高三数学一轮复习 第五章《平面向量》5-3精品课件
• 重点难点 • 重点：①平面向量的数量积及其几何意义 ，数量积的性质及运算律，数量积的坐标 表示． • ②了解用平面向量的数量积可以处理有关 长度、角度和垂直的问题． • 难点：平面向量数量积的应用及向量与其 它知识的综合问题．
知识归纳 一、平面向量的数量积 1．向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角 → ＝a，OB → ＝b ， 已知两个非零向量 a、b，过 O 点作OA 则 θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角． π 当 θ＝2时，a 与 b 垂直，记作 a⊥b； 当 θ＝0 时，a 与 b 同向； 当 θ＝π 时，a 与 b 反向．
• 4．若<a，b>＝θ，则a在b方向上的投影 为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为 |b|·cosθ，应注意区分． → OS
→ 共线的向量，不要和投影|O→ OS F |cosθ 相混淆．
→ 在 OS → 方向上的分力 OF → ′＝ |OF → |cosθ· ，是与 力 OF →| |OS
• ∴al＝|a|·cosθ(其中θ为a与轴l的正向所 成的角)当θ为钝角时，al<0；当θ为直角 时，al＝0；当θ为锐角时，al>0，当θ＝ 0°时，al＝|a|.当θ＝180°时，al＝－|a|. • (4)平面向量数量积的几何意义 • 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上 的射影|b|cosθ的乘积．
• 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉 及到长度、角度、平行、垂直、共线、共 点等问题的处理，目标是将几何问题符号 化、数量化、坐标化，从而将推理转化为 运算．向量的代数形式的运算与其几何意 义是紧密联系在一起的，明确了几何意义 使向量的代数形式的运算得以实施，而运 算的结果则可以肯定或否定几何结论． • 一般研究夹角问题总是从数量积入手，研 究长度则从模的运算性质入手，而研究共 线、共点问题则多从向量的加减运算及实 数与向量的积着手．
(4)若向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的夹角为 x1x2＋y1y2 a· b θ，则有：cosθ＝ ＝ . |a|· |b| x12＋y12· x22＋y22
二、平面向量的应用 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线 段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算 性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别 是几何图形中的隐含条件． 1．用向量法求角 a· b 设向量 a 与 b 的夹角为 α，则 cosα＝ . |a|· |b| x1x2＋y1y2 若 a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则 cosα＝ 2 2 2 2； x1 ＋y1 × x2 ＋y2
• • • •
3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ． • 4．平面向量数量积的坐标表示 • (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 • a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝ 0.(3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)， 2 2 ( x ， y ) ，则 | a | ＝ x － x ＋ y － y 1 2 • 2(2)2 设a＝(x，y )，则 |a1|＝2 . .
• (2)已知两个非零向量a和b，它们的夹角 |a||b|cosθ 为θ，我们把数量 叫做a与b的数量 积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与 任一向量的数量积为 0. → ＝a ， (3)已知平面向量 a 和轴 l，过轴 l 上点 O，作OA
→1称作 a 在轴 l 上的射 由 A 向 l 作垂线，垂足为 A1，则OA 影．该射影在轴 l 上的坐标称作 a 在轴 l(方向)上的数量， 记作 al.
• 2．向量数量积的性质 • 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 是a与b的夹角，则 • (1)e·a＝a·e＝|a|·cos〈a，e〉． 0 • (2)a⊥b⇔a·b＝ . |a||b| • (3)当a与b同向时，a·b＝ ； －|a||b| • 当a与b反向时， a·b＝ ； 2
特别地， a· a＝|a| 或|a|＝ a· a. a· b (4)cosθ＝ . |a||b| (5)|a· b|≤|a|· |b|.
