函数的定义和分类
函数及其表示知识点
函数及其表示知识点一、函数的定义和特征在数学中，函数是一种关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。
函数通常用字母表示，例如f(x)或g(y)，其中x和y是输入值，f(x)和g(y)是对应的输出。
函数的定义可以用多种方式表达，比如公式、算法或图表。
函数的核心特征是单值性和一对一性。
单值性要求每个输入对应唯一的输出，而一对一性则要求每个输出值只能由一个输入产生。
二、函数的符号表示函数可以用多种符号来表示，最常见的是用函数名和自变量表示函数。
例如，f(x)表示一个以x为自变量的函数。
函数的符号表示还可以用映射符号箭头“→”表示，例如f: x→f(x)。
在离散数学中，函数也可以使用集合的形式表示。
例如，如果定义了一个函数f，将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以用f: A→B表示。
三、函数的图像表示函数的图像是一种常用的表示方式。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的特点和关系。
函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的。
横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。
函数的图像可以是曲线、直线、折线等不同形状。
曲线图像可以反映函数的变化趋势和特征，而直线和折线图像则更加简单明了。
四、函数的性质和分类函数有许多性质和分类。
其中一些重要的性质包括：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
2. 奇偶性：如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数。
3. 增减性：函数的增减性描述了函数的单调性。
如果函数在定义域上是递增的，称其为增函数；如果在定义域上是递减的，称其为减函数。
根据函数的具体形式和性质，我们可以将函数进行分类，常见的函数包括：1. 线性函数：形如f(x) = kx + b的函数，其中k和b是常数。
2. 幂函数：形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
3. 指数函数：形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
函数的基本概念
函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念以及一些常见的函数类型。
1. 函数的定义函数是数学中一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式表示。
2. 函数的表示方法函数可以通过不同的方式进行表示。
常见的表示方法包括：- 变量表达式：如y = 2x + 1，其中y表示因变量，x表示自变量。
- 函数图像：通过绘制自变量和因变量之间的关系，可以得到函数的图像。
图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
- 函数表格：通过将自变量和因变量的对应关系列成表格形式，可以清晰地展示函数的取值情况。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数能够接受的输入。
函数的值域是指函数的所有可能输出值，即函数的取值范围。
定义域和值域是函数的重要性质，可以帮助我们了解函数的范围和性质。
4. 常见的函数类型4.1 线性函数线性函数是最简单的一种函数类型，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于零。
线性函数的图像为一条直线，具有常等差的特点。
4.2 幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。
幂函数的图像根据n的不同而变化，n为偶数时图像可以是开口向上或向下的抛物线，n为奇数时图像则可以是一条直线。
4.3 指数函数指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像通常呈现出逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
4.4 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像通常呈现出逐渐增长但增长速度逐渐减缓的曲线，具有反指数增长的特点。
4.5 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
函数的介绍
函数的介绍一、函数的定义函数是数学中的一个基本概念。
简单来说，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x)，x∈A。
例如，在一次函数y = 2x + 1中，对于任意给定的x值（x∈R），都可以通过这个表达式计算出唯一的y值。
二、函数的构成要素1. 定义域定义域是函数自变量x的取值范围。
例如，对于函数y = 1/x，由于分母不能为0，所以其定义域为x≠0的所有实数。
在实际问题中，定义域还可能受到具体情境的限制。
比如，计算一个物体运动的时间，时间不能为负数，那么定义域就会是大于等于0的实数。
2. 值域值域是函数值y的取值范围。
还是以y = 2x + 1为例，因为x 可以取任意实数，那么y也可以取任意实数，所以它的值域是R。
