圆型限制性三体问题平动点的稳定性
拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
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拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]中⽂名称：拉格朗⽇点英⽂名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三⾓形点和三个共线点。
拉格朗⽇点指受两⼤物体引⼒作⽤下,能使⼩物体稳定的点.⼀个⼩物体在两个⼤物体的引⼒作⽤下在空间中的⼀点，在该点处，⼩物体相对于两⼤物体基本保持静⽌。
这些点的存在由法国数学家拉格朗⽇于1772年推导证明的。
1906年⾸次发现运动于⽊星轨道上的⼩⾏星（见脱罗央群⼩⾏星）在⽊星和太阳的作⽤下处于拉格朗⽇点上。
在每个由两⼤天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗⽇点，但只有两个是稳定的，即⼩物体在该点处即使受外界引⼒的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两⼤物体所在的点构成⼀个等边三⾓.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的⼆体引⼒场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗⽇Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗⽇Lagrange”或“拉格朗⽇点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
发现18世纪法国数学家、⼒学家和天⽂学家拉格朗⽇（拉格朗治）在1772年发表的论⽂“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他⽤了⼀个⾮常特殊的例⼦作为问题的结果，即：如果某⼀时刻，三个运动物体恰恰处于等边三⾓形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三⾓形队形运动。
A.D1906年，天⽂学家发现了第588号⼩⾏星和太阳正好等距离，它同⽊星⼏乎在同⼀轨道上超前60°运动，它们⼀起构成运动着的等边三⾓形。
同年发现的第617号⼩⾏星也在⽊星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗⽇（拉格朗治）正三⾓形。
第七章限制性三体问题
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
第5页/共27页
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
第11页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
第12页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
第13页/共27页
3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
第17页/共27页
2.1 雅可比积分
1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
d dt
1
2
v2
1 2
2 (x2
y2)
1
1 r1
2
1 r2
0
动能
旋转 势能
势能
机械能
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论一般来说,三体问题是不可积的,因此我们需要做一些近似。
其中很重要的一类就是限制性三体问题,这也是很多实际问题的很好的近似模型,例如,研究卫星的轨道演化的时候,不妨引入太阳+行星+无质量的测试粒子的模型,亦如研究太阳系主带小行星或者柯伊伯带天体的时候,也可以简化成太阳+木星或者海王星+无质量的测试粒子的模型；这些都是真实情况的很好近似。
特别的,我们所感兴趣的是等级式的系统(系统可以分成内部轨道和外部轨道因而保证了系统的稳定性),大体来说,限制性等级式三体问题可以分成外限制(测试粒子在外部轨道)和内限制(测试粒子在内部轨道)两种,我们在第一章和第二章中分别做讨论。
在对外限制问题的讨论中,我们利用展开了的摄动函数,得到最低阶的一个可积的系统,由此得出,这时候测试粒子的升交点经度可能会平动,并且此时伴有较高的倾角；更一般的,我们介绍了这个系统的演化特性。
而后我们引入高阶影响,特别关注了此时的偏心率的演化。
在近共面的情况下,我们得到此时的偏心率激发和共面情况没有(明显)差别的结论；在近极轨的条件下,我们发现,此时偏心率的激发可能会依赖初始的倾角的不同而分为两种情况,这是因为这两种不同的激发在相图中属于不同的平动区的缘故；并且,当轨道属于高激发区域时,偏心率可以从近零激发到0.3,这会极大的影响这种轨道的轨道稳定性,事实上,我们利用这种偏心率激发机制可以很好的限制环高偏心率双星的高倾角轨道的稳定性。
在对内限制问题的研究中,我们关注的重点是外部天体的平运动与内部测试粒子的进动频率相当的时候所引起的近共振的影响。
在共面的假设下,我们推导了含有偏心率的哈密顿量,并利用此时发生倍周期分叉临界点可以得出关于稳定性边界的限制。
我们也推导了高阶的描述倾斜轨道的演化的哈密顿量。
限制性三体问题共线平动点相流结构研究
通 信 作 者 简 介 ： 言 俊 （ ９３ ）， ， 士 ， 授 ， 士 生 导 师 ， 李 １４ 一 男 博 教 博 研
究 方 向 ： 航 、 导 与控 制 。 导 制
２７ ２２
科
学
技
术
与
工
程
１ 卷 １
点 垂直于 ， 的超平 面 ， 对任 意充 分 接近 的 则
⑥
பைடு நூலகம்
２ １ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ ． ｎｎ ． １ ．
限 制 性 三 体 问 题 共 线 平 动 点 相 流 结 构 研 究
张 汉 清 李 言 俊 张 科 孙 小 炜
（ 西北 工业 大 学 航 天 学 院 ， 西安 ７ ０ ７ 西 安 应 用 光 学研 究 所 西 安 ７ ０６ ） １０ ２； ， １０ ５
区域相 流的扭 转特 性 ， 后 为 了 克服 流 形 管 道破 裂 然
的 问题 ， 设计 了一 种 打 靶 方 法 ， 算 并 分 析 了相 流 计 长 期演化 的转 移特 性 。
空 间物 资 运 输 方 便 ， 非 常 适 于 进 一 步 的 深 空 探 且
测， 是建 立太 空基 地和 星 际航 行 港 的最 佳选 择 。 Ｃ ｎｅ ｌ 于 １６ ｏｌ 】 ｙ ９ ８年 研 究 了 平 动 点 附 近 的 相 流 结 构 ， 为平 动点轨 道 的不 变 流形 将 分 离 转 移 与 非 认 转 移轨 道 ， 而转 移轨 道 即可 用 来 构 造 地月 之 间 的 低 能飞行 轨 道 。 同时 ， ｃ ｅｅ 也 研 究 了平 动 点 附 Ｍ Ｇ ｈｅ
１ ７０。
，
将 所得 截 面 曲线绘 制 于 同一 幅 图 中 ， ２显 图
受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ５—１ 。 ２
