可线性化的回归分析
第7章 回归分析与相关分析(3)-可线性化的非线性回归
第二篇回归分析与相关分析第7章可线性化的非线性回归线性模型在现实中其实是较少出现的，大量的规律都表现为非线性模型。
线性模型的价值与其说在于处理线性问题，毋宁说在于处理线性化的非线性模型，或者说近似拟合相互作用不太强烈非线性系统。
在实际工作中，我们会遇到许多简单而又实用的非线性模型，这些模型都可以通过某种数学变换转换为线性关系，从而利用最小二乘技术进行回归运算。
比较常见的有指数模型、对数模型、幂指数模型、双曲线模型、抛物线模型、正态分布模型，等等。
下面逐一举例说明。
§7.1 线性与非线性非线性是相对于线性关系而言的。
当变量数目一定的时候，线性关系只有一种，而非线性关系各式各样，千变万化。
传统的科学理论主要是基于线性理论建立起来的，非线性科学的兴起历史并不长久。
虽然非线性理论年龄尚幼，但简单的非线性关系的应用却历史悠久。
首先需要区别函数y=f(x)对自变量x的依赖关系。
对于一个变量而言，线性形式为=,bxy+a这是只有一个自变量的一次多项式表达，式中a、b为参数，表现为常数形式。
如果多项式出现大于1的幂次，就是非线性函数。
最简单的非线性函数之一是抛物线，这是一种二次多项式=2,cy++axbx式中a、b、c为参数。
一般函数为f=,yμ(x),式中μ为参量集。
我们可以从如下方面理解线性关系和非线性关系的区别。
第一，线性是简单的比例关系，而非线性则是对简单比例关系的偏离。
有位学者打了一个通俗的比方，线性就是水涨船高，多多益善；非线性就是过犹不及，物极必反。
以三次曲线为例，该曲线是对线性关系的局部偏离，科学上称之为“微扰”或者“摄动”。
第二，线性关系表明各个变量之间互不相干，独立贡献，非线性关系则意味着相互作用。
线性关系暗示各个变量可以相互叠加，对于非线性而言，暗示整体不等于部分之和。
因此，线性回归要求各个自变量彼此独立，因为最小二乘技术主要是基于线性思想发展的一种参数求解方法。
第三，线性关系意味着信号的频率成分不变，而非线性关系则暗示频率结构发生变化。
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从均值为0、方差为σ^2的正态分布。
二、参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型的参数。
具体来说，最小二乘法的目标是最小化残差平方和：min Σ(Yi - (β0 + β1Xi))^2通过对残差平方和进行求导，可以得到参数的估计值：β1 = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2β0 = Ȳ - β1X̄其中，Xi和Yi分别表示观测值的自变量和因变量，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的均值。
三、模型评估线性回归模型的拟合程度可以通过多个指标进行评估，包括决定系数（R^2）、标准误差（SE）和F统计量等。
决定系数是用来衡量模型解释变量变异性的比例，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对观测值的解释能力越强。
标准误差是用来衡量模型预测值与观测值之间的平均误差。
标准误差越小，说明模型的预测精度越高。
F统计量是用来检验模型的显著性。
F统计量的计算公式为：F = (SSR / k) / (SSE / (n - k - 1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，k表示模型的自由度，n表示观测值的个数。
F统计量的值越大，说明模型的显著性越高。
四、模型应用线性回归分析可以用于预测和推断。
通过拟合一条直线，可以根据自变量的取值来预测因变量的值。
回归分析概述
例 1：某保险公司承保汽车 x 万辆，每辆保费
为 1000 元，如果记保险公司的承保总收入为
y ，则 y 与 x 之间表现为一种确定性的关系：
y 1000x
变量之间具有密切关联而又不能由一个 或若干个变量唯一确定另外一个变量, 这样 的一种联系称为变量之间的相关关系.
