机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)
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(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)
第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动§3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.ω = lim ∆n=d n刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为角速度反映刚体转动的快慢。
∆t →0 ∆t dt线速度与角速度的关系：d r =d n ⨯r , ∴ v =d rdt=ω ⨯rF 1 F ⨯ M§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
第二章 刚体的基本运动
ω
角加速度矢ε
dω d (ωk ) ε εk dt dt
结论：角加速度矢ε为角速度矢ω对时间的一阶导数。 二、点的速度和加速度
点的速度矢
v = ×r 结论：绕定轴转动的刚体内任
M
R
z
O
v = ×r
一点的速度矢等于刚体的角速
度矢与该点矢径的矢积。
r A
点的加速度矢
dv d (ω r ) dω dr a r ω ε r ω v dt dt dt dt at= ×r ——切向加速度
φ(t ) φ(0) ωt
角速度ω（rad/s）与转 速n（r/min）的关系：
ε t2 φ(t ) φ(0) ω(0)t 2
由上述两式消去t得
2 ( t ) (0) 2 [ (t ) (0)] 2
2πn ω 0.1n 60
【例2-1】图示机构中套筒A套在摇杆O2B上并与曲柄 O1A以销钉连接。当O1A转动时通过套筒A带动O2B 杆 左右摆动。设O1A杆长为 r并以匀角速转动。设t=0 时O1A杆位于铅垂位置，写出O2B杆的转动方程并求 出其角速度及角加速度。 O1 【解】1）求O2B杆的转动方程 B 在三角形O1O2A中，由正弦定理知 l A r sin θ sin φ sin[π (φ θ )] φ arct an r l l r cos θ r sin ωt O2 arct an l r cos ωt 2）求O2B杆的角速度
它是一个代数量。
2
弧度/秒，用符号rad/s表示。 若ε与ω同号，表示加 速转动，异号则表示 它是一个代数量，符号规 减速转动。 定与转角符号规定一致。
四、两类特殊转动
第1章机器人数学基础资料
y2 y0
O2 x2
z1
O1
z2
x0
x1
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 0 1 10
T20
1 0
0 1
0 0
20
0
0 0 0
1
y1
z0
O0
y2 y0
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2 T10
1 0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
x0
x1
当S2是沿动系运动时用T2右乘 T10
第二种情况：沿基系S0运动
y1
z0
S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10
y2
O0
y0
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0 y1 0
0
1
y2
z0
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
O0
齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3）
w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没 有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和 方便性。 坐标轴的方向表示： i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的 单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
3机器人运动学的数学基础
A点的旋转齐次变换为 ������′������ ������������������������ ������′������ = ������������������������ 0 ������′������ 0 1 −������������������������ ������������������������ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ������������ ������ ������ ������������ 1
3、机器人运动学的数学基础
齐次坐标下的平移变换
空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它平移至A点，坐标为(X为
������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ = ������ ������ + ∆������ ������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ 1 0 ������′������ = 0 1 0 0 ������′������ 0 0 1 0 ∆������ 0 ∆������ 1 ∆������ 0 1 ������������ ������ ������ ������������ 1
机器人的姿态：
①机械手的最前端的姿态，可以用三个旋转的角度来表现 ②姿态的表示常使用欧拉角或横滚角、俯仰角、偏转角
欧拉角（Z-Y-X）
欧拉角是每次沿着运动坐标系的各轴旋转而不是绕固定坐标系的 各轴旋转，这样三个一组的旋转被称作欧拉角。注意：每次旋转所 绕的轴的方向取决于上次旋转后的结果。
横滚角、俯仰角、偏转角
注意：矩阵相乘不具备可交换性，应注意变换顺序
ri = pij + Rij rj
机器人操作的数学导论——机器人动力学1
2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：
工业机器人运动学-1数学基础
方向平移一个单位距离，构成平面 p，则
0
x x
y y
p = [ 0 0 1 -1]
图1.2 平面的描述
即 a = 0, b = 0, c = 1, d = -1, m = a2 + b2 + c2 = 1
平面p上任一点v为 v = [ x y 1 1 ]T，它与平面p的点乘为零，即 p • v = 0
第三章 工业机器人运动学
教学ppt
1
引言
要实现对工业机器人在空间运动轨迹的控制， 完成预定的作业任务，就必须知道机器人在空间瞬 时的位置与姿态。如何计算机器人手部在空间的位 姿是实现对机器人的控制首先要解决的问题。本章 讨论机器人运动学的基本问题，将引入齐次坐标变 换。推导出坐标变换方程；利用DH参数法，进行机 器人的位姿分析；介绍机器人正向和逆运动学的基 础知识。
经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为
q ·v = p H-1 ·H u ＝ p ·u
（ 1.9）
与变换前平面p与点u的点乘相等，证明了变换的等效性。
教学ppt
9
1.4 平移变换（Translation transformation）
用向量 h ＝ a i + b j + c k 进行平移，其相应的H变换矩阵是
平面p上方任一点v，如 v = [ 0 0 2 1 ]T，它与平面p的点乘为一个正数，即 p • v = 1
平面p下方任一点v，如 v = [ 0 0 0 1 ]T，它与平面p的点乘为一个负数，即 p • v = -1
注意：平面 [ 0 0 0 0 ] 无定义。
教学ppt
8
1.3 变换(Transformation)
（1.1）
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
机器人导论第5章 速度和静力
B
VQ 0
既然它相对于 {B} 不变，显然从坐 标系 {A} 中看点 Q 的速度为旋转角 速度A B。为求点Q的速度，可用一 个直观的方法。图 5-5 所示为用两 个瞬时量表示矢量Q绕 A B 的旋转。 这是从坐标系{A}中观测到的。
由图5-5，可以计算出这个从坐标系{A}中观测到的矢量的方向和 大小的变化。第一，显然 AQ的微分增量一定垂直于 A B和 AQ ；第 二，从图5-5可以看出微分增量的大小为
位置矢量的微分
速度是需要研究的基本问题，可用下面符号表示某个矢量的微分：
B B Q t t Q t d B B VQ Q lim t 0 dt t
