数学 第一讲有理数的基本概念强化
初一数学上册预科讲义
有理数和实数第一部分第一讲有理数的基本概念1、正数像 3、1、+0.33 等的数，叫做正数。
在小学过的数，除 0 外都是正数。
正数都大于 0。
2、负数像−1、−3.12、−175 、−2012等在正数前加上“−”(读作负)号的数，叫做负数。
负数都小于 0。
0既不是正数，也不是负数。
3、相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
“相反意义的量”的含义包含两部分：相反意义，在相反意义的基础上有数量。
如：南为正方向，向南 1km 表示为+1km ，那么向北 3km 表示为−3km 。
若向东走3km 如何表示？4、有理数整数与分数统称为有理数。
凡是可以化成分数形式的数，都是有理数。
否则，不是有理数。
150.5 1.3 0.1▪23▪ 0.12▪3▪ 0.123▪3.1415926 π5、无理数无限不循环小数，如 π。
有理数分类标准：①性质 、②正负⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数正分数分数零正整数整数有理数：先性质后正负 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数非正数非负数零正分数正整数正有理数有理数：先正负后性质)(⎪⎩⎪⎨⎧小数是有理数不可化成分数形式，不—无限不循环小数理数可化为分数形式，是有无限循环小数有限小数⎭⎬⎫注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例 1：⑴下列各组量中，具有相反意义的量是( )A. 节约汽油 10升和浪费粮食B. 向东走 8 公里和向北走 8公里C. 收入 300元和支出 100元D. 身高 1.8米和身高 0.9米⑵如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下5 ℃记作( )A. −5B. −10C. −5 ℃D. −10 ℃⑶如果水位升高 4m时水位变化记为+4m，那么水位下降 3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为 200米，−150米，那么甲地比乙地高出( )A. 200米B. 50米C. 300米D. 350米⑸饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 ± 30(ml) ”字样。
初一数学教案3篇：有理数的概念和表示方法教案
初一数学教案3篇：有理数的概念和表示方法教案有理数是初中数学中的一个重要知识点，全面掌握有理数的概念、表示方法以及各种基本运算规律，可以为我们后面的学习打下坚实的基础。
针对初一学生的教学情况，我们需要设计一些具体的教学方案，以便让学生更好地掌握有理数的相关知识。
一、教学目标了解有理数的概念，掌握有理数的表示方法和基本运算规律，培养学生的逻辑推理能力和应用能力。
二、教学内容1、有理数的概念有理数是可以用两个整数的比值来表示的数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
其中，正有理数和负有理数是有理数的两个主要部分。
2、有理数的表示方法有理数可以表示为分数的形式，也可以表示为小数的形式。
有理数在数轴上的位置，以及相邻数的大小关系可以用数轴上的位置关系来表示。
3、有理数的基本运算有理数的基本运算包括加、减、乘、除。
其中，加、减法要特别注意相反数的使用，乘、除法要注意分数的化简。
三、教学方法1、多种方法结合。
在教学中，可以采用多种方法相结合的方式，如图形辅助、举例说明、对比分析等方法，使学生能更好地理解和掌握有理数的概念和运算方法。
2、引导发现。
在教学中要引导学生发现问题，并尝试通过自主思考找到解决方法，培养学生的逻辑思维和应用能力。
3、启发式教学。
通过教师提出启示性问题，引导学生自主发现知识，并在学习中发现、探索和体验。
四、教学重点和难点1、教学重点教学重点是让学生掌握有理数的概念和运算方法，以及在数轴上的位置关系。
要重点讲解正有理数与负有理数的关系、绝对值的概念以及加减运算。
2、教学难点教学难点是让学生理解有理数的概念，掌握有理数符号的区别和运算规律，并在数轴上准确表示有理数的位置。
五、教学设计1、教学活动一：理解有理数的概念教学目标：让学生理解有理数的概念，掌握有理数的基本分类和符号。
教学内容：有理数的概念和基本分类。
教学步骤：（1）引入有理数的概念，介绍有理数的定义和特点。
（2）讲解有理数的基本分类：正有理数、负有理数、零。
第一章有理数-有理数(教案)
-难点解释：分数乘除时，分子分母的交叉相乘相除，以及结果的符号判定。
-数轴上的有理数比较：特别是负数的大小比较。
-难点解释：在数轴上，负数的绝对值越大，其值越小，对于学生来说是思维上的一个转换点。
-应用题的建模：如何将实际问题抽象为有理数运算问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题，如购物时如何计算总价。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，使用数轴来表示不同的有理数，并观察它们之间的关系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
在讲授新课内容时，我尽量用简洁明了的语言解释有理数的性质和运算规则，并通过案例分析让学生们看到有理数在实际中的应用。然而，我也发现，仅仅依靠讲解和案例可能还不够，学生们需要更多的实践活动来加深理解。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生们亲自动手去解决问题，这样能够更好地帮助他们消化吸收所学知识。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第1讲有理数的概念和性质和答案
新苏教版七升八数学第一讲有理数的概念和性质一、【概念和性质】1、正数和负数正数：比0大的数。
如+3、+1.5、+12、+584（正号可以省略）负数：比0小的数。