例如，父亲身材较高时儿子的身材也较高，但是 父子身高之间的关系不能用一个确定的函数关系 来表达．又如，人的血压与年龄之间有密切的关 系，但是两者之间的关系不能用一个确定的函数 关系来表达．
回归分析是考察两个变量之间统计联系的一种重要 方法，它在许多领域中都有极其广泛的应用。本章 主要介绍回归分析中最基本的部分 — —（线性）回 归分析，内容包括一元（线性）回归分析与多元 （线性）回归分析，以及某些可以线性化的非线性 回归分析问题，回归分析的基本形式仍然是估计与 检验。因此，不妨把本章的内容视作估计与检验方 法在特殊的一类统计问题中的应用。
概率论中简化处理随机变量的常用方法是求其
数学期望.因此,我们来研究自变量 x 与因变量
Y 的均值E Y 之间的关系.当自变量x 的值给定 时,相应的均值E Y 跟着确定,即x 与给定 x 时
Y 的均值 E Y x ˆ y 之间存在一种函数关系, 记
这个函数关系为 y f x,并称它为回归函数.
回归函数反映了自变量 x 与因变量 Y 的均值E Y
之间的函数关系, 因此它近似地描述了自变量 x 与 因变量Y 之间的数量关系.
回归函数f x是未知的,为了数学上处理的方便,
首先假定回归函数是线性的,即 y 0 1x, 其中 0 , 1 待定, 称1 为这个一元线性回归函数的回归
系数.也即E Y 0 1x, 引进随机误差项 ,那么
回归分析的基本方法
回归分析的基本方法回归分析是一种用于分析变量之间关系的统计方法，可以帮助我们预测一个变量如何随其他变量的变化而变化。
它可以用于描述变量之间的相互依赖关系，并据此进行预测和解释。
回归分析的基本方法有简单线性回归、多元线性回归和逻辑回归等。
简单线性回归是回归分析的最简单形式，用于探索两个变量之间的线性关系。
它假设两个变量之间存在一个直线关系，通过最小二乘法拟合一条直线来拟合这种关系。
简单线性回归模型的基本形式为：Y=β0+β1X+ε。
其中，Y是被解释变量，X是解释变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数β0和β1可以通过最小二乘法估计得到，从而得到最佳拟合直线。
多元线性回归是在简单线性回归的基础上进行扩展，用于分析多个解释变量对一个被解释变量的影响。
它假设被解释变量与解释变量之间存在一个线性关系，通过最小二乘法拟合一个多元线性模型。
多元线性回归模型的基本形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε。
其中，Y是被解释变量，X1、X2、..、Xn是解释变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
通过最小二乘法，我们可以估计出回归系数β0、β1、β2、..、βn，从而得到最佳拟合模型。
逻辑回归是一种常用于处理二分类问题的回归方法，它用于预测二分类变量的概率。
逻辑回归将线性回归模型的输出值转换为0和1之间的概率值，并根据概率值进行分类。
逻辑回归模型的基本形式为：P(Y=1，X)= 1 / (1+exp(-β0-β1X1-β2X2-...-βnXn))。
其中，P(Y=1，X)是当给定解释变量X时，被解释变量Y等于1的概率，β0、β1、β2、..、βn是回归系数。
在回归分析中，我们需要进行变量选择来判断哪些解释变量对被解释变量的影响最为显著。
常用的变量选择方法有前向选择、后向删除和逐步回归等。
此外，还可以通过检验回归系数的显著性和分析残差来评估回归模型的拟合程度和预测能力。
常用的检验方法包括t检验、F检验和R方等。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
高考冲刺作业(80)(答案)回归分析、独立性检验
高考冲刺作业（80）2020年3月20日 （回归分析、独立性检验）考点1线性回归分析提示：由最小二乘法得回归直线方程：（认真阅读、深刻理解）y a bx =+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.有时这样表述：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其线性回归方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.1.（2015·重庆卷·文理）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程y bt a =+； 1.2 3.6y t =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款. 10.8 2.已知x ，y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为 3.5y bx =+，则b = . 0.5b = 3.（2011·陕西卷·理科）设11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 DA.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B.x 和y 的相关系数在0到1之间C.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D.直线l过点(,)x y Array4.已知x，y的取值如下表根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归直线方程为0.80.4y x=+,那么表中t的值为 CA.4.8B.5.2C.5.5D.5.65.设有一个线性回归方程为3 2.5y x=-,则变量x增加一个单位时 C A.y平均增加2.5个单位 B.y平均增加1个单位C.y平均减少2.5个单位D.y平均减少1个单位6.（2015·福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查=+，其中0.76b=，a y bx社区一户收入为15万元家庭年支出为 BA.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元7.对四组变量,x y进行相关性检验，r是相关系数，已知①0.96r=，r=，②0.30③0.99r=-，④0.48r=-.则,x y线性相关程度最高的两组是 .8.（2010·湖南卷·文科）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 AA.$10200=-- D.$10200y x=+ y xy x=-+ B.$10200y x=+ C.$10200考点2可线性化回归分析1.