2020学年江西省上饶市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2020学年江西省上饶市高二下学期期末数学试题一、 单选题1． 复数1i1i -=+z ，则z ＝（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为21i (1i)21i (1i)(1i)2---====-++-iz i ， 所以1z =. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法，以及复数的模，熟记公式即可，属于基础题型. 2．已知命题2:,230∀∈+-<p x R x x ，则命题p 的否定p ⌝为（ ）A ．2000,230∃∈+-≥x R x x B ．2,230x R x x ∀∈+-≥ C ．2000,230∃∈+-<x R x xD ．2,230∀∈+-<x R x x【答案】A【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果. 【详解】因为命题2:,230∀∈+-<p x R x x ，所以命题p 的否定p ⌝为：2000,230∃∈+-≥x R x x故选A 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.3．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A ．(－10,2,8)B ．(－10,2,－8)C ．(5,2,－8)D ．(－10,3,－8)【答案】B【解析】直接利用中点坐标公式求解即可. 【详解】设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.4．函数()1x f x e =+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．2y x =+ C ．21y x =- D ．22y x =+【答案】B【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可. 【详解】函数的导数'()x f x e =，则函数在点(0,(0))f 处的切线斜率0'(0)1k f e ===， 因为0(0)12f e =+=， 所以切点坐标为为(0,2)， 则切线方程为2y x =+， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.5．△ABC 的两个顶点为A （-4,0），B （4,0），△ABC 周长为18，则C 点轨迹为（ ）A ．221259x y +=（y≠0） B ．221259y x +=（y≠0）C ．221169x y +=（y≠0） D ．221169y x +=（y≠0）【答案】A【解析】试题分析：由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为221259x y +=（），故正确选项为A ．【考点】椭圆的概念．【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点． 6．计算：22(22)-+=⎰x dx （ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣8D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，可直接求出结果. 【详解】()()()2222222(22)224248x dx xx--+=+=+--=⎰.故选D 【点睛】本题主要考查定积分，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型. 7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( ) A ．192 B ．202 C ．212 D ．222 【答案】C【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里336+=， 6410+=）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为105621++=，又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有333333212345621+++++=，故选C.点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可.8．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．4D ．23【答案】A【解析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果. 【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ， 显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小； 因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =. 故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.9．若函数2()ln =++af x x x x在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】先对函数求导，根据题意，得到3a =，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果. 【详解】因为2()ln =++af x x x x， 所以21()2'=-+a f x x x x， 又函数2()ln =++af x x x x在1x =处取得极小值， 所以(1)210'=-+=f a ，所以3a =，因此332222231232(1)(1)(223)(1)()2+--+-++-'=-+===x x x x x x x f x x x x x x x， 由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； 所以min ()(1)134==+=f x f ； 故选B 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.10．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．5B ．5C ．35D ．45【答案】B【解析】由题意可知AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可. 【详解】∵2,AB BC AC === ∴AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()()B 0,0,0C 2,0,0,0,2,0,110,Q 0,1,0A M ，，，，设()P 002x ，，，则()N 00x ，，，∵MN =，=x 1= ∴()()0,12,11,1PQ MN =-=--u u u r u u u u r，，∴cos PQ MN PQ MN PQ MN===u u u ru u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u u r n n，∴异面直线PQ 与MN故选：B 【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．y = D．y =【答案】B【解析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12．已知函数()2ln(22)=-+f x x x ，22()4--=+x a a x g x e e ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使得00()()3+=f x g x ，则实数a 的值为（ ） A ．ln 2- B ．ln 2C ．1ln2--D ．1ln2-+【答案】C【解析】先对函数()f x 求导，用导数的方法求最小值，再由基本不等式求出()g x 的最小值，结合题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】由()2ln(22)=-+f x x x 得121()211x f x x x +'=-=++， 由()0f x '>得12x >-；由()0f x '<得112x -<<-；因此，函数()f x 在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 1()()12f x f =-=-；又22()44x a a x g x e e --=+≥=， 当且仅当224x aa xee--=，即1(ln 2)2x a =+时，等号成立， 故()()3f x g x +≥（当且仅当()f x 与()g x 同时取最小值时，等号成立） 因为存在实数0x 使得00()()3+=f x g x ，所以11(ln 2)22a +=-，解得1ln 2a =--.故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，以及由基本不等式求最小值，熟记利用导数求函数最值的方法，以及熟记基本不等式即可，属于常考题型. 二、填空题13．函数()23=---f x x x 的最大值为_______. 【答案】1【解析】先将函数解析式写出分段函数的形式，根据函数单调性，即可得出结果. 【详解】因为1,3()2325,231,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=---=-≤<⎨⎪-<⎩；易得：当且仅当3x ≥时，取最大值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型. 14．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ． 【答案】()1,+∞【解析】试题分析：因为1()101f x x x'=->⇒>，所以单调递增区间是()1,+∞ 【考点】导数应用15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o ，12AB AC AA ===，点G ，E ，D 分别是棱11A B ，1CC ，AC 的中点，点F 是棱AB 上的点．若GD EF 1⋅=-u u u r u u r，则线段DF 的长度为______．2【解析】根据题意，以A 点为坐标原点，以1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设出点F 坐标，根据题意，列出方程，求出点F 坐标，进而可求出结果. 【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o ，因此，以A 点为坐标原点，以1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为12AB AC AA ===，点G ，E ，D 分别是棱11A B ，1CC ，AC 的中点，所以(1,0,2)G ，(0,2,1)E ，(0,1,0)D ，则(1,1,2)GD =--u u u r，又点F 是棱AB 上的点，所以设(,0,0)F a ， 则(,2,1)EF a =--u u u r，因为1GD EF ⋅=-u u u r u u u r，所以221a --+=-，因此1a =. 所以(1,0,0)F ，因此22112DF =+=. 故答案为2【点睛】本题主要考查空间中两点间的距离，灵活运用空间向量法求解即可，属于常考题型.16．已知,A B 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3AB FB =u u u r u u u r ，23OAB S AB ∆=，则AB 的值为________.【答案】92【解析】先由题意得到直线AB 的斜率存在，不妨设直线AB 的斜率0k >，过点,A B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为,C D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，根据题中条件求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与题中条件，求出交点横坐标，再由弦长公式，即可求出结果. 【详解】由题意，易知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性，不妨设直线AB 的斜率0k >，过点,A B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为,C D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则由3AB FB =u uu r u u u r ，可得2AF FB =u u u r u u u r，即2AF FB =u u u r u u u r ，则2AC BD =， 所以点E 为AC 的中点，则13AE AB =， 所以22223BE AB AE AB =-=， 则12223OAB OAF OBF S S S BE OF p AB AB ∆∆∆=+=⋅=⋅=， 解得2p =，则直线AB 的方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得()2222220k x k x k -++=， 则22241A B A Bk x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩， 由2AF FB =u u u r u u u r，得12(1)A B x x -=-，即32A B x x =-，结合0k >，解得21222A B x x k ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，则922A BAB x x =++=. 故答案为92【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的性质，以及直线与抛物线位置关系即可，属于常考题型. 三、解答题17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于两点，，求.【答案】（1）x+y-1=0,； （2）.【解析】（1）由直线的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标的转化公式，可将化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）直线的普通方程为 由，得，则，故曲线的直角坐标方程为. （2）将,代人，得，设两点对应的参数为，则，故.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 18．设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]22-,；（2）0a ≥或2a ≤﹣【解析】（1）根据题意得到114x x ++-≤，分1x ≤-，11x -<<，1x ≥三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，得到11x x a ++-≥恒成立，结合绝对值不等式的性质，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()4f x ≤即为114x x ++-≤， 当1x ≤-时，114x x ---+≤，解得21x -≤≤-； 当11x -<<时，114x x ++-≤，可得11x -<<； 当1x ≥时，114x x ++-≤，解得12x ≤≤，综上，原不等式的解集为[]22-,； （2）关于x 的不等式()1f x ≥恒成立， 即为11x x a ++-≥恒成立， 由111x x a x x a a ++-≥+-+=+， 可得11a +≥，解得：0a ≥或2a ≤﹣. 