1.2.2平行四边形的判定(2)课件
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平行四边形的判定(2)(课件)-八年级数学下册(人教版)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2
又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA
∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
15-2t
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
解:(3)∵AD//BC
∴当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴12-t=2t
解得t=4
∴t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.
平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
t
12-t
AP=_________cm；DP=_________cm；
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
2t
15-2t
(1)用含t的代数式表示:
12-t
t
AP=_________cm；DP=_________cm；
2t
BQ=_________cm；CQ=_________cm.
4.如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，有下列条件:
①AE//CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边
形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是( B )
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
5.已知四边形ABCD，有以下四个条件:①AB//CD;②AB=CD;③BC// AD;④
平行四边形判定-教学课件
A
E
F
C
D
B
四、自学反馈，精讲点拨
例2 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边 形．
AH D G
E
B
F
C
五、基础训练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=_5_c_m___.
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_6_0_°__.
现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊 接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有余料),
请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
B
C
A
B E F C
D A
B
D
E
C
A
F
B
E
C
D
A
1。判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形
的第三边，且等于第三边的一半。
数学思想：转化思想
1.把四边形的问题转化为三角形问题解决 2.线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
数学方法：在三角形的中位线定理的发现过程用到 画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法
个顶点和对边中点的连线。
三角形的中位线具有怎样的性质呢？
A
D
E
B
C
即DE与BC有什么样的 位置关系和数量关系？
猜想：三角形的中位线平行于第 三边，并且等于第三边的一半。
例4已知在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
E
F
C
D
B
四、自学反馈，精讲点拨
例2 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边 形．
AH D G
E
B
F
C
五、基础训练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=_5_c_m___.
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_6_0_°__.
现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊 接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有余料),
请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
B
C
A
B E F C
D A
B
D
E
C
A
F
B
E
C
D
A
1。判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形
的第三边，且等于第三边的一半。
数学思想：转化思想
1.把四边形的问题转化为三角形问题解决 2.线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
数学方法：在三角形的中位线定理的发现过程用到 画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法
个顶点和对边中点的连线。
三角形的中位线具有怎样的性质呢？
A
D
E
B
C
即DE与BC有什么样的 位置关系和数量关系？
猜想：三角形的中位线平行于第 三边，并且等于第三边的一半。
例4已知在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。
平行四边形(第2课时)(课件)八年级数学下册(苏科版)
探究新知 证明猜想
猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC． 求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
分析：先证△ABD≌△CDB，再证AD∥BC，AB∥DC，
得四边形ABCD是平行四边形．
B
D C
探究新知
证明： 如图，连接BD． ∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴AB∥CD，AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形．
D
F
C A.2个
C.4个
G
H
B.3个 D.5个
A
E
B
分析：▱ABCD 、▱DEBF 、▱AECF 、▱EHFG
课堂练习
3.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形. 求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A E
B
证明：∵四边形AEFD是平行四边形， D
∴AD//EF，ADEF. F
∵四边形EBCF是平行四边形， C
课堂练习
2.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，
BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的
选法是
（C ）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
课堂练习
2.如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，则图 中平行四边形的个数共有( C).
A
B
C
方法一：
探究新知
A
D
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
18-1-2 第2课时 平行四边形的判定(2)课件
边
形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
的
判
定
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
课堂检测： 1.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边
形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不
可以是（ B ）
A．AF=CE
B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD
A
D
证明：∵在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且
∠ACB=90°
∵ AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=90°
B
C
∵CD=5， AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC 且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD.
课后作业：
必做题：50页6题 选做题：51页15题
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是
平行四边形，
A
D
∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC.
E
F
∴AD∥ BC，AD=BC.
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结：
判定一个四边形是平行四边形的方法：
平
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
形
四
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
核心素养目标：
掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法；
会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明 问题；
通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思 维，提高分析问题的能力．
情境引入： 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之 一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么 铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
18.1.2平行四边形的判定(第2课时)课件
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.思考问题，引入新课.
我们知道两组对边分别平行或相等 的四边形是平行四边形.
请同学们猜想一下，如果只考虑四边 形的一组对边，当它满足什么条件时 这个四边形是平行四边形？ 以小组讨论的形式探讨这一问题.
Hale Waihona Puke 、猜想证明，探索新知问题1：一组对边平行的四边形是平 行四边形吗？如果是请给出证明， 如果不是请举出反例说明.
