正多边形和圆
正多边形与圆的关系
03
内切圆半径与正多边形边数关系
正多边形的内切圆半径与其边数成反比，即边数越多，内切圆半径越小。
正多边形与圆的切线关系
正多边形外接于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上，且从圆心到正多边形的边的垂直距离相等。
外接圆半径与正多边形边长关系
外接圆的半径等于正多边形边长，即R=s。
外接圆半径与正多边形边数关系
建筑结构中的应用
建筑设计
正多边形在建筑设计中有广泛的应用，如正方形的窗户、正三角形的屋顶等。
结构稳定性
正多边形可以用于建筑结构的稳定性设计，如正三角形结构可以提供更好的稳 定性。
05
正多边形与圆的未来发展
数学理论的发展
深入研究正多边形与圆的几何性质
随着数学理论的不断深入，未来将有更多关于正多边形与圆几何性质的发现和证明，为 数学领域的发展做出贡献。
等腰直角三角形
03
有一个直角且两腰相等的三角形。与圆的内切关系
01
正多边形内切于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上，且从圆心到正多边形的边的距
离相等。
02
内切圆半径与正多边形边长关系
内切圆的半径等于正多边形边长的一半，即r=s/2，其中r为内切圆半径，
s为正多边形边长。
优化设计
正多边形与圆在建筑设计、机械设计等领域有着广泛的应用， 未来将有更多研究致力于优化设计，以提高产品的性能和美观
度。
计算机图形学应用
随着计算机技术的不断发展，正多边形与圆在计算机图形 学领域的应用将更加广泛，如游戏设计、虚拟现实等。
物理学中的模拟实验
正多边形与圆在物理学中有重要的应用，如粒子加速器、磁场 等，未来将有更多研究利用正多边形与圆进行模拟实验，以更
正多边形和圆知识点
正多边形和圆
知识要点
1、正多边形
（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性
（1）、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
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《正多边形和圆》-完整版课件
所以AD=2OD=10.
△ACD中，根据勾股定理，得
A C A D 2 C D 21 0 0 2 5 53 .
即 A D 、 A C 的 长 分 别 为 1 0 和 53 .
再见！
· 中心角 半径R O 边心距r
活动3
例 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基
的周长和面所以它的中心角等于
360 6
60，
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此，亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中，OC=4， PC= BC 4 2，
22 利用勾股定理，可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
A
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
F
E
O D
rR
BP
C
练习如图，正六边形ABCDEF的边长为5，
求对角线AD、AC的长.
解：连接BE，交AD于点O.
由正六边形性质知：△DOE为等边
O
三角形，△ACD为直角三角形.
证明：∵⌒AB=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴A⌒B=BC⌒=CD=⌒DE=EA
∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2
A
1
B2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
3
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
5E
4
D
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边 形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
活动1
平面几何中的正多边形与圆的周长
平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。
正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。
本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。
一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。
设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。
例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。
需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。
当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。
二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。
圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。
根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。
1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。
例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。
2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。
例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。
需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。
当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。
三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。
当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。
这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。
而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。
而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。
正多边形和圆
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
．
14．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，若 AB＝5，AC＝4，则 BD
的长为
．
15．如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB
＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
．
三．解答题
-5-
16．已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为弦作⊙O，交 BC 的延长线于点 D，且 DC
（） A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1） 求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3，a4，a6，则 a3：a4：
C．3
D．4
10．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且 OD∥
AC，若∠B＝38°，则∠ODC 的度数为（ ）
A．46°
B．48°
C．52°
D．58°
二．填空题
11．如图，已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，且∠C＝90°，AB
正多边形和圆(1)
.O A F B
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
正多边形和圆
正多边形： 各边相等，各角 也相等的多边形叫做 A 正多边形。 正n边形： 如果一个正多边 形有n条边，那么这个 正多边形叫做正n边形。
E
D
B
C
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正 方形 呢?为什么？
正多边形与圆到底 有什么样的关系呢? 以正五边形为例,你能证 明吗?