（2015·全国卷Ⅰ·文理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8)i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑.（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？解析：（Ⅰ）根据散点图判断，y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；年宣传费／千元（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，令w =y c d ω=+，81821()()()iii ii w w y y d w w ==--==-∑∑108.8681.6=，56368 6.8100.6c y d ω=+=-⨯=，所以100.668y ω=+，于是y 关于x的回归方程是：100.6y =+（Ⅲ）（i ）由0.2z y x =-及当49x =时，100.6y =+，0.2576.6z =⨯-4966.32=，年销售量576.6千元及年利润的预报值是66.32千元.（ii ）由0.2z y x =-及100.6y =+0.2(100.6z x x =⨯+-=-+20.04+t =，2()13.620.04h t t t =-++，当 6.8t =，即46.24x =时，年利率的预报值最大.2.已知某种细菌的适宜生长温度为1025C C o o :，为了研究该种细菌的繁殖数量y （单位：个）随温度x （温度：C o ）变化的规律，收集数据如下：对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：其中，ln i i k y =，7117i i k k ==∑.参考数据： 5.5245e ≈.（Ⅰ）绘出y 关于x 的散点图，并根据散点图判断，y a bx =+与21c x y c e =哪一个适宜作为该种细菌的繁殖数y 关于温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（结果精确到0.1）.（Ⅲ）当温度为25C o 时，该种细菌繁殖数量的预报值为多少？ 解析：（Ⅰ）根据散点图可知：21c x y c e =比较合适；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21c x y c e =得12ln ln y c c x =+，即2k m c x =+，712721()()()iii ii x x kk c x x ==--=-∑∑20.50.1830.2112=≈≈， 3.80.183180.5m k bx =-=-⨯≈，即1ln 0.5c =，所以 ln 0.50.2y x =+，于是y 关于x 的回归方程是：0.50.2x y e +=.（Ⅲ）当25x =时，0.50.225 5.5245y e e +⨯==≈，即当温度为25C o 时，该种细菌繁殖数量的预报值为245.3.噪音污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量i I （1,2,,10i =L ）数据作了初步处理，得到下面的散点图即一些统计量的值.（Ⅰ）根据散点图判断，D c dI =+与lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（Ⅱ）根据表中数据，建立D 关于I 的回归方程；（Ⅲ）当声音强度大于60分贝时，属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共DIg g g gg g g ggg 1020 10 0 20 30 30 40 50 40 50 60受到两个声源的影响，这两个声音能量分别为1I ，2I ，且10121410I I +=.已知点P 的声音能量等于1I 和2I 声音能量之和，请根据（Ⅰ）中回归方程，判断点P 是否受到噪音污染的干扰，并说明理由.参考数据：其中表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑，截距的最小二乘估计分别为：v u αβ=-，121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑.解析：（Ⅰ）根据散点图可知，lg D a b I =+适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg D a b I =+，D a bW =+,1011021()()5.1100.51()iii ii W W D D b W W ==--===-∑∑， 45.710(11.5)160.7a D bW =-=-⨯=，所以D 关于I 的回归方程为：160.710lg D I =+（Ⅲ）点P 的声音能量等于1I 和2I 声音能量之和，101212121410()()I I I I I I I -=+=++ 10102112410[5()]109I I I I --=++≥⨯，10min 160.710lg(109)60.710lg 960D -=+⨯=+>，P 会受到噪音污染的干扰.4．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（ 2019Corona Virus Disease ， 2019COVID ），简称“新冠肺炎”．下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，L ，10），建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅.（Ⅰ）根据散点图判断，$y c dt =+和$ 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及附表中数据，建立y 关于t 的回归方程； （Ⅲ）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（Ⅱ）的结果时间1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据19752744451559747111①当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1，则认为模型可靠，请判断（Ⅱ）的回归方程是否可靠？②2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑.解析：（Ⅰ）根据散点图可知：$ 1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变t 的回归方程类型；（Ⅱ）令 1.5tω=，$y a b ω=+⋅，1011021()()()iii ii y y bωωωω==--=-∑∑$101102211010i ii ii y yωωωω==-=-∑∑，215470010193902076401019-⨯⨯==-⨯，390201910a y b ω=-=-⨯=，$1020y ω=+⋅，即 $1020 1.5t y =+⨯；（Ⅲ）①当11t =时，111.5100=，10201002010y =+⨯=，201019753519752010-=0.0170.1≈<，当12t =时，121.5150=，10201503010y =+⨯=，301027442744-=2660.0970.12744≈<，当13t =时，131.5225=，10202254510y =+⨯=，451045154515-50.14515=<.所以（Ⅱ）的回归方程可靠； ②当15t =时，$10150y =,远大于7111，所以防护措施有效．考点3独立性检验构造随机变量（卡方统计量）统计量2χ（也可表示2K），来判断“两个分类变量有关联”的方法称为独立性检验.其中22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.1.（2010·课标全国卷·文科）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014% 500=.（Ⅱ）22500(4027030160)9.96720030070430K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.2.（2014·辽宁卷）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.22100(60102010)100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯, 710p =.3.（2018·全国卷Ⅲ·文理科）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20名工人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.（Ⅱ）求40名工人完成生产任务所需的时间的中位数m ，并将完成生产任务所（Ⅲ）根据（Ⅱ）中列联表，能否有99％把握认为两种生产方式的效率有差异？ 解析：（Ⅰ）第二中生产方式效率更高.（Ⅱ）7981802m +==.（Ⅲ）2240(151555)10 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有99％把握认为两种生产方式的效率有差异.4.（2019·全国卷Ⅰ·文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（Ⅰ）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（Ⅱ）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？第一种生产方式第二种生产方式 8 8765 56 8 90 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 099 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0解析：（Ⅰ）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95％的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 5.（2017·全国卷Ⅱ·文科）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；0.62（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖22200(62663438)15.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.6.（2017·全国卷Ⅱ·文科）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的/kg旧养殖法kg新养殖法产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）7.（2013·福建卷）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：)[50,60，)[60,70，)[70,80，)[80,90，)[90,100， 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完/kg旧养殖法kg新养殖法成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？710p =,22100(45152515)25 1.797030604014K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.没有把握.8.（2010·辽宁卷·理科）为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组.每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的实验结果.（疱疹面积单位：2mm ）（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（Ⅱ）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A 后的25周岁以上组25周岁以下组注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,210.828K >.有99.9％的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.。
线性回归分析
3.用参数估计值替代初始值，将方程再次展开，进行线性化，从而又可 一点的导数求得。
以求出一批参数估计值。
4.如此反复，直至参数估计值收敛为止。
04 总结
回归模型的原理及应用
模型表达形式
模型的基本 假定
模型的估计
模型的检验
05 案例
05 案例
05 案例