如－3、－1.5、－12、－584（负号不可以省略）零：既不是正数，也不是负数。
零是正数和负数的分界。
【实际意义】如“零上”和“零下”“高出”和“低于”“上升”和“下降”“超出”和“不足”“盈利”和“亏损”“收入”和“支出”▲如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km，向南－5km表示向北5km填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作；汽车原地不动记作。
（2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示。
2、整数和分数统称为有理数。
▲有理数可以写成mn（m、n是整数，n≠0）。
▲有理数的两种分类：①按定义分：②按符号分（常用）：整数分数正整数负整数正分数负分数有理数正有理数正整数正分数有限小数无限小数分数（分子是1时，这个分数就是正数）无限循环小数无限不循环小数（无理数）小数自然数几个重要概念（1）非负数：正数和零（2）非正数：负数和零（3）非负整数：正整数和零（4）非正整数：负整数和零3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。
左边的数 〈 右边的数▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
4、绝对值的意义与性质：① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
②③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。
(word完整版)初一数学上册完全辅导——第一章有理数精讲
初一数学上册重点知识学习参考第一章 有理数一、知识结构有理数： 按定义分 按符号分正整数 正整数 正有理数0 整数 有 正分数（含正有限小数负整数 理 0 和循环小数）有限小数 正分数 数 负整数分数 负有理数无限循环小数 负分数 负分数（含负有限小数和循环小数）注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。
如：0.0100100010001000010000010000001……二、掌握要点1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。
（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。
（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。
（3）数0既不是正数，也不是负数。
0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。
（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。
（5）正整数、0、负整数统称整数。
整数可以看作分母为1的分数。
（6）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
（7）把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”。
所有有理数组成的数集叫“有理数集”，所有整数组成的数集叫“整数集”，所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的。
（8）有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类结果也不同。
问：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？有理数可分为整数和分数两大类，对吗？为什么？2、有理数与数轴上的点一一对应（数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算）。
（1）通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度原点——在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点。
中考数学专题训练第1讲有理数(知识点梳理)
有理数知识点梳理考点01 正数和负数1.正数：像1,2,3,4,0.1等这样大于0的数叫作正数。
正数的前面的“+”可以省略不写。
2.负数：像-0.2.-2.-6这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫作负数。
3.注意事项：（1）0既不是正数也不是负数.0是正数和负数的分界线；（2）对于正数和负数.不能简单地理解为带“+”号的数就是正数.带负号的数就是负数.要根据正负数的含义.看其是符合正数的定义还是符合负数的定义。
4.正负习惯：习惯上把零上、增加、前进、海平面以上、收入、向南、盈利、上升等记为正.把与它们意义相反的量记为负。
考点02 有理数与数轴1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整数.正分数、负分数统称分数.整数和分数统称有理数。
2.有理数的分类3.注意：（1）整数可以看成是分母为1的分数.所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.所以有限小数和无限循环小数都是有理数。
（2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。
4.零的作用（1）表示数的性质.例如0是自然数；（2）表示没有.例如有5个本子.用+5表示.没有本子用0表示；（3）表示正数与负数的分界。
5.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴的三要素即原点、正方向和单位长度。