而对于y = x²，因为x²总是大于等于0的，所以它的值域是y≥0。
3. 对应法则对应法则决定了如何从自变量x得到函数值y。
不同的函数有不同的对应法则，像二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）通过二次多项式的计算得到y值，而三角函数sin(x)、cos(x)等则是根据三角形中的比例关系或者单位圆的定义得到函数值。
三、函数的表示方法1. 解析法用数学式子表示两个变量之间的对应关系，就是解析法。
像前面提到的一次函数y = 2x+1、二次函数y = ax²+bx + c等都是用解析法表示的函数。
这种方法的优点是准确、简洁，便于进行理论分析和计算。
2. 列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
例如，某商店记录一周内每天的销售额与当天的客流量之间的关系，可以用列表法。
这种方法简单明了，适合于自变量取值是有限个的情况。
3. 图象法用图象来表示函数关系。
例如，一次函数y = kx + b的图象是一条直线，二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线。
函数的11个概念
函数的11个概念函数是数学中的一个重要概念，它在数学领域、计算机科学领域和其他许多学科中都有广泛应用。
下面我将详细介绍函数的11个概念。
1. 函数定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
对于每个自变量的取值，函数都具有唯一的因变量值。
函数的定义常用函数公式、表格或图像表示。
2. 函数的值域和定义域函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量值的范围。
在一些情况下，值域和定义域可能有限制。
3. 函数的反函数函数的反函数是指将函数的因变量和自变量进行互换得到的新函数。
反函数可以理解为原函数的逆运算，它可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性得到。
4. 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来确定奇偶性。
如果函数满足f(-x) = f(x) ，则它是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
有些函数既不是偶函数也不是奇函数。
5. 函数的零点函数的零点是指函数取零值的自变量的值。
求函数的零点通常需要解方程f(x) = 0, 通过求解这个方程可以找到函数的零点。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的所有点都具有连续性。
一个函数在某一点连续，意味着在这个点函数的极限存在且等于函数在该点的值。
函数的连续性在数学分析和物理学中有广泛应用。
7. 函数的导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点可导，那么该点的导数表示了函数曲线在该点的切线的斜率。
导函数是原函数的导数函数，它可以用来求函数在某点的切线斜率。
8. 函数的积分和不定积分函数的积分描述了函数在一定区间上的“累积变化”。
不定积分是对函数求解反函数运算，它可以得到函数在给定区间上的积分值。
积分在数学和物理学中有广泛应用。
9. 函数的极限函数的极限描述了函数在某一点不断逼近某个特定值的趋势。
极限可以用来描述函数在无穷大或无穷小趋势的特性。
10. 函数的峰值和谷值函数的峰值和谷值是函数在定义域内的最大值和最小值。
函数的分类和定义汇总
2. 函数的返回值 • 终止执行函数有两种情况： 遇到return语句或其他中止函数执行的语句。 执行到函数最后一个右大括号。 • 函数的返回值是通过函数中的return语句实现的：
return 表达式； 或 return（表达式）； 其中表达式的值就是返回给主调函数的值。 如果表达式为空表达式，则无直接的返回值。
• 函数名： 标识符，函数的名称。 • 参数说明表：由带数里的变量名称为形式参数，不给出具体数值。 调用该函数时，给出具体数值，称为实际参数。 • 函数体：由说明语句和执行语句组成的程序模块。
例1：编制一个将小写字母变为大写字母的函数。 char low_to_upper (char c) { if (c>='a'&&c<='z') return c - =32; return c; } 例2：编制一函数，功能为打印 n 个空格。 void print_space ( int n ) { int i; for (i=0; i<n; i++ ) printf(" ") ; }
例3：编制求两整数最大公约数（greatest common divisor）的函数。 int gcd ( int a, int b) int gcd ( int m, int n) { int temp; { int i, t; while(b) for (i=1;i<=(m<=n?m:n); i++) { temp=a%b; if (m%i==0&&n%i==0) t=i; a=b; return t; b=temp; } } return a; }
7.1.1 函数的分类
高等数学函数与极限知识点总结
高等数学函数与极限知识点总结高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。
函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。
