【人教版】2017年秋数学九上：3.4.1-圆心角定理(含答案)
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第16讲 点、线与圆的位置关系(有答案)
第16讲点、线与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；作辅助线：（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径。
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线∴PA PB∠=PO平分BPAP1、三角形的外接圆与外心2、三角形的内切圆与内心考点1、点与圆的位置关系例1、一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cmC．6.5 cm D．5 cm或13cm例2、⊙O的半径为10cm，A是⊙O上一点，B是OA中点，点B和点C的距离等于5cm，则点C和⊙O的位置关系是（）A．点C在⊙O内B．点C在⊙O上C．点C在⊙O外D．点C在⊙O上或⊙O内例3、一个点到一个圆的最短距离为4cm，最长距离为8cm，则这个圆的半径为．例4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E为AB的中点，以B为圆心，BC为半径作圆，则点E在⊙O ．例5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以点C为圆心的圆与AB相切．（1）求⊙C的半径；（2）O是AB的中点，请判断点O与⊙C的位置关系，并说明理由．1、已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定2、已知⊙O的半径为1，点P到O的距离为R，且方程x2-2x+R=0有实数根，则P（）A．在⊙O的内部B．在⊙O上C．在⊙O外部D．在⊙O的内部或圆上3、如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，CB=8，CD是斜边AB上的中线，以AC 为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是．4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心、cm圆上的是点．5、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB 的中点．（1）以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系；（2）⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？考点2、三角形的外接圆与外心例1、已知△ABC中，AB=AC=4，高AD=4，则△ABC的外接圆半径是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2、在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（）A．内心B．重心C．垂心D．外心例3、已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm．例4、已知直角三角形的两直角边长分别为3cm，4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm．例5、如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点0为△ABC的外心，求∠ACB的度数．1、已知三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是（）A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2、直角三角形两直角边长分别是，，那么它的外接圆的直径是（）A．B．4 C．2 D．3、△ABC的∠A是30°，BC边长2.4cm，此三角形外接圆的直径为．4、如图，△ABC的顶点在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标是．5、如图，点0是△ABC的外心，∠C=30°，AB=2cm，求△ABC的外接圆半径．考点3、直线与圆的位置关系例1、在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆，必与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切例2、如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=10，那么以A为圆心，6为半径的⊙A与直线BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定例3、如图，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y=x与⊙A的位置关系是．例4、已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是．（2）（3）（4）例5为（x，y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．1、△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（－4，0）B．（－2，0）C．（－4，0）或（－2，0）D．（－3，0）3、在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，（1）当r______时，圆O与坐标轴有1个交点；（2）当r______时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r______时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r______时，圆O与坐标轴有4个交点．4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件时，⊙P与直线CD相交．5、如图，在直角坐标系中，点M在第一象限内，MN⊥x轴于点N，MN=1，⊙M与x 轴交于A（2，0）、B（6，0）两点．（1）求⊙M的半径；（2）请判断⊙M与直线x=7的位置关系，并说明理由．考点4、切线的性质例1、如图：PA切⊙O于点A，PA=，∠APO=30°，则PO的值为（）A．1 B．C．2 D．例2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的圆M与x轴相切，若点B的坐标为（-2，3），则圆心M的坐标为（）C．D．例3、如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP 方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．例4、如图，一直角尺ABC与⊙O相切于点D，AB与⊙O接触于点A，测得AB=a，BD=b，则⊙0的半径为．例5、已知如图⊙O的半径为3，过⊙O外的一点B作⊙O的切线BM，M为切点，BO交⊙O于A，过A点作BO的垂线，交BM于P点，BO=5，求：MP的长．1、如图，AT切⊙O于T，直线AO交⊙O于B、C且∠TAB=40°，则∠C的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°2、从直径AB的延长线上取一点C，过点C作该圆的切线，切点为D，若∠ACD的平分线交AD于点E，则∠CED的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．随点C的变化而变化3、如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10cm，则皮球的直径是．4、如图，设半圆的圆心O在直角△ABC的斜边AB上，且与两直角边相切于D、E，若△ABC的面积为S，斜边长为c，则圆的半径为．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E，AC=2时，求⊙O的半径．考点5、切线的判定例1、下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径外端的直线是圆的切线例2、如图所示，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB=10cm，则AC= cm时AC是⊙O的切线．例3、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．例4、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B是切点，点D是⊙O上一点，AD∥OC，OC交BD于E．（1）求证：OC是BD的中垂线；（2）试判断CD与⊙O的位置关系，证明之．例5、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直径的AE．1、矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（）A．0条B．1条C．2条D．3条2、已知：AB为⊙O的直径，AC平分∠DAB，AD⊥DC于D，求证：DC是⊙O的切线．3、如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．4、如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求BD的长．5、如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x 的方程x2-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM．（1）求⊙M的半径．（2）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．考点6、切线长定理例1、如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50例2、如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°例3、如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE= ．（1）（2）（3）例4、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知例5、如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD=AD+BC；（2）求∠AOD的度数．1、如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB=54°，则∠COD=（）A．36°B．63°C．126°D．46°2、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于点C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（）A．1，0 B．2，2 C．2，6 D．1，6（1）（2）3、如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA= cm．4、如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，则∠CPD= ．