拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
三体问题教学教材
然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分， 远远不足以解决三体问题。
无解？
我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无 解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用 解析式表达出来，只能算数值解，没有办法得出精 确值。
三体问题
三体问题
序言
2015年8月23日，被誉为“中国科幻第一人”的刘 慈欣凭借其科幻小说《三体》获得“雨果奖”最佳 长篇小说奖，这是亚洲人首次获得雨果奖，也是中 国科幻第一次获得世界级的认可。在小说中，三体 叛军通过《三体》游戏向社会传播三体文化，游戏 玩家们建立了各种模型来躲避乱纪元、预测恒纪元 的到来。
限制性三体问题
其实，三体运动已经是对实际物理简化得很厉害了 ，比如说对质点，球体自转、形状已经统统不考虑 了，然而即使是这样，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯 、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个问题穷 尽精力，也未能将它攻克。
科学发展到现在，三体问题的求解和应用其实就是 一部心酸的简化史。
研究三体问题的意义
然而其他的解就复杂得多了。比如被他们起名为“ 纱线”的解，在形状球空间中的形状就像一个线团
，而在实际空间中，轨道的样子就像一大坨意大利 面(RAmen!)。Šuvakov and Dmitrašinović根据此方法 把所有已发现的通解，包括前人发现的那些，总共 分成了16族。他们又根据对称性和其他性质将这16 族解分成了4大类，其中第一类囊括了所有前人发 现的特解。
(1)、8字型族——三个物体在一条8字形的轨道上互 相追逐。
限制性三体问题和拉格朗日点的研究
摘要：详细分析并得出了限制性三体问题中的力学模型，并绘制了势能分布图。
提出了一种迭代计算拉格朗日点附近物体运动轨迹的方法。
结合得到的势能分布图，对每个拉格朗日点的特性进行了详细的描述。
关键词：拉格朗日点限制性三体问题力学特性限制性三体问题和拉格朗日点的研究文/仲泽昂在宇宙中，三体问题是一种广泛存在的相互作用系统。
早在十八世纪就由牛顿、拉格朗日等人开始了对它的研究。
而在很多情况下，例如考虑发射人造卫星，计算质量较小的卫星（如木星周围的特洛伊群小行星带）的轨迹时，就可以假定其中一个质点的质量相对于另两个可忽略不计，即以限制性三体问题为模型进行简化。
而拉格朗日点是限制性三体问题的解。
其解共有五个，前三个由欧拉算出，后两个由拉格朗日算出。
其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。
在这五个点上的质点将总是相对于另两个静止，这作为一特性已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。
以日地系统为例，L1 点位于地球和太阳中间，适合停留空间太阳望远镜等设备，方便对太阳的直接观测。
L2点处背离太阳和其他干扰，可以实现低损伤，低油耗的停留，适宜停驻空间天文台，在深空天体特别是红外波段的观测中有着无可比拟的优势。
在本文中，我们将会对限制性三体问题进行力学分析，求出势能模型，并使用MATLAB 对限制性三体问题的模型画图。
通过分析各个特征点的周围势能的分布情况，以及所处的位置情况，对拉格朗日点的特性进行分析。
一、限制性三体问题的势能模型在限制性三体问题中，将质量较小的研究对象的质量计为m ，体系中另外两个质点的质量分别为M 1，M 2。
由限制性三体问题定义有：以M 1，M 2为参考系，对于研究对象m ，由万有引力提供向心力，且受系统转动而产生的惯性力。
系统将在同一平面内做角速度为ω的转动，其转动圆心为M 1，M 2的质心[1]。
设万有引力常量为r ，与M 1，M 2的质心间的距离为。
由牛顿第二定律，可得：上式中，第一项为M 1和m 之间的引力，第二项为M 2和m 之间的引力，第三项为旋转过程中m 所受的离心力。
地月系拉格朗日点
地月系拉格朗日点地月系拉格朗日点是指在地球和月球组成的地月系统中，存在五个稳定平衡点的位置。
这些点是由法国数学家拉格朗日在1772年发现的，它们分别被标记为L1、L2、L3、L4和L5。
这些点相对于地球和月球的位置使得其中的物体能够在引力场中保持相对静止或者维持相对稳定的轨道。
首先，我们来看L1点。
L1点位于地球和月球的连线上，靠近地球一侧。
因为地球比月球质量大很多，引力使得物体在L1点保持相对静止。
这个点对于太阳天文学和航天科学非常重要，因为在这里放置卫星可以永远面向太阳，而不会被地球遮挡。
因此，许多重要的太阳观测卫星都被放置在L1点，例如SOHO卫星。
接下来，L2点位于地月系统中的另一侧，可以在地球和月球之间形成一个稳定的平衡区域。
L2点非常适合天文观测卫星，因为它可以在避免地球和月球的干扰下观测宇宙的更大范围。
L3点位于地月系统的惯性轴上，相对于地月连线在月球的反面。
然而，L3点是相对不稳定的，因为微小的干扰会使物体离开这个平衡点。
目前尚无卫星或空间探测器在L3点附近运行，但作为研究地月系的重要位置之一，这个点潜力巨大。
L4和L5点则分别位于地球和月球形成的等边三角形的顶点。
这些点是非常稳定的平衡点，这使得它们成为小行星、彗星和太空探测器的理想停靠点。
事实上，在L4和L5点附近，存在大量小行星家族，这些小行星与地球和月球共同绕太阳公转。
总之，地月系拉格朗日点提供了航天科学家和天文学家研究地球和月球系统的独特机会。