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，通常需要用到分类讨论的思想，灵活运用分类讨论的思想处理，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.19．若函数3()4f x ax bx =-+,当2x =时,函数()f x 有极值为43-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围. 【答案】（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<. 【解析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围. 【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-，得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+；（2）由（1）知()31443f x x x =-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-，因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点，则k 的取值范围是42833k -<<.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目. 20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， π3DAB ∠=，侧面ADP ∆为等腰直角三角形，PA PD =，点E 为棱AD 的中点．（1）求证：面PEB ⊥面ABCD ；（2）若2AB PB ==，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AD ⊥面PEB ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题中数据，得到PE EB ⊥；再以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果. 【详解】（1）证明：∵PA PD =，E 为棱AD的中点，∴PE AD ⊥， 又∵ABCD 为菱形且π3DAB ∠=，∴EB AD ⊥， ∵PE EB E ⋂=，∴AD ⊥面PEB ， ∵AD ⊂面ABCD ，∴面PEB ⊥面ABCD ； （2）解：∵2AB =，π3DAB ∠=，∴3BE =，1PE =， 又2PB =，∴222PE EB PB +=，则PE EB ⊥．以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,1)P ，(2,3,0)C -， (1,3,0)BA =-u u u r ，(0,3,1)BP =-u u u r ，(2,3,1)CP =-u u u r．设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ．由30230n BP y z n CP x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取1y =，得(0,1,3)n =r ． 设直线AB 与平面PBC 所成角为θ．所以33sin cos ,224BA n BA n BA nθ⋅====⨯u u u r ru u u r r u u u r r【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为122,2F F 分别是它的左、右焦点，122F F =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 作斜率为12,k k 的两条直线AB ，AC ，两直线分别与椭圆交于B ，C 两点，当12k k 1=-时，直线BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意c e a ==，1222F F c ==，结合a b c ，，的关系即可求解。
2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末(理科)数学试卷及答案解析【完整版】
2019-2020学年江西省上饶市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．已知命题＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，e x＞0B．∀x∈R，e x≥0C．∃x∈R，e x＞0D．∃x∈R，e x≥0 3．已知向量，，．若，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣34．如图所示，曲线y＝x2﹣1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．双曲线﹣y2＝1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．16．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（）A．B．C．D．7．下列点在曲线（θ为参数）上的是（）A．B．C．D．8．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知P与Q分别为函数2x﹣y+6＝0与函数y＝2lnx+2的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．610．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得到正数＝（）A．4B．3C．2D．111．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．或D．12．函数f（x）＝e x﹣2﹣e﹣x+2+a sin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝8（a，b均为正整数），则a+b＝14．﹣cos xdx＝．15．命题p：∃x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立；命题q：∀x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为．16．已知P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，若．则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C1的参数方程和l的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应α＝π的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离的最大值．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．（1）求p，m的值；（2）过点P（1，1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值（ln2≈0.6931）．20．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED ∥PA，且PA＝2ED＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）求二面角C﹣PE﹣D的余弦值．21．设椭圆，右顶点是，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx+m与C交于M，N两点（l不经过D点），且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．22．已知函数f（x）＝2mlnx+x2﹣4x（m∈R）．（1）当m＝﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1解：∵＝，∴复数的虚部为1．故选：C．2．已知命题＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，e x＞0B．∀x∈R，e x≥0C．∃x∈R，e x＞0D．∃x∈R，e x≥0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，e x≥0故选：B．3．已知向量，，．若，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3解：因为向量，，，所以﹣＝（﹣2，3，1）；又，所以•（﹣）＝0，即﹣2×（﹣2）+3x+2×1＝0，解得x＝﹣2．故选：A．4．如图所示，曲线y＝x2﹣1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：由题意S＝＝，故选：A．5．双曲线﹣y2＝1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．1解：双曲线﹣y2＝1的a＝2，b＝1，可得右顶点为（2，0），一条渐近线方程为y＝x，即为x﹣2y＝0，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d＝＝．故选：A．6．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（）A．B．C．D．解：极坐标系中，点根据转换为直角坐标为（﹣1，）．圆ρ＝2cosθ转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x，整理成标准式为（x﹣1）2+y2＝1所以圆心坐标为（1，0），所以根据两点间的距离公式d＝．故选：A．7．下列点在曲线（θ为参数）上的是（）A．B．C．D．解：曲线（θ为参数），根据y2＝cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ，整理得y2＝x+1．当x＝时，解得y＝，其余的坐标都不满足该曲线方程，故选：D．8．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，知：“l∥β”⇒“α与β相交或平行”，“α∥β”⇒“l∥β”．∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．故选：B．9．已知P与Q分别为函数2x﹣y+6＝0与函数y＝2lnx+2的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．6解：设与直线2x﹣y+6＝0平行，且与函数y＝2lnx+2相切的直线为l：2x﹣y+m＝0，由于函数y＝2lnx+2的导数为y′＝，令＝2，求得x＝1，故切点为（1，2），代入切线l的方程得2﹣2+m＝0，故m＝0，故切线l的方程为2x﹣y＝0．直线l与直线2x﹣y+6＝0之间的距离为＝，故线段|PQ|的最小值为，故选：C．10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得到正数＝（）A．4B．3C．2D．1解：设x＝，则，解得x＝1或﹣2（舍负）．故选：D．11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．或D．解：设AA1＝t，以B为原点，以垂直于BC的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），E（，，t），B（0，0，0），F（，，t），＝（﹣，，t），＝（，，t），∵AE和BF所成角的余弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得t＝1或t＝．∴＝（﹣，，1），或＝（﹣，，），平面BCC1B1的法向量＝（1，0，0），∴AE与平面BCC1B1所成角α的正弦值为：sinα＝＝或sinα＝＝．故选：C．12．函数f（x）＝e x﹣2﹣e﹣x+2+a sin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝e x﹣2﹣e﹣x+2+a sin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sin，g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2只有唯一一个交点，∵φ（2）＝0，g（2）＝0，函数φ（x）＝a sin与函数g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2唯一交点为（2，0），又因为g′（x）＝﹣e2﹣x﹣e x﹣2＜0，可得函数φ（x）＝a sin与函数g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2的大致图象如图：要使函数φ（x）＝a sin与函数g（x）＝e2﹣x﹣e x﹣2有唯一交点，则φ′（2）⩾g′（2），∵，所以，解得，又因为a＞0，所以实数a的取值范围为．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝8（a，b均为正整数），则a+b＝71解：已知＝2，＝3，＝4，…，归纳得，所以＝8，故，所以a＝8，b＝63．故a+b＝71．故答案为：7114．﹣cos xdx＝．解：由于y＝，根据单位圆的几何意义，该定积分表示的是：所以：．cos xdx＝，所以．故答案为：．15．命题p：∃x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立；命题q：∀x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[2，+∞）．解：根据题意，对于命题p，若x∈[﹣1，1]，则≤2x≤2，若∃x∈[﹣1，1]，使得2x＜a 成立，则a＞；对于q，x∈（0，+∞），ax＜x2+1即a＜＝x+，又由x+≥2，当且仅当x＝1时等号成立，若：∀x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立，必有a＜2；若命题p∧q为假，p∨q为真，分2种情况讨论：若p真q假，即，此时a的取值范围为[2，+∞），若p假q真，即，此时a的取值范围为（﹣∞，]，综合可得：a的取值范围为（﹣∞，]∪[2，+∞）；故答案为：（﹣∞，]∪[2，+∞）16．已知P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，若．则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为64π．解：∵＝μ（），∴PN是∠MPF2的角平分线，又，∴延长F2N交PM于K，则PN是△PF2K的角平分线，又是高线，∴|PK|＝||＝4⇒PF1＝12，F1K＝16．ON是△F1F2K的中位线，∴ON＝．∴则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为πR2＝64π．