• 5．用向量法处理物理问题，首先要把物 理问题用向量模型加以表达，然后通过求 解向量模型解释相关物理现象． • 6．平面向量与三角函数整合的题目，大 多数本质仍是三角函数问题，只是同时兼 顾平面向量的“共线”、“数量积”等基 本概念与基本运算，解题时依据向量的有 关概念与运算去掉向量外衣后，就是纯粹 三角问题了． • 7．平面向量与解析几何整合的题目，注 意将题目中的条件和要解决的问题，通过 “点”加以向量化，然后运用向量的运算
Байду номын сангаас
• 误区警示 • 1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为 当a⊥b时，总有a·b＝0. • 2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝ bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0 时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由 a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b 垂直即可．3．数量积不满足结合律，即 对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一 般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数 ．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线， 而c与a却未必共线．
• 5．a·b>0和a与b夹角为锐角不等价．∵ 当b＝a≠0时，夹角为0，a·b>0；同样 a·b<0不等价于a与b的夹角为钝角． • 6．用向量法证明平行时，应注意是否在 同一条直线上，因为向量平行与直线平行 是有区别的． • 向量具有数的特性，常与函数、三角、数 列、不等式等许多重要内容结合命题，而 且我们也可通过构造向量来处理许多代数 问题．
2．用向量法处理垂直 →· → ＝0. 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB CD 3．用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD， 只需证存在实数 λ≠0， 使等式AB → 成立． ＝λCD 4．用向量法处理距离 → 2＝CD → 2 或|AB → |＝ 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB → |. |CD
知识归纳 一、平面向量的数量积 1．向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角 → ＝a，OB → ＝b ， 已知两个非零向量 a、b，过 O 点作OA 则 θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角． π 当 θ＝2时，a 与 b 垂直，记作 a⊥b； 当 θ＝0 时，a 与 b 同向； 当 θ＝π 时，a 与 b 反向．
• 4．若<a，b>＝θ，则a在b方向上的投影 为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为 |b|·cosθ，应注意区分． → OS
→ 共线的向量，不要和投影|O→ OS F |cosθ 相混淆．
→ 在 OS → 方向上的分力 OF → ′＝ |OF → |cosθ· ，是与 力 OF →| |OS
• ∴al＝|a|·cosθ(其中θ为a与轴l的正向所 成的角)当θ为钝角时，al<0；当θ为直角 时，al＝0；当θ为锐角时，al>0，当θ＝ 0°时，al＝|a|.当θ＝180°时，al＝－|a|. • (4)平面向量数量积的几何意义 • 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上 的射影|b|cosθ的乘积．
• 平面向量与几何问题的综合及应用通常涉 及到长度、角度、平行、垂直、共线、共 点等问题的处理，目标是将几何问题符号 化、数量化、坐标化，从而将推理转化为 运算．向量的代数形式的运算与其几何意 义是紧密联系在一起的，明确了几何意义 使向量的代数形式的运算得以实施，而运 算的结果则可以肯定或否定几何结论． • 一般研究夹角问题总是从数量积入手，研 究长度则从模的运算性质入手，而研究共 线、共点问题则多从向量的加减运算及实 数与向量的积着手．
(4)若向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的夹角为 x1x2＋y1y2 a· b θ，则有：cosθ＝ ＝ . |a|· |b| x12＋y12· x22＋y22
二、平面向量的应用 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线 段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算 性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别 是几何图形中的隐含条件． 1．用向量法求角 a· b 设向量 a 与 b 的夹角为 α，则 cosα＝ . |a|· |b| x1x2＋y1y2 若 a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则 cosα＝ 2 2 2 2； x1 ＋y1 × x2 ＋y2
• • • •
3．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ． • 4．平面向量数量积的坐标表示 • (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 • a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝ 0.(3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)， 2 2 ( x ， y ) ，则 | a | ＝ x － x ＋ y － y 1 2 • 2(2)2 设a＝(x，y )，则 |a1|＝2 . .
• (2)已知两个非零向量a和b，它们的夹角 |a||b|cosθ 为θ，我们把数量 叫做a与b的数量 积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与 任一向量的数量积为 0. → ＝a ， (3)已知平面向量 a 和轴 l，过轴 l 上点 O，作OA
→1称作 a 在轴 l 上的射 由 A 向 l 作垂线，垂足为 A1，则OA 影．该射影在轴 l 上的坐标称作 a 在轴 l(方向)上的数量， 记作 al.
• 2．向量数量积的性质 • 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 是a与b的夹角，则 • (1)e·a＝a·e＝|a|·cos〈a，e〉． 0 • (2)a⊥b⇔a·b＝ . |a||b| • (3)当a与b同向时，a·b＝ ； －|a||b| • 当a与b反向时， a·b＝ ； 2
特别地， a· a＝|a| 或|a|＝ a· a. a· b (4)cosθ＝ . |a||b| (5)|a· b|≤|a|· |b|.