这些点的稳定性使得我们能够在这些位置放置卫星、观测宇宙，并进行深入的研究。
未来，随着航天技术的进步，我们有望利用拉格朗日点更多的发现新星系、探索宇宙奥秘。
科学家们对这些点的研究将会为航天技术和天文学的发展提供宝贵的指导。
拉格朗日定理的三个推论
拉格朗日定理的三个推论拉格朗日定理是数学中一个重要的定理，也是微积分中最基本的定理。
定理最初由法国数学家维塞尔拉格朗日于1797年提出，在之后的几百年里，许多数学家研究了它的各种推论，丰富和发展了它的内涵。
拉格朗日定理的三个推论是这样的：（1）假定函数f（x）的洛必达法则中的偏导数都存在，则：当在点a处f（x）取极大值时，其偏导数f（a）=0（2）当函数f（x）具有二阶线性连续可导性时，即f（x）和f （x）在点a处同时可导，并且f（a）≠0，则在点a处f（x）取极大值。
（3）如果f（x）的洛必达法则中的偏导数都存在，且在点a处f（x）取极小值，则f（a）=0。
拉格朗日定理的三个推论为数学家和科学家们提供了一种重要的理论工具，用来求解多元微积分中的极值问题，解决极值问题对于许多实际应用至关重要。
因此，研究拉格朗日定理及其推论及其应用，也十分值得关注和研究。
首先，关于拉格朗日定理的三个推论，第一个推论指出：假定函数f（x）的洛必达法则中的偏导数能够存在，当函数f（x）在点a 处取极大值时，其偏导数f（a）必定等于0，从而可以通过求解偏导数等于0的方程，获得函数的极值点。
第二个推论表明：当函数f（x）具有二阶线性连续可导性时，即f（x）和f（x）在点a处同时可导，且f（a）不等于0，则函数f（x）在点a处取得极大值。
而第三个推论认为，如果函数f（x）的洛必达法则中的偏导数都存在，且在点a处f（x）取极小值，则其偏导数f（a）必定等于0，这样我们就可以用同样的方法，求解f（x）的极小值点。
其次，拉格朗日定理的三个推论为科学家提供了研究和解决实际问题提供了重要的参考和指导，在工程和实际应用中都非常重要。
例如，在爆炸燃烧中，我们需要确定最佳燃烧比例，以达到最大爆炸效率，这时候就需要用到拉格朗日定理的三个推论来解决。
同样的，在传热学中，也有许多需要用到拉格朗日定理来求解的问题，因为传热学中的很多数学模型与拉格朗日定理的情况非常相似，均需要求解极值问题。
三星问题
8.三星问题
是从双星问题转向三星问题。
一、拉格朗日点：
违背“高轨低速大周期”的。虽然是高轨，却仍然 等周期。
分析：在地-月系统中，有哪些位置点，会使得卫 星和月球的周期相等。
1.发射到了月球对面位置的卫星，可以使得卫星受到的万 有引力的合力仍然指向地球中心，是个卫星系统。
2.刚才分析的月球旁边的相邻靠里或靠外位置。
分析：转动中心为质心位置，先把AB等效为一个 位置，再把该位置和C去等效，最终为质心位置。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ总之：用杠杆平衡很容易找到质心位置。
（2015安徽）24.由三颗星体构成的系统，忽略其
它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗
星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边 三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角
形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若 A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角 形的边长为a，求： （1）A星体所受合力大小FA； （2）B星体所受合力大小FB； （3）C星体的轨道半径RC； （4）三星体做圆周运动的周期T．
限制性三体问题及应用
方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的 开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动 也分别是以O为焦点的开普勒运动。
以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线， m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨 道运动而绕z轴旋转。角速度:
依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。 分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2 的势场下，势函数表述为：
式中,
m受到的万有引力可表述为：
其动力学方程为：
以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： ρ 将
a
L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是 由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五 个点都称为拉格朗日点。 从Hill曲线上可以看 出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定 的平衡点。
拉格朗日平衡点的证实
拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实 了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。
2 y 2 为质点m在坐标系内的 令 v x
