限制性三体问题
拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
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拉格朗日点和平面圆三体问题[转]中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三角形点和三个共线点。
拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。
A.D1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。
同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。
20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。
第七章限制性三体问题
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
第5页/共27页
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
第11页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
第12页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
第13页/共27页
3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
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2.1 雅可比积分
1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
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1
2
v2
1 2
2 (x2
y2)
1
1 r1
2
1 r2
0
动能
旋转 势能
势能
机械能
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
三体问题教学教材
然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分， 远远不足以解决三体问题。
无解？
我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无 解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用 解析式表达出来，只能算数值解，没有办法得出精 确值。
三体问题
三体问题
序言
2015年8月23日，被誉为“中国科幻第一人”的刘 慈欣凭借其科幻小说《三体》获得“雨果奖”最佳 长篇小说奖，这是亚洲人首次获得雨果奖，也是中 国科幻第一次获得世界级的认可。在小说中，三体 叛军通过《三体》游戏向社会传播三体文化，游戏 玩家们建立了各种模型来躲避乱纪元、预测恒纪元 的到来。
限制性三体问题
其实，三体运动已经是对实际物理简化得很厉害了 ，比如说对质点，球体自转、形状已经统统不考虑 了，然而即使是这样，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯 、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个问题穷 尽精力，也未能将它攻克。
科学发展到现在，三体问题的求解和应用其实就是 一部心酸的简化史。
研究三体问题的意义
然而其他的解就复杂得多了。比如被他们起名为“ 纱线”的解，在形状球空间中的形状就像一个线团
，而在实际空间中，轨道的样子就像一大坨意大利 面(RAmen!)。Šuvakov and Dmitrašinović根据此方法 把所有已发现的通解，包括前人发现的那些，总共 分成了16族。他们又根据对称性和其他性质将这16 族解分成了4大类，其中第一类囊括了所有前人发 现的特解。
(1)、8字型族——三个物体在一条8字形的轨道上互 相追逐。
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论一般来说,三体问题是不可积的,因此我们需要做一些近似。
其中很重要的一类就是限制性三体问题,这也是很多实际问题的很好的近似模型,例如,研究卫星的轨道演化的时候,不妨引入太阳+行星+无质量的测试粒子的模型,亦如研究太阳系主带小行星或者柯伊伯带天体的时候,也可以简化成太阳+木星或者海王星+无质量的测试粒子的模型；这些都是真实情况的很好近似。
特别的,我们所感兴趣的是等级式的系统(系统可以分成内部轨道和外部轨道因而保证了系统的稳定性),大体来说,限制性等级式三体问题可以分成外限制(测试粒子在外部轨道)和内限制(测试粒子在内部轨道)两种,我们在第一章和第二章中分别做讨论。
在对外限制问题的讨论中,我们利用展开了的摄动函数,得到最低阶的一个可积的系统,由此得出,这时候测试粒子的升交点经度可能会平动,并且此时伴有较高的倾角；更一般的,我们介绍了这个系统的演化特性。
而后我们引入高阶影响,特别关注了此时的偏心率的演化。
在近共面的情况下,我们得到此时的偏心率激发和共面情况没有(明显)差别的结论；在近极轨的条件下,我们发现,此时偏心率的激发可能会依赖初始的倾角的不同而分为两种情况,这是因为这两种不同的激发在相图中属于不同的平动区的缘故；并且,当轨道属于高激发区域时,偏心率可以从近零激发到0.3,这会极大的影响这种轨道的轨道稳定性,事实上,我们利用这种偏心率激发机制可以很好的限制环高偏心率双星的高倾角轨道的稳定性。
在对内限制问题的研究中,我们关注的重点是外部天体的平运动与内部测试粒子的进动频率相当的时候所引起的近共振的影响。
在共面的假设下,我们推导了含有偏心率的哈密顿量,并利用此时发生倍周期分叉临界点可以得出关于稳定性边界的限制。
我们也推导了高阶的描述倾斜轨道的演化的哈密顿量。
第七章限制性三体问题
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
z
2
r23
z
z=0，平衡点在 天体运动平面内
1.3 拉格朗日解
2x
1
r13
(x2r12)
2
r23
(x1r12)
2
y
1
r13
y
2
r23
y
G(m1m2)
r132
r132
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
1.3 拉格朗日解 地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
r232(xx& y& yzz& 1r12x& )
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
2.1 雅可比积分
1 2d d v t21 22d d t(x2y2)1d d tr 1 12d d tr 1 2
d dt 1 2v21 22(x2y2)1r 1 12r1 2 0
r132iz
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为
得到 π2月球质量与地月质量的比值0.01215
1.2 限制性三体问题的动力学方程
限制性三体问题和拉格朗日点的研究
摘要：详细分析并得出了限制性三体问题中的力学模型，并绘制了势能分布图。
提出了一种迭代计算拉格朗日点附近物体运动轨迹的方法。
结合得到的势能分布图，对每个拉格朗日点的特性进行了详细的描述。
关键词：拉格朗日点限制性三体问题力学特性限制性三体问题和拉格朗日点的研究文/仲泽昂在宇宙中，三体问题是一种广泛存在的相互作用系统。
早在十八世纪就由牛顿、拉格朗日等人开始了对它的研究。
而在很多情况下，例如考虑发射人造卫星，计算质量较小的卫星（如木星周围的特洛伊群小行星带）的轨迹时，就可以假定其中一个质点的质量相对于另两个可忽略不计，即以限制性三体问题为模型进行简化。
而拉格朗日点是限制性三体问题的解。
其解共有五个，前三个由欧拉算出，后两个由拉格朗日算出。
其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。
在这五个点上的质点将总是相对于另两个静止，这作为一特性已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。
