3.4基本不等式(第一课时)
“基本不等式”(第一课时)教案
基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
高中数学课件：第三章 3.4 基本不等式 第一课时 利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式
b≥2 ab(a>0，b>0)，求a＋b的最小值时，必须注意三个条 件：一是a，b均为正数；二是ab为常数；三是等号必须取 到，三者缺一不可．
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(2)基本不等式求最值时的凑配技巧： 在利用基本不等式求函数或代数式的最值时，有时不 一定恰好能用上基本不等式，因此还必须对所给的函数或 代数式进行变形整理，通过凑项的方法(一般是凑和或积 为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解．
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[自主解答]
1 1 n 法一：∵ ＋ ≥ ，且a>b>c， a－b b－c a－c
a－c a－c a－c2 ∴n≤ ＋ ＝ . a－b b－c a－bb－c
a－c2 ∵对a、b、c上式都成立，∴n≤ a－bb－cmin
a－c2 a－c2 ≥ ＝4. a－bb－c a－b＋b－c2 2 ∴n≤4.∴n的最大值为4.
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2＋x2y2－2xy 2 ＝ ＝(xy＋xy)－2 xy ≥2 2 xy－2＝2( 2－1)． xy·
即z的最小值为2( 2－1)．
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[错因]
错解过程中犯了严重的错误．由题意1＝x＋
1 2 y≥2 xy得0＜xy≤ 4 ，而此解题过程中等号成立的条件为 xy ＝ 1 xy，即xy＝ 2 ，显然与0＜xy≤ 4 相矛盾．因此，在利用基本 不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件要求，否则就 会导致解题错误．
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[通一类] x y 2．已知x>0，y>0，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为 ________．
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x y x y 解：∵3＋4＝1，∴1＝3＋4≥2
xy 3 12＝ 3 xy.
x y 1 3 ∴ xy≤ 3，当且仅当3＝4＝2即x＝2，y＝2时等号成立． ∴xy≤3.
人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计
人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。
a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
3.4 基本不等式ab≤a+b2 (一)
1
鸡西市第十九中学高一数学组
探究 下面是基本不等式 ab≤
a＋b 的一种几何解释，请你补充完整． 2
如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上 半圆于点 D，连接 AD，BD.由射影定理可知，CD＝ ，而 OD＝ ， a＋b 因为 OD CD，所以 ab,当且仅当 C 与 O ，即 时,等号成立． 2 【探究点二】基本不等式的拓展 a＋b 2 问题 当 a>0，b>0 时， ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 请你给出证明．
1 1 n 例 3 a>b>c，n∈M 且 ＋ ≥ ，求 n 的最大值． a－b b－c a－c
小结 一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则 a>f(x)，x∈D 恒成立⇔a>f(x)max； a<f(x)，x∈D 恒成立⇔a<f(x)min.
3
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学高一数学组
鸡西市第十九中学学案
2018 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
3.4 学习 目标 重点 难点
基本不等式 ab≤ 2
a＋b
(一)
1．理解基本不等式的内容及证明． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 1．应用基本不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式 a2＋b2≥2ab 只 a＋b 要求 a、b 是实数，而公式 ab≤ 强调 a、b 必须是非负数． 2
2
鸡西市第十九中学高一数学组
例 1 已知正数 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋b，2 ab，2ab，a2＋b2，其中最大的一个 是( ) 2 A．a ＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
3.4基本不等式(第一课时)
1 当且仅当x 3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为5。
巩固练习
1. 已 知x 1,则x 1 3 此 时x _____ 的 最小 __ 值 为____, . 2 x 1
解：设两直角边分别为a、 b ，则
S 1 ab 50 即 2
ab 100
a b 2 ab 20 当且仅当 a b 10 时等号成立，
a b有最小值 20.
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
a 2ab b 0源自一般地，对于任意实数 a , b ，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当
a b 时等号成立
二、新课讲解
1.思考:如果当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到什么结论?