故答案为：64π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C1的参数方程和l的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应α＝π的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离的最大值．解：（1）曲线C1的普通方程为，转换为C1的参数方程为（β为参数）．l直线l的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为x﹣y＝0．（2）曲线C2参数方程为为参数），由θ＝π可知P（﹣3，﹣1））由（1）可设，于是．M到直线l距离，当时，d取最大值．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．（1）求p，m的值；（2）过点P（1，1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．解：（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：p＝2，∴C：y2＝4x，∴m2＝2×4＝8，解得：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式作差得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴．∵P（1，1）为AB的中点，∴y1+y2＝2，∴k l＝2，∴直线l的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值（ln2≈0.6931）．解：（1）由题可知，f（x）＝ax2+blnx，f（x）的定义域为（0，+∞），∴，……………………（1分）由于f（x）在x＝1处有极值1，则，即，……………………解得：a＝1，b＝﹣2．……………………（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣2lnx，其定义域是（0，+∞），，……………………令f'（x）＝0，而x＞0，解得x＝1，……………………由f'（x）＜0，得0＜x＜1；由f'（x）＞0，得x＞1，……………………则在区间上，x，f'（x），f（x）的变化情况表如下：x1（1，2）2 f'（x）﹣0+f（x）单调递减1单调递增4﹣2ln2可得f（x）min＝f（1）＝1，……………………∵，f（2）＝4﹣2ln2，由于，则，所以f（x）max＝f（2）＝4﹣2ln2，……………………∴函数f（x）在区间上的最大值为4﹣2ln2，最小值为1．……………………20．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED ∥PA，且PA＝2ED＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）求二面角C﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥PA，且，∵DE∥PA，且，∴OF∥DE，且OF＝DE．∴四边形OFED为平行四边形，得OD∥EF，即BD∥EF．∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．∵BD∥EF，∴EF⊥平面PAC．∵FE⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．（2）解：∵∠ABC＝60°．∴AC＝AB，故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC．以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，2），，E（0，2，1），D（0，2，0），，，设平面PCE的法向量为，则，即，令y1＝1，得．平面PDE的一个法向量为，设二面角C﹣PE﹣D的大小为θ，由于θ为锐角，∴cosθ＝|cos＜＞|＝＝．故二面角C﹣PE﹣D的余弦值为．21．设椭圆，右顶点是，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx+m与C交于M，N两点（l不经过D点），且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．【解答】（1）解：右顶点是，离心率为，所以，∴c＝1，则b＝1，∴椭圆的标准方程为．（2）证明：由已知得D（0，1），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，当△＞0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，，，由MD⊥ND得＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，即，所以3m2﹣2m﹣1＝0，解得m＝1或，①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．②当时，显然有△＞0，直线l经过定点．22．已知函数f（x）＝2mlnx+x2﹣4x（m∈R）．（1）当m＝﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当m＝﹣3时，f（x）＝﹣6lnx+x2﹣4x，定义域为（0，+∞），，令f'（x）＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，3）上单调递减；当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上单调递增．综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2），x＞0，∵函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴方程x2﹣2x+m＝0有两个不等正根，∴，∴m＝x1（2﹣x1），0＜x1＜1，1＜x2＜2，此时不等式f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，等价于对x1∈（0，1）恒成立，可化为恒成立，令，∴则，∵x∈（0，1），∴lnx＜0，x（x﹣4）＜0，∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即g（x）在（0，1）上单调递减，∴，∴a≤﹣1．故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（理科）时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合UA B ⋂=（）（ ） A. {}3 B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2. 复数31iz i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A. 1- B. 4C. 2D. 2i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数z ，再求得复数z 的虚部即可.【详解】解：因为()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以复数z 的虚部为2. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及求复数的虚部，属于基础题. 3. 抛物线24y x =的准线方程是 A. 1x =- B. 1x =C. 2x =-D. 2x =【答案】A 【解析】【详解】试题分析：抛物线24y x =的准线方程是12px =-=-. 故选：A考点：抛物线的基本性质4. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是（ ）A. 若0x y ==，则220x y +=B. 若220x y +≠，则x ，y 不都为0C. 若x ，y 都不为0，则220x y +≠D. 若x ，y 不都为0，则220x y +≠【答案】D 【解析】 【分析】把原命题的结论和条件进行否定后，作为逆否命题的条件和结论即可得到结果.【详解】解：因为原命题为“若220x y +=，则0x y ==”，所以逆否命题为：若x ，y 不都为0，则220x y +≠，故选：D【点睛】此题考查了原命题和逆否命题的之间关系，属于基础题.5. 椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得21a =，21b m=，求出a ，b 的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m 值. 【详解】∵椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，∴21a =，21b m =，则1a =，b =又长轴长是短轴长的两倍，∴2=4m =， 故选：D .【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，是基础的计算题. 6. 若直线l 的参数方程为2334x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ）A. 45-B.35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】先将直线l 的参数方程化为一般方程，可得出斜率4tan 3k α==-，则直线l 的倾斜角的余弦值可求.【详解】解：设直线l 的倾斜角为α，由题意23431034x tx y y t=-+⎧⇒+-=⎨=-⎩， ∴4tan 3k α==-，(,)2πθπ∈，∴3cos 5α=-．故选：B ．【点睛】考查直线的参数方程化一般方程，以及直线的倾斜角α.题目较为简单. 7. 若不等式14x x m -++≤的解集非空，则实数m 的取值范围是（ ） A. []5,3-- B. []3,5-C. []5,3-D. []3,5【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求得|1|||x x m -++的最小值为|1|m +，根据题意可得|1|4m +≤即可.【详解】解：不等式14x x m -++≤的解集非空， 因为|1||||1|x x m m -+++|1|4414m m ∴+∴-+，53m -故选：C【点睛】考查不等式能成立求参数的范围，基础题.8. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.9. 在极坐标系中，已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则圆心C 的极坐标可以为（ ）A. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B. 32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,4π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将圆C 的方程展开整理，化为直角坐标方程，求出圆心直角坐标，再化为极坐标即可.【详解】2cos 4πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，2cos sin ρθθ=，化为直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心坐标为22(,)22，极坐标为(1,)4π. 故选:D.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题.10. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为( )A. 123B. 363C. 273?D. 6【答案】B 【解析】试题分析：由三视图，可知：该三棱柱的底面为高为的正三角形，边长为，底面面积为三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为．考点：1．三视图；2．几何体的体积．11. 已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，F 为焦点且2AF BF =，则k 为（ ）3223 D.23【答案】B 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12222x x ，联立直线方程和抛物线方程，消去y 利用韦达定理可求k 的值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，而()2,0F ， 因直线l 过()2,0-且其斜率大于零，故,A B 在x 轴上方.因为2AF BF =，故12222x x .由()228y k x y x⎧=+⎨=⎩可得()22228440k x kx k--+=,故12212844x x k x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，结合12222x x 可得12143x x k ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或12143x x k ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍）. 故选：B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，此类问题一般需要联立直线方程和抛物线的方程，消元后借助韦达定理构建未知变量的方程，注意所消变量的合理选择.12. 已知12F F ，是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若12FT TP=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接2,OT PF ，利用直线和圆相切可求12cos b PF F c∠=，再利用余弦定理可得23b a =，从而可求离心率.【详解】如图，连接2,OT PF ，由1F P 与圆222x y a +=相切于点T 可得12FTP π∠=.因为1,FO c OT a ==，故1FT b =，所以12cos bPF F c∠=. 又122PT FT b ==，故13F P b =，所以232PF b a =-. 在12PF F △中，由余弦定理得()2223249223bb ac b c b c-=+-⨯⨯⨯， 整理得到23b a =，所以()22249c a a-=即13c a =13e =. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，此类问题一般需要根据已知条件构建关于,,a b c 的一个等量关系式，而关系式的构建可依据焦点三角形的性质来进行.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.()1213xx dx --=⎰__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据微积分基本定理求出原函数，然后计算出积分值． 【详解】()11232111113(1)(1)2222x x dx x x --⎛⎫-=-=----= ⎪⎝⎭⎰．故答案为：2．【点睛】本题考查微积分基本定理，求出积分函数的原函数可得积分值．14. 已知 F 为抛物线2:8C x y =的焦点，P 为C 上一点，(4,3)M -，则当PMF △周长最小时点P 的坐标______________. 