限制性三体问题的探究
三体运动的规律课程设计
三体运动的规律课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握三体运动的基本概念，理解三体运动中物体间的相互作用力。
2. 使学生了解三体运动的主要数学模型，如拉格朗日点和欧拉方程。
3. 引导学生掌握分析三体运动稳定性的方法，了解限制性三体问题和开普勒定律的应用。
技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决三体运动问题的能力，包括建立数学模型、求解方程等。
2. 提高学生运用物理原理分析三体运动中物体运动状态变化的能力。
3. 培养学生运用计算机软件模拟三体运动过程，观察和分析运动规律的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对天体物理学和数学建模的兴趣，培养科学探索精神。
2. 培养学生团队协作意识，学会与他人共同分析问题、解决问题。
3. 引导学生关注我国航天事业的发展，树立为国家和民族事业奋斗的远大理想。
本课程针对高中物理课程中的三体运动问题，结合学生年级特点和教学要求，设计课程目标。
通过本课程的学习，学生将能深入理解三体运动的规律，掌握相关物理和数学知识，培养解决实际问题的能力，同时培养科学精神和团队协作意识。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 三体运动基本概念：介绍三体运动定义，分析三体系统中物体间的相互作用力，如万有引力等。
2. 数学模型：学习拉格朗日点和欧拉方程，了解它们在三体运动中的应用。
- 拉格朗日点：讲解拉格朗日点的定义及其稳定性。
- 欧拉方程：推导并解释欧拉方程在三体运动中的作用。
3. 三体运动稳定性分析：探讨限制性三体问题，分析三体系统运动稳定性。
4. 开普勒定律及其应用：回顾开普勒定律，并应用于三体运动问题。
5. 计算机模拟：利用计算机软件（如MATLAB等）进行三体运动模拟，观察和分析运动规律。
6. 实践案例：分析实际航天工程中的三体运动问题，如地球-月球-人造卫星系统。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1周：三体运动基本概念，拉格朗日点介绍。
2. 第2周：欧拉方程推导及应用，三体运动稳定性初步分析。
三体问题详解及其历史
三体问题详解及其历史三体问题详解及其历史【导读】这一阵在看刘慈欣的《三体》，的确是好科幻小说。
不过，再好的科幻小说也仍然是科幻，更何况“硬度”不一，科学背景上总归能找出不合事实的地方来。
当然，这些不能说就是Bug，毕竟，总得让写书的有些自由发挥的余地，反正这又不是写物理论文。
而且，好的科幻容易把人拉入梦境中，比如看《球状闪电》的时候，我时常会有出冷汗的感觉。
这个时候，科学知识可以把人从小说营造的意境中拉出来，象我逃离量子玫瑰等充满鬼气的情节的法子就是念叨“我相信系综解释”。
多了解些背景，兴许可以少做些噩梦。
三体问题不消说，光从书名上看，三体问题就是《三体》最大的背景之一。
三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。
先说一下什么叫三体。
用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。
参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。
在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。
用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。
在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。
每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。
要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。
N=2，就是二体问题。
N=3，也就是我们要说的三体问题了。
N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。
学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。
然而三体运动的情况就糟糕得多。
攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。
牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论一般来说,三体问题是不可积的,因此我们需要做一些近似。
其中很重要的一类就是限制性三体问题,这也是很多实际问题的很好的近似模型,例如,研究卫星的轨道演化的时候,不妨引入太阳+行星+无质量的测试粒子的模型,亦如研究太阳系主带小行星或者柯伊伯带天体的时候,也可以简化成太阳+木星或者海王星+无质量的测试粒子的模型；这些都是真实情况的很好近似。
特别的,我们所感兴趣的是等级式的系统(系统可以分成内部轨道和外部轨道因而保证了系统的稳定性),大体来说,限制性等级式三体问题可以分成外限制(测试粒子在外部轨道)和内限制(测试粒子在内部轨道)两种,我们在第一章和第二章中分别做讨论。
在对外限制问题的讨论中,我们利用展开了的摄动函数,得到最低阶的一个可积的系统,由此得出,这时候测试粒子的升交点经度可能会平动,并且此时伴有较高的倾角；更一般的,我们介绍了这个系统的演化特性。
而后我们引入高阶影响,特别关注了此时的偏心率的演化。
在近共面的情况下,我们得到此时的偏心率激发和共面情况没有(明显)差别的结论；在近极轨的条件下,我们发现,此时偏心率的激发可能会依赖初始的倾角的不同而分为两种情况,这是因为这两种不同的激发在相图中属于不同的平动区的缘故；并且,当轨道属于高激发区域时,偏心率可以从近零激发到0.3,这会极大的影响这种轨道的轨道稳定性,事实上,我们利用这种偏心率激发机制可以很好的限制环高偏心率双星的高倾角轨道的稳定性。