基 金项 目 ： 西 省 白然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ５ １２ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 项 Ｆ（ Ｊ ８ ７ ） 江 ０ １０ ５ ； １ＧＪ ３７ 。 ０ 作 者简 介 ： 云 辉 （９７一） 男 ， 师 ， 士 。 易 １７ ， 讲 硕
一
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一
０（ ， 方 程 （ ） （ ）式 得 （ Ｙ ， ） 解 ２ 、３ ， ） 即可 得 受 摄 动
第３ ５卷 第 １ 期 ２ １ 年 ２月 ０１
南 昌 大 学 学报 （ 科 版 ） 理 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ａ ｅ ａ ｇ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ ｔ ｅ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ ３ ．１ Ｆｅ ２ ｂ． ０１１
摘
要 ： 用 著 名 的 霍 尔 维 茨 （ ｕｗｔ） 理 ， 到 ｒ受 摄 圆型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点 稳 定 的一 个判 别 条 件 ， 应 用 利 Ｈ ｒｉ 定 ｓ 得 并
它 讨 论 了与 速 度 有 关 的外 力摄 动 对 圆型 限制 性 三 体 问题 三 角 平 动 点 稳 定 性 影 响 ， 进 了文 Ｉ 的 主要 结 论 。 改 ２中
Ｙ
十 二＝ ＋ ， ２ Ｆ
（） １
后 的平动点 （ ， ） ， 。 一 易知 系统 （ ）的平动点 （ ， ）特征 方程为 １ Ｙ
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
限制性三体问题及应用
方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的 开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动 也分别是以O为焦点的开普勒运动。
以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线， m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨 道运动而绕z轴旋转。角速度:
依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。 分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2 的势场下，势函数表述为：
式中,
m受到的万有引力可表述为：
其动力学方程为：
以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： ρ 将
a
L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是 由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五 个点都称为拉格朗日点。 从Hill曲线上可以看 出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定 的平衡点。
拉格朗日平衡点的证实
拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实 了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。
2 y 2 为质点m在坐标系内的 令 v x
相对速度，能量积分为： v 2
V* E 2 m
V*为质点由m1和m2的引力场及 动坐标系的离心力场组成的相对势能: V * V
V 2 x 2 y x c c x V 2c x c2 y y y
1906年，德国天文学家马克思· 沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星 相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的 绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星 贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能 位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天 文学家很快就在木星之后60°的位置上，也 发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个 拉格朗日点上，已找到700颗小行星。 这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。 事实上，在任何双星系统、行星和太阳、 卫星和行星 的轨道面上，都存在5个拉格朗日 点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。 后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个 小卫星，分别是土卫十三和土卫十四； 土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。 更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点 的存在。
圆形中动点问题的解题策略：
圆形中动点问题的解题策略：圆形中动点问题的解题策略
圆形中动点问题是一类在几何学中常见的问题，涵盖了动点在圆形表面的位置、路径、速度和加速度等相关计算和性质。
解决这类问题可以采用以下简单策略：
1. 确定圆的性质
首先，确定给定圆的半径和中心坐标。
这些参数将是解题的基础，用来计算动点相对于圆的位置。
2. 确定动点的位置
确定动点在圆上的位置。
可以使用动点在圆上的弧长或角度来描述其位置。
3. 计算动点的速度
根据题目所给的信息，计算动点在圆上的速度。
可以使用速度公式来计算动点的线速度。
4. 计算动点的加速度
如果题目要求，计算动点在圆上的加速度。
可以使用加速度公
式来计算动点的向心加速度和切向加速度。
5. 分析动点的运动轨迹
根据动点的速度和加速度，可以分析动点的运动轨迹。
根据速
度的方向和大小，以及加速度的方向和大小，可以确定动点在圆上
的运动性质。
6. 结论
总结分析结果，得出关于动点在圆上运动的结论。
以上是解决圆形中动点问题的一般策略，根据具体题目的要求，可能需要适当调整和扩展这些策略。
通过掌握这些基本策略，可以
更有效地解决圆形中动点问题。
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x& v x ,
v&x
2vy
x
,
y& v y ,
v&y
2vx
y
,
z& v z ,
v&z
z
.