【答案】()4,2-【解析】 【分析】过P 作准线的垂线，垂足为S ，连接MS ，过M 作准线的垂线，垂足为T .利用抛物线的几何性质可得MP PF MP PS +=+，从而可得MP PF +的最小值为3且可得取最小值时P 的坐标.【详解】抛物线的准线为2y =-，过P 作准线的垂线，垂足为S ，连接MS ， 过M 作准线的垂线，垂足为T . 由抛物线的定义可知PF PS =，又3MP PF MP PS MS MT +=+≥≥=，此时,,M P T 三点共线即()4,2P -. 故PMF △周长最小时点P 的坐标为()4,2-. 故答案为：()4,2-.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，与焦点有关的最值问题可以转化为到准线的距离的最值问题.15. 在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，22AC AD ==23CD =锥A BCD -的外接球的表面积为__________. 【答案】20π 【解析】 【分析】作出B 在面ACD 上射影M ，M 是ACD △的外心，由正弦定理计算出MA ，则可得BM ，外接球球心O 在直线BM 上，计算出BM 长，知O 在BM 延长线上，利用勾股定理求得外接球半径R ，可得表面积．【详解】如图，BM ⊥平面ACD ，垂足为M ，因为BA BC BD ==，所以M 是ACD △外心，延长AM 交CD 于N ，因为AC AD =，则N 是CD 中点且AN CD ⊥， 由已知225AN AC CN =-=，510sin 422AN ACN AC ∠===， 由正弦定理222sin 10AD AM ACN ==∠，解得45AM =， 由BM ⊥平面ACD ，得BM AM ⊥，所以222245252()55BM AB AM =-=-=，因为BA BC BD ==，所以三棱锥A BCD-的外接球球心O 在BM 上，且在BM 延长线上，如图，设外接球半径为R ，OA OB R ==，由222OA OM AM =+得2222545R R ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5R =， 所以外接球表面积为2244(5)20S R πππ==⨯=． 故答案为：20π.【点睛】本题考查求棱锥外接球表面积，解题关键是找出外接球球心，求出外接球半径，解题时利用性质“三棱锥外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上”易找到球心位置．16. 已知椭圆 22116x y += 的左右焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为___________.【答案】221416x y +=【解析】 【分析】先利用椭圆的几何性质得到Q 的轨迹方程为：2216x y +=，再根据M 的坐标与Q 的坐标关系可得M 的轨迹方程.【详解】如图，延长2F Q 交1F P 的延长线于S ，连接OQ . 因为PQ 为2SPF ∠的平分线且2F S PQ ⊥，故2PSF △为等腰三角形且2PS PF =，2SQ QF =， 所以121248PF PF PS PF +=+=⨯=.在12F SF △中，因为122,FO F O SQ QF ==，所以()1111422OQ F S F P PS ==+=， 故Q 的轨迹方程为：2216x y +=.令(),M x y ，则()2,Q x y ，所以22416x y +=即221416x y +=，故答案为：221416x y +=【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知命题22:114x y p m m +=--表示双曲线，命题22:124x y q m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆；（1）若p 且q 为真命题，则p 是q 的什么条件？ （2）若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）必要而不充分条件；（2）1m 或4m ≥. 【解析】 【分析】（1）根据p 为真命题，q 为真命题可得两者对应的集合之间的包含关系，从而可得它们之间的条件关系.（2）根据p 为假命题，q 为假命题可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为p 且q 为真命题，故p 为真命题，q 为真命题.所以22:114x y p m m +=--表示双曲线是真命题，所以()()140m m --<．解得14m <<．又命题22:124x y q m m+=--表示焦点在x 轴的椭圆是真命题，所以204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得34m <<．因为{}34mm <<│ {}14m m <<∣，所以p 是q 的必要而不充分条件． （2）∵p 或q 假命题，∴p 假且q 假． 当p 假时，由（1）可知，有1m 或4m ≥①， 当q 为假，有 3m ≤或4m ≥②， 由①②解得1m 或4m ≥.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断以及已知复合命题的真假求参数的范围，前者应利用对应集合的包含关系来判断，后者应根据复合命题的真假得到简单命题的真假，从而求出参数的取值范围.18. （1）解不等式:1225x x -+-≤； （2）若21a b +=，求证：2215a b +≥.【答案】（1）100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义分类讨论去绝对值符号后求解；（2）由已知得12a b =-代入22a b +变为b 的二次函数，由配方法可证结论； 【详解】（1）原不等式可等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩，或3512x x -≤⎧⎨≤≤⎩，或3552x x -≤⎧⎨>⎩解得：01x ≤<或12x ≤≤或1023x <≤, 即1003x ≤≤所以原不等式的解集为100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由题意得12a b =-222222211(12)5415()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥ ，当且仅当12,55a b ==时等号成立.所以2215a b +≥成立． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查条件不等式的证明．解绝对值不等式一般用分类讨论的思想方法求解，而证明条件不等式可把条件代入要证明的式子，化二元为一元，然后利用二次函数的性质得出结论．19. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21?x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值.【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得圆C 的极坐标方程；（2）把直线参数方程标准形式21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入圆的直角坐标方程，由12MA MB t t +=+可得答案．【详解】解：（1）由4sin ρθ=得24sin ρρθ=，∴224x y y +=，∴圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=.（2）直线l参数方程可化2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆方程得：210t -+=设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则120t t +=>，121t t =0>，∴12,t t 均为正，于是1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题关键，考查直线参数方程的应用，利用直线标准参数方程中参数具有的几何意义求解．20. 已知抛物线()220y px p =>的焦点F 与双曲线2213y x -=的一个顶点重合，过点()4,0M 作倾斜角为45︒的直线l 与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线方程； （2）求AOB 的面积.【答案】（1）24y x =；（2）. 【解析】（1）由已知得双曲线的右顶点为()1,0，即可得到抛物线()220y px p =>的焦点F ()1,0，由此能求出抛物线的方程.（2）由题意利用点斜式求出直线l 的方程：40x y --=，将直线与抛物线联立，再利用弦长公式求出AB ，利用点到直线的距离公式求出原点到直线l 的距离，进而可求出AOB 的面积.【详解】（1）由双曲线2213y x -=的右顶点为()1,0，即可得抛物线()220y px p =>的焦点F ()1,0，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由题意可得直线l 的方程：40x y --=，将直线与抛物线联立2404x y y x--=⎧⎨=⎩，整理可得212160-+=x x ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1212x x +=，1216x x =，AB ∴==原点到直线l 的距离d ==，所以12AOBS=⨯=【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线中的面积问题、弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题.21. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC .（2）若60BAD ∠=︒，且平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为77，求PCA ∠的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）30 【解析】 【分析】（1）ABCD 为菱形证BD AC ⊥，PA ⊥底面ABCD 证PA BD ⊥可得；（2）以菱形的中心建立空间直角坐标系，设2,(0)AB PA t t ==>使用空间向量求二27的方程求出PA t =的值即可. 【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA BD ⊥.又AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC .因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC .（2）解：设AC 与BD 交于点O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2,(0)AB PA t t ==>，则(3,0,),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),3,0,0)P t A B D C --， 则(0,0,),(3,1,0),(3,1,)PA t AB DC PD t =-===--. 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，则0,30,m PA tz m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1x =，得(1,3,0)m =-.设平面PCD 的法向量为(),,n x y z '''=，则.30,30,n PD x y tz n DC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=''''+=⎩'⎪ 令x t '=，得(,3,3)n t t =-.设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则2||27cos 7||||2412m n m n t θ⋅===⨯+，解得2t =，则3tan 323PCA ∠==，故30∠=︒PCA . 【点睛】本题考查面面垂直判定及利用二面角大小.求线面角 面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理()a a ，在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小22. 已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，双曲线C 过点． （1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的最大值．【答案】（1）抛物线E 的标准方程为24y x =，双曲线C 的标准方程为22221x y -=（2）23π【解析】 【分析】（1）由双曲线C 过点，．可得221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：a ，b ，c 即可得出双曲线C 的标准方程．可得2pc =，解得p ．可得抛物线的标准方程．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M 的方程为：22(1)4x y -+=．可得PMQ ∠．②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，由题意可得：0k ≠．联立化为：2222(24)0k x k x k -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．利用根与系数的关系可得12||2AB x x =++．设M 的半径为r ，||2AB r =．过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，||cos ||Mx MN PMN MP r∠==，可得PMN ∠范围，及其PMQ ∠范围，即可得出结论．【详解】（1）由双曲线C 过点．∴221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：2212a b ==，1c =． ∴双曲线C 的标准方程为：22221x y -=．由1c =，可得12p=，解得2p =． ∴抛物线的标准方程为：24y x =．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M 的方程为：22(1)4x y -+=．可得P ，(0,Q ．23PMQ π∠=． ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-， 由题意可得：0k ≠．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2222(24)0k x k x k -++=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则212224k x x k ++=，121=x x ．212222M x x k x k++==， 212244||2k AB x x k +∴=++=．设M 的半径为r ，则22||222AB k r k +==． 过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．Rt PMN ∆中，222||2111cos (,1)||2222(1)2M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++． (0,)3PMN π∴∠∈，则2(0,)3PMQ π∠∈．综上可得：PMQ ∠的最大值为23π．【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
