华东理工大学 《离散数学》课程
《离散数学》-课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲英文：《Discrete Mathematics》一、课程基本信息课程代码：16046404课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics课程类别：学科基础学时：64学分： 4适用对象: 计算机实验班、计算机科学与技术、软件工程考核方式：闭卷先修课程：无二、课程简介中文简介离散数学主要介绍计算机科学与技术中的基本离散结构，重点是这些结构的数学定义、在计算机科学中广为使用的证明方法及其应用。
课程包括的基本内容：数理逻辑初步、证明方法、归纳、良序、集合、关系、图论基础、排列与组合、计数等。
课程还包括若干可选内容：递归定义与结构归纳法、状态机与不变式、递归等。
英文简介Elementary discrete mathematics for computer science and engineering. Emphasis on mathematical definitions and proofs as well as on applicable methods. Topics: formal logic notation, proof methods; induction, well-ordering; sets, relations; elementary graph theory; integer congruences; asymptotic notation and growth of functions; permutations and combinations, counting principles; discrete probability. Further selected topics such as: recursive definition and structural induction; state machines and invariants; recurrences.三、课程性质与教学目的离散数学是计算机类各专业的专业基础课，是计算机科学的基础理论，离散结构的基础知识和逻辑思维的形式化是信息技术类学生的基本功，离散数学的基本概念是理科专业学生进行信息类课程学习的重要基础。
《离散数学》教学大纲(本科)
工科《离散数学》课程教学大纲一、《离散数学》课程说明（一）课程代码：08138010（二）课程英文名称：Discrete Mathematics（三）开课对象：计算机科学与技术专业本科生（四）课程性质：离散数学是数学学科的一门专业教育课。
本课程的目的是传授给学生数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数等方面的知识。
预修课程为：高等代数。
（五）教学目的：使学生系统学习并掌握数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数等方面的知识，培养学生的抽象思维和慎密概括的能力。
（六）教学内容：命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、函数、代数结构、格与布尔代数等（七）学时数、学分数及学时具体分配学时数：54学时学分数：3学分（八）教学方式：以教师讲解为主的课堂教学方式(九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学记管理的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40％，期末成绩占60％。
二．讲授大纲与各章的基本要求第一章命题逻辑教学要点：要求学生理解命题、命题公式、真值表等基本概念，掌握重言式与蕴含式、对偶与范式的定义，熟练掌握命题逻辑的推理理论。
教学时数：9课时教学内容：1-1命题及其表示法1-2联结词1-3命题公式与翻译1-4真值表与等价式1-5重言式与蕴含式1-6其他联结词1-7对偶与范式1-8推理理论考核要求：1-1命题及其表示法(识记与领会)1-2联结词(领会)1-3命题公式与翻译(领会与应用)1-4真值表与等价式(领会与应用)1-5重言式与蕴含式(领会与应用)1-6其他联结词(领会与应用)1-7对偶与范式(领会与应用)1-8推理理论(领会与应用)第二章谓词逻辑教学要点：要求学生理解谓词的概念及表示，命题函数与量词的定义。