（3）（4）5、如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA=4，求△PED的周长；（2）若∠P=40°，求∠DOE的度数．考点7、三角形的内切圆与内心例1、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A．15 B．12 C．13 D．14例2、一个半径为r的圆内切于一个等腰直角三角形，另一个半径为R的圆外接于这个三角形，则A．+1 B．C．2 D．3例3、如图，I是△ABC的内心，∠A=40°，则∠CIB= ．例4、如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，若∠BAC=70°，则∠BOC= 度．例5、如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，（1）求证：∠BOD=∠COE．（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形内心性质及相关知识，求OE长．1、如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC 的周长为16cm，则DF的长等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm2、等腰三角形中，AB=AC，BC=4，△ABC的内切圆的半径为1，则AB的长为（）A．2 B．3 C．3、如图，圆O为△ABC内切圆，∠B=40°，∠C=60°，则∠DEF= ．4、如图，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆⊙O分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长为多少？5、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，内切圆⊙O与三边分别切于点D，E，F．（1）试说明四边形OECF为正方形；（2）若AD=6，BD=4，求AC和⊙O的半径；（3）若AB=c，BC=a，AC=b，试用关于a，b，c的代数式表示内切圆的半径r．1、一个点到圆上的最大距离为13cm，最小距离是7cm，则圆的半径为（）A．10cm B．6cm C．20cm或6cm D．10cm或3cm2、正三角形的外接圆的半径和高的比为（）3、有四个命题，其中正确的命题是（）①经过三点一定可以作一个圆②任意一个三角形有且只有一个外接圆③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．A．①、②、③、④B．①、②、③C．②、③、④D．②、③4、如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜105、在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O是内心，则∠BOC的度数是（）A．105°B．115°C．120°D．130°6、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的是（）A．AF=BG B．CG=CH C．AB+CD=AD+BC D．BG＜CG8、如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC 的周长为16cm，则DF的长等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm9、已知一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的直径为．10、等边△ABC的边长为2cm，则它的外接圆的半径为 cm，内切圆的半径为 cm．11、如图，⊙O的直径为20cm，弦AB=16cm，OD⊥AB，垂足为D．则AB沿射线OD方向平移 cm时可与⊙D相切．12、如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC= °．13、如图，直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、D，PA=PB=8cm，△PMN 的周长是．14、若直角三角形ABC的两条直角边AC、BC的长分别是5cm和12cm，则此直角三15、如图，在A地往北90m的B处有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC 的中点D处有一古建筑．因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭受破坏，爆破影响的半径应控制在什么范围之内？16、已知Rt△ABC，∠A=90°（1）请画出它的外接圆．（2）计算：若AC=5，AB=12，求外接圆的半径．17、如图，已知弦AB与半径相等，连接OB，并延长使BC=OB．（1）问AC与⊙O有什么关系．并证明你的结论的正确性．（2）请你在⊙O上找出一点D，使AD=AC（自己完成作图，并证明你的结论）．过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值．19、如图，已知AB是⊙O的直径，且AB为6，过B点作⊙O的切线CB与⊙O相切于点B，在半圆AB上有一点D使∠ABD=30°，BD的中点为E，连接OE并延长OE 与BC交于点C，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）四边形ABCD的周长是多少？1、△ABC的内切圆切边AB于点P，内切圆半径r=21，且AP=23，PB=27，则△ABC 的周长是．2、如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．3、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于D，HF、BC的延长线交于点E．（1）若HF⊥AB，求证：∠OAD=∠E；（2）若A点是下半圆上一动点，当点A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE 一边上？请简述理由．1、在△ABC中，已知AB=AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）A．点A在⊙D外B．点A在⊙D上C．点A在⊙D内D．无法确定2、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，△ABC的三个顶点A、B、C 都在格点上，若格点D在△ABC外接圆上，则图中符合条件的格点D有（）（点D与点A、B、C均不重合）．A．3个B．4个C．5个D．6个3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交4、下列说法正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．圆的切线只有一条C．圆的切线垂直于圆的半径D．每个三角形都有一个内切圆5、如图，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC所对的弧的度数为（）A．40°B．100°C．120°D．30°6、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4 B．8 C．4或6 D．4或87、如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°8、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.59、已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=5cm，CD⊥AB于点D，以点C为圆心，“内”或“外”）10、如图，圆O为△ABC的外接圆，其中D点在上，且OD⊥AC．已知∠A=34°，∠C=62°，则∠BOD的度数为．11、如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为．12、如图，△ABC内接于⊙O，点E是⊙O外一点，EO⊥BC于点D．求证：∠1=∠E．13、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以点C为圆心的圆与AB相切．（1）求⊙C的半径；（2）O是AB的中点，请判断点O与⊙C的位置关系，并说明理由．14、已知△ABC中，AB=AC，点O是高AD上一点，⊙O与AB相切于E，求证：⊙O 与AC相切．15、如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径作圆O交AB于点C，以线段AO 为直径作弧OD交圆O于点D，过点B作AB的垂线交AD的延长线于点E，若线段AO、OD的长是一元二次方程x2-3x+2=0的两根．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求线段EB的长．16、如图，在△ABC中，AB=AC．（1）若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E（如图①）．证明：DE是⊙O的切线；（2）若点O沿OB向点B移动，以O为圆心，以OB为半径画圆，⊙O与AC相切于点F，与AB相交于点G，与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E（如图②），已知⊙O 的半径长为3，CE=1，求切线AF的长．17、如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．18、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，点D是AC的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）确定点D与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）确定直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）过点D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若DG=10，FB=2，求直径AB的长．参考答案第16讲点、线与圆的位置关系考点1、点与圆的位置关系例1、A例2、D例3、解：本题没有明确告知点的位置，应分点在圆内与圆外两种情况，当点P在⊙O内时，此时PA=4cm，PB=8cm，AB=12cm，因此半径为6cm；当点P在⊙O外时，如图此时PA=4cm，PB=8cm，直线PB过圆心O，直径AB=PA=8-4=4cm，因此半径为2cm．故答案为：6cm或2cm例4、例5、1、A2、D3、4、5、考点2、三角形的外接圆与外心例1、D例2、D例3、例4、例5、1、D2、D3、4、5、考点3、直线与圆的位置关系例1、C例2、A例3、例4、例5、1、D2、D3、4、5、考点4、切线的性质例1、C例2、A例3、例4、例5、1、A2、B3、4、5、考点5、切线的判定例1、B例2、例4、1、D2、3、4、5、考点6、切线长定理例1、C例2、C例3、例4、例5、1、B2、C3、4、5、考点7、三角形的内切圆与内心例1、B例2、A例3、例4、例5、（2）1、A2、D3、4、5、1、D2、B3、D4、C5、B6、A7、C8、A 9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、。
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.4圆心角第1课时圆心角定理随堂练习(含解析)浙教版(2021年