江西省上饶市数学高二下学期理数期末考试试卷
江西省上饶市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·洛阳模拟) 已知复数在复平面中对应的点满足，则（）A .B .C .D .2. （2分）随机变量的观测值k越大，说明两个分类变量之间没有关系的可能性（）A . 越大B . 越小C . 不变D . 无法确定3. （2分）用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A . n=1成立B . n=2成立C . n=3成立D . n=4成立4. （2分） (2016高二下·龙海期中) 若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A . （﹣1，2）B . （1，﹣3）C . （1，0）D . （1，5）5. （2分） (2019高二下·蓝田期末) 已知随机变量服从正态分布，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）A . 12B . 24C . 36D . 727. （2分） (2017高二下·友谊开学考) 已知下面四个命题：（1.）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；（2.）两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；（3.）对分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大；（4.）在回归直线方程 =0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量大约增加0.4个单位．其中真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）(2019·巢湖模拟) 若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（）A . 3B . -3C . 2D . -29. （2分） (2019高二下·吉林期末) 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边， .若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·浙江文) 如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ，n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ，n∈N* ，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A . {Sn}是等差数列B . {Sn2}是等差数列C . {dn}是等差数列D . {dn2}是等差数列11. （2分）(2020·海拉尔模拟) 在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（）A . 60种B . 70种C . 75种D . 150种12. （2分）已知函数在x=﹣1时取得极大值，则ab=（）A . ﹣15B . 15C . ﹣3D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·江西期末) 二项式（2 ﹣）6展开式中含x2项的系数是________．14. （1分）如图，在边长为 e （ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．15. （1分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于第________象限．16. （1分）在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分） (2019高三上·湖南月考) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？18. （10分）(2018·鞍山模拟) 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式 ( 为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .19. （15分） (2017高二下·枣强期末) 已知函数，( 为自然对数的底数).（1）设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；（2）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（3）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.20. （10分） (2019高一下·温州期中) 已知数列的前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）若取出数列中的部分项依次组成一个等比数列，若数列满足，求证：数列的前项和21. （5分）某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），随即按如下所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收入（含门票）的期望．22. （10分） (2019高二下·长沙期末) 已知（1）求函数在的极值.（2）证明：在有且仅有一个零点.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
江西省上饶中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理【含答案】
江西省上饶中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1．已知全集，集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ． 2．复数31i z i +=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．4 C ．2 D ．2i 3．抛物线的准线方程是（ ） A ．1x =- B ．1x = C ．2x =- D ．2x =4．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是（ ）A ．若0x y ==，则220x y +=B ．若220x y +≠，则x ，y 不都为0 C ．若x ，y 都不为0，则220x y +≠ D ．若x ，y 不都为0，则220x y +≠ 5．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．46．若直线l 的参数方程为2334x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．45- B ．35 C ． D ．45 7．若不等式14x x m -++≤的解集非空，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]5,3--B ．[]5,3-C ．[]3,5-D ．[]3,5 8．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥9．在极坐标系中，已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则圆心C 的极坐标可以为（ ） A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 31,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示，则这个棱柱的体积为 ( )A ．123B ．6C ．D ．36311．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，F 为焦点且2AF BF =，则k 为（ ）A ．33B ．223C ．3D ．2312．已知12F F ，是双曲线()222210x y C a b a b-=：＞0,＞的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．B ． C. D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13． 。
2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量测试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数12ii-的虚部为（ ） A ．-1 B ．i -C ．1D ．i【答案】C【解析】由复数的除法运算化复数为(,)a bi a b R +∈形式，然后可得虚部． 【详解】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+--+，虚部为1． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的除法运算，属于基础题． 2．已知命题00:,0x p x R e ∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,0x x R e ∀∈>B ．,0x x R e ∀∈≥C ．,0x x R e ∃∈>D ．,0x x R e ∃∈≥【答案】B【解析】把命题的结论否定，同时存在量词改为全称量词． 【详解】 命题00:,0x p x R e ∃∈<的否定是：,0x x R e ∀∈≥．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的否定，解题时注意命题的否定除否定结论外，还必须把存在量词与全称量词互换．3．已知向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)a x b c =-==-.若()a b c ⊥-，则x 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标公式求解即可.【详解】(2,3,1),()4320b c a b c x -=-∴⋅-=++=，解得2x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查了由向量垂直求参数的值，属于基础题.4．函数21y x =-的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）A ．120(1)d x x -⎰ B ．220(1)d x x -⎰C ．220|1|d x x -⎰D ．122201(1)d 1d ()x x x x -+-⎰⎰【答案】C【解析】对阴影部分的面积分成两部分，再进行积分运算. 【详解】 所求面积为12222201(1)d (1)d |1|d x x x x x x -+-=-⎰⎰⎰．【点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当[0,1]x ∈时，()0f x <，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是[0,1]x ∈对应阴影部分的面积．5．双曲线2214x y -=的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为（ ）A ．25B ．55C 23D ．1【答案】A【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为12y x =±， 不妨考查其中的一条渐近线：20x y +=， 其右顶点坐标为：()2,0，由点到直线距离公式可得右顶点到该双曲线的渐近线的距离为：2025514d +==+.本题选择A 选项. 6．在极坐标系中，点2(2,)3π到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A B C D【答案】A【解析】把点的极坐标化为直角坐标，把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后得出圆心坐标，由两点间距离可得． 【详解】点2(2,)3π的直角坐标是(-， 由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=，22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)，= 故选：A ． 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查两点间的距离．掌握极坐标与直角坐标公式的互化公式是解题关键．7．下列点在曲线2sin cos ,cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上的是（ ）A ．1(,2B ．C ．D ．31(,)42-【答案】D【解析】首先将参数方程化为普通方程，将选项代入普通方程检验即可得正确答案. 【详解】()22cos sin 12sin cos 1y x θθθθ=+=+=+，所以普通方程为21=+y x ，且sin 2x θ=，11x ∴-≤≤，经检验，只有31(,)42-满足方程21=+y x ，故选：D 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程互化，判断点在曲线上的方法，关键是消参，属于基础题.8．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用定义法直接判断即可. 【详解】若l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，若l α⊂，//αβ，则l 与β无公共点，根据线面平行的定义，知//l β. 所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法.9．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C ．5D ．6【答案】C【解析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==．∴线段||PQ 的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，“…”代表无限次重复，设x =则可利用方程x =x ，类似地可得到正数2211...=++（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】根据题意设2211...x=++，则21x x=+，解得答案. 【详解】设2211...x=++，则21x x=+，解得：1x =或2x =-（舍去）， 故选：D 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力，属于基础题.11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为14时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A．