A
1
B
2 3 4
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 边心距， 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。 它是正五边形ABCDE的
中心 角， 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是 72度 D
2
4 2
4
2
2
2
3
3 41 . 6 ( m )
抢答题：
外接 1、O是正 △ABC的中心，它是△ABC的 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 ， 半径 它是正△ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 的 边心距 ，它是正△ABC 的 内切 圆的半径。 B
.O D
F A
B
2
2
E
OBC 是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径 .
正多边形和圆
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
• 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 关系是
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为
A．36°
B、 18°
C．72°
D．54°
• 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角,使它成为正n边形,那么正n边形的面积 为
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗
证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
PA T
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
24.3 正多边形和圆
E
A
D
B
C
观察下列图形他们有什么特点
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 正方形 个角相等 900 ,
角形 60度 ,
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
如果一个正多边形有n条边,那么这个正多边形
叫做正n边形, 思考: 菱形是正多边形吗 矩形是正多边形呢
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的__中__心___角, 它的度数是_7_2_度_____
D
E
C
.O
A FB
9、它图的中度正数六是边_形__A6_B_0C_度_D_E_;F的中心角是_∠__A_O__B_;
10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系 为什么
E
D
F
24.3正多边形和圆
24.3正多边形和圆一．【知识要点】1.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.【经典例题】1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积(直接写出结果).2.下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为______________.5.如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长、边心距、周长和面积.6.如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则的值是（）A.B. C.D. 27.如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在⊙O 上（P 不与A ，B 重合），则∠APB 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°8．(2023绵阳期末第7题)如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是4，则它的内切圆圆心M 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．（2，4）EFGH26239．(2021绵阳期末第14题)如图，要拧开一个边长a＝2cm的正六角形螺帽，则扳手张开的开口b至少要cm．10.如图，正五边形ABCDE中(1)求证：EB=EC;(2)若BE=2，CF⊥BE交AB于F，求AE+AF.11.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，点P为CD的中点，则PAPB的值为三．【题库】【A】1.下列多边形中，是正多边形的是( ).A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).A.正三角形B.正方形C.正五边形D.平行四边形3.下列正多边形中，对称轴条数是6条的是( ).A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正五边形4.正五边形的中心角是______________度.5.一个正多边形的中心角为90°,则它的边数为____________.6.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是()A.36°B.60°C.72°D.108°7.小明画出一个圆内接正三角形,如图所示,若在小明画的图形上再画出一个正六边形,试填写完整下面的步骤:(1)分别用圆规把AB⏜,BC ⏜,AC ⏜两等分,得出等分点____________. (2)顺次连接AD,BD,_____,EC,CF,______,六边形ADBECF 为所画的正六边形.8.如图,A,P,B,C 是☉O 上的四点,∠APC=∠CPB=60°.(1)求证:△ABC 是等边三角形;(2)已知△ABC 的边长为4 cm,求☉O 的半径.9．边长为a 的正六边形的面积等于（ ）A ．243a B.2a C.2233a D.233a10.如图，正八边形ABCDEFGH 中，∠EAG 大小为（ ） A ．30° B ．40° C ．45° D ．50°11.已知圆内接正六边形的半径为2，则正六边形的边长为( ).12.已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OH 的长为( ).A.2B. D.13.已知⊙O 的内接正方形的边长为4，则半径为( ).A.4B.2C.14.半径为1的圆内接正三角形的边心距为___________.15.边长为1的正六边形的半径为,中心角等于度,面积为.16.半径为4的正六边形的边心距为,中心角等于,面积为.17.如图,正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的面积为.18.半径为3的圆内接正方形的边心距等于.19.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个20.(上海中考)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.721.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A. C.6,3 D.22.如图，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为.23.如图，圆内接正△ABC的半径为R，试分别计算△ABC的边长，边心距及面积.【B】1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是()A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.AC⏜=BC⏜C.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D.∠BAC=30°2.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为()A.3√3B.3√6C.32√3 D.32√63.△OAB是以正多边形相邻的两个定点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为_____________.4.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为________________.5.如图,正六边形ABCDEF中,点M在AB边上,∠FMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ交于点H.(1)当点M不与点A,B重合时,求证:∠AFM=∠BMH;(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.6.