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3.4__圆心角__第1课时圆心角定理1．下列语句中，正确的是( A )A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴2．如图3－4－1是一个旋转对称图形,以O为旋转中心，将下列哪一个角作为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合( C )A．60°B．90°C．120°D．180°图3－4－1 图3－4－23．如图3－4－2，O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA,OB分别交小圆于C,D两点，则下列结论中正确的是( C )A.错误!＝错误!B．AB＝CDC．AB∥CD D．AC∥BD【解析】∵OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB＝错误!（180°－∠AOB），∴AB∥CD.故选C.4．把一张圆形纸片按如图3－4－3的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则错误!的度数是（ C ）图3－4－3A．120°B．135° C．150°D．165°【解析】如答图，连结BO，过点O作OE⊥AB于点E.第4题答图由题意，得EO＝错误!BO,AB∥DC，可得∠EBO＝30°，∴∠BOD＝30°,则∠BOC＝150°，∴错误!的度数是150°.故选C.5．如图3－4－4,AB是⊙O的直径,如果∠COA＝∠DOB＝60°,那么与线段OA 相等的线段有__OC,OD，OB，AC，CD，DB__，与错误!相等的弧有__错误!，错误! __．图3－4－46．一条弦把圆分成1∶3的两部分,则劣弧所对的圆心角的度数为__90°__．【解析】劣弧的度数为错误!×360°＝90°，∴它所对的圆心角的度数为90°。
九年级圆心角、圆周角讲义
圆心角、圆周角知识要点1.圆心角：顶点在圆心的角弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们其余各组量也相等。
2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3.圆内接四边形的性质圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。
（外角等于它的内对角） 4.四点公圆的证明一个四边形若有一组对角是直角，则这个四边形的四个顶点一定在同一个圆上，即这个四边形一定有一个外接圆。
基础知识测试： （一）圆心角1.下列命题正确的是（ C ）A 相等圆心角所对的弧相等B 等弧对等弦C 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D 相等的圆心角所对的弦相等2.已知弧AB 、弧CD 是同一圆中的两段劣弧，且弧AB ＝2弧CD ，则弦AB 与CD 的关系是（ B ） A AB ＝2CD B AB ＜2CD C AB ＞2CD D 无法判断3.在⊙O 中，P 为直径AB 上一动点，C 、D 为两半圆上的两动点，CD 交AB 于H ，则以下说法：（1）若弧AC ＝弧AD ，则∠APC ＝∠APD ；（2）若PC ＝PD ，则∠APC ＝∠APD ；（3）若∠APC ＝∠APD ，则CH ＝HD 。
其中正确的个数是（ D ）A 0个B 1个C 2个D 3个4.如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，D 、E 分别为)AB 、)AC 的中点，连接DE 分别交AB 、AC 于F 、G ，求证:AF ＝AG .证明：连结OD 、OE ，∵D ，E 分别是)AB 、)AC 的中点，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴∠D ＋∠DFB ＝90°，∠E ＋∠EGC ＝90°， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，41.如图，若AB ＝B C .则图中与∠ADB 相等的圆周角的个数为 3 .2.如图，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同则，∠AMB ＝50°，设∠APB ＝x °.当点P 移动时，3.(1)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的三点，则∠1＋∠2的度数＝ 90° .(2)如图，A ，B ，C ，D ，E 是同一圆上顺次的五点，∠CAD ＝80°，则∠ABC ＋∠AED 等于 260° .4. 如图，⊙O 中，若∠AOB ＝100°，则∠C ＝ 50° ，∠D ＝ 130° .5. (1)圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 60或120 度. (2)△ABC 内接于⊙O ，∠AOB ＝100°， 则∠ACB ＝ 50或130 度.6.如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 经过圆心O ，若弧AC ＝弧CD ，∠P ＝30°，则∠BDC 的度数是 110°.7.如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，AB、DC 交于点AD 、BC 交于E 点，若∠E ＝40°，∠F ＝30°， 则∠A 的度数为 55°.B1.如图，在四边形OABC 中，OA ＝OB ＝OC ，若∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是 70° .2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是A 8边的中点，是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ’F ，连接B 'D ，则B 'D3.如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时，求线段BM 长的最小值.解：连结AD 、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG ＝∠FDC ，DA ＝DG ，DF ＝DC ，故∠DFC ＝∠DCF ＝∠DAG ＝∠DG A . 又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG ＝90°，所以∠DFG ＋∠DGF ＝90°，即∠DFC ＋∠CFG ＋∠DGF ＝90°.所以∠AMC ＝∠MGF ＋∠CFG ＝∠AGD ＋∠DGF ＋∠CFG ＝∠DFC ＋∠DGF ＋∠CFG ＝90°. 故点M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O ，连结BO 与⊙O 相交于点P ，线段BP 的长即为线段BM 长的最小值.BP ＝AO －OP 1.4.如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以为半径，过B ，C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值综合、提高、创新:【例1】1.如图，BC是⊙O的直径，»AB＝»AF，AD⊥BC于D，BF与AD交于E点(1)求证: AE＝BE:(2)求证BF＝2AD(3)若点A、F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长度，解：（1）连AC，如图，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACB，又∵»AB＝»AF，∴∠ACB＝∠ABF，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB＝∠CBF＝∠ABF＝30°，∴∠BAD＝30°，在Rt△ABC中，BC＝12，所以AB＝12BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝6，所以BD＝12AB＝3，Rt△BDE中，∠CBF＝30°，BD＝3，∴DE＝BE＝AE＝2.如图，△ABC内接于⊙O、AD⊥BC，D为垂足，E是»BC中点，求证：∠EAO＝∠EA D.证明：（1）连接OB，则∠AOB＝2∠ACB，∠OAB＝∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB＝12（180°－∠AOB）＝90°－12∠AOB＝90°－∠ACB＝∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB＝∠EAC，∴∠EAO＝∠EAB－∠OAB＝∠EAC－∠DAC＝∠EA D．（2）连接OE，∵E是»BC的中点，∴弧BE＝弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA＝∠EAD，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠OAE＝∠EA D．1、如图，AB为直径，CD是弦，AB⊥C D.(1) P是弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB .(2)点P’在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.(1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴»BC＝»BD∴∠COB＝∠DOB＝12∠CO D．又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠CO B．(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD＋∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB＝12∠COD，又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠COB＝∠CPD，∴∠CP′D＋∠COB＝180°．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，P是AB延长线上一动点，CP交⊙O于Q，DQ交AB于E.试问:当P点在AB延长线上运动时，∠OPC与∠ODQ是否保持某种特定的关系?证明你的结论.∠OPC＝∠ODQ，理由简要如下：延长DO交圆O于F，①圆外角∠P＝1/2(弧AC－弧BD)②OC＝OD，OB⊥CD，∴∠COB＝∠DOB＝∠AOF，∴弧AF＝弧BC，∴弧AC＝弧BF，∴弧AC－弧BD＝弧BF－弧BD＝弧FQ＝1/2∠QDF，∴∠OPC＝∠ODQ1、如图1，锐角△ABC的三个顶点都在⊙O上，高AD、BE所在直线交⊙O于H，AD所在直线交⊙O于G. （1）求证:DH＝DG；（2）将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC，∠BAC为钝角”其他条件不变，完成图2，试问（1）中的结论是否仍成立?证明你的结论.