像其他矢量一样，速度矢量能在任意坐标系中描述，其参考坐标 系可以用左上标注明。因此，如果在坐标系{A}中表示式（5-1） 的速度矢量，可以写为：
i 1 在方程式（5-43）两边同时左乘 i R 度相对于坐标系{i+1}的表达式：
，可以得到连杆i+1的角速
i 1
ˆ i1 ii1Rii i 1 i1Z i 1
（5-45）
坐标系 {i+1} 原点的线速度等于坐标系 {i} 原点的线速度加上一个 由于连杆i的角速度引起的新的分量。这与式（5-13）描述的情况 完全相同。由于 i Pi 1 在坐标系{i}中是常数，所以其中一项就消失 了。因此有
EZ Y Z Z Y Z Z Y Z
例5.2 构造E矩阵，表示Z-Y-Z欧拉角与角速度矢量的关系，即求 式（5-41）中的EZ’Y’Z’。
应用式（2-72）和式（5-40），通过必要的符号微分，可以得到
EZ Y Z 0 s 0 c 0 1 c s s s c
VQ 0
既然它相对于 {B} 不变，显然从坐 标系 {A} 中看点 Q 的速度为旋转角 速度A B。为求点Q的速度，可用一 个直观的方法。图 5-5 所示为用两 个瞬时量表示矢量Q绕 A B 的旋转。 这是从坐标系{A}中观测到的。
由图5-5，可以计算出这个从坐标系{A}中观测到的矢量的方向和 大小的变化。第一，显然 AQ的微分增量一定垂直于 A B和 AQ ；第 二，从图5-5可以看出微分增量的大小为
位置矢量的微分
速度是需要研究的基本问题，可用下面符号表示某个矢量的微分：
B B Q t t Q t d B B VQ Q lim t 0 dt t
像其他矢量一样，速度矢量能在任意坐标系中描述，其参考坐标 系可以用左上标注明。因此，如果在坐标系{A}中表示式（5-1） 的速度矢量，可以写为：
i 1 在方程式（5-43）两边同时左乘 i R 度相对于坐标系{i+1}的表达式：
，可以得到连杆i+1的角速
i 1
ˆ i1 ii1Rii i 1 i1Z i 1
（5-45）
坐标系 {i+1} 原点的线速度等于坐标系 {i} 原点的线速度加上一个 由于连杆i的角速度引起的新的分量。这与式（5-13）描述的情况 完全相同。由于 i Pi 1 在坐标系{i}中是常数，所以其中一项就消失 了。因此有
EZ Y Z Z Y Z Z Y Z
例5.2 构造E矩阵，表示Z-Y-Z欧拉角与角速度矢量的关系，即求 式（5-41）中的EZ’Y’Z’。
应用式（2-72）和式（5-40），通过必要的符号微分，可以得到
EZ Y Z 0 s 0 c 0 1 c s s s c
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定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换
上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚 体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：
简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
两四元数内积：
给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转
描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。
对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动， 每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
se(3)中的元素 称为运动旋量
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可 用旋转矩阵表示刚体变换
二、三维空间中的旋转运动
群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。
物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。 旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc 上式称为旋转的合成法则
刚体运动
一、刚体变换 二、三维空间中的旋转运动
三、三维空间中的刚体运动
一、刚体变换
刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的移（平动与转动）。
刚体变换： 满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换： 1)长度不变： 3 对任意点 p, q R , 均有 g( p) g(q) p q 2）叉积不变：
0 式中(a )^ a3 a 2 a3 0 a1 a2 a1 0
后面常用符号â来代替(a)^ 引理2.1 对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质
R(v×w)=(Rv) ×(Rw) (两矢量叉积的旋转=旋转的叉积）
R(w)^RT=(Rw)^ 定理2.2 旋转运动是刚体变换 旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
上式对任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：
定理：旋量运动与旋量是一一对应 的 对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量 ξ ，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量Mξ 产生。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
定理(Chasles定理) 任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行 于该 轴的移动实现。
三、三维空间中的刚体运动
如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)
记为式1
三、三维空间中的刚体运动
3.1 齐次坐标法
那么齐次坐标表示为
刚体变换的组合将构成新的变换：
定理2.5 SE（3）中的元素表示刚体运动
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
首先定义一个群se(3)：
旋量运动： 旋量包括轴l、节距 h及大小M。旋量运动 表示绕轴l旋转M=θ再沿 与l平行的方向移动hθ。 如果h=∞,那么相应的旋 量运动即为沿旋转轴移 动距离为M的平动。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
分析右图点p的运动， p点最终位置坐标为：
齐次坐标表示为
三、三维空间中的刚体运动
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵对点的最用： 对坐标系B中的点qb(xb yb zb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb 旋转矩阵对矢量的作用： 对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va
二、三维空间中的旋转运动
两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换 对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ ∈R，使R=exp((w)^θ ) 定理2.4 任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ ∈[0,2π ] 该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。
对于任意矢量 R 3 , 均有g (v w) g (v) g (w) v,w
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵： Rab=[xab yab zab] 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 旋转矩阵性质： 设R 3×3为旋转矩阵，则： R ① RRT=I ② detR=+1 (右手坐标系）
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位 矢量，θ ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：
R(w, ) e
通过数学方法可以得到：
ˆ w
ˆ ˆ ˆ e w I w sin w2 (1 cos )
当||w||≠1时，上式可修正为：