在对内限制问题的研究中,我们关注的重点是外部天体的平运动与内部测试粒子的进动频率相当的时候所引起的近共振的影响。
在共面的假设下,我们推导了含有偏心率的哈密顿量,并利用此时发生倍周期分叉临界点可以得出关于稳定性边界的限制。
我们也推导了高阶的描述倾斜轨道的演化的哈密顿量。
三体质子封锁科学原理
三体质子封锁科学原理1三体质子封锁科学原理三体质子封锁（Three Body Ion Trap，简称3-BIT）是结合物离子分子的物理、化学、动力学经典价键理论和非线性思想，利用外部电场在空间封锁三个及以上有原子和分子组成的离子，可以进行定量结构分析、膜质子交换反应、复杂物质合成、超高分子量物质生成等研究工作。
传统的离子魔方（Ion Trap）大多只可以封锁二体离子，而3-BIT技术则可以将三体离子封锁到完全隔离状态，有效地避免它们之间相互反应，从而控制它们的反应方向性，获得相应生成物的准确分子式及相互位置的定义性。
2基本原理3-BIT的基本原理是自由离子必须被轴向的外部电场封锁到围绕共轴线转动，形成封锁可抱轨道。
原子和分子离子的封锁，仅当外部电场有应力的时候（即有中心场和共轴线的径向场），而且必须满足垂直限制条件，它们才可以稳定保持一个空间封锁配置，这一配置也被称为共用相同轴圈（Common Axial Ring）。
垂直限制条件即三体离子必须位于电场对称中心的立体中心点（TCP），凡是满足封锁的电场的半径不能超过TCP轴向位移的距离，三体离子的封锁可以稳定保持。
该原理大大简化了微小电场控制多原子分子封锁的构造状况，使封锁多个离子分子成为可能。
3电场强度因素3-BIT技术可以有效控制多个离子分子的封锁，对于逐个离子分子的封锁效果也会受到电场强度大小影响。
当离子封锁在径向电场梯度较强时，将使得离子上升到所谓的峰值；当电场梯度比较弱时，将离子降低到一个“衰减”的位置；而当电场的梯度介于这两个极端之间时，离子分子就暂时“凝结”在TCP，以一个非常稳定的状态出现，此时其由此形成的封锁现象可以被称之为“锁定”。
4改良封锁方法虽然3-BIT封锁技术可以有效控制多个离子分子的封锁，但是其封锁效率仍存在一定的不足，而该技术的封锁效率可以通过改良电场的分布特性和电场的梯度强度等方面进行提高。
具体改良方法是，将电场的梯度强度和测量离子处于峰值或衰减位置的比例均衡化，并调节电子的分布，以围绕峰值的释放范围，有效提高被封锁离子的几率。
第七章限制性三体问题
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
z
2
r23
z
z=0，平衡点在 天体运动平面内
1.3 拉格朗日解
2x
1
r13
(x2r12)
2
r23
(x1r12)
2
y
1
r13
y
2
r23
y
G(m1m2)
r132
r132
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
1.3 拉格朗日解 地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
r232(xx& y& yzz& 1r12x& )
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
d dt 1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2 0
r132iz
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为
得到 π2月球质量与地月质量的比值0.01215
1.2 限制性三体问题的动力学方程
受摄三体问题研究
２０ ０ ８年 ｌ ２月
中 国 空 间 科 学 技 术
１ ５
圆型 限 制性 三体 问题
假设 两个 主天 体 Ｍ１ Ｍ２Ｍ１ 和 （ ＞Ｍ２绕其 公 共质 心 以角速 度 ∞ 做 圆周 运 动 ， ） 第三 体 （ 行器 ） 飞 Ｍ３ 质量 远远 小于 主天 体 的质 量 ，因而第 三体不 影 响主天 体 的运动 。圆型限 制性 三体 问题研 究第 三体 在 主天 体 的引力 作用 下 的运 动 。以系统 的公共 质 心 为 原点 ，定义 会 合 坐标 系 。ｚ轴 从 Ｍ 向 Ｍ２ 指 ，ｚ
摘 要 圆型 限制 性三体 问题模 型忽略 了摄动 因素 的影响 ，在 很 多情况 下不能足 够准确
地描 述三体 系统 的动力 学性质 。本文研 究 了考虑 摄动影 响 的三体 问题 的动 力学性质及 其轨
道设计 。首先分析 了运行在 平动 点 附近 的卫 星所 受的主要 摄动 因素 ；然后从 系统在 惯性 坐 标 系中的动 力学方程 出发 ，推 导 了会 合 坐标 系中考虑偏 心率 、第四体 引力 以及 太 阳光压摄 动影 响的一般 动 力学方程 ；最后使 用 两层 微分修 正方 法将 圆型限制性 三体 问题 模 型下设计
１ ４
中 国 空 间 科 学 技 术
ＣＨＩ ＮＥＳＥ ＰＡＣＥ ＣＩ Ｓ Ｓ ＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＩＯＧＹ
２０ ０ ８年 １ ２月
第
６ 期
受 摄 三体 问题 研究
李 明涛 郑建华 于锡峥 高东
（ 中国 科 学 院空 间科 学 与 应 用 研 究 中心 ，北 京 １ ０ ８ ） ０ ０ Ｏ
较 好 的描述平 动点 附近的动 力学性 质在概念 设计 阶段被 广泛使 用 ，然 而 圆型限制性 三体 问题没有 考
限制性三体问题和拉格朗日点的研究
摘要：详细分析并得出了限制性三体问题中的力学模型，并绘制了势能分布图。
提出了一种迭代计算拉格朗日点附近物体运动轨迹的方法。
结合得到的势能分布图，对每个拉格朗日点的特性进行了详细的描述。
关键词：拉格朗日点限制性三体问题力学特性限制性三体问题和拉格朗日点的研究文/仲泽昂在宇宙中，三体问题是一种广泛存在的相互作用系统。
早在十八世纪就由牛顿、拉格朗日等人开始了对它的研究。
