第九节 各种积分间的关系2

是对什么变量求偏导数; 1. P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件
3.Σ 是取闭曲面的外侧. 3.Σ 是取闭曲面的外侧.
例2 计算曲面积分
∫∫ xz dydz + ( x
2 Σ
2
y z )dzdx + (2xy + y z )dxdy，
=
∫∫ { R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, D
xy
R ∴ ∫∫∫ dv =∫∫ R( x, y, z)dxdy. z Σ
同理
P ∫∫∫ x dv =∫∫ P( x, y, z)dydz, Σ Q ∫∫∫ y dv =∫∫ Q( x, y, z)dzdx, Σ
3 2
其 中 Σ为 半 球 体
0≤ z≤ a x y
2 2
2
的 整 个 表 面 曲 面 的 外 侧.
解
P = xz , Q = x y z , R = 2 xy + y z
2 2 3 2
P Q R 2 2 2 + + =z +x +y x y z 2
0 ： ≤ z ≤ a x 2 y 2
Σ3为柱面上的一部分 外侧
x
Dxy y
: z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ),( x , y ) ∈ Dxy
根据三重积分的计算法
: z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ),( x , y ) ∈ Dxy
z 2 ( x , y ) R R ∫∫∫ z dv = D [∫z1 ( x , y ) z dz ]dxdy ∫∫ xy
1 4 = πh 2
Σ
Dxy
o
y
x
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy (∵ Σ1在yoz和zox面上投影面积为零 )
2 2 2 Σ1
= ∫∫ z dxdy =
2 Σ1
∫∫ h dxdy = πh . D
2
4
xy
故所求积分为
原式 =
Σ+Σ1
∫∫ ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
立体与其表面曲面上积分间的关系？ 立体与其表面曲面上积分间的关系？
1.高斯（ 1.高斯（Gauss)公式 高斯 ) 定理3 定理 设空间闭区域是由光滑(或分片光滑) 曲面Σ所围成，函数P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在上具有一阶连续偏导数,则有
P Q R ∫∫∫( x + y + z )dv=
∫∫
Σ
Pd yd z + Qd z d x + Rd xd y = 0
的充要条件是: 的充要条件是 P Q R + + = 0, ( x, y, z)∈G x y z
三、通量与散度 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 v( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k 设Σ 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的 为场中任一有向曲面, 曲面积分的物理意义可知 曲面积分的物理意义可知, 理意义可知 单位时间通过曲面Σ 单位时间通过曲面Σ 的流量为
2 2 2 Σ
曲面Σ不是封闭曲面, 曲面Σ不是封闭曲面, 为利用高斯公式
补充Σ1 : z = h ,( x + y ≤ h )
2 2 2
z
Σ1
Σ1取上侧，
Σ + Σ 1构 成 封 闭 曲 面 外 侧 ，
h
Σ
Σ + Σ1围成空间区域 ，
x
o
y
在上使 用高斯 公式 , 得 2 2 2 原式 = ∫∫ = ∫∫ ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
2
原式 = ∫∫∫ ( x + y + z )dv
2 2
= ∫∫∫ r r sindrddθ
2 2
= ∫ dθ ∫ sin d ∫
0 2 0
2π
π
a
0
2 5 r dz = πa 5
4
例3 计算曲面积分
∫∫ ( x
Σ
2
cos α + y cos β + z cos γ )dS，
2 2 2 2 2
div A= 0 =
表明该点处无源, 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度. 散度绝对值的大小反映了源的强度.
处处有 若向量场 A 处处有 div A= 0 = 为无源场. 则称 A 为无源场. 例如, 例如, 匀速场
v = (vx , vy , vz )(其中vx , vy , vz 为常数),
Σ
o
y
x
Σ+Σ1
∫∫
x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 ∫∫∫ zdv
2 2 2
= 2 ∫∫ dxdy ∫
Dxy
h x +y
2 2
zdz
2 2 2
= ∫∫
Dxy
Dxy = {( x , y ) | x + y ≤ h } z 2 2 2 ( h x y )dxdy
Σ1
h
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
. 这里Σ是的整个边界曲面的外侧
3
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ∫∫∫ ( x + y + z )dv = ∫∫ ( P cosα + Qcos β + Rcosγ )dS.
Σ
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质 揭示了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
原式 = ∫∫∫ ( y z )dxdydz
z
3
= ∫∫∫ ( ρ sinθ z ) ρ d ρ dθ dz
o x
= ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ ( ρ sin θ z )dz
0 0 0
2π
1
1
y
1
3
9π π = . 2
(利用柱面坐标 利用柱面坐标) 利用柱面坐标
11
使用Guass公式时应该注意 公式时应该注意: 使用 公式时应该注意
定义: 定义: 设有向量场
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
其中P, 具有连续一阶偏导数, 其中 Q, R 具有连续一阶偏导数 Σ 是场内 的一片有向曲面，其单位法向量 n, 则称 的一片有向曲面， 曲面
∫∫
Σ
A nd S
根据高斯公式, 根据高斯公式, 流量也可表为
场内任意点M 场内任意点 处的特性
Φ lim →M V
P Q R =( + + )M x y z
Φ P Q R lim = ( + + →M V x y z
)M
散度 此式反应了流速场在点M 的特点: 此式反应了流速场在点 的特点: 其值为正,负或 0, 其值为正, , 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 或没有任何变化.
第九节 各种积分间的关系
二、高斯(Gauss)公式及其应用 高斯( )
（第十章 第六节） 第六节）
二、高斯（Gauss)公式及其应用 高斯（ )
牛顿— 牛顿—莱布尼兹公式
∫ f ( x ) dx = F ( b ) F ( a )
b a
格林公式
Q P ∫∫ ( x y )dxdy = D
∫
L
Pdx + Qdy
1 xy
∫∫ R( x , y, z )dxdy = D R[ x , y , z2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ
2 xy
∫∫ R( x , y , z )dxdy = 0. 三项相加
Σ3
z
∑2
∫∫ R( x , y, z )dxdy
Σ
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ R( x , y , z )dxdy
Σ1 Σ2 Σ3
x
∑3 ∑1 Dxy y
∫∫ R( x , y, z )dxdy
Σ
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ R( x , y , z )dxdy
Σ1 Σ2 Σ3
= ∫∫ R[ x, y, z1 ( x, y)]dxdy + ∫∫ R[ x, y, z2 ( x, y)]dxdy + 0
Dxy Dxy
2 2
o
1
1
y
其 中 Σ 为 柱 面 x + y = 1及 平 面 z = 0， z = 3 所 围 成 的 空 间 闭 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 的 外侧.
10
解 P = ( y z ) x , Q = 0, R = x y , P Q R = y z, = 0, = 0, x y z
Σ
Σ+Σ1
∫∫
x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
2 2 2
Σ+Σ1
Σ1
xoz 关于yoz面对称 面对称， 关于 面对称， 被积函数关于x是奇函数 被积函数关于 是奇函数 y= 2 Leabharlann ∫∫ zdv zΣ1h