掌握谓词公式的翻译，谓词演算的等价公式与蕴含式，及前束范式等概念，熟练掌握谓词运算的推理理论。
教学时数：7课时教学内容：2-1谓词的概念2-2命题函数与量词2-3谓词公式与翻译2-4变元的约束2-5谓词演算的等价式与蕴含式2-6前束范式2-7谓词演算的推理理论考核要求：2-1谓词的概念(识记)2-2命题函数与量词(识记)2-3谓词公式与翻译(领会与应用)2-4变元的约束(领会与应用)2-5谓词演算的等价式与蕴含式(领会与应用)2-6前束范式(领会与应用)2-7谓词演算的推理理论(领会与应用)第三章集合与关系教学要点：要求学生理解集合、关系的概念及表示，掌握集合的运算关系的性质及关系的运算。
《离散数学》课程简介
《离散数学》课程简介
离散数学是计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。
离散数学在教给学生离散问题建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力和严密的逻辑推理能力，通过本课程的学习，不仅使学生掌握进一步学习其他课程所必需的离散数学知识，而且可以增强学生使用离散数学知识进行分析问题和解决实际问题的能力。
为后续的计算机专业课程打下坚实的基础。
本课程的主要内容包括集合论、数理逻辑、图与网络、数论基础、抽象代数和格论及布尔代数方面的基础知识。
集合论主要介绍集合论的基础知识，包括关系、映射和基数等知识；数理逻辑部分主要介绍命题逻辑和谓词逻辑的基础知识；图与网络包括图与网络的数据结构，有向图与Euler路，无向图与Hamilton路等内容；数论基础部分主要包括整除性、质因数分解、合同、一次同余式等；抽象代数部分包括代数系统、半群与群、群的同构与同态、环的性质、环的同态与同构、域的特征、素域、多项式的整除性、多项式的根等内容；格论与布尔代数包括半序格与代数格、对偶原理、格的性质、格的同态与同构、有界格、有余格、分配格、模格、布尔代数的性质等内容。
本课程即使一门基础理论课程，又是一门与实际问题紧密相连的课程，学生既要注重对课程内容的理解，又要加强理论联系实际，这样才能掌握本课程的精髓与要旨。
《离散数学》教学大纲
2．要求学生掌握的基本概念、理论、方法
掌握图论的相关概念；掌握路与回路的相关概念及定理；掌握图的矩阵表示方法；了解 欧拉图与汉密尔顿图的基本概念及相关实例；掌握树的概念。
3．教学重点和难点
教学重点是路与回路的相关概念和定理；图的矩阵表示方法；欧拉图与汉密尔顿图判定。 教学难点是路与回路的相关定理和计算；图的矩阵表示方法；欧拉图与汉密尔顿图判定和应 用。
3．教学重点和难点
教学重点是二元运算的重要性质；幺元、零元、逆元等的定义与性质；广群、半群、独 异点、群、阿贝尔群以及循环群的定义及性质。教学难点是半群、群的性质及证明。
4．教学内容 第一节 代数系统的引入
1．代数系统的定义 2．运算的封闭性
第二节 运算及其性质
1．二元运算 2．二元运算的性质
第三节 半群
《离散数学》教学大纲
课程编码：1512105903 课程名称：离散数学 学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》 适用专业：信息与计算科学 开课教研室：应用数学教研室
一、课程性质与任务
1．课程性质：离散数学是信息与计算科学专业的一门专业必修课。 2．课程任务：本课程的任务是让学生理解数理逻辑、集合论、代数系统和图论等方面 的基本概念，了解部分定理的证明，掌握部分习题的计算；培养学生严密的逻辑思维、抽象 推理以及发散思维能力，力求将学生培养成为会利用数学知识解决生活、生产实际中所遇问 题的创造性人才。
第三章 代数结构
1．教学基本要求
本章从一般代数系统出发，研究如群、环、域等这样一些代数系统，而这些代数系统 中的运算所具有的性质确定了这些代数系统的数学结构。
《离散数学本》课程教学大纲
1．屈婉玲、耿素云、张立昂，《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008。
课程简介：
《离散数学》是信息与计算科学专业的学科基础课程，涉及各种离散量的结构和相互间的关系，以及处理离散结构所必须的描述工具和方法。课程主要讲授集合论、二元关系、函数、代数系统、图论、命题逻辑和谓词逻辑等内容，使学生掌握必要的计算机基础理论知识，同时培养学生逻辑思维和抽象思维能力，为后续计算机科学与技术专业课程的学习打下必要的基础。