2B．4C．4D．2【答案】B【解析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为14，求出t 的值，由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)3,1,0A，()0,0,0B ， ()0,2,0C ，33,2E t ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2F t ⎫⎪⎪⎝⎭， 31,2AE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,2BF t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为AE 和BF BF 所成角的余弦值为14， 所以222112cos ,411t AE BF AE BF AE BFt t -⋅===++， 解得：1t =所以31,12AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，平面11BCC B 的法向量()1,0,0n =，所以AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为362sin 421AE n AE nα⋅===⨯故选：B 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，属于中档题. 12．函数22()sin2x x xf x ee a π--+=-+ （x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A．1 0,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B．10,π⎛⎫⎪⎝⎭C．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D．40,π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】函数22()sin2x xxf x e e aπ--+=-+存在唯一的零点，等价于函数()sin2xx aπϕ=与函数22()x xg x e e-+-=-的图象只有唯一的交点，画出两个函数的图象，由图知需要满足(2)(2)gϕ''≥，即可得答案.【详解】函数22()sin2x xxf x e e aπ--+=-+存在唯一的零点，等价于函数()sin2xx aπϕ=与函数22()x xg x e e-+-=-的图象只有唯一的交点，因为()sin2xx aπϕ=的最小正周期为242Tππ==,最大值为a的函数，所以两个函数图象如下图所示：要使()sin2xx aπϕ=与函数22()x xg x e e-+-=-的图象只有唯一的交点，则(2)(2)gϕ''≥，因为()cos22x a xππϕ'=，所以(2)cos2222a aπππϕ'=⨯=-，因为22()x xg x e e-+-'=--，所以(2)2g'=-，所以22aπ-≥-，解得：4aπ≤，又因为0a>，所以a的取值范围为：40,π⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题主要考查了由函数零点的个数求参数范围，转化为两个函数图像交点的个数，数形结合很重要，属于中档题.二、填空题 13．已知222233+=，333388+=，44441515+=，，类比这些等式，88a ab b+=（a，b 均为正整数），则a b +=________. 【答案】71 【解析】2222223321+==-23333338831+==-244444151541+==-，利用归纳推理求解. 【详解】 2222223321+==-23333338831+==-244444151541+==-，……， 288881a b +=- 所以8,63a b == 所以71a b += 故答案为：71 【点睛】本题主要考查归纳推理，属于基础题. 14．201cos x dx xdx π--=⎰⎰___【答案】4π【解析】利用定积分的几何意义和微积分基本定理即可得出答案. 【详解】 定积分021x dx -⎰的几何意义为：圆221x y +=的14个圆的面积， 即22011144x dx ππ-=⨯⨯=⎰，又由0cos sin sin sin 00xdx xπππ==-=⎰，故cos 044xdx πππ-=-=⎰⎰故答案为：4π 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理，属于基础题.15．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假求集合的运算得结论． 【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，∴2a <． 若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假， p 真q 假时，122a a ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，∴2a ≥， p 假q 真时，122a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩，12a ≤，综上，2a ≥或12a ≤． 故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查复合命题的真假，由复合命题的真假求参数取值范围，本题还考查了不等式恒成立与能成立问题．属于中档题．16．已知P是双曲线221168x y-=右支上一点，12,F F分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N满足()21220,,0PFPMF P PM PN PN F NPM PFλλμ⎛⎫⎪=>=+=⎪⎝⎭⋅，若24PF=.则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为________.【答案】64π【解析】延长2F N交PM于点Q，由向量数量积和线性运算可知PN为线段2F Q的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ，利用中位线性质可求得ON，进而得到结果.【详解】延长2F N，交PM于点Q，如下图所示：22PFPMPNPM PFμ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，PN∴为2QPF∠的角平分线，又2PN F N⋅=，2PN NF∴⊥，PN∴为线段2F Q的垂直平分线，24PQ PF∴==. 由双曲线定义知：12248PF PF-=⨯=，18412PF∴=+=，141216FQ∴=+=，,O N分别为122,F F QF中点，1182ON FQ∴==，∴以O为圆心，ON为半径的圆的面积64Sπ=.故答案为：64π.【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为2213y x +=，曲线C 2参数方程为2cos (1sin x y ααα=-+⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,4R πθρ=∈.（1）求C 1的参数方程和l 的直角坐标方程；（2）已知P 是C 2上参数对应απ=的点，Q 为C 1上的点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；0x y -=；（2.【解析】(1)由C 1的普通方程可得参数方程；由直线l 的极坐标方程可得直角坐标方程； (2) 由题可知(3,1)P --，由（1）可知(cos )Q ββ，求出PQ 中点M 的坐标，利用点线距公式以及三角函数的有界性求出最值． 【详解】（1）1C的参数方程为cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；l 的直角坐标方程为0x y -=.（2）由题设可知(3,1)P --，由（1）可设(cos )Q ββ，于是311cos ,222M ββ⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭. M 到直线l距离d ==， 当23πβ=时，d. 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查点线距公式，属于中档题． 18．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()2,M m 到焦点F 的距离为3.（1）求,p m 的值；（2）过点()1,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）2p =；m =±（2）210x y --=.【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得p ，代入点的坐标求出m ；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程相减珀利用中点坐标得直线斜率，从而可得直线方程． 【详解】（1）由抛物线焦半径公式知：232pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，2248m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-， 1212124l y y k x x y y -∴==-+，()1,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()121y x -=-，即210x y --=.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查抛物线中的点差法．圆锥曲线上点差法可以把弦中点坐标与弦所在直线斜率建立关系．19．已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值1.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值（ln 20.6931≈）.【答案】（1）1a =，2b =-；（2）最大值为42ln 2-，最小值为1..【解析】（1）根据极值的定义结合条件可知()()'10,11f f ==，列出方程组，即可解出,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值，比较极值的大小可求出最值. 【详解】（1）由题可知，2()ln f x ax b x =+，()f x 的定义域为()0,∞+，()2(0)bf x ax x x'∴=+>，由于()f x 在1x =处有极值1，则()()111120f a bln f a b ⎧=+==='⎪⎨+⎪⎩，即120a a b =⎧⎨+=⎩，解得：1a =，2b =-.（2）由（1）可知2()2ln f x x x =-，其定义域是(0,)+∞，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=，令()=0f x '，而0x >，解得1x =，由()0f x '<，得01x <<；由()0f x '>，得1x >， 则在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，x ，()f x '，()f x 的变化情况表如下： x121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,22()f x '-()f x12ln 24+ 单调递减1单调递增42ln 2-可得()()min 11f x f ==，112ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()422ln 2f =-， 由于()11242ln 22ln 2024f f ⎛⎫⎛⎫-=--+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1(2)2⎛⎫> ⎪⎝⎭f f ， 所以()()max 242ln 2f x f ==-，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为42ln 2-，最小值为1.【点睛】本题考查已知函数的极值求参，考查利用导数求函数的极值和最值，熟悉极值的定义是解题的关键，属于中档题.20．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==，60ABC ∠=.（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ； （2）求二面角C PE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）64. 【解析】（1）首先连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ，易证BD ⊥平面PAC ，又因为//BD EF 得到EF ⊥平面PAC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面PAC ⊥平面PCE .（2）以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，再利用向量法求解二面角C PE D --的余弦值即可. 【详解】（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF .因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以//OF PA ，且1=2OF PA ， 因为//DE PA ，且1=2DE PA ，所以//OF DE ，且OF DE =.所以四边形OFED 为平行四边形，所以//OD EF ，即//BD EF .因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA BD⊥.因为ABCD是菱形，所以BD AC⊥.因为PA AC A=，所以BD⊥平面PAC.因为//BD EF，所以EF⊥平面PAC.因为FE⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.（2）因为60ABC∠=，底面ABCD是菱形，所以AC AB=，故ABC为等边三角形.设BC的中点为M，连接AM，则AM BC⊥.以A为原点，AM，AD，AP分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系A xyz-，如图所示：则()002P,,，()3,1,0C，()0,2,1E，()0,2,0D，()3,1,2PC=-，()3,1,1CE=-，.设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则·0·0n PCn CE⎧=⎨=⎩，即11111132030x y zx y z+-=++=⎪⎩令11y=，则1132xz⎧=⎪⎨=⎪⎩()3,1,2n=.平面PDE的一个法向量为()1,0,0m=，设二面角C PE D--的大小为θ，由于θ为锐角，所以36,422θ⋅====⋅n mcos cos n mn m.所以二面角C PE D--的余弦值为64【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查向量法求解二面角，同时考查学生的计算能力，属于中档题.21．