6.数轴上的点与有理数有理数都可以用数轴上的点来表示.任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点.而且是唯一的点.但数轴上的点不一定都是有理数。
考点03 相反数和绝对值1.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数.把其中一个数叫作另一个数的相反数。
0的相反数是0.2.相反数的几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧且到原点的距离相等；这两点关于原点对称。
3.多重符号的化简：数字前面的“-”号的个数若有偶数个.化简结果为正；有奇数个时.花间结果为负。
4.相反数的性质：如果b a 、互为相反数.那么0=+b a 或b a -=或a b -=；反过来.如果0=+b a .那么b a 、互为相反数。
第一讲有理数的有关概念(一)
第一讲 有理数的有关概念（一）【考点梳理】有理数的基本概念1.正数：大于0的数叫做正数；负数：小于0的数叫做负数。
备注：在正数前面加“-”的数是负数；“0”既不是正数，也不是负数。
2.有理数：整数和分数统称有理数。
3.有理数分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者 ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 4.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。
【典例精析】1．在7， 0， －1.5， 21-， －301， 31.25， 81-， 100.1， －3.001中，负分数为 ，整数为 ，正整数为 。
2.小于5.05的正数有 个，正整数有 个，负整数有 个。
3在数轴上距原点2个单位长度的点表示 。
4、下列说法中，错误的有（ ） ①742-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个5. a ， b 两数在数轴上的位置如图，下列结论中正确的是 。
A. a >0， b <0 B. a <0， b >0C. b >aD. 以上均不对 【训练迁移】6. 0是 。
A. 正数B. 负数C. 整数D. 分数7．（1）如果向南走5米，记作+5米，那么向北走8米应记作___________． （2）如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作____________． 8. 在数轴上,离开表示数2的点距离是3的点表示的数是_______。
9、（1）既是分数又是正数的是（ ）A 、+2B 、 －314 C 、0 D 、2.3（2）在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ） A 、0 B 、1 C 、-2 D 、-3.5 10，在2005，212，0，-3，+1，41，-6.8中，正整数和负分数共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11.12. 下面说法中正确的是( )．(A)正整数和负整数统称整数(B)分数不包括整数(C)正分数，负分数，负整数统称有理数 (D)正整数和正分数统称正有理数13如图：下列说法正确的是（ ）A ：a 比b 大B ：b 比a 大C ：a 、b 一样大D ：a 、b 的大小无法确定14、________是最小的正整数，_______是最小的非负数，_________是最大的非正数。
01-有理数的基本概念-七年级寒假班讲义
第一讲 有理数的基本概念【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【知识梳理】知识点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等 0的数，叫做 ；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做 ．0既不是 ，又不是 。
知识点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：注：⑴正数和零统称为 ；⑵负数和零统称为 ；⑶正整数和零统称为 ；⑷负整数和零统称为 .【例1】下列说法正确的是（ ）A ．a -一定是负数B ．一个数不是正数就是负数C ．0-是负数D ．在正数前面加“-”号，就成了负数【例2】（1）如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .（2）高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .（3）某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 .（4）向南走200-米，表示 .【例3】某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ，627mL ，问抽查产品的容量是否合格？【例4】检查篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5与标准质量的差（克） 4+ 7+ 3- 8- 9+最接近标准质量的是_______号篮球；质量最大的篮球比质量最小的篮球重_______克.【例5】下面说法中正确的是( )．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．a -一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【例6】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？﹣4.5，6，0，2.4，π，，﹣0.313，3.14，﹣11负 数：（ …）； 非 正 数：（ …）； 正分数：（ …）； 非负有理数：（ …）【例7】（1）在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．