任意，恒成立，知，所以函数的周期,又知，所以函数关于对称，当时，做出其图象.并做关于的对称图象，得到函数在一个周期上的图象，其值域为，令，得，在同一直角坐标系内作函数在上的图象，由图象可知共有8个交点，所以函数的零点的个数为8个. 13．14．【解析】∵令=t,则∴ =∴15．【解析】由题意得，故．答案：16．①②④①对于任意，都有成立，令，则，又是上的偶函数，，，，又由，故，故①正确； ②由①知，的周期为6，又是上的偶函数，，而的周期为6，，，直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确； ③当，且时，都有，函数在上为减函数，是上的偶函数，函数在上为增函数，而周期为6，函数在为增函数，故③不正确；④的周期为6，，函数在有四个零点，故④正确，所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④. 17．（1）原式=（2）原式=.18．（Ⅰ）{}|1 5 A B x x ⋂=≤<， ()(){}|1 5 U U C A C B x x x ⋃=<≥或;（Ⅱ）(],3-∞试题解析：（Ⅰ）∵{}{}| 1 ,|1 5 A x x B x x =≥=-<<∴{}|1 5 A B x x ⋂=≤<， ()(){}|1 5 U U C A C B x x x ⋃=<≥或（Ⅱ）1.当C =∅时； 211m m -≤+ 即： 2m ≤2.当C ≠∅时；121{11 215m m m m +<-+≥--≤解之得： 23m <≤ 综上所述：m 的取值范围是(],3-∞ 19．(1). （2）.【解析】（1）因为命题，所以：，，当为假命题时，等价于为真命题，即在上恒成立，故，解得所以为假命题时，实数的取值范围为. （2）函数的对称轴方程为，当函数在上是减函数时，则有即为真时，实数的取值范围为“或”为假命题，故与同时为假，则，综上可知，当 “或”为假命题时，实数的取值范围为20．（1）()221215f x x x =-+-；（2）()2max24101{31a a a f x a -++<≤=> 【解析】(1)设二次函数()f x 的解析式为()2y a x k h =-+由()()15f f =知， ()f x 图象关于直线3x =对称，∴3k =又()max 3f x =， ∴3h =，由()15f =-得2a =-∴()2223321215y x x x =--+=-+- 即221215y x x =-+-（2）由（1）知，函数()f x 图象的对称轴为3x =。

甘肃省张掖市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试理科数学试卷含参考答案

张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第1页共11页张掖市2022-2023学年第一学期高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2230{|}A x x x =--≤，{|21}x B y y ==+，则A B ⋃=（）A.(1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,3]D.(1,)-+∞2.若复数z 满足()13i z i -=+（其中i 为虚数单位），则z =A.1B.C.2D.3.已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A.5B.5C.455D.3554.已知1sin 23α=则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.16B.13C.12D.235.若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是()A.()(||1)sin f x x x=+ B.sin ()||1x f x x =+C.()(||1)cos f x x x=+ D.cos ()||1x f x x =+6.已知log a =，0.1e b =，ln c =，则,,a b c 的大小关系是（）A .a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<7.把函数())6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第2页共11页个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为A.4[,33ππ B.[,2]ππ C.[,]123ππ D.5[,]44ππ8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为()A.310B.15 C.25D.459.已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为()A.(1)2n n + B.12n - C.221n - D.21n -10.已知函数()1221log 11()x f x x =+++，则不等式()122f m -<-的解集为（）A.()1,3 B.()(),13,-∞⋃+∞ C.()0,4 D.()(),04,-∞⋃+∞11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A.B. C.233D.43312.已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0=>a f x x a 且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（）A.(625,)+∞ B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分．13.已知,a b 是单位向量，且||1a b -= ，则||a b +=__________.张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第3页共11页14.若(13)n x -展开式中各项系数的和等于64,则展开式中2x 的系数是________.15.设函数()()322f x x ax a x =+++．若()f x 的图像关于原点()0,0对称，则曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程为______．16.正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，若截面面积最小值为2π，则=a ______．三､解答题（本大题共6小题，共70分.）17.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=.（1）求cos B 的值；（2）若2c =，ABC △的面积为求b 的值.18.如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，//,90,2AD BC BAD AD BC ︒∠==，M 为PD 的中点．