3、教学方式可选：课堂讲授/小组讨论/实验/实训
4、若课程无理论教学环节或无实践教学环节，可将相应的教学进度表删掉。
课堂讲授
课后练习
3
二元关系基础
4
二元关系的基本类型与判定方法
课堂讲授
课后练习
4
等价关系和偏序关系
4
两种特殊关系的定义，哈斯图
课堂讲授
课堂作业
5
关系的运算
4
复合关系、逆关系和闭包运算
课堂讲授
课堂作业
6
函数
4
函数的定义，复合函数与逆函数
课堂讲授
课后练习
7
代数系统
4
代数系统，半群，独异点
课堂讲授
课堂作业
8
课程教学目标
1．知识与技能目标：通过本课程的学习，使学生理解集合的概念及表示，掌握集合的运算关系的性质；理解关系的概念及表示，掌握关系的运算，掌握等价关系和偏序关系等关系的性质与判定；理解函数、逆函数和复合函数的定义；了解代数系统的定义，运算及其性质，了解半群、独异点、环和域的概念，掌握群、子群，循环群等概念；掌握图的基本概念，掌握树的概念和最优树的求法，掌握欧拉图和哈密顿图的判定，掌握二叉树和二叉树的遍历问题，掌握图中点度数和边的握手定理，树的点边关系，平面图的欧拉公式极其推论，平面图的面的度数和边的关系；理解命题、命题公式、真值表等基本概念，掌握重言式与蕴含式、范式，熟练掌握命题逻辑的推理理论；理解谓词的概念及表示，命题函数与量词的定义，掌握谓词公式的翻译，谓词演算的等价公式与蕴含式，及前束范式，熟练掌握谓词运算的推理理论。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程类别：专业基础课适用专业：计算机应用技术适用层次：高起专适用教育形式：成人教育考核形式：考试所属学院：计算机科学与技术学院先修课程：无一、课程简介《离散数学》是计算机应用技术专业的一门基础必修课程，主要研究离散量的结构及其相互关系，是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。
二、课程学习目标通过本课程的学习，学生具备以下能力（应达到）：1. 理解命题和命题联接词、谓词和量词、命题公式和谓词公式、自由变元和约束变元等概念，记住常见等值式和推理定律，会求命题公式的主范式，能进行命题逻辑和谓词逻辑的符号化、推理和证明。
2. 理解集合、关系、偏序关系、等价关系和划分等概念，能选择合适方法描述集合和关系，能计算集合的幂集和笛卡尔积、二元关系的合成、闭包、偏序关系的特殊元素，会判定二元关系的性质，能绘制哈斯图。
3. 理解图论的基本概念，会判定特殊图的类型；能根据图的矩阵计算得出相应结论，会判别欧拉图、哈密顿图等特殊图的类型。
三、与其他课程的关系本课程是计算机专业许多专业课程，如数据结构、算法分析、数据库原理、编译原理等的先行课程。
四、课程主要内容和基本要求离散数学是研究离散量的结构和相互关系的一门理论学科，主要包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论四大部分内容。
集合论是离散数学的基础，主要研究数学中学科分支的关注对象与研究内容的一般性规律，涉及集合的基本概念与运算、关系及性质、函数等内容。
数理逻辑以形式逻辑为研究目标，以形式化推理为其研究内容，包括命题逻辑和谓词逻辑两部分内容。
代数系统以抽象运算为研究目标，以满足某些运算规则组成的系统为研究内容，涉及群、环、域等不同的代数系统，系统之间的同态与同构，格与布尔代数等内容。
图论以离散对象上的二元关系为其研究目标，以抽象世界中事物的结构为其研究内容，涉及图的基本概念及应用等内容。
华东理工大学 《离散数学》课程
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相关教学资源：教材
• Discrete Methematics and Its Applications(sixth Edition), Kenneth H. Rosen，机械工业出版社，2008. • Concrete Mathmatics——A Foundation for Computer Science(Second Edition), Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, 机械工业出版社， 2002. • 离散数学，屈婉玲等，高等教育出版社，2008年. • 离散数学及其应用，傅彦等，高等教育出版社，2007年.