图1 图2证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEC＝90，∠ADC＝90∵∠ACB＋∠DHE＋∠BEC＋∠ADC＝360∴∠ACB＋∠DHE＝180∵∠DHE＋∠BHG＝180∴∠ACB＝∠BHG∵∠ACB、∠AGB所对应圆弧都为劣弧AB∴∠ACB＝∠AGB∴∠AGB＝∠BHG∵AD⊥BC∴DG＝DH（等腰三角形中垂线）证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEA＝90，∠ADB＝90∵∠EBD＋∠EAD＋∠BEA＋∠ADB＝360∴∠EBD＋∠EAD＝180∵∠EAD＋∠GAC＝180∴∠EBD＝∠GAC∵∠GAC、∠GBC所对应圆弧都为劣弧GC∴∠GAC＝∠GBC∴∠GBC＝∠EBD∵AD⊥BC，BD＝BD，∴△BDG全等于△BDH，∴DG＝DH2如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，过圈心O作BC的垂线交⊙O于P、Q，交BC于D，QP、CA的延长线交于点E，求证:∠BAO＝∠E.证明：作直径AM，连接BM，∵∠C和∠M都对弧AB，∴∠C＝∠M，∵OQ⊥BC，∴∠EQC＝90°，∴∠C＋∠E＝90°，【例4】如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B，交y轴于C、D，P为»BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，交AP于点Q，A（－1，0），M（1，0）.（1）求C点的坐标；（2）当P点运动时，线段AO的长度是否会改变？若不变，请证明并求其值：若改变，请说明理由解：(1)由勾股定理易得C(0;(2)当P点运动时，线段AO的长度不会改变，由垂径定理知，»»,AC AD=∴∠P＝∠ACD，∵CQ平分∠PCD，∴∠P＋∠PCQ＝∠ACD＋∠DCQ，即∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝A C.在Rt△OCA中，OC OA＝1，∴AC＝2∴线段AO的长度不会改变，为2.【例5】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧»AC沿弦AC翻折AB点于点D，连接C D. （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r;（2）如图2，若点D与圆心O重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.解答：(1)如图：过O作OE⊥AC于E，则AE＝11,2AC=∴OE＝1,2r在Rt△AOE中，OE＝1,2r，AE＝1，得r（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝65°，根据翻折性质，»AC所对的圆周角为∠B，¼ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝40°【例6】在⊙O 中，AB 为直径，弦CD ⊥AB 于E ，E 是AO 的中点， P 是»BC上的动点，求PC PD PA+ 的值。
中考数学考点总动员系列 专题39 与圆有关的角(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
考点三十九：与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】（2017某某某某第3题）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】D ．【解析】试题分析：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO =30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BOC =2∠A =2×30°=60°．故选D ． 考点：圆周角定理．【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】（2017某某第12题）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°【答案】B.考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】（2017某某第8题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦36,=∠CAB CD ，则BCD ∠的大小是（）A ． 18B ． 36 C. 54 D ．72【答案】B.考点：圆周角定理；垂径定理.【举一反三】（2017某某黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD 的长为（）A．2 B．﹣1 C2D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=12OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】（2017某某如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A．65B．85C．75D．235【答案】B【解析】试题解析：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=25 OBOC，∴cos∠A=cos∠BOC=25．又∵cos ∠A=AD AB，AB=4， ∴AD=85． 故选B ．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．【举一反三】（2016某某某某第18题）如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD⊥l，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE ．若AE=6，OA=5，则线段DC 的长为．【答案】4.【解析】试题分析：令OC 交BE 于F ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵AD ⊥CD ，∴BE ∥CD ，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴OC ⊥BE ，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD=EF ，在Rt △ABE 中，822=-=AE AB BE ，∵OF⊥BE ，∴BF=EF=4，∴CD=4．考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.考点典例四与圆周角有关的证明【例4】（2017某某某某第23题）如图，已知BC是O⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD.(1)求证：ACD BAD△∽△；(2)求证：AD是O⊙的切线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．试题解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【举一反三】（2017某某建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）333-22 ．【解析】试题分析：（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．试题解析：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=12CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；课时作业☆能力提升一．选择题1．（2017某某某某第4题）如图，在O ⊙中，AB BC ，点D 在O ⊙上，25CDB ∠°，则AOB ∠( )A.45°B.50°C.55°D.60° 【答案】B【解析】试题解析：∵在⊙O 中,AB BC =，点D 在⊙O 上，∠CDB=25°，∴∠AO B=2∠CDB=50°．故选B ．考点：圆周角定理．2.（2017某某贵港第9题）如图，,,,A B C D 是O 上的四个点，B 是AC 的中点，M 是半径OD 上任意一点，若40BDC ∠=，则AMB ∠的度数不可能是（ ）A ．45B ．60 C. 75 D ．85【答案】D【解析】试题解析：∵B 是AC 的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M 是OD 上一点，∴∠AMB ≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D ．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．3. （2017某某某某第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）A ．π31B ．π32 C.π67 D ．π34【答案】B ．【解析】试题解析：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE ，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DE 的长=40321803ππ⨯=.故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．4.（2017某某建设兵团第9题）如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE ．若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（ ）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A.【解析】试题解析：∵⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，AB=8，∴AC=BC=12AB=4．设OA=r ，则OC=r ﹣2，在Rt △AOC 中， ∵AC 2+OC 2=OA 2，即42+（r ﹣2）2=r 2，解得r=5， ∴AE=10，∴2222108AE AB -=-，∴△BCE 的面积=12BC•BE=12×4×6=12．故选A ．考点：圆周角定理；垂径定理5.（2017某某某某第6题）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=，则ACB ∠=（）A．28 B．54 C.18 D．36【答案】D．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，故选D．考点：圆周角定理．6.如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选C．考点：圆周角定理．二．填空题1.（2017某某A卷第15题）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO=OC，∴∠ACB=∠OAC，∵∠AOB=64°，∴∠ACB+∠OAC=64°，∴∠ACB=64°÷2=32°．考点：圆周角定理.2.（2017某某庆阳第14题）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=°．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．考点：圆周角定理．3.（2017某某某某第14题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在AmB上，点D在AB上，若∠ACB=70°，则∠ADB=°．【答案】110°考点：圆周角定理.4.（2017某某某某第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=433，则AD=．