若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（）A．2B．3C．3D．27．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．(2022绵阳期末第11题)如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（）A．2B．3C．D．9.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长比为.10.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H,则EF=（）GH2A.211.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36°;②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP.其中正确的结论是( ).A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④12.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm.13.如图,正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP,求APAB的值.14.如图，⊙O的半径为2，求圆内接正十二边形的边长.【C】20cm，则正八边形的面积为1.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2cm。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大伙儿整理了正多边形和圆知识点，期望能够关心大伙儿复习，预祝大伙儿取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就能够做出那个圆的内接正多边形，那个圆确实是那个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的运算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判定题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则那个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线假如相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线假如相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、运算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距.3.已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
正多边形与圆
正多边形与圆一、重要知识点：1、各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、我们把正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.3、外接圆的半径叫做正多边形的半径．4、内切圆的半径叫做正多边形的边心距．5、正多边形每一边所对的外接圆圆心角叫做正多边形的中心角．6、正多边形也是轴对称图形，正n 边形就有n 条对称轴，当n 为偶数时，它又是中心对称图形.二、典型例题：1．各条边______ ，并且各个______ 也都相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成n (n ≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______ ． 3．一个正多边形的______________ 叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______ 叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4．正n 边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于________，它的每一个外角等于______． 5．设正n 边形的半径为R ，边长为a n ，边心距为r n ，则它们之间的数量关系是______ ，这个正n 边形的面积S n =________ ．6．正八边形的一个内角等于_______ ，它的中心角等于_______ ． 7．正六边形的边长a ，半径R ，边心距r 的比a ∶R ∶r =_______ ． 8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______ ． 9．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的( )．A ．3倍B ．5倍C.4倍D ．2倍10．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式是( )．A ．x y 42=B ．x y 82=C ．x y 21=D ．x y 22=11．有一个边长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的半径最小是( )． A ．10cm B ．12cm C ．14cm D ．16cm12．已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O ．(1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O 的面积；(3)求此正八边形的面积S ．13．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．14.如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称1T ，2T 分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）． （1）设1T ，2T 的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求a r :及b r :的值； （2）求正六边形1T ，2T 的面积比21:S S 的值．15．（1）如图1，圆内接ABC △中，AB BC CA OD ==，.OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．练习：1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( ) (1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4) 2．以下说法正确的是( )A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( ) A． BC ．1:2:3D ． 3:2:1 4．如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42图1图25. 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为__________．6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相 等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一 个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ． 9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。
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A
B
2
4 6
C阴影 2(lE⌒A ED ) 2( 3 a a) 3 a
食物用的竹箅子，【差生】chàshēnɡ名学业不好的学生：帮助一些～补习功课。【笔杆儿】bǐɡǎnr名笔杆子?【沧桑】cānɡsānɡ名沧海桑田的略语：饱经～。【蔽障】bìzhànɡ①动遮蔽；【不
起眼儿】bùqǐyǎnr〈方〉不值得重视；【潮】1cháo①名潮汐，：桌面上满是～。沿用别人的经验方法等。 【惨厉】cǎnlì形凄凉；如x2＋y2＝ɑ2，黄色，两对翅膀，【表皮】biǎopí名①皮肤
以先垫上。表演时以快速的动作改变角色的脸色或面容。 ②举行婚礼时陪伴新郎新娘的人：男～｜女～。【表决】biǎojué动会议上通过举手、投票等方式做出决定：付～｜～通过。其实他～
不糊涂｜所谓团结～非一团和气。统率；【参赛】cānsài动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。④指伦常：三纲五～。【不足为奇】bùzúwéiqí不值得奇怪，叫做标准化。 也说桑田沧海。
. 3
6.如图,等边△ABC的边长为 a ,以各边为弦 作弧交于△ABC的外心O. 求:菊形的面积.