四、应用新知，巩固提高
1．教材第47页练习第4题.
Z````x``xk
2. 已知：如图，在四边形 ABCD中， 对角线AC和BD相交于O，AO=OC， BA⊥AC，DC⊥AC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
1.本节课你学习了哪些知识？
2.你获得了哪些研究问题的方法？ 3.你有什么收获？
zx``x``k
Z```x``xk
小学学习过的梯形满足一组对边平 行的条件，但梯形不是平行四边形.
二、猜想证明，探索新知 问题2：满足一组对边相等的四边形 是平行四边形吗？
如图1 ，这个四边形EFGH满足一组对边 EF=HG相等的条件，但它不是平行四边形.
二、猜想证明，探索新知
问题3：如果一组对边平行，而另一组 对边相等的四边形是平行四边形吗？
命题：一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形.
请你将上述命题改写成已知、求证，并 画出图形，然后思考如何证明.
已知：如图3 ，在四边
形ABCD中，AB//CD， AB=CD. 求证：四边形ABCD是 平行四边形.
图3
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，
AB=CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
Z```x``xk
平行四边形的判定(第二课时)课件
2
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF D ∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA B ∴CF∥BD，CF=BD A ∴四边形DBCF是平行四边形 DF∥BC，DF=BC 1 E 又DE= DF D
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
B C E
C
2
F
定义：连接三角形两边中点的线段叫
例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB//CD， ∠A=90°，DC=24cm,AD=8cm,AB=26cm，动点P从 D开始沿DC边向C以1cm/s的速度运动，动点Q从点B开 始沿BA向A以3cm/s的速度运动，P,Q分别从点D,B同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动， 设运动的时间为t。 （1）t为何值时，四边形PQBC为平行四边形？
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
例2：如图，顺次连接四边形ABCD的四边 中点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是 平行四边形。 D
H A G
E
F B
C
例3：（2013•齐齐哈尔）已知等腰三角形 ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长 线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、 AE的中点，连接MN交直线BE于点F． （1）当点D在CB边的延长线上时，如图1所 1 示，易证MF+FN= BE
19.1.2平行四边形的判定（2）
平行四边形的判定方法 1、两组对边分别平行的四边形是平行 四边形 从边来判定 2、两组对边分别相等的四边形是平行 四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形 两条对角线互相平分的四边形是平行 从对角线来判定 四边形
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF D ∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA B ∴CF∥BD，CF=BD A ∴四边形DBCF是平行四边形 DF∥BC，DF=BC 1 E 又DE= DF D
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
B C E
C
2
F
定义：连接三角形两边中点的线段叫
例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB//CD， ∠A=90°，DC=24cm,AD=8cm,AB=26cm，动点P从 D开始沿DC边向C以1cm/s的速度运动，动点Q从点B开 始沿BA向A以3cm/s的速度运动，P,Q分别从点D,B同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动， 设运动的时间为t。 （1）t为何值时，四边形PQBC为平行四边形？
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
例2：如图，顺次连接四边形ABCD的四边 中点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是 平行四边形。 D
H A G
E
F B
C
例3：（2013•齐齐哈尔）已知等腰三角形 ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长 线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、 AE的中点，连接MN交直线BE于点F． （1）当点D在CB边的延长线上时，如图1所 1 示，易证MF+FN= BE
19.1.2平行四边形的判定（2）
平行四边形的判定方法 1、两组对边分别平行的四边形是平行 四边形 从边来判定 2、两组对边分别相等的四边形是平行 四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形 两条对角线互相平分的四边形是平行 从对角线来判定 四边形
平行四边形的判定ppt课件
∴△ABE≌△FCE(AAS).
∴AE=EF.
又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵DE=AD,
∴DE=BC,DE∥BC.
∴AD=BC,AE=CF.
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AB=2AE,CD=2CF.
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知应用
如 图 所 示 , 已 知 E,F,G,H 分 别 是 ▱ ABCD 的 边 AB,BC,CD,DA 上 的 点 , 且
AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
别在直线AD,BC上,EH平分∠FEG,线段EH的长是否是两条平行线AD,BC之
间的距离?为什么?
解:是.理由如下:
∵AB∥EF,CD∥EG,
∴∠AEF+∠A=180°,∠DEG+∠D=180°.
∵∠A=∠D,∴∠AEF=∠DEG.
∵EH 平分∠FEG,∴∠FEH=∠GEH.