【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴AC CD AB==，∴CB AD=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=433•3=4，∴AD=BC=4．考点：°角的直角三角形.5. （2017某某株洲第15题）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=．【答案】80°.【解析】试题分析：连接EM，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，∴∠EOM=2∠EAM=80°，故答案为：80°．考点：圆周角定理．6.（2017某某某某第15题）已知半径为2的O 中，弦2AC =，弦22AD =，则COD ∠的度数为． 【答案】150°或30°考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理. 7.（2017某某某某第17题）如图，四边形ABCD 内接于O ，点E 在BC 的延长线上，若0120BOD ∠=，则DCE ∠=______.【答案】60°【解析】试题分析：∵∠BOD=120°，∴∠A=12∠BOD=60°． ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=60°．考点： 1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理．8. （2017某某第18题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是．【答案】522. 【解析】试题分析：根据中位线定理得到MN 的最大时，BC 最大，当BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN=12BC ， ∴当BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当BC 是直径时，BC 最大，连接BO 并延长交⊙O 于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O 的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′=sin 45AB ︒=522=552， ∴MN 最大=522．故答案为：522．考点：三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形.三、解答题1. （2017某某某某第23题） 如图，O 的直径10,AB =弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ，连接,.AD BD（1）由AB，BD，AD围成的曲边三角形的面积是；（2）求证：DE是O的切线；（3）求线段DE的长.【答案】（1）252524π+；（2）证明见解析；（3）354．试题解析：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=12∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD=2905360π+12×5×5=252524π+；（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴EF ACAF BC=，即658EF=，∴EF=154，∴DE=DF+EF=154+5=354．考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.正方形的判定与性质；4.正切函数的定义.。
新人教版九年级数学上册圆知识总结与题型练习及答案
每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+十二、圆与圆的位置关系(选学)外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ dR r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d第二部分：习题及详解一．选择题（共10小题） 1．下列说法，正确的是（ ） A ．弦是直径 B ． 弧是半圆C ．半圆是弧D ． 过圆心的线段是直径 2．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（ ）A ．3cmB ．4cmC ． 5cmD ． 6c m（2题图） （3题图） （4题图） （5题图） （8题图）3．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心，5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ．若CD=6，则隧道的高（ME 的长）为（ ） A ．4B ．6 C ．8 D ． 9图4rRd图5r Rd图2r Rd每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”A ．51°B ． 56°C ． 68°D ． 78° 5．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（ ）A ．25°B ．50° C ． 60° D ． 30° 6．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）A ．点A 在圆上B ． 点A 在圆内C ．点A 在圆外D ． 无法确定7．已知⊙O 的直径是10，圆心O 到直线l 的距离是5，则直线l 和⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ． 相切D ． 外切8．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ） A ．2，B ． 2，πC ． ，D ． 2，9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）A ．2πB ．π C ．D ．10．如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．12πB ．24π C ．6π D ． 36π二．填空题（共10小题）11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为 ．（9题图） （10题图） （11题图） （12题图） 12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为 ．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．（13题图） （14题图） （15题图） （17题图）14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 ． 15．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”17．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留π）． 18．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是 ．19．如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是 ． 20．半径为R 的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 ． 三．解答题（共5小题）21．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ． （1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若AB=8，求CD 的长．22．已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点，且OD ∥BC ．求证：AD=DC ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．24．如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”25．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．参考答案一．选择题（共10小题） 1．C2．B3．D4．A5．A6．B7．C8．D9．B10．B二．填空题（共10小题） 11．12．50° 13．70 14．1或515．54° 16．50° 17．2π18．24π 19．20πcm 2 20．60° 三．解答题（共5小题）21．（1）证明：连接AC ，如图 ∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴，∴AC=AD ，∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，∴AF=DF ，即CF 是AD 的中垂线，∴AC=CD ， ∴AC=AD=CD ．即：△ACD 是等边三角形，∴∠FCD=30°， 在Rt △COE 中，，∴，∴点E 为OB 的中点；（2）解：在Rt △OCE 中，AB=8，∴，又∵BE=OE ，∴OE=2，∴，∴．（21题图） （22题图） （23题图） （24题图）22．证明：连结OC ，如图，∵OD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3， 又∵OB=OC ，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DC ．23．（1）证明：连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，圆1精品讲义 每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．24．解：连接OC ，∵AB 与圆O 相切，∴OC ⊥AB ，∵OA=OB ，∴∠AOC=∠BOC ，∠A=∠B=30°，在Rt △AOC 中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°， ∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，则S 阴影=S △AOB ﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故阴影部分面积4﹣．25．解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长==13， 所以圆锥的表面积=π•52+•2π•5•13=90π．。
【人教版】2017年秋数学九上：3.4.1-圆心角定理(含答案)
3.4 圆心角
第1课时 圆心角定理
1．下面四个图形中的角，为圆心角的是 ( D
)
2.在同圆或等圆中，下列说法错误的是
( D )
A ．相等圆心角所对的弦相等
B ．相等圆心角所对的弧相等
C ．相等弦所对的圆心角相等
D ．相等弦所对的弧相等 3. 在半径为2的⊙O 中，弦长为2的弦所对的圆心角为
( B ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
【解析】如答图，在半径为2的⊙O 中，弦AB ＝2，连结OA ，OB ，
则有OA ＝OB ＝AB ＝2，所以△OAB 是等边三角形，所
以∠AOB ＝60°.
