电子科技大学物理光学第三章

第三章 晶体中的电子状态
固体中的电子问题是复杂的多体问题。近似物理模型：
德鲁特－洛伦兹模型（1900）
特点：原子为球形、构成点阵 遵守经典力学 运用气体分子运动论 解释：魏德曼－弗兰兹定律 困难：不能解释自由电子的比热
索末菲自由电子模型（1928）
特点：用量子力学来处理 解释：电子比热小 困难：不能解释材料间电导差别
h 2 π2 2 E= nx + n2 + n2 y z 2m L2
(
)
能量被量子化
Ψ ( x,h 2, zπ 2= ϕ1 ( x )ϕ22 ( y)ϕ 3 (z) y ) E= n2 + ny + n2 x z 2 2m L
(
)
行波解 边界条件：
= ψ (0、y、z） ψ（L、y、z) = ψ ( x 0、z） ψ（x、L、z) ψ ( x、y、 = ψ（x、y、L) 0）
2
2π 2πn z L
能量也是量子化的
二、能态密度 定义： ( E ) = lim ∆G = dG D
∆E → 0
∆E
dE
v 每一个能量状态在 K 空间占的体积是
2π 3 ( ) L
状态密度： ( 2π ) −3
L
v2 v 2π −3 能级数目： dZ = ( ) ⋅ 4π K dK L
V 2m 3/ 2 1/ 2 dZ = ( 2 ) E dE 2 4π h
u (r + R) = u (r )
布洛赫定理
三、布洛赫电子与自由电子 1、波函数 自由电子 Ψ k (r ) = Aeik ⋅r
Ψ k (r ) = u (r )eik ⋅r 布洛赫电子
行进的平面波
被周期函数调幅的平面波 2、晶体中各处电子出现的几率 自由电子
Ψ = A2
2
与位置无关
2 2
布洛赫电子 各原胞相应位置出现几率相同
Ψ (r + R) = Ψ (r )
四、布洛赫波函数的图像与物理意义
1、一维图像
2、物理意义
e
ikx
电子在晶体中共有化运动 电子在原胞中的运动
u ( x)
第三节 近自由电子近似
一、理论模型 电子基本是自由的，周期势场作为微扰 二、非简并微扰法
h2 d 2 + V ( x)]Ψ ( x) = E Ψ ( x) [− 2 2m dx
第二节
布洛赫定理
一、周期势场
一维：
V ( x + a) = V ( x)
三维： k (r ) = uk (r + R) u
二、布洛赫波函数
h2 2 − 2m ∇ + V (r ) ψ k (r ) = Ekψ k (r )
ψ (r ) = u (r ) exp(ik ⋅ r )
* k * m
(
)(
)
分子
h2 2 ˆ Hl = − ∇ + Va 2m r ˆ − H = V (r ) −V ˆ H l a
(
r r r − Rl
)
(
r r r − Rl
)
) (
)
E=
1 * ˆ ψ k Hψ k dτ N∫ r r r r 1 ik ⋅( Rl − Rm ) * r = E0 + ∑∑ e ⋅ ∫ φ r − Rm N l m
0 2
]ห้องสมุดไป่ตู้
1 E0 = ∫ EdN = N 3 1 EF 0 3 0 2 ∫0 CE dE = 5 EF N
5π 2 K 2 T 2 3 0 B E ≈ E F [1 + ] 0 2 5 12(E F )
v 2 r r 2 2 v v r φ K ( r ) = 0u K ( r ) exp(ik2⋅ r ) v ˆ h [ 2 +π K T E HF=≈ E F ∇1 − V( r )B 0 2 ] 2m 12(E F )
考虑自旋 dG = V2 ( 2m ) 3 2 E 12 dE = CE 12 dE 2
2π 2π h
1 dG Z( E ) = = CE 2 dE
其中
V 2m 3 2 C= 2 ( 2 ) 2π h
三、电子分布函数 费米－狄拉克分布：
1 f (E) = E − EF exp( ) +1 K BT
h2 2 r ˆ H =− ∇ +V (r ) 2m
晶体的哈米顿量
分母
r r r r r r * r ∫ψ ψ k dτ = ∑∑ exp[ik ⋅ ( Rl − Rm )] ⋅ ∫ φ r − Rm φ r − Rl dτ
* k l m
(
)(
)
忽略所有的交迭
r r r r ∫ψ ψ k dτ = ∑ ∫ φ r − Rm φ r − Rm dτ = N