（2）①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．一、选择题：1、下列各数中是负整数的是( )A 、2-B 、5C 、12 D 、25-2、在12，π，4，123，0，0.3-&中，表示有理数的有( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、下列各数：74-，1.010010001，833，0，π-， 2.626626662-⋯，0.12&&，其中有理数的个数是()A 、3B 、4C 、5D 、64、如果＋20%表示增加20%,那么-6%表示( )A 、增加14%B 、增加6%C 、减少6%D 、减少26%5、下列判断正确的是( )①＋a 一定不为0；②－a 一定不为0；③a ＞0；④a ＜0A 、①②B 、③④C 、①②③④D 、都不正确6、观察下列一组数:-1,2,-3,4,-5,6,…,则第100个数是( )A 、100B 、－100C 、101D 、－1017、在-，π，0，14，-5，0.333…六个数中,整数的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、48、－0.5不属于( )A 、负数B 、分数C 、整数D 、有理数9、在下列集合中,分类正确的是( )A 、正数集合B 、非负数集合C 、分数集合D 、整数集合10、在有理数中,不存在这样的数( )A 、既是整数,又是负数B 、既不是整数,也不是负数C 、既是正数,又是负数D 、既是分数,又是负数11、在－3，－121，0，－73，2002各数中，是正数的有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个12、下列既不是正数又不是负数的是（ ）A 、－1B 、＋3C 、0.12D 、013、飞机上升－30米，实际上就是（ ）A 、上升30米B 、下降30米C 、下降－30米D 、先上升30米，再下降30米14、下列说法正确的是（ ）A 、整数就是正整数和负整数B 、分数包括正分数、负分数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D 、一个数不是正数就是负数。
初一数学第一章有理数教案
初一数学第一章有理数教案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--个性化教学辅导教案学科： 数学 年级： 初一 任课教师： 李春雨 总课时： 共 16 讲第一讲 有理数一、 教学目标1、 掌握正数和负数的概念及其意义2、 掌握有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类3、 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系，正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数4、 掌握相反数的概念，进一步理解数轴上的点与数的对应关系5、 掌握绝对值的概念，有理数大小比较法则，学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小6、 体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想二、 教学重难点重点：1、正确区分两种不同意义的量2、数轴的概念和用数轴上的点表示有理数3、相反数、绝对值的概念难点：1、正确理解有理数的概念及分类2、归纳相反数在数轴上表示的点的特征3、两个负数大小的比较三、 教学过程导入：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数），在生活中，仅有整数和分数够用了吗？（简单讲解天气预报中的气温为零下的情况，引入负数）1、 正数和负数正数：像+，+12,,258这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫正数。
负数：像-5,-3,这样在正数前加上“-”的数叫做负数，负数小于0。
例题：把下列各数填在相应的集合内：15，－6，－，21，0，，－411，51，8，－2，27，71，－43，正数集：{ }；负数集：{ }；正分数集：{ };负分数集：{ }；整数集：{ }；自然数集：{ }.（1）为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的。
负数是根据实际需要而产生的。
如：收入1000元与支出500元、向东走2km与向西走3km，上升与下降，规定收入为正则收入记做+1000，支出记做-500，规定向东走为正则向东走2km记做+2km，向西走记做-3km，上升与下降让学生解答。
初一数学第一章有理数-01有理数基本概念-辅导讲义
初一数学第一章有理数01有理数基本概念 辅导讲义导 航：有理数的基本概念考点1．负数（1）用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后…） （2）定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4)-） （3）a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0 例题：例1、设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，-5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
例2、收入-2000元，表示 。
【中考链接】1、甲、乙两厂三月产值与上月相比，甲厂增产3%，可记作______，乙厂减产1.2%,可记作________.2、已知今天早晨的气温是–14℃，中午的气温比它高5℃，则今天中午的气温是________.3、下列说法错误的是 ( ) A 、零是非负数 B 、零是整数 C 、零的相反数是零 D 、零的倒数是零4、自行车车轮向顺时针方向旋转200圈记做+200圈, 那么向逆时针方向旋转150圈应记做________.5、下表记录了某星期内股市的升跌情况,阅读并完成下表.考点2．有理数 （1）定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5∙∙⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化，所以这类小数也称为分数。