相对速度，能量积分为： v 2
V* E 2 m
V*为质点由m1和m2的引力场及 动坐标系的离心力场组成的相对势能: V * V
V 2 x 2 y x c c x V 2c x c2 y y y
1906年，德国天文学家马克思· 沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星 相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的 绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星 贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能 位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天 文学家很快就在木星之后60°的位置上，也 发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个 拉格朗日点上，已找到700颗小行星。 这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。 事实上，在任何双星系统、行星和太阳、 卫星和行星 的轨道面上，都存在5个拉格朗日 点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。 后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个 小卫星，分别是土卫十三和土卫十四； 土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。 更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点 的存在。
从“鹊桥”看拉格朗日点
从“鹊桥”看拉格朗日点徐水一中吕猛看到“鹊桥”，大家一定会想到牛郎织女的故事，但今天我们所说的“鹊桥”是一颗中继卫星。
关于这颗卫星的由来，还得从我们的探月计划说起。
月球是地球唯一的一颗天然天体，由于地球强大的引力，使得月球的自转周期和其公转周期保持一致，这样我们在地球上看月球，就像大人和小孩儿手拉手转圈圈，大人不能看到孩子的背部一样，身处地球的我们只能看到月球的正面，看不到月球的背面（由于天平动效应我们能看到月球背面的极限为百分之十八）。
即使现在进入航天时代，由于月球整体的阻挡，月球背面仍然是地面通讯的禁区。
为实现对月球背面的研究，就必须把信号传递到那里，那么就需要一颗中继卫星。
“天链一号”是中国第一颗地球同步轨道数据中继卫星，其作用是提高中国载人航天飞行任务的测控覆盖率，将为中国神舟飞船以及未来空间实验室、空间站建设提供数据中继和测控服务。
同时，还将为中国中、低轨道资源卫星提供数据中继服务，为航天器发射提供测控支持。
2012年7月天链一号03星与01星、02星成功实现全球组网运行，建成比较完备的中继卫星系统，使我国具备了卫星全球通讯能力。
我们要实现月球背面通讯，这颗中继卫星要发射到那个位置呢？天链一号卫星的发射只需考虑地球的引力就可以了，而月球中继星要想稳定运行的话必须同时考虑到地球和月球的引力影响。
这样就变成了三体问题，而要解决三体问题就需要了解拉格朗日点。
拉格朗日点又称平动点，在天体力学中是限制性三体问题的五个特解。
“限制三体问题”是指研究的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略不计。
简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”或者“太阳-木星-小质量物体”。
三体问题中最简单的一种类型是平面圆形限制三体问题。
例如太阳-地球体系中，地球绕太阳运行，在空间中有些特定的位置可以放入第三个小质量物体，那么它所受到的太阳-地球体系的引力，恰好等于它与太阳-地球体系一起转动时所需要的向心力，小质量物体就可与太阳-地球体系的相对位置保持不变，（从圆周运动的角度看第三个小物体放在这个位置时，与地球具有相同的角速度）这就是平面圆形限制三体问题。
天体之拉格朗日点
天体运动之拉格朗日点拉格朗日点也叫平动点，在航天中有很重要的应用。
在两个大物体(质量为M和m，比如太阳和地球，质心为C)的引力共同作用下小物体（质量为q，q<<M、q<<m，比如卫星）在空间中的一点相对两大物体基本保持静止的位置。
特征1、符合要求的点共有5个点（L1-L5），L1-L3与M、m总同线，L4-L5与M、m各自构成一个等边三角形。
2、三个星体均绕C做同周期的匀速圆周运动。
3、L1-L3是不稳定点，L4-L5是稳定点。
4、L1便于观测太阳，L2可适当消除太阳影响，L3无太大用处，L4-L5也叫为“三角拉格朗日点或特洛伊点”。
5、若M>>m，有C点距离A点很近。
题：（2012江苏物理8）2011年8月,“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道,我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图所示,该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上,一飞行器处于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动,则此飞行器的：A.线速度大于地球的线速度B.向心加速度大于地球的向心加速度C.向心力仅由太阳的引力提供D.向心力仅由地球的引力提供题：2018年6月14日我国探月工程“嫦娥四号”的中继卫星“鹊桥”顺利进入地月拉格朗日L2点的运行轨道，为地月信息联通建“天桥”。