– *是G上的二元运算，也是集合
• 初等数论、组合都是关于自然数的性质
– 自然数也是集合
• 逻辑是集合
– 逻辑是形式系统，形式系统是集合
• 计算理论涉及的自动机、图灵机、文法等都是用集合定义的 • 离散数学为什么不称为集合论？ – 用不同名称强调各特殊离散数学结构的特殊性质 – 集合本身有不严谨地方
Email: pineshi@
《离散数学》课程简介
《离散数学》是以研究离散量的结构和相 互间关系为主要内容的一门课程，内容涉及数 理逻辑、集合论、近世代数、图论等数学分支; 与计算机科学中的数据结构，编译原理，操作 系统，形式语言和自动机，逻辑设计，机器定 理证明等课程有密切的联系，故也被称为计算 机数学。
Peano的主要贡献:
(1)是符号逻辑的先驱和公理化方法的身体力行推行 人。 (2)对整数作了公理化处理，给出了著名的自然数公 理。见他的名著《算术原理新方法》一书(1889年 出版)。 (3)用公理化方法研究数学，写出了5卷本巨著《数 学公式汇编》(1895~1908年间出版)。 (4)为他的《数学公式》计划花了26年的时间进行研 究，试图从他的逻辑记号的若干基本公理出发来 建立整个的数学体系。对当代数学家以及后来著 名的Bourbaki学派产生了很大的影响。
《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematics）适用专业：电子信息类课程类别：学科基础课课程学时：48课程学分：3.0先修课程：高等数学、线性代数等一、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
二、教学目的与任务离散数学是一门培养学生缜密思维、严格推理，具有综合归纳分析能力的课程。
通过本课程的学习，使学生有一定的严格逻辑推理与抽象思维能力，掌握离散量的处理及运算技能，能够将离散数学应用到解决计算机技术中的实际问题中。
不仅能为学生奠定计算机科学的专业基础，并且能为将后续课程的学习及将来开发软、硬件技术及研究、应用提供有力的工具。
三、课程内容第1章命题逻辑的基本概念1.1命题与联结词1.2命题公式及其赋值第2章命题逻辑等值演算2.1等值式2.2析取范式与合取范式* 2.3联结词的完备集* 2.4可满足性问题与消解法第3章命题逻辑的推理理论3.1推理的形式结构3.2自然推理系统P3.3消解证明法第4章一阶逻辑基本概念4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及其解释第5章一阶逻辑等值演算与推理5.1一阶逻辑等值式与置换规则5.2一阶逻辑前束范式* 5.3一阶逻辑的推理理论第6章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集的计数6.4集合恒等式第7章二元关系7.1有序对与笛卡儿积7.2二元关系7.3关系的运算7.4关系的性质7.5关系的闭包7.6等价关系与划分7.7偏序关系第8章函数8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数* 8.3双射函数与集合的基数* 8.4一个电话系统的描述实例第14章图的基本概念14.1图14.2通路与回路14.3图的连通性14.4图的矩阵表示* 14.5图的运算第15章欧拉图与哈密顿图15.1欧拉图15.2哈密顿图15.3最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题第16章树16.1无向树及其性质16.2生成树16.3根树及其应用三、课程学时分配、教学内容与教学基本要求四、教学方法与教学手段说明该课程教学方式主要有：课堂教学、交互学习、课后作业。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程名称：离散数学课程代码：11285003适用对象：计算机科学与技术专业学时、学分：72学时，4学分一、说明1、课程的性质、地位和任务课程的性质：离散数学是数学学科的一门专业教育课，是计算机专业的专业基础课。