nπ 禁带出现的位置： = k a
与晶体结构有关
禁带宽度： ∆En = Eg = E+ − E− = 2 Vn 与周期势场有关
产生禁带的原因 当
nπ k= a
2a 时，波长为 λ = n
满足布拉格条件，遭到全反射，入射波干涉 从而形成驻波 。电子的速度为零。
五、能带的性质
能带具有周期性 E (k ) = E (k ') = E (k + 2π n)
洛赫能带论 （1928）
特点：变多体问题为单电子问题 解释：材料间存在电导差别， 预言半导体存在 困难：对某些过渡金属化合物不适合
第一节
索末菲自由电子模型
思想：金属中的电子不受外力作用， 思想：金属中的电子不受外力作用， 没有相互作用，不能逸出金属。 没有相互作用，不能逸出金属。
电子在边长为Ｌ的立方体中运动，方势阱为
2m Vn hk / +∑ Ek = 2π n 2 2m 2 2 2 n h k − h (k − ) a
2 2
2
Ψ k ( x) = Ψ 0 ( x) + ∑ / k
k
/
H k/ / k Ek0 − Ek0/
Ψ 0 / ( x) k
2π n * 2mVn exp(−i x) 1 a = exp(ikx) 1 + ∑ 2π L n ≠0 h 2 k 2 − h 2 (k − ) a 1 = u ( x) exp(ikx) L
系数行列式
E − Ek0 −V
* n
−V E−E
0 k′
=0
1 0 E = [ Ek + Ek0′ ± ( Ek0 − Ek0′ ) + 4(Vn ) 2 2
k=
nπ nπ , k′ = − a a
E± = Ek0 ± Vn
∆En = E+ − E− = 2 Vn
能带
禁带
讨论：
能带与禁带 能量不连续产生禁带，导致能带出现
a
能带具有对称性 E (k ) = E (− k ) 每个能带中只能容纳2N个电子
六、能带的三种表示图
扩展能区图
周期能区图
简约能区图
第四节 紧束缚近似
一、基本思想 电子的共有化几率小，基本被某一原子束缚，其 他原子的作用当作微扰
二、电子波函数 1、孤立原子的电子波函数φ
φ (r − R) → E0
三、简并微扰法
Ψ 0 前进的平面波 k
Ψ 0′ 布拉格反射波 k
0级近似波函数：
A B Ψ = Aψ + Bψ = exp(ikx) + exp(ik ′x) L L
0 0 k 0 k′
代入薛定谔方程：
d 2 2m [ 2 + 2 ( E − V ( x))]Ψ 0 = 0 h dx
( E − Ek0 ) A − Vn B = 0 * 0 −Vn A + ( E − Ek ′ ) B = 0
0 ∞ 1
绝对零度时，不可 1 T =能所有的电子都处 0 E N = C ∫ E 2 dE 于最低的能量状态。 0 电子也具有相当大 2 h2 0 2 EF = (3nπ ) 3 的动能。 2m
F
E F ≈ E F [1 −
室温下 EF0 F0π 2 K 2 T 2 ≈E
B
T >0
12(E F )
*
r r r r ∫ φ ( r − ρm ) V ( r ) − Va ( r ) φ ( r ) dτ = −γ
*
v r E = E0 − α + ∑ exp(−k ⋅ ρ m )(−γ )
m
v r E = E0 − α − γ ∑ exp(−k ⋅ ρ m )
E − E F << K B T
E − E F >> K B T
玻尔兹曼分布？
f (E) = 1
E f ( E ) = A exp(− ) K BT
原因：两个电子占据同一个能级的几率非常小 ， 可以用经典的统计来代替它。 意义？ 用途：近似计算
五、费米能级确定 电子总数为： N = ∫ CE 2 f ( E )dE
r r 波函数： Ψ = A exp[i(K x x + K y y + K z z)] = A exp[i(k ⋅ r )]
2π 2πn x Kx = L
Ky = 2π 2πn y L
Kz =
v2 h K h 2 2π 2 2 2 2 能量： E = = ( ) ( nx + n y + nz ) 2m 2m L
1 f (E) = E − EF exp( ) +1 K BT
费米能级以下满 以上空
1 f (E) = 2
f (E) > 1 2
T≠0
E = EF