4．如图3－4－7，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，且∠AOC
＝50°，作
AE ∥CD ，交⊙O 于E ，则AE ︵的度数为( D )
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80°
图3－4－7 第4题答图
【解析】如答图，连结OE .∵AE ∥CD ，
∴∠A ＝∠AOC ＝50°，
在△AOE 中，OA ＝OE ，
第3题答图
∴∠E ＝∠A ＝50°，
∴∠AOE ＝180°－∠A －∠E ＝80°.即AE ︵的度数为80°.。
人教版九年级上册数学第24章 圆 圆周角——圆周角和圆心角、弧的关系
*9.(2019·威海)如图，⊙P 与 x 轴交于点 A(－5，0)，B(1，0)，与
y 轴的正半轴交于点 C，若∠ACB＝60°，则点 C 的纵坐标为
()
A． 13＋ 3
B．2 2＋ 3
C．4 2
D．2 2＋2
【点拨】如图，连接 PA，PB，PC，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D， PE⊥OC 于点 E. ∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°. ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°. ∵A(－5，0)，B(1，0)，∴AB＝6. ∴AD＝BD＝3.
在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径 OB 等于( C )
A． 2
B．2
C．2 2
D．3
13．(2019·南京)如图，⊙O 的弦 AB，CD 的延长线相交于点 P， 且 AB＝CD.求证：PA＝PC. 证明：连接 AC. ∵AB＝CD，∴A︵B＝C︵D. ∴A︵B＋B︵D＝C︵D＋B︵D，即A︵D＝C︵B. ∴∠C＝∠A. ∴PA＝PC.
14．如图，△ABC 内接于⊙O，直径 DE⊥AB 于点 F，交 BC 于 点 M，DE 的延长线与 AC 的延长线交于点 N，连接 AM.
(1)求证：AM＝BM；
证明：∵直径 DE⊥AB 于点 F， ∴AF＝BF. ∴AM＝BM.
(2)若 AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求 BC 的长． 解：连接 AO，BO. 由(1)可得 AM＝BM. ∵AM⊥BM，∴∠MAF＝∠MBF＝45°. ∴∠CMN＝∠BMF＝45°. ∵AO＝BO，DE⊥AB，∴∠AOF＝∠BOF＝12∠AOB. ∵∠N＝15°，∴∠ACM＝∠CMN＋∠N＝60°，即∠ACB＝60°.
10．圆周角定理的推论：__同_弧_____或__等__弧____所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧__相_等_____．
初三数学圆心角试题答案及解析
初三数学圆心角试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧的中点，若∠BAC=30°，则∠DCA= ．【答案】30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，从而求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到∠D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则∠DAC=∠DCA，根据内角和公式即可求得其度数．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°；∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=120°；∵D是弧AC的中点，∴DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=（180°﹣120°）÷2=30°．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识．3.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】30°或150°【解析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．4.如图，AB，AC，BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，则弧AC=弧 =弧，∠ABC= °，△ABC是三角形．【答案】弧AC=弧AB=弧BC，∠ABC=60°，等边三角形【解析】由垂径定理得BE=EC，BD=AD；若连接OB、OC、OA，则可证得△OCE≌△OBE≌△OBD，再得△ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．解：连接OB，OC，OA∵OD⊥AB，OE⊥BC，由垂径定理知，BE=EC，BD=AD，∵OB=OC，∴△OCE≌△OBE≌△OBD，∴BE=EC=BD=AD，同理，AD=AF=CF=CE，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，弧AC=弧AB=弧BC．点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．5.半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．【答案】60°【解析】由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6.如图，已知AD是⊙O的直径，AD垂直于弦BC，垂足为点E．AB=AC吗？为什么？【答案】AB=AC【解析】由AD是⊙O的直径，AD垂直于弦BC，根据垂径定理即可得，则可证得AB=AC．解：AB=AC．理由：∵AD⊥BC，AD是⊙O的直径，（已知）∴，（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）…（4分）∴AB=AC．（在同圆中，如果弧相等，那么弧所对的弦也相等）点评：此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．【答案】（1）见解析（2）40°【解析】（1）如图，连接AD．由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，则易证得结论；（2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得∠COD=∠DOB=70°，则∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°．（1）证明：如图，连接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：如图，连接OC．∵∠AOD=110°，∴∠DOB=70°．又∵=，∴∠COD=∠DOB=70°，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，∴=40°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．8.如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？【答案】等边三角形【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．解：△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．9.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．【答案】见解析【解析】先连接BC、AD，由AB=CD可知=，故可得出=，故可得出BC=AD，由全等三角形的判定定理可得出△BEC≌△DEA，根据三角形的对应边相等即可得出结论．证明：先连接BC、AD，∵AB=CD，∴=，∵=，∴BC=AD，在△BEC与△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（ASA），∴BE=DE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答此题的关键．10.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．【答案】见解析【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．先由圆心角、弧、弦的关系，得出OE=OF，再根据HL证明Rt△BOE≌Rt△DOF，进而得出∠OBA=∠ODC．证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明．11.如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】（1）由AD=BC可得出=，进而可得到=；（2）由（1）的结论可得出AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CBE，故DE=BE，进而可求出答案．