令方程组的右端全部为零则可解得平动点.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
假 定 m 稍 微 偏 离 一 点 平 动 点 的 位 置 x0, y0, z0 T 到 新 的 位 置 x, y, z T ,其 中 ：
Y& BAB -1Y
若存在向量 x和数量 使 Ax x 则 x为矩阵A的特征向量 而 为相应的特征根
其中的 Bi 是矩阵 A 的第 i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 Λ 中的 第i个对角元素是矩阵 A 的第i个特征根.
根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y&= BAB-1Y ΛY 的解是:
xy
0
=
2 xy
0
xz
0
yz
0,
0
zz 0
1
r13
r23
0
令
A
zz
0
0,可 将
z 方向的运动分离出来：
Z&& A Z
Z0cost, 2A
这是一个简谐振动的方程,所以 在 z 方向的运 动是稳定的.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中将z自由度分离,只考虑关于X,YT的方程：
X&
Y&
VV& &YX
0
0
xx0
yx 0
0 0
xy 0 yy 0
1 0 0
2
1002VVYXYX
.
各变量之间有耦合关系
例如VX VX X,Y,VY
平动点是否稳定,可以从X,Y,Z随时间的变化情况反映.Z是稳定的,而X,Y
的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.
一般地,一个关于向量XX1,X2,L,XnT的常微分方程可写成如下形式:
Y&= BAB-1Y
X = B -1Y , X&= B -1Y&
并且其中的系数矩阵 Λ=BAB-1 是一个对角矩阵 :
B -1Y& AB -1Y
1 0 L 0
Λ =B A B -1
0
2
L
0
.
M M O M
0 0 L n
一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:
B = B1, B2,L , Bn ,
X &=AX.
A是nn矩阵
方程的解的情况由系数矩阵A决定.特别地,如果矩阵A是一个对角矩阵,该
方程的各个变量之间没有耦合关系,那么这个方程就可以解出来：
Adiag1,2,L,n X&i iXi Xi cieit i1,2,L,n
3.5.1 变分方程与线性稳定性
实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X&= AX 变成
xy 0
0
2 .
yx 0 yy 0 2 0
特征根由下述方程给出
01
0
0
d e t
xx
0
xy 0
0
1
2 0
yx 0 yy 0 2
即
Axx AEx0 detAE 0为特征方程
由特征方程可以解出特征根
4
4
r15 0
x0 r25
0
1
y0
,
x x 0
1
A
3
1
x0
r15 0
2
x0
12
r25 0
,
yy
0
1
A
3
1
r15 0
r25
0
y
2 0
.
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
A
zz
0
1 r13
0
r
3 2
0
3.5.2 共线平动点线性稳定性
对 共 线 平 动 点 ,有 y0 0,则
0 0 0
xx
0
V&Y V&Z
yx
0
zx 0
0 0 0
xy 0 yy 0 zy 0
0 0 0
xz 0
yz 0
zz 0
1 0 0 0
2
0
0 1 0 2
0
0
0 0 1
X Y Z
0
V
X
0 0
V V
Y Z
在 平 动 点 有 z 0, 显 然 地 ：
xy
0,
0
xx
0
1
2A,
特征根方程:
yy
1 A.
0
4 2 A 2 1 2A 1 A 0.
令 2 B 2 A, C 2 1 2A 1 A 0,方 程 成 为 :
d 2 z 0 Z
dt2
z
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
而 上 述 方 程 组 的 右 端 可 以 在 x0, y0, z0 T 附 近 作 展 开 ,比 如 ：
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
0 表 示 求 导 在 x 0 ,y 0 ,z 0 T 处 进 行
x
0
X
x
x
0
Y
y
x
0
Z
z
x
0
高
阶
项
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在 上 述 方 程 中 略 去 高 阶 项 ,考 虑 到 平 动 点 的 性 质 ,最 终 可 以 将 关 于 X ,Y , Z T
的方程写成一阶形式：
X&
Y&
Z&
V&X
xx
0
yy 0
2
2
xx 0
yy
0
xy 0
0.
这 个 方 程 的 根 是 容 易 求 出 的.
这 是 关 于 2 的 二 次 方 程
3.5.1 变分方程与线性稳定性
为 讨 论 平 动 点 的 稳 定 性 ,首 先 计 算 系 数 矩 阵 中 的 元 素 :
xy
0
3
1
x0
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z .
X,Y,Z是小量
代入运动方程：
d 2 x0 X
dt2
d 2
y0 Y dt
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
d 2 y 0 Y
dt2
d 2
x0 X
dt
y
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
Yi cieit
可 见 X & = A X 解 ( 由 X = B - 1 Y 给 出 ) 的 稳 定 性 情 况 由 系 数 矩 阵 A 的 特 征 根 决 定 .
3.5.1 变分方程与线性稳定性
考 虑 平 动 点 的 稳 定 性 ,系 数 矩 阵 为 :
0
0 1 0
0
0
0
1
A
x x 0
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.5 平动点的线性稳定性
圆型限制性三体问题中 m的运动方程为：
&x&
2
y&
x
1 n 2 x 2 y 2 1 ,
2
r1 r2
&y&
2 x&
y
其中
r12 x y 2 z 2 ,
&z&
z
r
2 2
x
1
y2
z2.
该运动方程可以改写成一阶方程组的形式：