而在很多情况下，例如考虑发射人造卫星，计算质量较小的卫星（如木星周围的特洛伊群小行星带）的轨迹时，就可以假定其中一个质点的质量相对于另两个可忽略不计，即以限制性三体问题为模型进行简化。
而拉格朗日点是限制性三体问题的解。
其解共有五个，前三个由欧拉算出，后两个由拉格朗日算出。
其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。
在这五个点上的质点将总是相对于另两个静止，这作为一特性已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。
以日地系统为例，L1 点位于地球和太阳中间，适合停留空间太阳望远镜等设备，方便对太阳的直接观测。
L2点处背离太阳和其他干扰，可以实现低损伤，低油耗的停留，适宜停驻空间天文台，在深空天体特别是红外波段的观测中有着无可比拟的优势。
在本文中，我们将会对限制性三体问题进行力学分析，求出势能模型，并使用MATLAB 对限制性三体问题的模型画图。
通过分析各个特征点的周围势能的分布情况，以及所处的位置情况，对拉格朗日点的特性进行分析。
一、限制性三体问题的势能模型在限制性三体问题中，将质量较小的研究对象的质量计为m ，体系中另外两个质点的质量分别为M 1，M 2。
由限制性三体问题定义有：以M 1，M 2为参考系，对于研究对象m ，由万有引力提供向心力，且受系统转动而产生的惯性力。
系统将在同一平面内做角速度为ω的转动，其转动圆心为M 1，M 2的质心[1]。
设万有引力常量为r ，与M 1，M 2的质心间的距离为。
由牛顿第二定律，可得：上式中，第一项为M 1和m 之间的引力，第二项为M 2和m 之间的引力，第三项为旋转过程中m 所受的离心力。
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
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关于限制性三体问题的探究（河南大学物理与电子学院物理系中国·河南·开封475004）【摘要】本文主要研究限制性三体问题中的一种简化模型：两个固定恒星和一个小行星的运动。
并于开篇对非线性科学、三体问题的概述及其发展史作必要简介，篇中为该简化模型的数理推断、Matlab程序设计、分析与实现，收篇为研究心得总结。
【关键词】非线性，限制性，N体，三体，Matlab程序，运行轨迹。
第一部分引言一、关于非线性科学1.非线性科学作为科学的一个新分支，如量子力学和相对论一般，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。
它的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。
它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。
2.非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，相反，恰恰说明它具有广泛的应用性。
从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。
3.非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机和复杂系统。
而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。
二、三体问题（Three Body Problem）1.N体问题：N体问题即在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定的初始位置和速度的条件下，它们就会以一定的方式在空间中运动。
2.三体问题：三体问题是多体问题的一个特例。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动如下图。
在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。
按照经典力学，需要求解已知初始位置和初始速度条件下微分方程组。
研究表明，由于方程的非线性，在三体问题中会出现混沌现象。
3.三体问题的发展史a.研究起源在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，当时伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是N体问题的特例——三体问题。
值得一提的是，这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特也没有把他们列进他的问题清单。
但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了。
b.三体问题的研究方法三体问题由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，只能根据实际情况采用各种近似的解法，研究三体问题的方法大致可分为3类：第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。
这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。
c.三体问题之特殊情况三体问题主要有以下四种特殊情况：1、三星成一直线，边上两颗围绕当中一颗转。
2、三星成三角形，围绕三角形中心旋转。
3、两颗星围绕第三颗星旋转。
4、三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动。
如图（a）d.限制性三体问题三体问题的特殊情况。
当所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为限制性三体问题。
一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体。