【注】π，以及π的倍数都不是分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
（2）有理数分类A 、按有理数的定义分类B 、按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数（3）习惯上将―正有理数和零‖称作非负有理数（即非负数） （4）应理解下面常用的一些数字语言和符号。
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第一讲 有理数的基本概念强化●基础知识讲的主要内容是有理数的有关概念及其运算，有理数是初中数学中的一个重要概念，它是小学算术中数的概念的扩充。
如引入负数后，则减法运算可畅通无阻，相应的有研究有理数四则运算的必要。
本讲还包括数轴的概念与应用，比较有理数大小的方法等，这些都是整个初中数学学习的基础，同时它在物理、化学及日常生活中也有着广泛的应用。
（一）有理数的定义、性质 1. 有理数的定义整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数。
这是数学课本上的定义，除此定义之外，有理数还可以这样定义：能够表示成分数mn（n ≠0，m 与n 均为整数且互质），称为有理数。
2. 有理数的性质（1）有理数具顺序性。
即指任意两个有理数a 与b ，在a>b,a=b,a<b 三种关系中，有且仅有一种是成立的。
（2）有理数的四则运算具有封闭性，即有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数。
（3）有理数具有稠密性，即指任意两个有理数之间都有无穷多个有理数。
3.有理数的分类：按定义分类： 按符号分类：⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数 零 有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 （二）有理数的比较我们知道，负数<0<正数，而两个负有理数比大小，绝对值大的反而小，从数轴上看，数轴左边的数比右边的数小。
（三）有理数的运算 1. 有理数运算（1）对有理数的四则运算法则，要本着“先定符号，后绝对值”的顺序运算，养成良好习惯。
（2）有理数运算仍然满足加法两大定律和乘法三大定律，恰当地运用这些定律，能使计算过程更合理更简便。
注意：计算的每一步都要有根据，切忌想当然，自己“创造”定律，公式等计算。
2. 定义新运算这些运算中指定了符号的含义，只须根据其含义运算即可。
●典型例题（一）正、负数 及其意义例1.若a 与b 的和为负数，则（ ）A.a 与b 都是负数；B.a 、b 两数一正一负C.a 与b 两数中至少有一个为负数D.以上说法都不对 例2．一物体可以在左右移动，设向右为正，则“记作8 m ”，表明向＿＿＿＿＿＿＿，向左移动12m 记作＿＿＿＿＿＿．（二）有理数的分类例3．在有理数的集合里有（ ）A.最小的负整数B.最小的正整数C.最小的整数D.最大的非负数（三）数轴问题例4 （1996年“希望杯”竞赛题）a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）Aba 111<< B.111<<ba C.111<<ab D.ab 111<<例5.（第6届希望杯）数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长1995厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点有（ ） A 1994或1995 B 1994或1996 C 1995或1996 D 1995或1997 例6．一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为3个单位长度，则这个数为（ ） A ．3± B ． 1.5± C ．3 D ．1.5例7．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数为（ ） A ．5 B ．－5 C ． 2.5- D ．2.5 例8．数轴上A 点表示＋7；B ，C 两点表示的数互为相反数，且C 点与A 点的距离为2（ ） A ．5± B ．9± C ．5或－9 D ．－5或－9例9.（人大附中数学考试）数轴上点A 表示的数是-3，那么到A 点的距离是5个单位的点表示的数是多少？（四）相反数、绝对值例10.a 与b 互为相反数，b 与c 互为相反数，那么（ ） A.a c = B.a c =- C.a c -= D.以上答案都不对 例11．若a b =，则a ，b 的关系为（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．相等或互为相反数D ．不同于以上的结论 例12. （人大附中数学考试）如果,x y 表示有理数，且,x y 满足条件5,2,x y x y y x ==-=-，那么x y +的值是（ ）A. -3B. -7C. -3或-7D. ±3或±7例13. （北大附中2005-2006学年度第一学期期中初一年级数学考试）设a, b, c 为实数，且0,,0,a a ab ab c c +==-=化简()b a b c b a c -+--+-（五）有理数的大小比较 例14 .357,,468---的大小顺序是（ ） A. 753864-<-<-B. 735846-<-<- C. 573684-<-<-D. 357468-<-<-例15.（六）近似数与有效数字例16.神舟六号飞船进入轨道飞行后,每90秒钟绕地球飞行一圈,经计算每天约飞行680000公里，飞船的飞行速度是（ ） 公里/小时（保留三位有效数字）例17. 2.954精确到0.1近似数是（ ）,0.021403保留4个有效数字的近似数是（ ） 6.217510⨯精确到（ ）位，有（ ）个有效数字。