本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。
函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。
在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。
函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。
多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。
当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。
极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
函数的定义与基本性质总结
函数的定义与基本性质总结在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义和基本性质是数学学习的重要基础知识之一。
本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的常见类型。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。
函数的定义通常包括定义域、值域和映射规则三个方面。
1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。
它决定了函数的输入范围。
2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。
它决定了函数的输出范围。
3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。
二、函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调增加的。
当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调减少的。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
3. 周期性：函数可以具有周期性，即在一定范围内具有相同的函数值。
对于函数f(x)，如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数的周期为T。
4. 有界性：函数可以是有界的，即在定义域内存在上界和下界。
如果存在常数M，使得对于定义域内的任意x，有|f(x)|≤M，则函数为有界函数。
三、函数的常见类型在数学中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次幂相加或相乘而得到的函数。
函数基本性质及分类
函数基本性质及分类函数是数学中一个重要的概念，是一种从一个集合到另一个集合的映射关系。
每一个函数都有一组输入值和对应的输出值，通常写成函数名加上括号内的自变量，例如f(x)。
函数的基本性质和分类是我们在学习和应用函数时必须掌握的知识点，下面就来一起探讨一下。
一、函数的基本性质1. 定义域和值域：一个函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合，值域是指函数所有可能的输出值的集合。
例如，函数f(x)=x^2的定义域是实数集，值域是非负实数集。
2. 单调性：一个函数在定义域内的单调性表示函数的增减趋势。
如果一个函数在它的定义域上是单调递增的，则对于任意两个自变量，它们对应的函数值的大小关系是前者小于后者。
如果一个函数在定义域内是单调递减的，则其中任意两个自变量所对应的函数值的大小关系是前者大于后者。
3. 奇偶性：一个函数的奇偶性表示函数是否具有对称性。
如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)对于所有x成立，则函数称为奇函数；如果f(-x)=f(x)对于所有x成立，则函数称为偶函数。
例如，函数f(x)=x^3是奇函数，而函数g(x)=x^2是偶函数。
4. 周期性：一个函数如果满足f(x+T)=f(x)对于所有x成立，则称函数具有周期性，其中T是函数的周期。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期都是2π。
二、函数的分类1. 一次函数：一个函数f(x)如果可以表示为f(x)=ax+b的形式，则称它为一次函数。
其中a和b是常数，a称为斜率，表示函数曲线在每个点的增长速率，b称为截距，表示函数曲线与y轴之间的距离。
一次函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线，其斜率为正表示函数递增，为负则表示函数递减，为零则表示函数为常数函数。
2. 二次函数：一个函数f(x)=ax^2+bx+c称为二次函数。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向和斜率，当a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
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令A ={a, b}, B={c},于是 AnB=0, f(ADB)= 0 但 是 f(A) nf(B) = {l, 2} A {2} 0 这表明 f(AAB) c f(A) Af(B)o
