受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用
拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
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拉格朗日点和平面圆三体问题[转]中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三角形点和三个共线点。
拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。
A.D1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。
同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。
20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。
含辐射和扁率的圆型限制性三体问题的轨道稳定性研究
ห้องสมุดไป่ตู้
∂Ω
x¨ − 2ny˙
=
, ∂x
y¨ +
2nx˙
=
∂Ω ∂y
,
∂Ω z¨ = .
∂z
(1)
其中,
Ω
=
n2 2
[(1
−
µ)r12
√
+ µr22]
+
q(1 − µ) +
r1 √
µ r2
+
µA2 2r23
−
3µA2z 2r25
.
(2)
三体稳定解参数
三体稳定解参数《三体》是刘慈欣所著的科幻小说，其中涉及到了许多科学概念和理论，包括三体稳定解参数。
在小说中，三体稳定解参数是指三体星系中三个恒星之间的相对位置和运动状态，这些参数对于三体星系的稳定性至关重要。
然而，在现实世界中，三体稳定解参数是一个复杂的数学问题，涉及到天体力学和动力系统理论。
本文将详细解析三体稳定解参数的概念、计算方法和应用。
一、三体稳定解参数的概念在数学和物理学中，三体问题是指三个质点在相互作用下的运动问题。
三体稳定解参数是指三个质点在空间中的初始位置和初始速度，这些参数决定了三个质点在相互作用下的运动轨迹和稳定性。
三体问题是一个高度复杂的问题，因为三个质点之间的相互作用会产生非线性动力学行为，导致系统的运动轨迹非常复杂。
二、三体稳定解参数的计算方法三体稳定解参数的计算方法主要基于数值模拟和解析方法。
数值模拟方法是通过计算机模拟三个质点在相互作用下的运动，通过迭代算法求解三体问题的数值解。
解析方法是基于拉格朗日或哈密顿力学理论，通过求解微分方程或积分方程来得到三体问题的解析解。
然而，由于三体问题的非线性特性，解析解通常只能用于特定的初始条件或特殊的限制情况。
三、三体稳定解参数的应用三体稳定解参数在天体物理学和航天工程等领域有着重要的应用。
在天体物理学中，三体稳定解参数可以用于研究星系中的三星系统，了解它们的运动轨迹和稳定性。
在航天工程中，三体稳定解参数可以用于设计航天器的轨道和姿态控制系统，确保航天器在空间中的稳定性和安全性。
四、三体稳定解参数的挑战和研究进展三体问题是一个具有挑战性的数学问题，目前还没有找到通用的解析解。
然而，随着计算机技术的发展，数值模拟方法在解决三体问题上取得了重要的进展。
研究者们通过大量的数值模拟实验，发现了许多有趣的现象和规律，如周期解、准周期解和混沌解等。
此外，研究者们还在探索新的数学方法和理论，以解决三体问题。
结束语：总之，三体稳定解参数是一个复杂的数学问题，涉及到天体力学和动力系统理论。
天体的中三体问题
天体中的三体问题韩博伟谈三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。
先说一下什么叫三体。
用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。
参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。
在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。
用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。
在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。
每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。
要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。
N=2，就是二体问题。
N=3，也就是我们要说的三体问题了。
N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。
学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。
然而三体运动的情况就糟糕得多。
攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。
牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。
其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。
比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。
但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。
比如说，地球别说不是点，连球形都不是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。