本课程的目的是传授给学生数理逻辑、集合论、代数结构与图论等方面的知识。
预修课程为：线性代数。
课程的地位：离散数学是计算机科学基础理论的核心课程，是计算机科学技术专业本、专科生的必修专业基础课。
通过本课程的学习，能培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，是一个科学工作者和教育工作者所必备的。
课程任务：课程的任务是使学生比较系统地掌握离散数学的基础知识并能比较灵活地加以运用；培养学生独立分析问题与解决问题能力，掌握离散数学在计算机中的应用为后续课程打下良好的基础。
2、课程教学的基本要求(1)掌握离散数学的基本概念，特别是数理逻辑、集合论和图论的基本内容，是离散数学的主要组成部分。
(2)在讲授基本理论的过程中，应注意引入离散数学的在计算机科学中的应用实例。
3、教法特点说明讲授和实验相结合，采用多媒体辅助教学，重在上机实验。
二、学时分配本课程理论教学时数：72学时三、理论教学大纲内容第1章命题逻辑（学时：12）l、本章教学目的要求（1）讲授命题符号化及联结词。
明确命题符号化及联结词在离散数学的地位。
（2）讲授命题公式及分类,明确等值演算公式的重要意义，（3）讲授真值表，明确真值的作用与意义。
（4）掌握命题公式的主析取范式和合取范式，掌握命题逻辑的推理理论。
2、教学内容及要求（注明掌握内容A，理解内容B，了解内容C）(1)理解命题符号化及联结词 B(2)掌握命题公式及分类 A(3)掌握24个基本等值式及其应用 A(4)了解联结词全功能集、对偶 C(5)掌握命题公式的主析取范式和合取范式 A(6)掌握命题逻辑的推理理论 A3、重点、难点重点：1、命题公式及分类2、命题公式的主析取范式和合取范式3、命题逻辑的推理理论难点：命题逻辑的推理理论4、教学方法教学手段说明讲授、自学讨论，理论和实践密切结合。
离散数学课程
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
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Hilbert的主要贡献:
(1)对几何基础进一步作了深入的研究，于1899年发 表著名的《几何基础》一书，创立了现代公理方法. 比前人达到更高的抽象，更透彻地揭示出公理系统 内在的联系。明确提出了公理系统的三大基本要求， 即相容性、独立性和完备性。
(2)1917年以后对于数学基础的研究是他关于几何基 础研究的自然延续。他早在1904年的海德堡数学 家大会上就提出了对一般数学基础的研究题。 1917年前后，由于集合论中的悖论以及数学中的 直觉主义的发展越来越危及到古典数学的已有成 就，他被被迫重新回到数学基础的研究，提出了 著名的形式化方法。其方法的要点在对于整个数 学的逻辑系统的相容性的研究，这就是著名的证 明论或者“元数学”的研究，希望一劳永逸地解 决数学基础中的问题(注:数学直觉主义的代表人 物是德国著名数学家L.E.J.Brouwer)。
§1.2联结词
用于将原子命题联结成复合命题的运算符号。 原子命题：不能再分解的命题。 eg. P：雪是白色的。
复合命题：由原子命题符号及联结词组成的 “有意义”的命题表达式。 eg. Q：如果雪是黑色的，那么5>3。
Frege的主要贡献:
(1)开始主要从事纯逻辑研究，其总结性著作为《概 念语言》一书(1879年出版)。在其中他创造了一种 所谓的“纯粹思想的语言”，即表意的语言,使我 们可以完全精确地表达判断的概念内涵。例如：他 严格区别了命题的表达和判断；明确提出了真值蕴 含的思想,并指出了它与日常语言的区别；他还引 进了内容同一的符号；引入了量词的理论等等。 (2)给出了历史上第一个严格的现代逻辑系统。这个 系统实际上包含了作为现代数理逻辑基础的两个演 算系统------命题演算系统和一阶谓词演算系统。