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是)A，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线:l y kx m =+与C 交于,M N 两点（l 不经过D 点），且MD ND ⊥，证明：直线l 经过定点，并写出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由离心率与顶点坐标可求得,,a c b 得椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与椭圆方程联立，消去y 后得x 的一元二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由0DM DN ⋅=可得,k m 的关系，代入直线方程可得定点，注意直线的限制条件． 【详解】 （1）右顶点是)A，离心率为2，所以c a a ==， ∴1c =，则1b =，∴椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由已知得(0,1)D ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， 当>0∆时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122414km x x k -+=+，21222214m x x k -=+， ()121222212m y y k x x m k +=++=+，()()2212122212m k y y kx m kx m k-=++=+， 由MD ND ⊥得()()1212110DM DN x x y y ⋅=+--=，即22321012m m k --=+，所以23210m m --=，解得1m =或13m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，不符合题意，舍去.②当13m =-时，显然有>0∆，直线l 经过定点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线过定点问题，解题方法是设而不求的思想方法，设出直线方程与交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理代入其他条件求解． 22．已知函数()()22ln 4f x m x x x m =+-∈R .（1）当3m =-求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()1230f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,3；()f x 的单调递增区间为()3,+∞.；（2）(],1-∞-.【解析】（1）求出导函数，由()0f x '<得减区间，由()0f x '>得增区间；（2）首先求出导函数()'f x ，由()0f x '=得出12,x x 以及参数m 的关系，()112m x x =-，101x <<，212x <<，不等式()1230f x ax -≥可消去2x ，并由分离参数法化为()2111111111122ln 4212ln 12322x x x x x a x x x x x -+-≤=+----（））3（，问题又转化为求函数12()ln 1,(0,1)22=+--∈-g x x x x x x的最小值即可． 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求导得()2622324x x f x x x x--'=+-=-（）， 令()0f x '=，得2230x x --=，解得，1x =-或3x =． 当()0,3x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,3上单调递减. 当()3,x +∈∞时，()0f x '>，故()f x 在()3,+∞上单调递增.综上，()f x 的单调递减区间为()0,3；()f x 的单调递增区间为()3,+∞.（2）()f x 的定义域为()0,∞+，求导得()222224m x x m f x x x x-+'=+-=（）， ()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<， 此时不等式()1230f x ax -≥恒成立，等价于()()211111122l 432n 0x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立，可化为()2111111111122ln 4212ln 12322x x x x x a x x x x x -+-≤=+----（））3（恒成立， 令12()ln 1,(0,1)22=+--∈-g x x x x x x ，()23a g x ∴≤ 则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x '-=+--=+-=+---，()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在()0,1恒成立，()g x ∴在()0,1上单调递减， ()()12310112212>=+-⨯---∴=g x g ，1a ∴≤-. 故实数a 的取值范围是(],1-∞-.【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，考查用导数研究函数的极值点及不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，多元不等式恒成立，消元化化二元不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．本题考查了学生的逻辑推理能力，转化与化归思想，属于难题．。
江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题 (Word版含答案)
上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（理科）时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}，集合B ={1,3,4,6}，则A ∩（∁U B ）=（ ）A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5} 2．复数31i z i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1-B ．4C ．2D ．2i 3．抛物线y 2=−4x 的准线方程是（ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =4．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是（ ）A ．若0x y ==，则220x y +=B ．若220x y +≠，则x ，y 不都为0 C ．若x ，y 都不为0，则220x y +≠ D ．若x ，y 不都为0，则220x y +≠ 5．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．46．若直线l 的参数方程为2334x t y t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．45- B ．35 C ．−35 D ．457．若不等式14x x m -++≤的解集非空，则实数m 的取值范围是（ ）考试时间：2020年7月2-3日 座位号A ．[]5,3--B ．[]5,3-C ．[]3,5-D ．[]3,5 8．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥9．在极坐标系中，已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则圆心C 的极坐标可以为（ ） A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 31,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示，则这个棱柱的体积为 ( )A ．3B ．6C ．27√3D ．311．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，F 为焦点且2AF BF =，则k 为（ ）A ．33B ．23C 3D ．2312．已知12F F ，是双曲线()222210x y C a b a b-=：＞0,＞的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．2B ．√13 C.√132 D ．√3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．∫(3x 2−x )dx =1−1 。
江西省上饶市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学(理)试题 Word版含答案
上饶市2019—2020学年度第二学期期末教学质量测试高二数学（理科）试题卷命题人：注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4． 本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数ii-12的虚部为（▲ ）A ．-1B ．i -C ．1D ．i2．已知命题0,:00<∈∃x e R x p ，则p ⌝为（ ▲ ）A ．0,>∈∀x e R xB ．0,≥∈∀x e R xC ．0,>∈∃x e R xD ．0,≥∈∃x e R x3．已知向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)a x b c =-==-.若()a b c ⊥-，则x 的值为（ ▲ ）A ．2-B ．2C ．3D ．3-4．函数21y x =-的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ▲ ） A ．120(1)d x x -⎰ B ．220(1)d x x -⎰C ．220|1|d x x -⎰D ．122201(1)d 1d ()x x x x -+-⎰⎰5．双曲线1422=-y x 的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（ ▲ ）A ．552 B ．554 C ． 332 D ．16．在极坐标系中，点2(2,)3π到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ▲ ）A 7B 2449π+C 2419π+D 37．下列点在曲线2sin cos ,()cos sin x y θθθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的是（ ▲ ）A ．1(,2)2-B ．3)C ．3)D ．31(,)42-8．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ▲ ) A ．65B 5C 65D ．610．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，333...“…”代表无限次重复，设333...x =程3x x =x ，类似地可得到正数2211...=++（▲ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为14时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ▲ ） A ．62B ．64C ．104D 10 12．函数22()sin2x x xf x e e a π--+=-+ （x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ▲ )A ．0,1π⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,π⎛⎫⎪⎝⎭C 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上． 13222233+=333388+=4441515+=，，类比这些等式，若88a ab b+=（a，b 均为正整数），则a b +=___▲ ___. 14．201cos x dx xdx π--=⎰⎰__▲ __15．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则实数a 的取值范围为___▲ ___.16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭•,若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为___▲ ___．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为2213y x +=，曲线C 2参数方程为2cos (1sin x y ααα=-+⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,4R πθρ=∈．（1）求C 1的参数方程和l 的直角坐标方程；（2）已知P 是C 2上参数对应απ=的点，Q 为C 1上的点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最大值.18.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()2,M m 到焦点F 的距离为3.（1）求,p m 的值；（2）过点()1,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.19．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值1.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值（ln 20.6931≈）.20．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ， ED ∥PA ，且22PA ED ==，60ABC ∠=.（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ； （2）求二面角C PE D --的余弦值.21．（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是()2,0A ，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线:l y kx m =+与C 交于,M N 两点（l 不经过D点），且MD ND ⊥,证明：直线l 经过定点，并写出该定点的坐标．22．（本小题满分12分）已知函数()()22ln 4f x m x x x m =+-∈R .（1）当3m =-求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()1230f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.。
江西省上饶市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量测试试题理【含答案】
f x 2mln x x2 4xm R
22．（本小题满分 12 分）已知函数
.