a b 2ab
3.4基本不等式: （第一课时）
ab ab 2
一、复习回顾
1. a __0 2 2. (a b) __0 2 2 2 a 2ab b . 3. (a b) __________
2
问题1： 上式1、2中什么时候等号成立？ 问题2：通过2与3可以得到什么结论？ 2 2
1 ( 2)若x 3,函 数y x ,当x为 何 值 时 ， x3 函 数 有 最 值 ， 并 求 其值 最。
《基本不等式(第1课时)》教学设计
课题：基本不等式（第1课时）一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系.认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况，符合学生的认知规律．学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的“最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题．同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容．教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程．有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一．《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……”、“还应注重提高学生的数学思维能力”．本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识．二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A 版《数学（必修5）》第三章 3.4基本不等式：2a b +≤的第1课时． “基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型．基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化．这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量．这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
基本不等式教学设计
就本节地位与作用而言，“基本不等式”是在学生学习了“不等式性质”的基础上对不等式的进一步研究与拓展，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、和归纳，是培养学生数学核心素养的良好载体。
就本节教材编写而言,教材一开始以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，意图让学生从中抽象出基本不等式，并在此基础上分别从代数和几何的角度引导学生认识基本不等式，并设计了两个实际问题，让学生感受基本不等式的应用价值。
本节课是基本不等式的第一课时，主要应为基本不等式的形成与证明，并为下课时的应用奠定基础。
问题一：你还记得利用“赵爽弦图”证明勾股定理的过程吗？问题二：你能在弦图中找出面积间的不等关系吗？
归纳：对于两直角边a、
探究四：抽象归纳、几何证明
D 篱笆最短，最短的篱笆是多少？
总结：和定积最大，积定和最小
探究六：反思总结、形成方法
问题：我们本节课学习了哪些知识与方法？预设结论：
1、重要不等式
基本不等式。
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学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛，是交于学生学 好数学和用好数学的好素材。 三、教学策略分析：
本节课地位很重要，鉴于这种情况，运用探究式教学方法较为合理，通过教 师适当的引导，让学生逐步体会到数形结合的神奇，并能正确的证明基本不等式， 解决实际问题，总结出“一正二定三相等”这一基本条件，并通过一些例子加深 学生对于这三个条件的认识。最后教师总结运用基本不等式解决问题策略的构 建。学生在教师的指导下，能够对课程内容进行总结和梳理，将知识形成一个网 络体系，并且能够运用基本不等式解决一些简单的实际问题。 四、教学手段
a1 2 a
从基本不等式可以生产许多其他的不等式，其 “基本”二字可见一斑。
3.名称
a b 称为两个正数的算术平均值 2
ab 称为两个正数的几何平均值
所以重要不等式也称为：两个数均值不等式
思考：均值不等式拓展为 3 个数或 n 个数时，会是
从而得到重要不等式：
若 a,b R ，则 a2 b2 2ab （当且仅当 a b 时，等
号成立）
探究：若重要不等式的左边变为 a b ，那不 等式右边会变成什么结构？ 将重要不等式左边的式子用 a 去代换 a 2 ， b 去代换
b2 ，那么能够得到：
若 a,b R ，则 ab a b （当且仅当 a b 时，等 2
学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式
的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导
和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和
探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标
1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和 代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维 过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；
b
总结：矩形面积小于或等
于两个三角形面积之和，
a
b 当两个三角形面积相等时
取等号。
a
数学表达式：
设计一 个学生容易 操作的动手 活动，让学 生从动手中 感知数学原 理，从探究 中发现数学 原理。
通过学生自 己动手，引导 引导学生学 会从几何图 形向代数表 达式的转化， 得出重要不 等式的表示 形式，渗透数 形结合的数 学思想，并让 学生学习归 纳总结，激发 学生对学习 新知识的兴 趣（2） a b R , a2 b2 2ab
强调不等式成立的条件
a
当且仅当 a=b 时取等
b
（二）均值不等式的形成
教学过程设计
学生活动
设计意图
由 你能证明上面的不等式吗？
特 证明不等式 a,b R , a2 b2 2ab
殊 用差比法
a2 b2 2ab a b2
到
a b2 0
号成立） 这个不等式称为：基本不等式
基本不等式的认识：
1.结构
(1)左边是和，右边是“积”，实现和与积的互化
(2)不等式的使用条件：两个正数 (3)不等式取等条件：两个数相等 2.形式
通过观察、对 比认识基本 不等式。
（1）不等式自身的形式变换 （2）不等式中的 a,b 可以替换成其他为正的代数式
2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体 会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数 学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值 问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高 中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性 质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛， 条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数
本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基
础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探
究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中
应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式
是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数
3.4 基本不等式：
ab a b （第一课时）
2
教学设计
一、教学内容解析
（一）教材的地位和作用
本节课是人教版《数学》必修 5 第三章第四节（第一课时），基本不等式是 高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最 基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、 二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时 基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。
例如： 当 a 0,b 0 时，
a
b
2
ab
2
当 a 0,b 0 时，用 1 , 1 分别取代换 a2 , b2 可 ab
以得到：
通过对基本不 等式的结构、 形式等方面的 认识，让学生 对基本不等式 对有更深刻的 了解，并且突 出本节的重 点。
11 2 a b ab
当 a 0,b 0 时，用 a, 1 代换 a2 , b2 可以得到： a
一
a2 b2 2ab
般 问：何时取等？
学生自己动 手证明不等 式。
让学生对于通 过实例得到的 不等式进行证 明，一方面复 习前面的知 识，另一方面
当a b时，取等号
旨在培养学生 严谨的数学思
问：你在证明过程中发现什么？
维，及由特殊
到一般的数学
对于不等式 1，其中成立的条件可以改为：
思想。
a,b R
采用多媒体辅助教学。 五、教学过程
（一）均值不等式的引入
教学过程
学生活动
设计意图
课堂活动 1.请学生按照 2 人一个小组，4 人一个大组的方 式进行分组。 .将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个 等腰直角三角形。
3.将两个三角形斜边相对进行组合拼接。
4.从面积角度考察你所得到的图形中的不等关 系？