于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。
而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。
然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。
当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。
第七章限制性三体问题
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
z
2
r23
z
z=0，平衡点在 天体运动平面内
1.3 拉格朗日解
2x
1
r13
(x2r12)
2
r23
(x1r12)
2
y
1
r13
y
2
r23
y
G(m1m2)
r132
r132
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
1.3 拉格朗日解 地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
r232(xx& y& yzz& 1r12x& )
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
d dt 1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2 0
r132iz
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为
得到 π2月球质量与地月质量的比值0.01215
1.2 限制性三体问题的动力学方程
三体系统运动规律及稳定性分析
三体系统运动规律及稳定性分析三体系统是指由三个天体组成的运动系统，这三个天体之间相互受到引力作用，相互影响彼此的运动轨迹。
三体问题是一个复杂而困难的物理问题，在天文学、力学等领域具有广泛的研究价值。
在三体问题中，主要研究天体的运动规律和系统的稳定性。
为了研究这一问题，我们需要引入一些基本的物理概念和数学方法。
首先，我们可以通过牛顿力学的运动方程来描述天体之间的相互作用力，即万有引力定律。
其次，我们可以使用质心系来描述系统的整体运动，通过定义质心坐标和质心动量来简化问题。
最后，我们可以通过数值模拟等方法来解决三体问题，以求得系统的运动轨迹和稳定性。
在研究三体系统的运动规律时，我们可以根据不同的初始条件和参数，得到不同的运动轨迹。
常见的运动形态包括：闭合轨道、周期轨道、混沌轨道等。
闭合轨道是指天体在一定的时间内重复运动轨迹，形成稳定的封闭曲线。
周期轨道是指天体在无限时间内重复运动轨迹，但不一定是闭合曲线。
而混沌轨道则是指天体的运动轨迹非常敏感于初始条件，表现出无规则、不可预测的运动形态。
在稳定性分析方面，我们可以通过判别确定性和混沌性来评估三体系统的稳定性。
确定性是指系统的运动规律能够由一组确定的初始条件完全确定，而不受微小扰动的影响。
混沌性则是指系统的微小扰动会导致运动轨迹的剧烈改变，表现出不可预测和敏感依赖于初始条件的特征。
对于稳定性分析，我们可以使用线性稳定性分析和非线性稳定性分析。
线性稳定性分析是指在给定初始条件附近进行小幅度线性扰动，通过求解线性化的运动方程来评估系统的稳定性。
非线性稳定性分析则是考虑系统的非线性效应，通过数值模拟等方法来研究系统的长期动力学行为。
三体系统的稳定性分析是一个复杂而有挑战性的问题。
在实际应用中，通过数值模拟等方法来研究三体系统的运动规律和稳定性是一种常用的手段。
这些方法的发展使得我们能够更加深入地理解三体系统的行为，探索宇宙中的奥秘。
总之，三体系统的运动规律和稳定性分析是非常繁琐而困难的问题，但也是极富挑战性和研究价值的。
受摄三体问题研究
２０ ０ ８年 ｌ ２月
中 国 空 间 科 学 技 术
１ ５
圆型 限 制性 三体 问题
假设 两个 主天 体 Ｍ１ Ｍ２Ｍ１ 和 （ ＞Ｍ２绕其 公 共质 心 以角速 度 ∞ 做 圆周 运 动 ， ） 第三 体 （ 行器 ） 飞 Ｍ３ 质量 远远 小于 主天 体 的质 量 ，因而第 三体不 影 响主天 体 的运动 。圆型限 制性 三体 问题研 究第 三体 在 主天 体 的引力 作用 下 的运 动 。以系统 的公共 质 心 为 原点 ，定义 会 合 坐标 系 。ｚ轴 从 Ｍ 向 Ｍ２ 指 ，ｚ
摘 要 圆型 限制 性三体 问题模 型忽略 了摄动 因素 的影响 ，在 很 多情况 下不能足 够准确
地描 述三体 系统 的动力 学性质 。本文研 究 了考虑 摄动影 响 的三体 问题 的动 力学性质及 其轨
道设计 。首先分析 了运行在 平动 点 附近 的卫 星所 受的主要 摄动 因素 ；然后从 系统在 惯性 坐 标 系中的动 力学方程 出发 ，推 导 了会 合 坐标 系中考虑偏 心率 、第四体 引力 以及 太 阳光压摄 动影 响的一般 动 力学方程 ；最后使 用 两层 微分修 正方 法将 圆型限制性 三体 问题 模 型下设计
１ ４
中 国 空 间 科 学 技 术
ＣＨＩ ＮＥＳＥ ＰＡＣＥ ＣＩ Ｓ Ｓ ＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＩＯＧＹ
２０ ０ ８年 １ ２月
第
６ 期
受 摄 三体 问题 研究
李 明涛 郑建华 于锡峥 高东
（ 中国 科 学 院空 间科 学 与 应 用 研 究 中心 ，北 京 １ ０ ８ ） ０ ０ Ｏ
较 好 的描述平 动点 附近的动 力学性 质在概念 设计 阶段被 广泛使 用 ，然 而 圆型限制性 三体 问题没有 考