<c, a>), h ={<a, a>, <c, P>}, h =(<a, a>,
<b, P>, <c, a>), A <b, p>, <c, P>}, fs ={
={<a, p>, <b, a>, <c, 〈a, 6>, <b, a>, <c,
a>}, A ={<a, 3>, <b, p>} f7 =(<a, p>, <b,
双射。
(2) ranf={2x|xeN}uN,所以f不是满射。对于任意的孔改E N,若fg) =f(x2 ),即2 = 2形，则有x±=x2 o所以f是单射。所以f不是双射。
(3) ranf= Z,所以f是满射。对于任意的xltx2 e Z,若f(xi) = fg),即x】 + 1= %2 则可得出= %2 o所以f是单射。所以f是双射。
定义5.6
设函数f： ATB,
(1)若ranf二B,则称f: A— B是满射的。
⑵ 若Vy e ranf,都存在唯—的x《A,使得f (X)二y,则称f: A是单射的。 ⑶若f： A
TB既是满射的，又是单射的，则称f： A—B是双射的(或 映射)。 由定义易得出：
I
1) 2)
若f: 若f:
ATB是满射的，则对于Vy 6 B,都存在xWA,使得f(x)
A->B是单射的，则对于V %i，形&A,
=
y0
① 若工1。％2，—定有f(》l)。f(X2)o或
者
② 若f (%1)= f (%2)■—定有*1 = X2 O
M 5.2函数的性质与分类
虹 定理5.3」
设A和B为有限集，若A和B的元素个数相等，即| A | = | B 从A到B的函数f是单射当且仅当它是一个满射。
5.1函数的定义
定义5.2
设f、g为函数，贝【J f = g«fCgAgCf 由该定义可知，若两函数f和g相等，一定满足如下两条件: 1) domf 二 domg 2) Vx G domf 二 domg,都有f(x) = g(x) o
例如函数f(x)=拓和^g(x) = X-1 是不相等的，因为domf = (x I x GR A x。-1'*帰=....*卯 而domg 二 R, domf。domgo 所以f。43;ZO"翊朝
2) 令{x I x G A A f (x) G Bj ,称fT(Bi)为％在f下的完全原像。\ J'
-5.1函数的定义
定理5.2
设f是从X到Y的函数，A、B都是X的子集，贝 1) f (AUB)= f(A) Uf(B) 2) f (APB) c f (A) nf (B) ■ 例5.7
例5. 1
判断如下关系是否 为函数？
fl = {< %1，71 A,V %21 yi >,< X3. %A}, f2= (< %1，71 A ,V X1, y2 > , V%2，V1 A ,<X3，V2 A}
解：有是函数，满足函数的定义。£不是函数，因为对应于%1，存在 %和V2，使得工1/>1、刀1/>2同时成立，与函数定义矛盾。
函数部分知识逻辑概图
5.1函数的定义
函数是一种具有特殊性质的二元关系。
5.1函数的定义
定义5.1
设f为二元关系，若对任意的xGdomf都存在唯一的y G ranf使得xfy成立，贝| 称f为函数。
对于函数f,如果〈x, y> 6 f,常记作y二f (x), x称为自变量， y称为x在f作用下的像
小结
(1)函数是一种具有特殊性质的二元关系，即函数值的唯一性。 (2) 函数相等就是集合相等。
(3) 从A到B的函数f: ATB。
(4) 函数的图形表示。
(5) 设A和B都为有限集，\BA\=\B\^O
(6) 像和完全原像。
5.2函数的性质与分类
具有不同性质的三种特殊的函数：满射、单射和双射。
M 5.2函数的性质与分类
p>, <c, a>},
p>, <c, p>)
所以脾=，…，/7)o ,
-5.1函数的定义
定理5.1
设A和B都为有限集，|A|二ni, |B|二n,且m, n > 0,则从A到B共有孔如个不同函数，
即|旳二宀
定义5.5
设函数f： ATB,角 c A, Bi c B,
1) 令fUi )={f(x) |X6 4I},称f(%)为为在f下的像。特别当厶1二A时称f (A)为
例5. 5
设A 二{a, b, c}, B 二{a, B},求W?
解：AxB=(<a, a>, <a, p>, <b, a>, <b, p>, <c, a>, <c, p>), A x B有2。个 可能的子集， 但其中只有23个子集能成为从A到B的函数，分别为
/o=(<a, a>, <b, a>, A={<a, a>, vb, a>,
(或函数值)。
.
函数是一种特殊的二元关系，特点如下：
1) 函数的定义中强调像y是唯一的，称作像的唯一性。像的唯一性可以描述为：设 f(x1)=y1 且f (%2)=72,如果功二-那么yi=72 ；或者如果yi，那么，1皈危)知翊=. 2) 该定义并不排斥多个元素拥有相同的像的情况。即若可以有f(%!)^(x2)o \
J+Z0 3)xVi?55 = 孑
例5. 9
判断卜面函数是否为满
射，单射，双射，为什 么？
(1) f： {1,2}-{0}, f(l)二 f(2)二 0。
(2) f: NTN,
f(x)=2x°
(3) f: ZTZ,
f(x)二x+1。
■解：■
(1) ranf={0},所以f是满射。1。2,但f(1)=f(2),所以f不是单射。不是
-5.1函数的定义
定义5.3
设A, B是集合，如果函数f满足以下条件： 1) domf = A 2) ranf W B
则称f为从A到B的函数，记作f: ATB。
-5.1函数的定义
定义5.4
设A, B为集合，所有从A到B的函数的集合记作时，读作“ B上A ”， 集合表示
为
I
驴二{f | f： A-B}