机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)讲解
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第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§ 3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§ 3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§ 3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特殊质点组dr ij =0, 注意 : 它是一种理想模型, 形变大小可忽略时可视为刚体。
2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z),对刚体是否用3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变如确定不在同一直线上的三点, 即可确定刚体的位置, 需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动 +绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z),描述转轴可由αβ, γ。
, ,二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表. 需要三个独立变量, 可以看成质点力学问题.( 注意 : 平动未必是直线运动)2.定轴转动 : 刚体上有两点不动 , 刚体绕过这两点的直线转动 , 该直线为转轴 . 需要一个独立变量φ3.平面平行运动 : 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动 : 刚体中一点不动 , 刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动 : 平动 +转动§3.2角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示 , 右手法确定其方向 . 有向线段不一定是矢量 , 必须满足平行四边形法则 , 对定点转动时 , 不能直接推广 , 因不存在固定轴 .ωlim n dnt dt 刚体在 dt 时间内转过的角位移为d n，则角速度定义为t 0角速度反映刚体转动的快慢。
Q dr dn r , v dr ωr线速度与角速度的关系：dt§3.3刚体运动微分方程一、基础知识1. 力系：作用于刚体上里的集合。
机器人学 第二章运动学
A A B P B R P
B 用旋转矩阵 A R 表示坐标系{B}相对
A 于{A}的方位。同样，用 B R 描述坐标系
{A}相对于{B}的方位。二者都是正交矩 阵，两者互逆。
B A A 1 A T R B R B R
14
第二章 机器人运动学
§2.3 映射—坐标变换
Example: Frame {B} is rotated relative to frame {A} about Z by 30 degrees. Here Z is pointing out of the page. Writing the unit vectors of {B} in terms of {A} and stacking them as the columns of the rotation matrix:
这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置
ˆT AX B A A T A A ˆT ˆ Aˆ Aˆ B R B R YB X B YB Z B I 3 A ˆT ZB
A B
B 1 B T R A R A R
10
第二章 机器人运动学
9
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
进一步观察 因为
B A
，可以看出矩阵的行是单位矢量 {A}在 {B}中的描述.
R 为坐标系{A}相对于 {B}的描述
ˆT BX A A A ˆ Aˆ A ˆ B ˆT B R X B YB Z B YA B ˆT ZA B A T R B R 由转置得到 A
1
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
B 用旋转矩阵 A R 表示坐标系{B}相对
A 于{A}的方位。同样，用 B R 描述坐标系
{A}相对于{B}的方位。二者都是正交矩 阵，两者互逆。
B A A 1 A T R B R B R
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第二章 机器人运动学
§2.3 映射—坐标变换
Example: Frame {B} is rotated relative to frame {A} about Z by 30 degrees. Here Z is pointing out of the page. Writing the unit vectors of {B} in terms of {A} and stacking them as the columns of the rotation matrix:
这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置
ˆT AX B A A T A A ˆT ˆ Aˆ Aˆ B R B R YB X B YB Z B I 3 A ˆT ZB
A B
B 1 B T R A R A R
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第二章 机器人运动学
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第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
进一步观察 因为
B A
，可以看出矩阵的行是单位矢量 {A}在 {B}中的描述.