把小天体的质量看成无限小，就可不考虑它对两个有限质量体的吸引，也就是说，它不影响两个有限质量体的运动。
于是，对两个有限质量体的运动状态的讨论，仍为二体问题，其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。
根据圆锥曲线为圆、椭圆、抛物线和双曲线等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型：圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。
若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限质量体的轨道平面上，则小天体将永远在运动。
而按限制性三体问题研究月球的运动，略去太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角，实际上这就是一种特殊的平面圆型限制性三体问题。
他得到的周期解，就是希尔月球运动理论的中间轨道。
在小行星运动理论中，常按椭圆型限制性三体问题进行讨论，脱罗央群小行星的运动就是太阳-木星-小行星所组成的椭圆型限制性三体问题的等边三角形解的一个实例。
布劳威尔还按椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。
抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题在天体力学中则用得很少。
人造天体出现后，限制性三体问题有了新的用途，常用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型，见月球火箭运动理论和行星际飞行器运动理论)。
而本文则是对限制性三体问题中的最简模型：小天体（质量远远小于固定恒星质量）绕两固定恒星的运动进行了一些相关讨论与科学探究。
我们给出了其matlab程序设计及处理结果，并作了相应的理论分析与研究总结，希望读者能够仔细阅读体会，并提出您的宝贵意见，便于改进我们的工作。
第二部分数理推断及程序设计1.模型方程的导出首先将三维问题平面化，即把三维空间中的两大质量恒星固定在一维线上，这样该维线就与小天体共面，以M1与M2所在直线为ｘ轴，以M1M2线段中垂线为y轴建立平面直角坐标系：如下图所示：M1=M2=M，m3<<M;由牛顿万有引力定律（仅考虑万有引力，自转不考虑）可以得出：F1=GM1m3/[(x+1)^2+y^2];F2=GM2m3/[(x-1)^2+y^2];由于此计算归于无量纲数值运算，故可以假定GM=1以便于计算分析；所以得出：F1=m3/[(x+1)^2+y^2];F2=m3/[(x-1)^2+y^2];此时，有力的分解与合成对小天体（m3）进行受力分析；则具体过程如下：因为tanθ1=k1=y/(x+1);F1y=F1x*tanθ1;(F1x)^2+(F1y)^2=(F1)^2;故可以得出：F1x=m3(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5;F1y=m3y/[(x+1)^2+y^2]^1.5;同理，可以得出：F2x=m3(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5;F2y=m3y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;由牛顿第二定律有X方向小天体所受合力：Fx=F1x+F2x=m3(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5+m3(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5; Y方向小天体所受合力：Fy=F1y+F2y=m3y/[(x+1)^2+y^2]^1.5+m3y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;X方向小天体的加速度：ax=(x+1)/[(x+1)^2+y^2]^1.5+(x-1)/[(x-1)^2+y^2]^1.5;Y方向小天体的加速度：ay=y/[(x+1)^2+y^2]^1.5+y/[(x-1)^2+y^2]^1.5;可由迭代法导出:Vx(t+dt)=Vx(t)+ax*dt; (1)Vy(t+dt)=Vx(t)+ay*dt; (2)x(t+dt)=x(t)+Vx(t+dt)*dt; (3)y(t+dt)=y(t)+Vy(t+dt)*dt; (4)2.matlab程序设计下面则根据第一步的方程导出进行程序设计:打开matlab运行界面，首先建立.m文件，在编辑窗口中：令h=dt;Vx(1)=p,Vy(1)=q;x(1)=m,y(1)=n;运行次数为N;运用for语句结合1.中的(1)、(2)、(3)、(4)即可得出其程序：（取h=0.002,p=q=0.5,m=0.8,n=1.2，N=30000）>> h=0.002;>> vx(1)=0.5;>> vy(1)=0.5;>> x(1)=0.8;>> y(1)=1.2;>> for i=1:30000vx(i+1)=vx(i)-h*((x(i)+1)/((x(i)+1)^2+y(i)^2)^1.5+(x(i)-1)/((x(i)-1)^2+y(i) ^2)^1.5);vy(i+1)=vy(i)-h*(y(i)/((x(i)+1)^2+y(i)^2)^1.5+y(i)/((x(i)-1)^2+y(i)^2)^1.5 );x(i+1)=x(i)+vx(i+1)*h;y(i+1)=y(i)+vy(i+1)*h;line(y(i),x(i));end将程序在命令窗口（command window）中运行即得其处理图形：图（1）1>.改变运行次数使N=10000，h,p,q,m,n不变则其运动轨迹的路线就会更加清晰化：（2）(运行10000次的结果)2>.当h=0.003,N=10000；m,n,p,q不变时其运行结果如下：图（3）3>.而改变Vx，Vy时则会出现比较非常的结果：。