• 5．用向量法处理物理问题，首先要把物 理问题用向量模型加以表达，然后通过求 解向量模型解释相关物理现象． • 6．平面向量与三角函数整合的题目，大 多数本质仍是三角函数问题，只是同时兼 顾平面向量的“共线”、“数量积”等基 本概念与基本运算，解题时依据向量的有 关概念与运算去掉向量外衣后，就是纯粹 三角问题了． • 7．平面向量与解析几何整合的题目，注 意将题目中的条件和要解决的问题，通过 “点”加以向量化，然后运用向量的运算
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• 误区警示 • 1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为 当a⊥b时，总有a·b＝0. • 2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝ bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0 时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由 a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b 垂直即可．3．数量积不满足结合律，即 对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一 般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数 ．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线， 而c与a却未必共线．
• 5．a·b>0和a与b夹角为锐角不等价．∵ 当b＝a≠0时，夹角为0，a·b>0；同样 a·b<0不等价于a与b的夹角为钝角． • 6．用向量法证明平行时，应注意是否在 同一条直线上，因为向量平行与直线平行 是有区别的． • 向量具有数的特性，常与函数、三角、数 列、不等式等许多重要内容结合命题，而 且我们也可通过构造向量来处理许多代数 问题．
2．用向量法处理垂直 →· → ＝0. 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB CD 3．用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD， 只需证存在实数 λ≠0， 使等式AB → 成立． ＝λCD 4．用向量法处理距离 → 2＝CD → 2 或|AB → |＝ 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB → |. |CD
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高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件
5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 1平面向量的概念及线性运算课件
√
√
√
【拓广探索】
13.设点在的内部,且,则的面积与 的面积之比为 ( )
A.3 B. C.2 D.
解：如图，取的中点D，在上取点，使 ，连接， .
第五章 平面向量与复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
解：存在实数 ，使得，说明向量,共线，则, 同向或反向；，则,同向.故“存在实数 ，使得”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
10.在中，为边上的动点（不含两端），且满足，则 ( )
A.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2
解：由题意，知,, .所以 ，当且仅当 时取等号.故选A.
三角形法则
平行四边形法则
方向相同
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
数乘
3.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使________.
相同
相反
续表
常用结论
1.加法运算的推广 （1）加法运算的推广： . （2）向量三角不等式： .两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“ ”成立；两向量共线时，可得出“ ”成立（分同向、反向两种不同情形）.
A.单位向量都相等 B.若，则 C.若，则 D.若，则
√
√
【拓广探索】
13.设点在的内部,且,则的面积与 的面积之比为 ( )
A.3 B. C.2 D.
解：如图，取的中点D，在上取点，使 ，连接， .
第五章 平面向量与复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
解：存在实数 ，使得，说明向量,共线，则, 同向或反向；，则,同向.故“存在实数 ，使得”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
10.在中，为边上的动点（不含两端），且满足，则 ( )
A.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2
解：由题意，知,, .所以 ，当且仅当 时取等号.故选A.
三角形法则
平行四边形法则
方向相同
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
数乘
3.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使________.
相同
相反
续表
常用结论
1.加法运算的推广 （1）加法运算的推广： . （2）向量三角不等式： .两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“ ”成立；两向量共线时，可得出“ ”成立（分同向、反向两种不同情形）.
A.单位向量都相等 B.若，则 C.若，则 D.若，则
北师大版高三数学复习专题-平面向量课件-第5章第3节
走向高考 ·数学
北师大版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
第五章
平面向量
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
第五章 第三节
平面向量的数量积及其应用
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
1
高考目标导航
3
课堂典例讲练
因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋
λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋ λ)＝0，解得λ＝±3.
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
课堂典例讲练
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
→ → 3．已知△ABC 中，AB＝a，AC＝b，且 a· b<0，则△ABC 的形状为( ) B．直角三角形 D．等边三角形 A．钝角三角形 C．锐角三角形
[ 答案]
[ 解析]
A
→ → → → a· b＝|AB|· |AC|cos<AB，AC><0，
→ → 即 cos<AB，AC><0，所以角 A 为钝角．
[ 解析]
) B．0 15 D． 2
C
本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，
因为 2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－ 3b)· c＝0，即(2k－3，－6)(2,1)＝0，解得 k＝3，本题根据条件 也可以转化为 2a· c－3b· c＝0 化简求解．
北师大版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第五章
平面向量
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
第五章 第三节
平面向量的数量积及其应用
第五章
平面向量
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1
高考目标导航
3
课堂典例讲练
因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋
λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋ λ)＝0，解得λ＝±3.