R 为坐标系{A}相对于 {B}的描述
ˆT BX A A A ˆ Aˆ A ˆ B ˆT B R X B YB Z B YA B ˆT ZA B A T R B R 由转置得到 A
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第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
理论力学08刚体的基本运动
[例5] 图示仪表机构中，已知各齿轮齿数 z1 = 6、z2 = 24、z3 = 8、 z4 = 32，齿轮 5 的啮合圆半径 R = 4 cm。如齿条 AB 下移1 cm，试 求指针 OC 转过的角度。
解： 轮 5 转过的角度
5
1 4
轮 4 转过的角度
4
5
1 4
轮 3 转过的角度
3
4
i43
z4 z3
aMn
a
n A
π202l
16
cos
2
πt 4
aMt 0
aM
aMn
π202l
16
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转动方
程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索缠绕在鼓
轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时，轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例1] 杆AO 套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运动。 已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平距离 l =
400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆AO 的角速度和角
加速度。
解： 杆AO 的转动方程
arctan
BB0 OB0
第二节 刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程
t
说明：1）转角 为代数量，正负号表示
转向，一般可按右手螺旋法则 确定。
2）转角 的单位：rad（弧度）
z
A A0
二、绕定轴转动刚体的角速度
d
dt 说明：1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数
量，其正负号表示转向，角速度 的正 负号规定与转角 一致。 2）角速度 的单位：rad/s 3）角速度 与转速 n (r/min) 的换算关系
机器人操作的数学导论——机器人动力学1
2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：
工业机器人运动学-1数学基础
则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为
第五章 刚体的基本运动
齿数z1=24；齿轮Ⅱ的齿数为z2=96；齿轮Ⅲ和Ⅳ用链条传动，齿数 各为z3=15和z4=45，轮Ⅴ的直径D=460mm。试求输送带的速度。 解(1)计算轮Ⅰ的角速度和轮系的传动比
1
i12
π n1 π 1200 40π rad/s 30 30
i34
1 z 2 2 z1
解：1、运动分析 荡木作平动 ，荡木上各点的轨迹为半径为l的圆弧。 2、求A点的速度、加速度
规定弧坐标s向右为正，则点A的运动方程为
s l l 0 sin
π t 4
π s l l 0 sin t 4
任一瞬时t点A的速度、加速度为
当t=0时， 0
π l 0 π vs cos t 4 4 π 2 l 0 π a v sin t 16 4 2 v 2 v 2 π 2 l 0 2π an cos t l 16 4
2. 角速度和角加速度
角速度
角加速
单位为rad/s(弧度/秒)。
单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢， 角速度与转速之间的关系是：
2π n π n 60 30
二、转动刚体内各点的速度和加速度 1. 以弧坐标表示的点的运动方程
0
s R
2．点的速度
v s R R
转动刚体内任一点的速度，其大小等于转动 半径OM与刚体角速度的乘积，方向沿轨迹的切线， 指向刚体转动的一方。
速度分布图
3．点的加速度
1
i12
π n1 π 1200 40π rad/s 30 30
i34
1 z 2 2 z1
解：1、运动分析 荡木作平动 ，荡木上各点的轨迹为半径为l的圆弧。 2、求A点的速度、加速度
规定弧坐标s向右为正，则点A的运动方程为
s l l 0 sin
π t 4
π s l l 0 sin t 4
任一瞬时t点A的速度、加速度为
当t=0时， 0
π l 0 π vs cos t 4 4 π 2 l 0 π a v sin t 16 4 2 v 2 v 2 π 2 l 0 2π an cos t l 16 4
2. 角速度和角加速度
角速度
角加速
单位为rad/s(弧度/秒)。
单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢， 角速度与转速之间的关系是：
2π n π n 60 30
二、转动刚体内各点的速度和加速度 1. 以弧坐标表示的点的运动方程
0
s R
2．点的速度
v s R R
转动刚体内任一点的速度，其大小等于转动 半径OM与刚体角速度的乘积，方向沿轨迹的切线， 指向刚体转动的一方。
速度分布图
3．点的加速度
物理刚体的转动
例题
均匀圆环 ： m i
JC mi R R
2
2
m
i
C R
J C mR
2
例题
均匀圆盘：
m dm ds 2 R ds 2rdr
2 R 0
面密度rJ 源自 dm r 2 2 rdr R4
2
1 2 mR 2
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
J
r
2
dm
转动惯量与下列三个因素有关：
⑴形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 ⑵总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ⑶同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转 动惯量不同。
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia 例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系通过A点和O点，且垂直于 三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
4、刚体的一般运动
A r 1
A' B r 2
o1
o2
B'
刚体的一般运动可看作 是平动和转动的叠加
5、角速度矢量：
z
, α
v
angular velocity vector
刚体作定轴转动时，各质元 的线速度、角加速度一般是 不同的，但由于各质元的相 对位置保持不变，所以描述 各质元的角量，如角位移、 角速度、角加速度都是一样 的。因此描述刚体的整体运 动时，用角量最为方便
⑶ v R 78.5m s
1
a R an R 2
2 a a2 a n 6.16 m s 1
06第二章 刚体基本运动
0 53
vx vy vz 10 3 15 10
75 3i 200 j 75k
a
at
an
( 15π 2
75
3)i 200 j 75k
例 设有一组坐标系 O x y z 固结在刚体T 上，并随同
该刚体绕固定轴 z 以角速度 转动，如图所示。试证明:
di ω i , dj ω j , dk ω k
A B
j
j 是代数量，用右手螺旋定则来确定转角的正负号
从 z 轴的正向往负向看去，逆时针转向为正，反之为负。
2、角速度和角加速度
角速度:
v
j rad/s
角加速度:
j rad/s2
A
角速度和角加速度也是代数量.