学生化残差是残差除以它的标准差 后得到的数值，用以直观地判断误 差项服从正态分布这一假定是否成 立 ，若假定成立，学生化残差的 分布也应服从正态分布。学生化残 差由普通残差推导出，在数据诊断 与残差分析 为零、方差为σ2正态分布。 即，μi ∼ N（0，σ2）
Part 03
多元线性回归模 型
03 多元线性回归模型
03 最小二乘法原理
原理：利用样本回归函数估计总体回归函数，是根据一个给定的包含n组X和Y观测数据的样 本，建立样本回归函数，使估计值尽可能接近观测值YiYˆi。最小二乘原理就是根据使样本剩 余的平方和达到最小的准则，确定模型中的参数，建立样本回归函数（回归系数的最小二乘 估计，包括截距系数和斜率系数）。
2.回归模型的分类 （1）按模型中自变量的多少，分为一元回归模型和多元回归模型。 （2）按模型中参数与被解释变量之间是否线性，分为线性回归模型和非线性回归模型。
01 相关方法演示
“分析”
“相关”
“双变量” “偏相关”
“距离”
双变量：用于进行两个/多个变量间的参 数/非参数相关分析，计算两个变量之间 相关性的强弱,如果是多个变量，则给出 两两相关的分析结果。 偏相关：如果需要进行相关分析的两个 变量其取值均受到其他变量的影响，就 可以利用偏相关分析对其他变量进行控 制，输出控制其他变量影响后的相关系 数。 距离：比较特殊的中间过程，调用此过 程可对同一变量内部各观察单位间的数 值或各个不同变量间进行相似性或不相 似性（距离）分析，前者用于检测观测 值的接近程度，后者则常用于考察各变 量的内在联系和结构。
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
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150
100
50
0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36
从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能 用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中 在一条指数曲线或二次曲线的附近。
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在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际 问题需要注意的问题：对于同样的数据，有不 同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方 法分析数据。
(a 0, b 0)
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
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变换公式
变换后的 线性函数
c＝ln a 1 v＝ x u＝ln y
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u＝c＋bv
4. 对数曲线：y a b ln x
b0
b0
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
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[正解] 根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系，设 1 k y＝x，令 t＝x ，则 y＝kt，原数据变为：
t y
4 16
2 12
1 5
0.5 0.25 2 1
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由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关
系，列表如下：
序号 1 2 3 4 5 ∑ ti 4 2 1 0.5 0.25 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 t iy i 64 24 5 1 0.25 94.25 t2 i 16 4 1 0.25 0.062 5 21.312 5 y2 i 256 144 25 4 1 430
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。 而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
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分析：
bx y ae 考虑函数 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y ln a bx
设 u ln y, c lna ，则上式变为 u c bx ，
t y
350 300 250 200 150 100 50 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400
441 7
529 11
625 21
y
729 24
841 1024 1225 66 115 325
y
散点并不集中在一条直线的附近，因此用该 回归模型拟合他们的效果不是最好的。
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a b ln x
结束
【解题流程】
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例3：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集 了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
温度x 21 产卵数y 7
350
23 11
25 21
27 24
29 66
32 115
35 325
解:1)作散点图;
产卵数
300
250
200
yi 16 12 5 2 1 36
x iy i 4 6 5 4 4 23
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i＝1
xiyi－5 x y
2 － 5 x x2 i 5
5
∴ x ＝1.55， y ＝7.2. b＝
≈－3.53.
i＝1
a＝ y －b x . 所求的 y 与 x 之间的回归方程是 y＝12.67－3.53x.