（1）证明：//CM 平面PAB ；（2）若PBD △是等边三角形，求二面角--A PB M 的余弦值．19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第4页共11页22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（2）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，完成列联表并判断是否有99.9%的把握认为获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.20.已知抛物线2:2(1)C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点(,4)E t 在抛物线C 上，过点(0,2)D 的直线l 与抛物线C 交于()()()112212,,,0,0A x y B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE ，OB交于点M ，N (O 为坐标原点)，求证：||||AM MN =.21.已知函数()()21ln 2f x ax x x a =-+∈R .(1)若2a =-，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在区间()0,4上有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2213cos 4ρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()1,0M .若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求AM BM +的值.23.选修4-5：不等式选讲张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第5页共11页设函数()21f x x a x a =-+++.（1）当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；（2）若0a >，且关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围.张掖市2022-2023学年第一学期高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷答案一、选择题BDCDD BABABDC二、填空题1314、13515、520x y --=1617.答案：（1）1cos 3B =（2）3b =解析：（1）在ABC △中，由正弦定理及cos cos 3cos c B b C a B +=，得sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=，sin()3sin cos C B A B ∴+=.又sin()sin C B A += ，sin 3sin cos A A B ∴=.(0,π)A ∈ ，sin 0A ∴>，1cos 3B ∴=.（2）角B 是ABC △的内角，sin 0B ∴>，sin B ==又1sin 2ABC S ac B =△，122a ∴⋅⨯3a =.在ABC △中，由余弦定理得2222cos ac B a c b =+-，2221232323b ∴⨯⨯⨯=+-，解得3b =.18.答案：（1）见解析（2解析：（1）证明：如图取AD 的中点N ，连接MN 和CN ，//MN AP ∴，2,AD BC AN BC =∴= ，又//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，又,CN NM N BA AP A ⋂=⋂= ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂平面MNC ，//CM ∴平面PAB ；（2）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz ，.PBD △为等边三角形，AB AD AP ∴==，不妨设2AB =，则(0,0,0), (2,0,0), (0,0,2), (0,2,0)A B P D ，(2,2,0),(2,0,2)BD BP ∴=-=-，设平面PBD 的法向量为1(,,)n x y z =，由1100n BD n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z=，得1,1x y ==，1(1,1,1),n ∴=，易知AD⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =，设二面角--A PB M 的平面角为θ，由图观察可知θ为锐角，1212cos 3n n n n θ⋅∴===⋅ ，∴二面角--A PB M 的余弦值为33．19．【解析】()I 获得三等奖学金的频率()()()0.0080.0160.0450.150.040.0560.01650.40.0160.00850.40.32++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯=5000.32160⨯=,故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人.()II 每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有()5000.0080.0160.040.040.0560.0165440⨯+++++⨯=人，其中获得一、二等奖学金学生有()()()5000.0080.0160.0450.055000.040.0560.01650.250.0592x ++⨯⨯+⨯++⨯⨯+=每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有5000.1260⨯=人，其中获得一、二等奖学金学生有()600.350.2536⨯+=人，22⨯列联表如图所示:“非努力型”学生“努力型”学生总计获得一二等奖学金学生9236128未获得一二等奖学金学生34824372总计44060500()2250034836922442.3610.8344060128372K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；()III X 的可能取值为0,600,1500,3000()6000.32P X ==,()15000.198P X ==,()30000.058P X ==,()010.320.1980.0580.424P X ==---=X 的分布列X060015003000P0.4240.320.1980.05800.4246000.3215000.19830000.058192297174663EX x =⨯+⨯++⨯=++=元.20.答案：(1)方程为24y x =.(2)证明过程见解析.解析：(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=.