B 角速度和角加速度同号时，加速转动.
j
在工程中，可以用转速 n 来表示转动快慢程度.
lj0
sin
π 4
t
o1
jl
A
o
o2
l
M
B
vM
vA
ds dt
π 4
lj0
cos
πt 4
aMt
aAt
dvA dt
π2 16
lj0
sin
πt 4
t=2s时:
vM 0
aMt
π2
16
lj0
aMn
aAn
vA2 lBiblioteka π2 16lj02
cos2
πt 4
aMn 0
§2-2 刚体的定轴转动
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二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换 对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ ∈R，使R=exp((w)^θ )
定理2.4 任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ ∈[0,2π ] 该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。
定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换
上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚 体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：
对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动， 每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
se(3)中的元素 称为运动旋量
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
0
式中(a)^
a3
a3 a2
0
a1
a2 a1 0
后面常用符号â来代替(a)^
引理2.1 对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质 R(v×w)=(Rv) ×(Rw) (两矢量叉积的旋转=旋转的叉积） R(w)^RT=(Байду номын сангаасw)^
定理2.2 旋转运动是刚体变换 旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换
三、三维空间中的刚体运动
如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)
记为式1
三、三维空间中的刚体运动
3.1 齐次坐标法
那么齐次坐标表示为
刚体变换的组合将构成新的变换：
定理2.5 SE（3）中的元素表示刚体运动
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
首先定义一个群se(3)：
二、三维空间中的旋转运动
群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。
物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵
可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。
旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc
上式称为旋转的合成法则
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
上式对任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：
定理：旋量运动与旋量是一一对应 的 对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量
ξ ，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量Mξ 产生。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
定理(Chasles定理) 任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行 于该 轴的移动实现。
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵对点的最用： 对坐标系B中的点qb(xb yb zb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb
旋转矩阵对矢量的作用： 对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va
二、三维空间中的旋转运动
两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b
对于任意矢量 v,w R3 ,均有g (v w) g (v) g (w)
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵：
Rab=[xab yab zab] 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 旋转矩阵性质：
设R R3×3为旋转矩阵，则：
① RRT=I ② detR=+1 (右手坐标系） 将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可 用旋转矩阵表示刚体变换
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位 矢量，θ ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：
R(w, ) ewˆ
通过数学方法可以得到：
ewˆ I wˆ sin wˆ 2 (1 cos )
当||w||≠1时，上式可修正为：
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：
简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
两四元数内积：
给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转 描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。
旋量运动：
旋量包括轴l、节距 h及大小M。旋量运动 表示绕轴l旋转M=θ再沿 与l平行的方向移动hθ。 如果h=∞,那么相应的旋 量运动即为沿旋转轴移 动距离为M的平动。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
分析右图点p的运动， p点最终位置坐标为：
齐次坐标表示为
三、三维空间中的刚体运动
刚体运动
一、刚体变换 二、三维空间中的旋转运动 三、三维空间中的刚体运动
一、刚体变换
刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。 刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。
刚体变换：
满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换： 1)长度不变：
对任意点 p, q R3,均有 g( p) g(q) p q 2）叉积不变：