本题的样本点恰好不是线性相关的．根据散点图可 k 以发现 y 与 x 近似地呈反比例函数关系， 即 y＝x的关系(如图)， 1 1 令 t＝x，则 y＝kt，即 y 与x 呈线性相关的关系．
这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。
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将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。
b y ax 1.幂函数：
(a 1, b 0)
(a 1, b 0)
作变换 u ln y , v ln x, c ln a, 得线性函数 u c bv 。
现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合 红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：
bx (1)y ae ,
(2)y ax b.
2
z bx c
y at b
可以利用直观（散点图和残差图）、相关指 数来确定哪一个模型的拟合效果更好。
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z = lny 解: 1)用y = aebx模型; 令 则z=bx+c,(c=lna),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图
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自主交流：
变换公式
变换后的 线性函数
v＝ln x u＝y
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u＝a＋bv
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例2
、在一次抽样调查中测得样本的5个样本 点，数值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1
试建立y与x之间的回归方程． 解：先画散点图发现两个变量 的关系
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∴ t ＝1.55， y ＝7.2.
i＝1
tiyi－5 t y
2 2 t － 5 t i 5
5
b＝
≈4.134 4.
i＝1
a＝ y －b t ≈0.8. ∴y＝0.8＋4.134 t. 4.134 ∴y 与 x 的回归方程是 y＝0.8＋ x .
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小结：
＊ 非线性回归方程： 对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非 线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进 行研究，最后再转换为非线性回归方程。 ＊ 常见非线性回归模型： 1.幂函数：y
ax
b
b x
2. 指数曲线： y
ae
bx
3. 倒指数曲线： y ae
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y 4. 对数曲线：
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bx y ae 2. 指数曲线：
( a 0, b 0)
(a 0, b 0)
作变换 u ln y , c ln a , 得线性函数 u c bx 。
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思考交流 3. 倒指数曲线：
y ae
b x
(a 0, b 0)
x z 21 23 25 27 29 32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.19 4.745 5.784
z 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40
z
x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合
z = bx + c
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t = x 2 , 则y=at+b ,列出 2) 用 y=ax2+b 模型,令 变换后数据表并画出t与y 的散点图
其中
1 x xi n i 1
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n
1 y yi n i 1
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n
复习回顾 ＊ 线性相关系数r及性质：
r
lxy lxxl yy
，其中 1 r 1 。 ＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高； r 值越接近于0，线性相关程度就越低。 ＊ 当 r 0 时，两变量正相关； 当 r 0 时，两变量负相关； 当 r 0 时，两变量线性不相关。
南召一中
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甘光银
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彭建方
结束
复习回顾
，
( xi x)( yi y ) i 1 b n 2 ( xi x) i 1 a y bx
n
x y x
i 1 i 1 n i 2 i
n
i
nx y
2
n( x )
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x y
0.25 16
0.5 12
1 5
x2 i 0.062 5 0.25 1 4 16 21.312 5
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2 2
y2 i 256 144 25 4 1 430
结束
4 1
[错解] 由已知条件制下表： 序号 1 2 3 4 5 ∑
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xi 0.25 0.5 1 2 4 7.75
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(1) 0.272x-3.843 非线性回归方程y ˆ =e , 二次回归方程 ˆ(2) 2 y = 0.367x - 202.54 由散点图可知 （1）化为线性回归模型后误差小， （2）化为线性回归模型后误差大， 所以回归函数模型1误差小，2误差大 (1) 0.272x-3.843 ˆ y = e 选择 作为这两个 变量的回归方程；也可以计算两个模 型化为线性回归模型后的线性相关系 数r,谁的更接近1，谁就更合适。模型 1的r必定更接近1。
即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
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对上表数据求线性回归方程得： c 5.056 , b 0.138 , 即： u 5.056 0.138 x
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u 5.056 0.138 x y e e e 由此可得： ，曲线如图：
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n xi yi nx y i1 n 2 n 2 2 2 x n x y n y i i i1 i1
结束
Байду номын сангаас
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？