如图。
L2地月连线的延长线上，卫星只在地球引力和月球引力的共同作用下绕地心和月球同步做匀速圆周运动。
已知地球、月球、卫星的质量分别是M、m、q，地月间距为R，卫星到月球的距离为x，则：A 、)(R 1)(132x R x R +=+B 、)(R M 32x R m x += C 、)(R m )(M 322x R M x x R +=++ D 、)(Rm )(M 322x R m x x R +=++ 题：（2024 浙江金华）随着航天技术的不断发展，人类终将冲出太阳系，对遥远深空进行探索。
如图，a 星与b 星可以看作双星系统，它们均绕连线上的O （未画）点转动，a 星质量是b 星的81倍，假设人类发射了两个探测器1L 、2L 刚好处在该系统的两个拉格朗日点，位于这两个点的探测器能在a 星和b 星的共同引力作用下绕O 点做匀速圆周运动，并保持与a 星、b 星相对位置不变，探测器1L 与a 星球心、b 星球心的连线构成一个等边三角形，探测器2L 在a 星、b 星连线的延长线上。
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拉格朗日点和平面圆三体问题[转]中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三角形点和三个共线点。
拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。
A.D1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。
同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。
20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。
人们进一步发现，在自然界各种运动系统中，都有拉格朗日（拉格朗治）点。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角。
现象L1、L2和L3在两个天体的连线上，为不稳定点。
不过，虽然它们是不稳定的，但可选取适当的初始扰动，使相应平动点附近的运动仍为周期运动或拟周期运动。
即选取这样的初始扰动使系统原来的解退化为周期解，相应的运动变为稳定的，此时这种稳定称为条件稳定。
对于L4、L5，当0<μ<μ*时（其中μ*满足μ*(1-μ*)=1/27），L4、L5是线性稳定的。
对于太阳系中处理成限制性三体问题的各个系统，如日-木-小行星，日-地-月球，……，相应的μ均满足条件0<μ<μ*（μ*满足μ*(1-μ*)=1/27）。
对于μ*<μ<1/2的情况，显然是不稳定的。
至于μ=μ*，非线性稳定性情况，以及椭圆型限制性三体问题中的三角平动点情况，请参见扩展阅读[2]和[3].拉格朗日点的五个特解L1在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。
例如：一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。
但是这忽略了地球的万有引力对其产生的拉力的影响。
如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加了这个物体的轨道周期。
物体距地球越近，这种影响就越大。
在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。
太阳及日光层探测仪（SOHO）（NASA关于SOHO工程的网站）即围绕日-地系统的L1点运行。
L2在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。
例如：相似的影响发生在地球的另一侧。
一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长。
地球引力对其的拉力减小了物体的轨道周期。
在L2点，轨道周期变得与地球的相等。
L2通常用于放置空间天文台。
因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。
威尔金森微波各向异性探测器已经围绕日-地系统的L2点运行。
詹姆斯·韦伯太空望远镜将要被放置在日-地系统的L2点上。
L3在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。
例如：第三个拉格朗日点，L3，位于太阳的另一侧，比地球距太阳略微远一些。
地球与太阳的合拉力再次使物体的运行轨道周期与地球相等。
一些科幻小说和漫画经常会在L3点描述出一个“反地球”。
L4在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的前方。
L5在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的后方。
L4和L5有时称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”。
土卫三的L4和L5点有两个小卫星，土卫十三和土卫十四。
土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。
天文学中的用途在双星系统、行星和太阳、卫星和行星(或任何因重力牵引而相互绕行的两个天体)的轨道面上，所特有的一些稳定点。
例如，超前和落後木星轨道60度的地方，各有一个拉格朗日点，如果有小行星在这两个拉格朗日点上，它会在此点附近振荡，但不会离开这些点，而特洛伊小行星(Trojan asteroids)就是位在这两个区域。