∴∠AEF+∠FEH= ×180°=90°,即∠AEH=90°.∴EH⊥AD.
O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形
ABCD是平行四边形.
证明:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF.∴AE=CF.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.∴∠BAE=∠DCF.
∠ = ∠,
∴AE=EF.
又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵DE=AD,
∴DE=BC,DE∥BC.
∴AD=BC,AE=CF.
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AB=2AE,CD=2CF.
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知应用
如 图 所 示 , 已 知 E,F,G,H 分 别 是 ▱ ABCD 的 边 AB,BC,CD,DA 上 的 点 , 且
AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
别在直线AD,BC上,EH平分∠FEG,线段EH的长是否是两条平行线AD,BC之
间的距离?为什么?
解:是.理由如下:
∵AB∥EF,CD∥EG,
∴∠AEF+∠A=180°,∠DEG+∠D=180°.
∵∠A=∠D,∴∠AEF=∠DEG.
∵EH 平分∠FEG,∴∠FEH=∠GEH.
∴∠AEF+∠FEH= ×180°=90°,即∠AEH=90°.∴EH⊥AD.
O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形
ABCD是平行四边形.
证明:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF.∴AE=CF.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.∴∠BAE=∠DCF.
∠ = ∠,
《平行四边形的判定》PPT教学课件2人教版
小结:尝试用多种方法证明.
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数学
变式练习 8.如图,将两块相同的三角尺ABC和A'B'C'如图放置,使两条直 角边BC与B'C'重合在一起,这样拼成的四边形ACA'B是平行 四边形吗?试用两种不同的方法说明理由.
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数学
解:四边形ACA'B是平行四边形. 理由1:∵△ABC≌△A'B'C',∴AB=A'B',AC=A'C', ∴四边形ACA'B是平行四边形. 理由2:∵△ABC≌△A'B'C', ∴∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B', ∴∠ACA'=∠A'BA, ∴四边形ACA'B是平行四边形.
△AOD≌△COB(
),
知识点一:定义法判定平行四边形
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D.
证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC, 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.
∴AB∥
,AD∥
.
∴∠1+∠CDB=∠2+∠ABD,即∠ABC=∠CDA,
2
2
同理:B'O=D'O,∴四边形 A'B'C'D'是平行四边形.
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数学
9.如图,AD是△ABC的中线,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,
EC.求证:四边形ABEC是平行四边形. 求证:四边形AFBE是平行四边形.
求证:四边形ABCD为平行四边形.
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变式练习 8.如图,将两块相同的三角尺ABC和A'B'C'如图放置,使两条直 角边BC与B'C'重合在一起,这样拼成的四边形ACA'B是平行 四边形吗?试用两种不同的方法说明理由.
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解:四边形ACA'B是平行四边形. 理由1:∵△ABC≌△A'B'C',∴AB=A'B',AC=A'C', ∴四边形ACA'B是平行四边形. 理由2:∵△ABC≌△A'B'C', ∴∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B', ∴∠ACA'=∠A'BA, ∴四边形ACA'B是平行四边形.
△AOD≌△COB(
),
知识点一:定义法判定平行四边形
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D.
证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC, 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO.
∴AB∥
,AD∥
.
∴∠1+∠CDB=∠2+∠ABD,即∠ABC=∠CDA,
2
2
同理:B'O=D'O,∴四边形 A'B'C'D'是平行四边形.
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数学
9.如图,AD是△ABC的中线,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,
EC.求证:四边形ABEC是平行四边形. 求证:四边形AFBE是平行四边形.
求证:四边形ABCD为平行四边形.
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对角线互相平分的四边形是平行四边形
性质3：平行四边形对角线互相平分 逆命题： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 已知：四边形ABCD中，AC和BD相交于点O.且A0＝CO,BO=DO
A 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵A0=CO,B0=DO,∠1＝∠2 2 1 ∴△OAB≌△OCD（SAS） O ∴AB＝CD B 同理AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形。
九年级们学过的平行四边形的性质和判定有哪些？ 性质 平行四边形对边相等. 平行四边形对角相等. 平行四边形对角线互相平分 判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理3
D
C
平行四边形的判定方法
1.两组对边分别平行的四边形是……
边 角
2.两组对边分别相等的四边形是……
3.一组对边平行且相等的四边形是…… 4.两组对角分别相等的四边形是……
对角线 5.对角线互相平分的四边形是……
作业