第五章
平面向量
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课堂典例讲练
第五章
平面向量
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
→ → 3．已知△ABC 中，AB＝a，AC＝b，且 a· b<0，则△ABC 的形状为( ) B．直角三角形 D．等边三角形 A．钝角三角形 C．锐角三角形
[ 答案]
[ 解析]
A
→ → → → a· b＝|AB|· |AC|cos<AB，AC><0，
→ → 即 cos<AB，AC><0，所以角 A 为钝角．
[ 解析]
) B．0 15 D． 2
C
本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，
因为 2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－ 3b)· c＝0，即(2k－3，－6)(2,1)＝0，解得 k＝3，本题根据条件 也可以转化为 2a· c－3b· c＝0 化简求解．
高三数学高考第一轮复习课件：平面向量
第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化
高考数学一轮总复习 第五章 平面向量课件 理
1.(2015 年宁德一模)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,
则������������+������������=( ).
A.������������
B.1 ���Biblioteka ��������2C.1 ������������
2
D.������������
【答案】A
2.(2015 年新课标全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,
第4题
考查了向量平行的条件,只要熟悉两个向量 a(a≠0)与 b 共线的 充要条件是存在唯一一个实数λ,使 b=λa.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫作向量
的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量 平行包含两个向量所在的直线共线,但两条直线平行不包含两条直 线重合;
(3)平行向量无传递性(因为有 0).
2.(1)对于两个向量和的运算,分清“平行四边形法则”与“三
角形法则”的区别; (2)对于两个向量差的运算,一方面两个向量应该移成同一起点,
的关键是“首尾相连,指向终点”,可推广为多个向量相加的“多边
形法则”;④向量减法的三角形法则的关键是“共起点,指向被减向 量”.
(2015 年北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足
������������=2������������,������������=������������.若������������=x������������+y������������,则 x=
高三数学一轮复习 第五章《平面向量》51精品课件
• 5．向量的应用 • 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问 题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几 何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际 问题的能力．
• ●命题趋势 • 由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点． • 在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法 则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、 差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正 确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线 性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、 数列等知识结合．
• • • • •
3．平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义． ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
• 4．平面向量的数量积 • ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含 义及其物理意义． • ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系． • ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算． • ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系．
，
1 ∴当t＝2时，三向量终点在同一直线上.
[例4]
如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且
1→ → → ＝a， BC → ＝b，若 BF → AE ＝ AD ，F为BE与AC的交点．设 AB 4 → ，AF → ＝hAC → ，则k＝________，h＝________. ＝kBE
→ ＝ AB → ＋ BC → ＝a＋b，∴ AF → ＝h AC → ＝ha＋hb， 解析： AC → ＝BA → ＋AF → ＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb， BF 1 → → → → 又BF＝kBE＝k(BA＋AE)＝k(－a＋ b) 4 k k ＝－ka＋4b，∴(h－1)a＋hb＝－ka＋4b， h－1＝－k ∴ k h＝4 4 k＝5 ，解得 h＝1 5
高三理科数学一轮复习 专题 平面向量课件
向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。 具体来说，当三个向量表示一个平行六面体 的三条边时，混合积的大小就等于这个平行 六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投 影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模； 当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方 式进行。
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 3平面向量的数量积及平面向量的应用课件
=
D.6
3+
,解得
= 5.故选C.
命题角度3 两个向量的垂直
3
−
例4（1） （2022年全国甲卷）已知向量 = , 3 , = 1, + 1 .若 ⊥ ，则 =____.
4
解：由题意，知 ⋅ = + 3 + 1 = 0，解得 =
3
3
− .故填− .
4
4
（2）设非零向量，满足 + = − ，则 (
)
D.8
0
3
4.若 = 2,1 , = 2, −1 , = 0,1 ,则 + ⋅ =___;
⋅ =___.
解： + = 4,0 ,所以 + ⋅ = 0, ⋅ = 3.故填0;3.
考点一 平面向量数量积的运算
1
3
例1（1） （2022年全国甲卷）设向量，的夹角的余弦值为 ，且 = 1， = 3，
又因为 − = 3，所以 −
2
= 3.
即2 − 2 ⋅ + 2 = 2 = 3，所以 = 3.故填 3.
命题角度2 求平面向量的夹角
例3 （2023年全国甲卷）已知向量 = 3,1 ， = 2,2 ，则cos⟨ + ， − ⟩ =
(
)
B.
√
1
A.
17
17
.故选B.
17
【点拨】 求两向量,的夹角 ,通常采用公式cos =
⋅
进行求解.
变式3 （2022年新课标Ⅱ卷）已知向量 = 3,4 , = 1,0 , = + ，若⟨,⟩ = ⟨,
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．