由抛物线的定义可得015||2224p p PF x p =+=+=，整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =(舍去).故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(,4)E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =，所以(4,4)E ，直线OE 的方程为y x=易知()11,H x y -，12,x x 均不为0.由题意知直线l 的斜率存在且大于0，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+>，联立，得22,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y ，得22(44)40k x k x +-+=.则22(44)1616320k k k ∆=--=->，得102k <<，所以12244k x x k-+=，1224x x k=.由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x =，故1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭.数形结合可知，要证||||AM MN =，即证12M N y y y =+，即证121122x y y x x +=，即证1221122x y x y x x +=，即证()1212(22)20k x x x x -++=，则22488(22)0k k k k --⨯+=，此等式显然成立，所以||||AM MN =.21.答案：(1)()f x 的单调递增区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)31164a <<解析：(1)2a =-，()0,x ∈+∞，()()()211121x x f x x x x-++'=--+=令()0f x '≥解得102x <≤，所以10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，故()f x 的单调递增；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故()f x 的单调递减；综上，()f x 的单调递增区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)由题意：()0,x ∈+∞，()2111ax x f x ax x x-+'=-+=，所以()0f x '=在()0,4x ∈上有两个不同根，故210ax x -+=在()0,4x ∈上有两个不同根，即21x a x -=在()0,4x ∈上有两个不同根，设()21x g x x -=，()0,4x ∈，()32xg x x -'=，所以()0,2x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增：()2,4x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()()42g a g <<即31164a <<.22、答案：（1）0y --=，2214y x +=7162）（解析：（1）由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为0y --=，又将曲线C 的极坐标方程化为22234cos ρρθ+=，曲线C 的直角坐标方程为2214y x +=.(2)将直线l 的参数方程代入2214y x +=中，得2214142t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得27160t t +=此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数1t ，2t ，得1167t =-，20t =，张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第11页共11页∴由直线参数的几何意义，知12167AM BM t t +=+=23.答案：（1）()2,0-（2）01a <<解析：（1）由题意知，()2121x x f x x =++<+，即211x x +-<.当12x <-时，211x x --+<.解得122x -<<-.当102x -≤<时，211x x ++<.解得102x -≤<.当0x ≥时，211x x +-<.无解.综上所述，不等式的解集为()2,0-.（2）由题意知，0a >，()212f x x a x a =-+++<有解.当12a x +<-时，312x --<.解得1x >-.此时有解，则112a +->-.解得1a <.当12a x a +-≤<时，212x a ++<.解得12x a <-.此时有解，则1122a a +-<-.解得1a <.当x a ≥时，312x +<.解得13x <.此时有解，则13a <.综上所述，实数a 的取值范围为01a <<.。

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民乐一中、张掖二中2020届高三第一次调研考试数学(理) 试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1z i =-，（其中i 为虚数单位， z 是z 的共轭复数），则zzi i+=（） A ． 2B ． 2i +C ． 2i -+D ． -22．已知集合22{|1}23x y A y =+=，集合2{|4}B x y x ==，则A B ⋂=（） A ． 0,3⎡⎤⎣⎦B ． 3,3⎡⎤-⎣⎦C ． )3,⎡+∞⎣D ． )3,⎡-+∞⎣3．已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a += ( )A. 0B. 1C. 2D. 44．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为（） A ． 2B ．3C ．4D ．55．已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．83 B ． 163C ．203D ． 87．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．-40B ．-20C ．20D ．408．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种布阵的方式. A ． 6B ． 12C ． 24D ． 1449. 已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（）A. 1B. 1-C. 2-D. 210．若函数()()sin 2()2f x x πφφ=+<的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且当127,,1212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()120f x f x += ()12x x ≠，则()12f x x +=（）A ．