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
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收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ５—１ 。 ２
基 金项 目 ： 西 省 白然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ５ １２ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 项 Ｆ（ Ｊ ８ ７ ） 江 ０ １０ ５ ； １ＧＪ ３７ 。 ０ 作 者简 介 ： 云 辉 （９７一） 男 ， 师 ， 士 。 易 １７ ， 讲 硕
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第３ ５卷 第 １ 期 ２ １ 年 ２月 ０１
南 昌 大 学 学报 （ 科 版 ） 理 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ａ ｅ ａ ｇ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ ｔ ｅ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ ３ ．１ Ｆｅ ２ ｂ． ０１１
摘
要 ： 用 著 名 的 霍 尔 维 茨 （ ｕｗｔ） 理 ， 到 ｒ受 摄 圆型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点 稳 定 的一 个判 别 条 件 ， 应 用 利 Ｈ ｒｉ 定 ｓ 得 并
它 讨 论 了与 速 度 有 关 的外 力摄 动 对 圆型 限制 性 三 体 问题 三 角 平 动 点 稳 定 性 影 响 ， 进 了文 Ｉ 的 主要 结 论 。 改 ２中
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南 昌 大学 学 报 （ 科 版 ） 理
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文 章 编 号 ：０６一（６ （ ０ １ ０ — ０ ５— ３ １０ ） ４ ２ １ ） １ ０ ３ ０ ４
受 摄 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点
渐 近 稳 定 性 法 则 及 应 用
易云辉 ， 斯 会 舒
（ 西科 技 师 范 学 院 数 学 与计 算 机 科 学 学 院 ， 西 南 昌 江 江 ３０ １ ） ３ ０３
受 摄动 后平 动点 为
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＝ 。＋ ， ：Ｙ ＋Ｙ显然有 Ｙ 。
Ｙ ＝ ０ ） 现 在利 用 泰 勒 展 开 的思 想 ， （ 。 将 ， Ｙ
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留 ， ， Ｙ ｋ的一 阶得线性 方 程
（ ・ ＋（ ＯＵ＂ ２ 。
ｌ 受 摄 圆 型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点
渐近稳定・ Ｉ 生判别 法则
在无量 纲会 合坐标 系下 ， 任意 外力 Ｆ ＝（ 受 Ｆ， Ｆ ）摄动 的圆 型限制 性三体 问题 模 型 （ 面 ）为 平
点， 由于 Ｊ ｌ＝０ 后 ， Ｊ １ 所 以我们 可 以假设 Ｆ （）ｌ 《 ，
ｌ 《 情 况下 ， 出受 摄 圆型 限 制性 体 问题 平 ｌ ｋ 给 动 点渐 近稳 定 的较 文 ［ １—２ ］中更 严 格 判 别 条 件 ，
并 利用 这些判 别条 件 ， 论 了 与速度 有 关 的外 力摄 讨 动 对圆 型 限制 性 一 体 问题 三 角 平 动 点 稳 定 性 的影
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结论 。 文 利， 著 名 的霍尔 维 茨 （ ｒ ｉ ）定理 ， 本 Ｈ － ｊ Ｈｕｗ ｔ ｓ 在
＋ ） ， ｒ ２＝ （ ＋ 一１ 十Ｙ ） ， 假设 ， （ ） 并 Ｆ
是关 于位 置矢量 （ Ｙ 和速度 矢量 （ Ｙ 的 函数 ， ， ） ，） 不
显含 时 间变 量 ｔ 以保证 系统 （ ）为 自治 系统 且 ｆ １ ｆ Ｆ
＝
０（ ， Ｉ １ 且设 （ ， ） 系统 （ ） ） ｌ 《 ， Ｙ 为 １ 的平动
点 。 面主要讨 论任 意外 力 Ｆ ＝ （ Ｆ ）摄动 对 无 下 Ｆ ， 摄 （ ＝０ Ｆ ）圆 型 限制 性 三 体 问题 平 动 点 位 置 的 影
响。
设 （ 。 ）是 无摄 （ ＝０ ， Ｆ ）时系 统 （ ）的平 动 １
关 键 词 ： 型 限 制性 鼍 体 问 题 ； 角 平 动 点 ； 定 性 厕 三 稳 中 图分 类 号 ： ７ ． ｌ０１７ ９ ０１７９ ； ７ ．２ 文 献 标 志码 ： Ａ
受摄 圆型限制 性 二体 问题 平 动点 的稳定 性是 数 三 学、 天体 力学 中的 一个 热 门课 题 ， 年来 ， 内外有 近 同 许 多专 家学者 对其 进行 了研 究 ¨ 在文 ［ — ］ 。， １ ２ 中 Ｍｕｒ ａｒ ｙ等使 用泰 勒展 开公式 给 出 了在 Ｉ ｌ 《 ， 一 ／ ｘ ０的条件 下受 摄 圆型限 制性 体 问题 三角 平 动点 稳 定性 的一个 近似 条件 ， 并得 到 了受 任 意外 力摄 动 的 网型 限制性 三体 问题三 角平 动点稳 定性 的一 些重 要