他们是（ ）7039000用科学记数法表示（ ）（七）有理数的计算例18. 化简:11111111324354109-+-+-++-例19计算 222122133⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭例20计算：2002)200211()411()311()211(-⨯⨯-⨯-⨯-⨯例111113477109194++++⨯⨯⨯⨯ 21计算例3121()()()0.257434⎡⎤⎡⎤----+-+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22计算例33123.202020848⎛⎫⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭计算例125118362⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭24计算例25计算 37.90.0038 1.210.379 6.210.159⨯+⨯+⨯●随堂练习1．若a 与b 的和为负数，则（ ）A.a 与b 都是负数；B.a 、b 两数一正一负C.a 与b 两数中至少有一个为负数D.以上说法都不对2．向东行进－35米表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．下面各种说法中正确的是（ ）A.正整数集合与负整数集合合在一起就是整数集合B.-0.087是负数，是有理数，但不是分数C.有理数集合中，有最小的自然数，也有最大的负整数D.零不是正数，不是负数，也不是自然数，但是整数 4．（1999年河北省竞赛题）有理数 a, b, c 在数轴上对应点如图所示，化简b a ac c b ++++-5．（第9届希望杯）已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A. ab<b B. ab>b C. a+b>0 D. a-b>0 6．下列说法中正确的是（ ）A ．两数互为相反数，这两数必定异号B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．绝对值相等的两个数一定相等D ．较小的数的绝对值也较小 7．若0a b +=，则a 与b 的大小关系一定是（ ）A ．a 与b 不相等B ．a 与b 互为相反数C ．a 与b 异号D ．a 与b 均为08．在一个数的前面加上一个“－”号，就可以得到一个（ ） A ．负数 B ．正数 C ．原数的相反数 D ．非正数9．若a 等于－1的相反数，b 等于－2的绝对值，则代数式222ab ab ++的值为＿＿＿＿．10．（2003年山东省竞赛题）如果a,b,c 是非零有理数，且a+b+c=0, 那么a b c abca b c abc+++的所有可能的值为（ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-211．若m<n ，则下列各式正确的为（ ）A ．m n <B ．m n >C ．m n ->-D ．m n -<- 12．若a 是小于1的正数，用“<”号将11,,,,0,1,1a a a a---连接起来为＿＿＿＿＿＿＿． 13.用科学计数法表示—0.00000002008，应记为 （ ）14 近似数7.8万精确到（ ）位，有（ ）个有效数字，他们分别是 15化简：111111111112111312141315141615-+-+-+-+-16计算 12345678200520062007+--++--+++-17计算 2200513132()(2)65(1)2864⎡⎤-+-⨯-⨯÷⨯-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()218.120.1111.112220072007a b a b ab a b a b a b -+-=++++++++++ 已知和是有理数，且求19计算 2200513132()(2)65(1)2864⎡⎤-+-⨯-⨯÷⨯-⎢⎥⎣⎦20计算. 如果20042003)1(11216121=+++++n n ，那么n21计算2200513132()(2)65(1)2864⎡⎤-+-⨯-⨯÷⨯-⎢⎥⎣⎦22.计算5132[2(11)]4343+---●课后作业1.快速计算：23()55+-=＿＿＿＿． 12()35-+=＿＿＿＿．11(1)23-+-=＿＿＿＿． 1131412⎛⎫+-= ⎪⎝⎭＿＿＿＿．06-= ＿＿＿＿．1647-=＿＿＿＿．3.87--=＿＿＿＿．(131)(129)---=＿＿＿＿．1123-=＿＿＿＿． 11()23--=＿＿＿1153.5 2.51616-++=＿＿＿＿． (8)-+（＿＿＿）＝15-．()()123510.5635225223-÷-=-÷⨯=⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]12(4)15(5)(12)(2)(6)11(0.25)(1)(1)33-÷--÷-=÷-+-=⨯-÷+=2．右8筐白菜，以每筐25kg 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重记录如下：1.5, 3.2,0.5,1,2,2, 2.5-----，则8筐白菜的总重量为＿＿＿＿．3．小于99大于－98的所有整数的和为＿＿＿＿4. （1996年“希望杯”竞赛题）在-44，-43，-42，…，1995，1996这一连串连续的整数中，前100个连续整数的和为多少？5. 若1abcdabcd=，计算a b c d a b c d +++的值6.232313535⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦7.()2211 1.4 1.455⎛⎫-÷-⨯--+ ⎪⎝⎭8.计算111111112-+++-。