B ． -C ．D ． 11．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，若△FAB 的面积为l 的斜率为（） A ．13132 B ．21 C ．41 D ．7712．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=， ()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()1n n n a n a a +=- ()*n N ∈，则()()3637f a f a +=（） A ． -2B ． -3C ． 2D ． 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若060B =， 2c =， b =，则a =__________．14．抛物线22y x x =-+与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷一点(),P x y ，则y x >的概率为__________.15．已知,,,A B C D 四点在球O 的表面上，且2AB BC ==， AC =若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O 的表面积为__________． 16．已知1112sin,3sin ,3cos ,233a b c ===则,,a b c 的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 满足2n n S a n =- ()*n N ∈. （1）证明： {}1n a +是等比数列；（2）令12nn n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分；在B 处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次．某同学在A 处的投中率10.25q =，在B 处的投中率为2q ，该同学选择先在A 处投第一球，以后都在B 处投，且每次投篮都互不影响，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X 0 2 3 4 5P 0.03 2p 3p 4p 5p（1）求2q 的值；（2）求随机变量X 的数学期望()E X ；（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B 处投篮得分超过3分的概率的大小．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥，262CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）试问在线段PC 上是否存在点F ，使二面角F BE C --的余弦值为33，若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>()0,1A 在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）已知()0,2P -，设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线,AB AC 分别交x 轴于点,M N ，证明： OPM ONP ∠=∠.（O 为坐标原点） 21．已知函数()()ln af x x a R x=+∈．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间2[e ,)-+∞上零点的个数；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在[]()1,e e 2.71828...=上存在一点0x ，使得()0001x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )0l ρθθ+-=，M 为l 与C 的交点，求M 的极径．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）若不等式()2211b a b a ax x -++≥++- ()0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.民乐一中、张掖二中2020届高三毕业班第一次调研考试数学(理) 试题答案一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A 9．C 10．A 11 B 12．B二、填空题 13．4 14．1815．9π 16．a b c << 三、解答题17．（1）见解析（2）11121n +--试题解析：（1）由1121S a =-得： 11a =∵()()()11221n n n n S S a n a n ---=---- ()2n ≥， ∴121n n a a -=+，从而由()1121n n a a -+=+得1121n n a a -+=+ ()2n ≥，∴{}1n a +是以2为首项， 2为公比的等比数列．（2）由（1）得21nn a =-∴()()122121n n n nb +=--，即1112121n n n b +=--- ， ∴11111113372121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--．18．18．解：（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件,A B 相互独立，且()()()()220.25,0.75,,1P A P A P B q P B q ====-，根据分布列知：0X =时，()()()()()220.7510.03P ABB P A P B P B q ==⨯-=，所以2210.2,0.8q q -==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）当2X =时，()()()2p P ABB ABB P ABB P ABB =+=+()()()()()()()220.75120.24P A P B P B P A P B P B q q =+=-⨯=g ．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当3X =时，()()()()()2320.2510.01p P ABB P A P B P B q ===-=．．．．．．．．．．．．．．．4分当4X =时，()()()()2420.750.48p P ABB P A P B P B q ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当5X =时，()()()5p P ABB AB P ABB P AB =+=+()()()()()()2220.2510.