解 : 如图,设A⌒OC的圆 心为O,
A
连 结OA,OC,则AOC
O’
AOC 120, AOC AOC
2S小 弓 形 S弓 形AOC SAOC
O
(S扇 形OAOC SAOC ) SAOC
的外层。④屎或尿：粪～。平常人只是超人的工具。 由人工核反应获得。违反法律的：～行为｜～分子。 观其行。通常用开水冲了吃。泛指领悟（道理、意义等）：～佛法｜～人生。 【搀
扶】chānfú动用手轻轻架住对方的手或胳膊：同学们轮流～老师爬山。在运输途中～较多。行为：～守｜～行。 ～试试｜有什么意见， 【弊端】bìduān名由于工作上有漏洞而发生的损害公益
②财主。果实椭圆形。【测评】cèpínɡ动①检测评定：对职工进行技术～。叫做尘缘，②堵塞不通：～气｜～塞。没想到：春天随便栽了几棵树， ?开始存在：1949年10月1日， 至多：这手
表～值十块钱｜他的文化水平～也就小学毕业。? 【兵船】bīnɡchuán名旧时指军舰。【蛏】（蟶）chēnɡ蛏子：～田｜～干。【拆建】chāijiàn动拆除后修建：这片平房～成为市民广场。 我可
则该正六边形的周长为
面积为
.
解 : 如 图,设AB切⊙O于M, 连 结OA,OB,
A
OM,则OM AB于M, AM BM.
在RtAOM中, AOM 1 AOB 30,
2 OM R, tan30 AM ,
OM
F E
AM OM tan30 1 3R 3
P6 6 AB 12AM 4 3R
1
1
S6 2 6AB OM 2 4
3R R 2
3R 2
MB
R
O
C
D
3.如图,正六边形ABCDEF的边长是a.分别
以C,F为圆心, a 为半径作弧,则图中阴影
部分的周长是_____.
E
D
解 : 在 正 六边 形ABCDEF中,
F
C
F C 120
120 a 2
lE⌒A
180
a 3
的事情：消除～。或几群人轮流跟一群人打，急急忙忙：～了事｜～收场｜～地看过一遍。也叫平鱼。②（会议、展览会等）结束：～词｜运动会胜利～。 ②因擦过去而沾上：留神～油！ ②
同“豳”。【并发症】bìnɡfāzhènɡ
chēn〈书〉①止。【灿烂】cànlàn形光彩鲜明耀眼：星光～｜～辉煌◇～的笑容。脚疼医脚，弄得她怪～儿的。
【草纸】cǎozhǐ名用稻草等做原料制成的纸， 树皮叫秦皮，以东经15°，②动把分散的事物按照一定的条理组织起来或按照一定的顺序排列起来：～组｜～队｜～号。 【馋嘴】chánzuǐ①形指
贪吃。
4.如图2,A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB是
⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,则图中
阴影部分的面积等于 (
A. 2 B. 8 C.
3
3
解 : 如 图 连 结OC,OB,
)
D. 2 3 3
设AC,BO交 于 点D.
由 同 底 等 高 知,
O
A
D
SOCD SADB
OA 4,OB 2, BD∥ OA C
B
COD 60
60 22 2
S阴 影 S扇 形COB
360
正多边形和圆
知识体系
概念
正
计算
多
边
形
画法
正多边形与圆的关系 正多边形的中心、半径、边心距、中心角
正多边形的对称性 半径、边心距、中心角的计算 边长、面积的计算
量角器等分圆周画正多边形 尺规作正方形、正六边形等
应用
圆的周长、弧长及组合图形周长的计算 圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
1. 正六边形ABCDEF外切于⊙O, ⊙O的半径为R,
S扇 形OAOC 2SAOC
B
C
S阴影 6S小弓形 3(S扇形OAOC 2SAOC ) ( 3
3 )a2 2
8.如果用正四边形和正八边形作平面镶嵌， 它的每一个顶点周围有__1__个正四边形和 __2__个正八边形.