事实上，任何「双星系统」都有五个拉格朗日点。
除了上面的两个点之外，另三个的拉格朗日点不很稳定，位在其他拉格朗日点上的小天体，稍受扰动就会离开它位置。
在天体力学中，拉格朗日点是限制性三体问题的5个特解。
例如，两个天体环绕运行，在空间中有5个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），并使其保持在两个天体的相应位置上。
理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力与离心力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。
理性在太空闪光按照计划，美国国家航空航天局要对哈勃空间望远镜（HST）进行第5次维修。
维修之后，人们估计它至少能够再工作5年。
HST一时还不“退休”，“继任者”詹姆斯·韦伯空间望远镜（JWST）只好在地面上再静候几年了。
有趣的是，詹姆斯·韦伯空间望远镜将不像HST那样绕着地球公转，它的“工作地点”被定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”（在地球背向太阳一面的150万千米处）。
拉格朗日（1736—1813）怎么也想不到，他的“三体问题”研究成果，在发表200多年之后，屡次在人类的科学研究与航天工程中被引用。
“三体问题”研究成果被后人使用，JWST不是第一例。
更早受到世界瞩目的是2001年升空的威尔金森宇宙微波各向异性探测卫星（WMAP），WMAP是继宇宙微波背景探索者卫星COBE之后的第二代宇宙微波背景探测卫星。
人们感到好奇的，也是WMAP的定位：处于太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”。
现在，让我们说一说，什么是“三体问题”？简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”，或者“太阳-木星—小质量物体”这样的“三个天体”的系统如何运行。
说得详细一点，就是研究这样的问题：“太阳-地球”或者“太阳-木星”这些天体系统，如果有无限小质量的物体加入进来，那么在万有引力作用下，这些小物体会怎样运动？“三体问题中”最简单的一种类型，是“平面圆形限制三体问题”。
拉格朗日求解这个问题，得到了5个特解：3个直线解和两个等边三角形解,只有两个等边三角形解是稳定解。
如果小质量物体处在某一个拉格朗日点上，那么它所受到的太阳-木星（或太阳-地球）的引力，恰好等于它与太阳-木星（或太阳-地球）一起转动时所需要的向心力。
这就是说，处在某一个拉格朗日点上，小质量物体就可与太阳-木星（或太阳-地球）的相对位置保持不变。
有趣的是，“第一代卫星”HST和COBE都是绕着地球“公转”，“第二代卫星”JWST和WMAP都把位置定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点”。
欧洲空间局的两颗卫星“赫歇尔”、“GAIA”也看好那个“地点”，计划到那里落户。
在科学发展的历史上，跟“三体问题”有关的好玩故事还有不少。
大约一百年前，1906年，德国天文学家马克思·沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。
它的轨道与木星相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。
最奇妙的是，它的绕日运动周期与木星相同。
从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星贴近。
这颗小行星被命名为“阿基里斯”，他是荷马史诗《伊里亚特》叙述的特洛伊战争中的希腊英雄。
天文学家沙利叶敏感地意识到，小行星“阿基里斯”很可能是法国数学家拉格朗日“三体问题”的一个特例：只要小物体、大行星与太阳这三者形成一个等边三角形，这小物体和大行星就会永远同步地绕太阳旋转，它们永远不会相撞。
果然，天文学家很快就在木星之后60°的位置上，也发现了小行星。
迄今为止，在木星前后这两个拉格朗日点上，已找到700颗小行星。
科学理论的预见何其美妙！后来发现的这些处在拉格朗日点上的小行星，都以特洛伊战争里的英雄命名。
于是，这几百颗小行星，就有了一个“集体的”称号：特罗央群小行星。
这个“特罗央”，实际上就是古希腊神话中小亚细亚的“特洛伊”城。
不久前，法国空间研究中心的天文学家提出一个新设想，使得拉格朗日点将来可能获得新的用途：用作拦截危险小行星的布防点。
法国科学家提出，捕获一些中等体积的“天体”，把它们“部署”到“太阳—地球”体系的五个拉格朗日点中的一个。
发现对地球有危险的小行星以后，人们可以调用这些“天体”去拦截危险小行星。
美妙的理论、美丽的图像、美好的应用，拉格朗日带给我们的兴趣是全方位的：理趣、情趣、志趣。
这是我们对科学的全面的美感。
参考资料1理性在太空闪光/n1143/n1240/n1465/n242664/n24 2712/8004407.html扩展阅读：1 刘林等，航天动力学引论，南京大学出版社，2006.2 Szebehely,V. Theory of Orbits. Academic Press, New York andLondon, 1967.3 Siegel,C.L. & Moser,J.K.. Lectures on CelestialMechanics(chapter 3). Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York,1971. 天体力学定性理论主要研究天体在长时间（包括趋于无穷）内的运动状态以及轨道在运动方程奇点（无穷大值、多值或不定值）附近的性质，为庞加莱等人在二十世纪所创立。