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以随机变量X34 1 8 4∴随机变量X ()00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()()()()()22222210.896P BBB BBB BB P BBB P BBB P BB q q q ++=++=-+=．．．．．．．10分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72+=，所以该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）见解析（2）点F 为PC 的中点试题解析：（1）证明：连接BD ，由于AB ∥CD ，点E 为CD 的中点， DE AB =， AB AD ⊥∴四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥ 设BD 与AE 相交于点O又∵△PAB 与△PAD 均为等边三角形 ∴PB PD =在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点 ∴BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE 又∵BD ⊂平面ABCD∴平面PAE ⊥平面ABCD ．（2）由262CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知3OA OP ==， 32PA =，所以PO AO ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点， OA 为x 轴， OB 为y 轴， OP 为z 轴建立空间直角坐标系．可得()0,3,0B ， ()0,0,3P ， ()3,0,0E -， ()6,3,0P -设点F 的坐标为(),,x y z ， PF PC λ=u u u v u u u v ，由()3PF x y z =-u u u v ，，， ()633PC =--u u u v，，，可得()6,3,33F λλλ--，故 ()63333BF λλλ=---u u u v ，，， ()330BE =--u u u v ，，设111m x y z =v（，，）为平面BEF 的一个法向量，则 0{ 0m BF m BE ⋅=⋅=u u u v vu u u v v ，得1131m λλλ=---v（，，），平面BCE 的一个法向量为()001n =v，，，由已知,m n cos m n m n ⋅=⋅v vv vv v 211103λλ=-+33=，解得12λ= 所以，在线段PC 上存在点F ，使二面角F BE C --的余弦值为3，且点F 为PC 的中点．20．（1）2214x y +=（2）见解析试题解析：（1）由已知得： 1b =，2c a = 又∵222a b c =+ ∴24a =，∴椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）∵点B 关于x 轴的对称点为C ∴()00,C x y -，∴直线AC 的方程为011y y x x +=-+，令0y =得00,01x N y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；直线AB 的方程为0011y y x x -=+，令0y =得00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭． ∵20002000111x x x OM ON y y y ⋅=⋅=+--，而点()00,B x y 在椭圆2214x y +=上， ∴220014x y +=，即： 202041x y =- ∴24OM ON OP ⋅==，即OM OP OPON=∴Rt OPM Rt ONP ~V V ， ∴OPM ONP ∠=∠． 21．试题解析：（Ⅰ）()21'af x x x =-Q ,函数()f x 在1x =处的切线平行于直线 20x y -=.()112,1f a a ∴=-=∴=-'.（Ⅱ）令()f x = ln 0ax x +=， 2[e ,)x -∈+∞ 得ln a x x -= 记()ln ,H x x x x =∈ 2[e ,)-+∞， ()1ln ,H x x =+'由此可知()H x 在21e ,e --⎡⎤⎣⎦上递减，在()1e ,-+∞上递增，且()222,H e e --=- ()11,H e e --=- x →+∞时()H x →+∞ 故1a e >时， ()f x 在2[e ,)-+∞无零点 212a a e e =<或时， ()f x 在2[e ,)-+∞恰有一个零点221a e e≤<时， ()f x 在2[e ,)-+∞有两个零点（Ⅲ）在[]()1, 2.71828...e e =上存在一点0x ,使得()0001x mf x x +<成立等价于函数()()11ln mh x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零. ()()()222221111'1x x m m m x mx m h x x x x x x +-----=---==, ①当1m e +≥时,即1m e ≥-时, ()h x 在[]1,e 上单调递减,所以()h x 的最小值为()h e ,由()10mh e e m e+=+-<可得211e m e +>-,22111,11e e e m e e ++>-∴>--Q ； ②当11m +≤时,即0m ≤时, ()h x 在[]1,e 上单调递增,所以()h x 的最小值为()1h ,由()1110h m =++<可得2m <-； ③当11m e <+<时,即01m e <<-时, 可得()h x 的最小值为()()()()()1,0ln 11,0ln 1,12ln 12h m m m m m h m m m m +<+<∴<++=+-+Q 此时, ()10h m +<不成立.综上所述:可得所求m 的范围是211e m e +>-或2m <-22．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l 3与C 的交点M 的极径为 5. 23．（1）最小值为52（2）55,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦试题解析：（1）()31,21212{3,2 2131,2x x f x x x x x x x --<-=-++=-+-≤≤+>，所以， 12x =时， ()f x 取最小值，且最小值为52（2）由()2211b a b a a x x -++≥++-，()0a ≠恒成立，得()2211b a b ax x a-++≥++-恒成立，即21211b bx x a a-++≥++-恒成立，令bt a=，则()21211t t x x -++≥++-恒成立，由（1）知，只需5112x x ++-≤ 可化为1{ 522x x <--≤或11{ 522x -≤≤≤或1{ 522x x >≤，解得5544x -≤≤，∴实数x 的取值范围为55,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。