华东理工大学 《离散数学》课程
任课教师：施 劲 松
Email: pineshi@
《离散数学》课程简介
《离散数学》是以研究离散量的结构和相 互间关系为主要内容的一门课程，内容涉及数 理逻辑、集合论、近世代数、图论等数学分支; 与计算机科学中的数据结构，编译原理，操作 系统，形式语言和自动机，逻辑设计，机器定 理证明等课程有密切的联系，故也被称为计算 机数学。
eg3：离散老师会在考试时出什么题目呢？ 解答：不是命题，因为它不是陈述句。 eg4：华理比北大历史悠久。
解答：是命题，真值为F。
eg5：海王星上有生物。
解答：是命题但真假待定。 eg6：我正在说谎。 解答：不是命题，是悖论。
3.命题变元（又称命题变量） 一般用P、Q、R、S、E、M表示。
4.命题指派（赋值） eg. P：雪是白色的。
• 内容很多，范围很广 • “离”：概念很多，之间联系不多 • “散”：各部分思想、方法差异很 大 • 浮于概念，不能深入 • 这么多概念到底有什么用？
各部分内容之间可以不离散 ——用课程目的统一所有内容
• 课程目的：提供计算机科学的数学基础
– 计算机科学需要各部分的内容， – 信息与计算科学的需要
下面来分别介绍上述各位数学家在数理逻 辑等方面的主要贡献。
Leibniz的主要贡献：
(1)发明了微积分;创造了一套微积分的符号系统。 (2)设计、制造了能做加、减、乘、除以及开方运算的计 算机,提出了“使所有推理过程实现机械化”这一宏伟 计划。 (3)发明了二进制系统,并用它对中国古老的八卦方圆图 给出了合理的解释(将中国古老的易图解释成0~64的二进 制数表)。 (4)提出了数理逻辑的基本思想和理论基础(手稿)。
教学资源：相关网站
• 哈佛大学/e-resources/details/d/descmath.html • 普林斯顿大学 /~bsudakov/seminar.html • 伯克利大学/~cs70/ • 肯塔基大学 /~math/Research/Margot/DM/ DiscreteMath.html • 离散数学论坛网址 /discrete • 布朗大学 /courses/cs022/ • 科罗拉多大学/education/DMP/ • 数学世界网址 /topics/DiscreteMathematics.html来自– *是G上的二元运算，也是集合
• 初等数论、组合都是关于自然数的性质
– 自然数也是集合
• 逻辑是集合
– 逻辑是形式系统，形式系统是集合
• 计算理论涉及的自动机、图灵机、文法等都是用集合定义的 • 离散数学为什么不称为集合论？ – 用不同名称强调各特殊离散数学结构的特殊性质 – 集合本身有不严谨地方
(3) 数学形式主义纲领的代表著(与 W.Ackermann以 及 P.Bernays合作): 《数理逻辑基础》(1928年出版) 《数学基础》(1934年出版) (4) 23个数学问题对二十世纪数学发展的巨大贡献。
Russel的主要贡献:
(1)受Peano的影响，深入研究了数理逻辑对数学基 础的重要作用。 (2)给出著名的Russel悖论，并提出了类型论以消除 悖论。对数学基础产生了重大影响，并对数学基 础的研究进一步做出了贡献。 (3)与A.N.Whitehead合著《数学原理》一书(共三 卷，1910 ~1913年间出版)。从较简单的逻辑系 统出发，再加上少量的非逻辑公理，推导出了很 大一部分经典数学，是数学基础研究中的一个重 大成就 (注:非逻辑公 理包括无穷公理、选择公理 和可归化公理)。
Peano的主要贡献:
(1)是符号逻辑的先驱和公理化方法的身体力行推行 人。 (2)对整数作了公理化处理，给出了著名的自然数公 理。见他的名著《算术原理新方法》一书(1889年 出版)。 (3)用公理化方法研究数学，写出了5卷本巨著《数 学公式汇编》(1895~1908年间出版)。 (4)为他的《数学公式》计划花了26年的时间进行研 究，试图从他的逻辑记号的若干基本公理出发来 建立整个的数学体系。对当代数学家以及后来著 名的Bourbaki学派产生了很大的影响。