证明：（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中．12.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30B．45C．50D．60【答案】A【解析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=30°；故选A．点评：本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．13.下列命题中为真命题的是（）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．三点一定可以确定一个圆C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D．三角形的内心到三角形三边距离相等【答案】D【解析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断．解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．故选D．点评：有两个角对应相等的三角形相似．记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等．14.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】利用三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系分别判断后即可得到正确的答案．解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；B、三角形的外心大三角形三顶点的距离相等，故错误；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；D、等弧所对的圆心角相等，故正确，故选D．点评：本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础定理，应重点掌握．15.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．16.下列命题正确的是（）A．垂直于弦的直径平分弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．任何一条直径都是圆的对称轴D．过三点可以作一个圆【答案】A【解析】根据垂径定理，圆幂性质以及确定圆的条件对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；B、应为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、应为任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故本选项错误；D、应为过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项错误．故选A．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17.如图，直线l交圆O于A、B两点，且将圆O分成3：1两段．若圆O半径为2cm，则△OAB的面积为（）A.1cm2B.cm2C.2cm2D.4cm2【答案】C【解析】先用“等弧对等角”得出∠AOB=90°，又有半径，故可解．解：如图，由题意知，弦AB把圆周分为3：1两段弧，则弦AB所为的圆心角∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AO=OB=2cm，∴S=×2×2=2cm2，△AOB故选C．点评：本题利用了一个周角为360°及等腰直角三角形的性质和面积公式求解．18.下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦；②等弧所对弦相等；③一个数的绝对值不小于本身；④三角形的外心到三边的距离相等；⑤直径是圆的对称轴；⑥侧面展开图为半圆的圆锥，其轴截面是等边三角形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③⑥D．②④⑥【答案】C【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点以及数学知识的定理进行解题．解：①主要考查垂径定理推论的内容，平分弦的直径垂直于弦，这条弦不能是直径；④中三角形的外心是三角各边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等；⑤直径是圆的对称轴不对，因为对称轴是直线，而直径是线段．正确的是：②③⑥，故选C．点评：本题主要考查学生对于常用的几个重要定理，三角形的外心的识记及理解．19.下列命题中，真命题的个数是（）①等弧所对弦相等②平分弦的直径，垂直于这条弦③平移后对应点所连的线段平行且相等④用正三角形和正六边形两种图形可以实现镶嵌．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据题意，对选项进行一一分析，选择正确答案．解：①等弧所对弦相等，正确；②平分弦（非直径）的直径，垂直于这条弦，错误；③平移后对应点所连的线段有可能在同一直线上，错误；④用正三角形和正六边形两种图形可以实现镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60°．2×120°+2×60°=360°或120°+4×60°=360°，正确．故选：B．点评：本题需注意垂径定理中的弦是非直径的弦．两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．20.已知弧CD是⊙O的一条弧，点A是弧CD的中点，连接AC，CD．则（）A.CD=2ACB.CD＞2ACC.CD＜2ACD.不能确定．【答案】C【解析】首先根据题意画出图形，然后由在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求得AC=AD，然后利用三角形三边关系，即可求得答案．解：如图，∵点A是弧CD的中点，即=，∴AC=AD，∵CD＜AC+AD，∴CD＜2AC．故选C．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键，注意掌握两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等定理的应用．。
九上 圆心角 知识点+例题+练习 5种题型 (分类全面)
知识点、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
题型1：圆心角性质和推论例1、如图，在△ABC中，∠A=70°，☉O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为题型2：圆心角性质和推论与综合证明例1、如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．E D C B A O 题型 1：圆周角性质的综合应用例 1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆上， 点 A 、B 的读数分别为 100°、150°，则∠ACB 的大小为 度．例 2 、如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器 的半圆弧交于点 E ，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是 °．例3.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.例4、如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明弧BE=弧CFDF例5、已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．例6、已知：⊙O 的半径OA =1，弦AB 、AC 的长分别为2，3，求∠BAC 的度数．例7、已知：如图，为的直径，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）求证：．AB O ⊙AB AC BC =，O ⊙D AC O ⊙45E BAC ∠=，°EBC ∠BD CD =，BF与AD 例8、已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA AF 交于E，•求证：AE=BE．例9．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、•OD•于点E、F．求证：AE=BF=CD．题型2：圆中截长补短证线段间数量关系例 1、如图，△ABC 是等边三角形，D 是 B C 上任一点，请判断 BD、CD 和DA 间的关系．题型5：90O的圆周角所对的弦是直径应用例1、下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是( )A B C D例 2 、如图，A、B、E、C 四点都在圆O上，AD 是△ABC 的高，∠EAB＝∠DAC，问：AE 是⊙O 的直径吗？为什么？。