以日地系统为例，L1 点位于地球和太阳中间，适合停留空间太阳望远镜等设备，方便对太阳的直接观测。
L2点处背离太阳和其他干扰，可以实现低损伤，低油耗的停留，适宜停驻空间天文台，在深空天体特别是红外波段的观测中有着无可比拟的优势。
在本文中，我们将会对限制性三体问题进行力学分析，求出势能模型，并使用MATLAB 对限制性三体问题的模型画图。
通过分析各个特征点的周围势能的分布情况，以及所处的位置情况，对拉格朗日点的特性进行分析。
一、限制性三体问题的势能模型在限制性三体问题中，将质量较小的研究对象的质量计为m ，体系中另外两个质点的质量分别为M 1，M 2。
由限制性三体问题定义有：以M 1，M 2为参考系，对于研究对象m ，由万有引力提供向心力，且受系统转动而产生的惯性力。
系统将在同一平面内做角速度为ω的转动，其转动圆心为M 1，M 2的质心[1]。
设万有引力常量为r ，与M 1，M 2的质心间的距离为。
由牛顿第二定律，可得：上式中，第一项为M 1和m 之间的引力，第二项为M 2和m 之间的引力，第三项为旋转过程中m 所受的离心力。
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
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机械能
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2.2 零速度面
2 (x2 y2 ) 21 22 +2C v2 0
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具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
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请批评指正！
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1
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2.1 雅可比积分
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2.1 雅可比积分
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1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
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1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
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3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
R
ωωr
F m
向心加 速度
ωωr F m
引力加 速度
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授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
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2.1 雅可比积分
x&&x&
x&2 y&
x& 2 x
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x&(x
2r12 )
2
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y&&y& y&2x& y&2 y 1 y&y 2 y&y
r1
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地月系统
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2.2 零速度面
21
2.2 零速度面
22
2.3 算例
探测器在地月连线， 距离地面200 km的 高度加速
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
2
1 r2
C
23
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
24
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
y
2
r23
y
0
1
r13
z
2
r23
z
z=0，平衡点在 天体运动平面内
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1.3 拉格朗日解
2 x
1
r13
(x
2r12 )
2
r23
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1r12 )
2 y
1
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r23
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G(m1 m2 ) r132
r132
10
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
11
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
R
ω&r ωωr
叉乘求积时，先写出各分量，运
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
R
ωωr
F m
算即得。
w=【0；0；w】 r=【x；y；z】
F m
Gm1 r13
r1
Gm2 r23
r2
dr/dt=[dx/dt;dy/dt;dz/dt]
7
1.2 限制性三体问题的动力学方程
日-地-月系统为一个三体问题（研究月球运动问题） 地-月-探测器为一个限制性三体问题（研究月球探测）
3
1.2 限制性三体问题的动力学方程
m
m2 r
s
m1
&r&
Gm1 r3
r
Gm2
sr s r 3
s s3
4
1.2 限制性三体问题的动力学方程
Body-Body-Rotation，BBR
iz
G(m1 r132
第七章 限制性三体问题
主讲教师：杏建军 2020年7月3日
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
2
1.1 三体问题的定义
天体力学术语 二体问题：研究两个天体相互吸引下的相对运动。 N体问题：研究N个天体相互吸引下的相互运动。 三体问题：研究三个天体相互吸引下的相互运动。 限制性三体问题：当其中一个天体质量相对其他两个天体 为小量，不会对其他两个天体运动造成影响的三体问题。
m2
)
iz
r132 iz
5
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为 得到
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
6
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
&x&
2
y&
2x
1
r13
(x
2r12
)
2
r23
(x
1r12
)
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1
r13
y
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r23
y
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1
r13
z
2
r23
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限制性三体动力学方程， 没有一般的解析解！
8
1.3 拉格朗日解
平衡3
(x
2r12 )
2
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(x
1r12 )
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