罗素在《数学原理》中写道：
“数学可以从逻辑的规则中推导出来。”
比罗素年长18岁的法国数学家庞加莱1904年写道： “运用逻辑，我们证明；利用直觉，我们创造。”
后来他声明： “因此，如果没有直觉的浇灌，逻辑还是荒漠一片。”
Gödel的主要贡献:
(1)他是继Aristotle和Leibniz以来世界上最伟大的 数理逻辑学家。Hilbert的形式公理系统的逻辑基 础是谓词演算，当时已证明了谓词演算的可靠性 (即一致性)，然而直到1928年以前还无人能证明 谓词演算是否具有完全性。是 Gödel于1929年证 明了谓词演算也有完全性。这是对Hilbert的形式 化方案的一个有力支持。 (2)1934年他证明了形式算术系统的不完全性这一著 名的定理，从而否定了Hilbert的形式化数学方案。
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集合：数组，关系数据库 图论：各种数据结构 代数结构：代数编码 组合：算法复杂性分析 逻辑：数字逻辑 初等数论：密码 计算理论：计算机不可解问题
• 图<V，G >也是集合： – 集合有序对<A, B>也是集合 • 群<G, *>也是集合
各部分内容之间可以不离散 ——用集合统一所有内容
Boole的主要贡献:
(1)实现了逻辑的数学化(用符号进行逻辑演算),创造 了逻辑的代数系统。 (2)出版了两部重要的数理逻辑奠基性的著作: 《逻辑的数学分析》(1847) 《思维规律的研究作为逻辑与概率的数学理论的 基础》(1854) 在这两部著作中,他给出了现今称为“Boole代数” 的这一在许多分支中都有重要应用价值的理论的 雏形。
1、什么是离散数学（Discrete Mathematics）？
离散数学是以研究离散量的结构和相互间关 系为主要内容的一门学科。
2、还是没怎么明白，离散数学到底有什么用？
当然，当我还在大学里时，不可能把这些点点滴滴 预先串在一起，但是这在十年后回顾，就显得非常清 楚。 我再说一次，你不能预先把点点滴滴串在一起； 唯有未来回顾时，你才会明白那些点点滴滴是如何串在 一起的。所以你得相信，你现在所体会的东西，将来多 少会连接在一块。你得信任某个东西，直觉也好，命运 也好，生命也好，或者业力。这种作法从来没让我失望， 也让我的人生整个不同起来。
逻辑：以研究人的思维形式及思维规律
为目的的一门学科。 分类 辨证逻辑
形式逻辑（类似于一门语法的工具性学科）
数理逻辑：利用数学符号来协助推理的
一门形式逻辑学。
为之做出奠基性工作的有:
莱布尼兹(Leibniz, 德 国, 1646-1716) 布 尔(Boole, 英 国, 1815-1864) 弗 雷 格(Frege, 法 国, 1848-1925) 皮 亚 诺(Peano, 意大利, 1858-1932) 希尔伯特(Hilbert, 德 国, 1862-1943) 罗 素(Russel, 英 国, 1872-1970) 哥 德 尔(Gödel, 德 国, 1906-1978) 图 灵(Turing, 英 国, 1912-1954 )等
——斯蒂夫·乔布斯 05年斯坦福大学毕业典礼上的演讲
《离散数学》教学内容
1.数理逻辑（ch1.） 2.集合、二元关系与函数 （ch3.+ch4.§1.§2） 3.图论（ch7） 4.代数系统（ch5）
本 讲 内 容
第一章
简介
§1.1 命题及其表示方法 §1.2 联结词
§1.3 命题公式与翻译
第一章：数理逻辑
推荐课外阅读书目：
§1.1 命题及其表示方法
1.命题：具有确定真值的陈述句。 2.真值：每个命题都具有的一个值。要么为真 （T，1），要么为假（F，0）。
判断下列语句是否是命题，如果是，判断真假。
eg1：这是我第一次接触《离散数学》。 解答：是命题，真值为T。
eg2： 1+11=100.
解答：不是命题，因为它的真假随着外部条 件的改变而改变。
哥德尔不完备定理