（1）当 m
3 求
f
x
的单调区间；
（2）若函数
f
x
有两个极值点
x1,
x2
x1
x2
且
f
x1 3ax2
0
恒成立，求实数
a 的取值范围.
上饶市2019—2020学年度下学期期末教学质量测试
高二数学（理科）参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
x2 y2 1
17．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的普通方程为
3 ，曲线
C2
参数方程为
x 2 cos
y
1
sin
(
为参数），以坐标原点
O
为极点，以
x
轴正半轴为
,R
极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 4
（1）证明：平面 PAC 平面 PCE ； （2）求二面角 C PE D 的余弦值.
21．（本小题满分
12
C
分）设椭圆
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
A
，右顶点是
2,0 ，离心率
2 为2.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 C 与 y 轴的正半轴交于点 D ，直线 l : y kx m 与 C 交于 M , N 两点（ l 不经过 D 点），且 MD ND ,证明：直线 l 经过定点，并写出该定点的坐标．
，……………………3
高二数学理科参考答案
上饶市2020学年度下学期期末测试高二数学理科答案一．选择题 （每题5分） 题号 1 2 3 4 56 7 89 10 选项CBBAD CABDA二．填空题 （每题5分） 三．11．[2,)-+∞ 12．3113．36 14．ab π 15．_② ③ 三．解答题(满分75分)16．解：q p ∧ ⌝与“q?同时为假命题，所以q 为真，p 为假。
......4分故⎩⎨⎧≤-+∈1|5|2x x Z x .....8分 解得：2,3-=x ......12分 17. 解（1）x x x t xt t t x f x22131)22331()(23023--=-+-=)0(>x ......4分)1)(2(2)(2'+-=--=x x x x x f 由0)(>x f 得增区间),2(+∞ 由0)('<x f 得减区间)2,0( ......8分（2）0)0(=f ,310)2(-=f ∴[)+∞⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈,0310k ......12分 18． 解：（1）证明： 以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．不妨设3===BC AB PA ，则()0,0,0A ，)0,3,0(B ，)0,3,3(C ，)3,0,0(P ，)1,2,0(E .设)0,,3(y D ，则)0,,3(),3,3,3(y AD CP =--=，CP AD ⊥Q ，∴，解得：3-=y ．2DC AB ∴=． -------------------3分连结BD ，交AC 于点M ， 则2DM DC MB AB==. 在BPD ∆中，2PE DMEB MB==，∴//PD EM ． -----------------5分 又PD ⊄平面EAC ，EM 平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ． --------------------6分 （2）设),,(1z y x n =为平面EAC 的一个法向量，则AE n AC n ⊥⊥11,，∴⎩⎨⎧=+=+02033z y y x取2=z ，可得)2,1,1(1-=n ------8分设),,(2w v u n =为平面EBC 的一个法向量，则BC n ⊥2，BE n ⊥2又)0,0,3(=BC ，)1,1,0(-=BE ，∴⎩⎨⎧=+-=00w v u∴可取． )1,1,0(2--=n ρ --------------------10分∴ 63,cos 212121-=⋅=n n n n n n ρρρρφρρπ ∴二面角A —CE —B 的余弦值为63-．……12分19． 解 ⑴n n n121 (312112)22-<++++......4分 ⑵ ①n=2时，23452112<=+......5分 ② 假设n=k(k ≥2)时，猜想成立，即：k k k121 (3)1211222-<++++......6分则2222)1(11...31211++++++k k 2)1(112++-=k k k )1(112++-<k k k k 11)1(2112+-+=++=k k k k ......11分 即n=k+1时，猜想成立根据①②当n ≥2时，猜想成立......12分 (另;112)1(1122++-++-k k k k k 0)1(12<+-=k k ) 20．解：（1）椭圆C 的方程为：2214x y +=......5分 （2）设AS 方程为(2)(0),y k x k =+>解得M 1016(,)33k 。
江西省上饶市育才中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
江西省上饶市育才中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部参考答案：B【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B 【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．2. 将甲,乙,丙,丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲,乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数有（）A.18B.24C.30D.36参考答案：C3. 圆锥的侧面展开图是（）Ａ．三角形Ｂ．长方形Ｃ．圆Ｄ．扇形参考答案：D4. 是f（x）的导函数，的图象如下图所示，则f（x）的图象只可能是（）（A）（B）（C）（D参考答案：D略5. 执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出x的值为（）A．B．C．D．0参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；当输入x=20＜1不成立，所以y=10﹣1=9，x=9，x＜1不成立，所以y=，x=＜1不成立，所以y=，x=＜1成立，所以输出x值为；故选C．6. 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：D7. 设函数，则（）A. B. C. D.参考答案：A 略8. 已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．11 B．10 C．9 D．16参考答案：A略9. 已知命题p：“?m∈R，函数f（x）=m+是奇函数”，则命题?p为（）A．?m∈R，函数f（x）=m+是偶函数B．?m∈R，函数f（x）=m+是奇函数C．?m∈R，函数f（x）=m+不是奇函数D．?m∈R，函数f（x）=m+不是奇函数参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题p：“?m∈R，函数f（x）=m+是奇函数”，则命题?p为?m∈R，函数f（x）=m+不是奇函数，故选：C10. 展开式中不含项的系数的和为（）A.- 1B.0C.1D.2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知=（5，-3），C（-1，3），=2，则点D 的坐标为参考答案：（9，-3）12. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是参考答案：①和②略13. 过点（1，0）作倾斜角为的直线与y2=4x交于A、B，则AB的弦长为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出过点（1，0）作倾斜角为的直线方程，与y2=4x联立方程组，求出A点和B点的坐标，由此能求出AB的弦长．【解答】解：过点（1，0）作倾斜角为的直线方程为：y=tan（x﹣1）=﹣，联立方程组，得3x2﹣10x+3=0，解得，或，∴|AB|==．故答案为：．14. 已知椭圆两个焦点坐标分别是（5，0），（﹣5，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26，则椭圆的方程为．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】由题意可得：c=5，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=13，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．【解答】解：∵两个焦点的坐标分别是（5，0），（﹣5，0），∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=5，∴由椭圆的定义可得：2a=26，即a=13，∴由a，b，c的关系解得b=12，∴椭圆方程是．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题．15. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率．参考答案：考点：几何概型试题解析：是，是，是，否，则输出的令所以故答案为：16. 命题“”是假命题，则的取值范围为__________. 参考答案：17. 命题P：关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x R恒成立;命题Q：f(x)=－(1－3a－a2)x是减函数.若命题PVQ为真命题,则实数a的取值范围是________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。