3.4.1 圆心角定理 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.4 圆心角第1课时 圆心角定理基础过关全练知识点1 圆的中心对称性和旋转不变性1.下列说法中,不正确的是( )A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π知识点2 圆心角的定义及其定理3.如图,下列角中不是☉O的圆心角的是( )A.∠AOBB.∠AODC.∠BODD.∠ACD4.【教材变式·P85作业题T2】如图,A、B、C、D是☉O上的点,∠1=∠2,给出下列结论:①AB=CD;②BD=AC;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,AB=8,∠AOC=∠COD=60°,则四边形OACD的面积为 .6.如图,在☉O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE.C为弧AB上一点,连结CD、CE、CO,且CD=CE.求证:C为AB的中点.知识点3 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系7.(2023浙江杭州西湖期中)在☉O中,弦AB等于圆的半径,则它所对的劣弧的度数为( )A.120°B.75°C.60°D.30°8.如图,☉O经过五边形OABCD的四个顶点A,B,C,D,若∠AOD=150°,∠A=65°,∠D=60°,则BC的度数为 °.能力提升全练9.【易错题】(2023浙江宁波北仑期中,16,★★☆)在半径为1的圆中,2的弦所对的弧的度数为 .10.【一题多解】(2023江苏常州新北月考,16,★★☆)如图,在☉O中,∠AOC=2∠BOD,则AC 2BD.(填“>”“<”或“=”)()11.如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G,延长BA交圆A于E,连结EF.(1)求证:EF=FG;(2)当∠ADC为多少度时,四边形GCDF为平行四边形?为什么?素养探究全练12.【推理能力】如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上的两点,且BC+BD=2AB,M是AB上的一点,则MC+MD的最小值3是 .13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC ⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.(1)求证:AM=BN;(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=BN成立吗?请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.2.D 利用圆和正方形的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积π×(4÷2)2=π.的四分之一,即S阴影=143.D 根据圆心角的定义可知∠AOB、∠AOD、∠BOD都是圆心角,∠ACD不是圆心角,故选D.4.D ∵∠1=∠2,∴AB=CD,∠DOB=∠AOC,∴BD=AC,AC=BD,∴①②③④均正确,故选D.5.答案 83解析 ∵∠AOC=∠COD=60°,OA=OC,OC=OD,∴△AOC和△COD都为等边三角形,∴AC=OA=OC=OD=CD,∠OAC=60°,∴四边形OACD为菱形,∴OC⊥AD,∠OAD=∠CAD=30°,∵AB=8,∴OA=OC=4,∵△OAC 为等边三角形,AE ⊥OC ,∴OE =12OC =2,∴AE =42―22=23,∴AD =2×23=43,∴S 菱形OACD =12OC ·AD =12×4×43=83.6.证明 ∵OA =OB ,AD =BE ,∴OD =OE ,在△OCD 和△OCE 中,OD =OE ,CD =CE ,OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE (SSS ),∴∠COD =∠COE ,∴AC =BC ,即C 为AB 的中点.7.C 如图,连结OA 、OB ,∵OA =OB =AB ,∴△OAB 为等边三角形,∴∠AOB =60°,∴AB 的度数为60°,即弦AB 所对的劣弧的度数为60°.故选C .8.答案 40解析 如图,连结OB 、OC ,∵OA=OB=OC=OD,∴∠OBA=∠A=65°,∠OCD=∠D=60°,∴∠AOB=180°-2×65°=50°,∠COD=180°-2×60°=60°,∴∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°,∴BC的度数为40°.能力提升全练9.答案 90°或270°解析 如图,☉O的半径为1,弦AB=2,连结OA、OB,∵OA=OB=1,AB=2,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB为等腰直角三角形,∴∠AOB=90°,∴AB的度数为90°,ACB的度数为270°,即弦AB所对的弧的度数为90°或270°.10.答案 <解析 解法一:如图,以OD为边作∠DOE=∠BOD,OE与☉O交于点E,连结BE、ED,则∠BOE=2∠BOD,BD=DE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOC=∠BOE,∴AC=BE,在△BDE中,BE<BD+ED=2BD,∴AC<2BD.解法二:如图,作∠AOC的平分线交☉O于点E,连结AE、CE,∴∠AOC=2∠AOE=2∠COE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOE=∠COE=∠BOD,∴AE=CE=BD,在△ACE中,AC<AE+CE=2BD,∴AC<2BD.11.解析 (1)证明:如图,连结AG,∵AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG,∴∠DAG=∠EAD,∴EF=FG.(2)当∠ADC为60°时,四边形GCDF为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=60°,∴∠B=60°,∠BAD=120°,AD=BC,AD∥BC,∵AB=AG,∴△ABG是等边三角形,∴∠BAG=60°,BG=AG,∵AF=AG,∴AF=BG,∴DF=CG,又∵DF∥CG,∴四边形GCDF为平行四边形.素养探究全练12.答案 3解析 如图,过D作DD'⊥AB于H,交☉O于D',∴BD=D′B,∵BC +BD =23AB ,∴CD′=BC +BD′=23AB,∵AB 的度数为180°,∴CD′的度数为180°×23=120°,∴∠COD'=120°,连结CD'交AB 于M ,此时MC +MD 的值最小,为线段CD'的长,过O 作ON ⊥CD'于N ,交☉O 于点G ,连结CG ,则CN =ND'.∵OC =OD',∴∠OCD'=∠OD'N =30°.∴∠COG =60°,∵OC =OG ,∴△OCG 为等边三角形,∵CN ⊥OG ,∴ON =12OG ,∵OG =OC =12AB =1,∴ON =12,∴CN=32,∴CD'=3,∴MC +MD 的最小值是3.13.解析 (1)证明:如图,连结OM ,ON.∵OA =OB ,AC =BD ,∴OA -AC =OB -BD ,∴OC =OD.∵MC ⊥AB ,ND ⊥AB ,∴∠OCM =∠ODN =90°,又∵OM =ON ,∴Rt △OCM ≌Rt △ODN ,∴∠AOM =∠BON ,∴AM =BN .(2)成立.理由如下:如图,连结AM,BN,∵C为OA的中点,MC⊥AB,∴AM=OM,又∵OA=OM,∴△AOM为等边三角形,∴∠AOM=60°.同理可得∠BON=60°,∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴AM=MN=BN.。
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3.4
圆心角第1课时
圆心角定理
1．下面四个图形中的角，为圆心角的是(D
)
2.在同圆或等圆中，下列说法错误的是
(D )A ．相等圆心角所对的弦相等
B ．相等圆心角所对的弧相等
C ．相等弦所对的圆心角相等
D ．相等弦所对的弧相等
3.在半径为2的⊙O 中，弦长为2的弦所对的圆心角为
(B )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°【解析】如答图，在半径为2的⊙O 中，弦AB ＝2，连
结OA ，OB ，则有OA ＝OB ＝AB ＝2，所以△OAB 是等边三角形，所以
∠AOB ＝60°.4．如图3－4－7，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，且
∠AOC ＝50°，作
AE ∥CD ，交⊙O 于E ，则AE ︵的度数为(D )
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80
°图3－4－7
第4题答图
【解析】如答图，连结OE .∵AE ∥CD ，
∴∠A ＝∠AOC ＝50°，
在△AOE 中，OA ＝OE
，
第3题答图
∴∠E ＝∠A ＝50°，
∴∠AOE ＝180°－∠A －∠E ＝80°.即AE ︵的度数为80°.。