3.1两角和与差的三角函数同步练习及答案解析
建议用时 45 分钟
实际用时
满分 100 分
实际得分
一、填空题 ( 每小 题 5 分，共 30 分 )
1．计算 sin 43 °cos 13 °－ cos 43 °sin 13 °
的结果等于
.
2．若 cos ＝－ 错误！ 未 找到引用源。 ，sin
3
3π <.
4
33 ∴4π <4π ＋
<π
，－
π 2
<π 4
－
<0.
3π
5
π
3
又已知 sin( ＋ ) ＝ ， cos( － ) ＝ ，
4
13
4
5
3π ∴cos ( ＋
12 ) ＝－ ， sin(
π－
4 ) ＝－ .
4
13
4
5
π ∴cos( ＋ ) ＝ sin[ 2 ＋ ( ＋ )]
3π
π
＝sin[( 4 ＋ ) － ( 4 － β )]
25 4.
5
3 10 解析 ：∵ sin B ＝ 10 ，∴ sin C ＝ sin(A ＋ B) ＝ sin Acos B
2 ＋ cos Asin B ＝ 2 ×
10＋ 3 10 10 10
25 ＝.
5
5. cos
解析
：
π cos(
＋
)＋ sin( π ＋
)
3
6
π ＝cos 3 cos
π － sin 3 sin
10. （ 15 分）已知 cot 2, tan( tan( 2 ) 的值 .
2
)
，求
3
一、填空题
1．
2
二、解答题
7.
3.1 两角和与差的三角函数（数学苏教版必修 4）
答题纸
得分：
．
3
．
4
．
5
．
6
．
8. 9.
10.
3.1 两角和与差的三角函数（数学苏教版必修 4）
答案
一、填空题
1
1
1. 2 解析 ：sin 43 °cos 13 °－ cos 43 °sin 13 °＝ sin(43 °－ 13°) ＝sin 30 °＝
5
＋ ) 的值．
3
5
π
3
8. （ 20 分）若 sin( 4π ＋ ) ＝ 13，cos( 4 － ) ＝ 5，
π
3
且 0< < 4 < <4π ，求 cos( ＋ ) 的值．
9． (20 分 ) 已知函数 f(x) ＝ sin(x ＋ θ ) ＋ cos(x － θ ) 的定义域为 R.
(1) 当 θ ＝ 0 时，求 f(x) 的单调递增区间； (2) 若 θ ∈ (0 ，π ) ，且 sin x ≠0，当 θ 为何值 时， f(x) 是偶函数？
π ＋ sin 6 cos
π ＋ cos 6 sin
1 ＝ 2cos
3 － 2 sin
1 ＋ 2cos
3 ＋ 2 sin
＝ cos 6. 3
.
1
3
解析 ： y＝ cos x ＋ cos x － sin x
2
2
3
1
＝ 3 ( cos x sin x)
2
2
π ＝ 3sin ( x) ,
3
故最大值是 3. 二、解答题
2.
3 2.
2
解析 ： sin(
＋ ) ＝sin
cos ＋ c＝ 2 ， cos
＝
1 sin 2
1 ＝ 2，∴ sin(
3 ＋ )＝ 2 .
3. 1 解析： a· b＝2sin 35°cos 5°－ 2cos 35°sin 5°＝ 2sin(35 °－ 5°) ＝ 2sin 30°＝ 1.
7. 解： ∵ 为 锐角， sin
3 ＝ 5，∴ cos
4 ＝5.
4 ∵cos( π ＋ ) ＝－ 5，∴ cos
4 ＝ 5.
又 为第四象限角，∴ sin
3 ＝－ 5，
∴si n( ＋ ) ＝ sin cos ＋ cos sin
3 44
3
＝5× 5＋ 5×( － 5) ＝ 0.
8． 解： ∵ 0<
<π < 4
π
3π
＝－ 2 ， ∈( 2 ，π ) ， ∈ ( 2 ，2π) ，则 sin(
＋ β ) 的值是 .
3. 已知 a =(2sin 35° ,2cos 35° ) ，b =(cos 5° ,
－ sin 5° ) ，则 a· b＝
.
π
10
4. 在△ ABC中， A＝ 4 ， cos B ＝ 10 ，则 sin C
＝
.
5． 化 简
： cos(
π 3
＋
) ＋ sin(
π 6
＋
)＝
________.
6 ． 函 数 y ＝ cos x ＋ cos (x
__ ______．
π ) 的最 大值 是
3
二、解答题 ( 共 70 分 )
7．（ 15 分）已知
为锐角， sin
3 ＝ 5， 是第
4 四象限角， cos( π ＋ ) ＝－ . 求 sin(
2
4
2
3
π
即 2kπ － 4π ≤ x≤２kπ ＋ 4 (k ∈ Z) 时， f(x) 是增函数 ,
∴f(x) 的单调递增区间是
[ 2kπ
3π, 2kπ
π
] (k
∈Z) ．
4
4
(2) 由 f(x) 是偶函数，得 f( － x) ＝ f(x),
∴sin( － x＋ θ ) ＋ cos( － x－ θ ) ＝ sin(x ＋ θ ) ＋ cos(x － θ ) ．
3π ＝sin( 4 ＋
)cos(
π 4
－
β
)
－ cos(
3π 4
＋
)sin(
π 4
－
β
)
53
12
4
＝
13×
5－
(
－
) 13
×(
－
) 5
33 ＝－ .
65
9. 解： (1) θ ＝ 0 时， f(x)
＝sinx ＋ cosx ＝
2sin
x＋
π 4
.
当 2kπ － π ≤ x＋ π ≤２k π ＋ π (k ∈ Z) ，
∴sin(x ＋ θ ) ＋ sin(x － θ ) ＝ cos(x ＋ θ ) － cos(x － θ ) ．
∴2sin xcos θ ＝－ 2sin xsin θ .
∵sin x ≠0，∴ cosθ ＝－ sin θ .
π
π
∴ 2sin θ ＋ 4 ＝ 0， θ ＋ 4 ＝ kπ ， k ∈ Z.
3 又 θ ∈ (0 ， π ) ，令 k＝ 1，得 θ ＝ 4π ,
3 ∴当 θ ＝ 4π 时， f(x) 是偶函数．
1
10. 解： ∵
=2，∴ tan
tan
∴ tan( -2 )=-tan(2 - )
1
，
2 tan[(
)]
tan(
) tan
1．
1 tan(
) tan 8
数学必修4自主训练：3.1两角和与差的三角函数 含解析
自主广场我夯基我达标1.化简sin 1225πcos 611π-cos 1211πsin 65π的值是 …( ) A.22- B.22 C.-sin 12π D.sin 12π 思路解析：先用诱导公式将角转化一下再逆用公式即得.原式=-sin12πcos 65π+cos 12πsin 65π=sin(65π-12π)=sin 43π=22. 答案：B 2.tanx=2，则tan2(x-4π等于( ) A.34 B.34- C.43 D.43- 思路解析：tan(2x 2π-)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1, 而tan2x=4122-⨯=34- ∴原式=43-. 答案：C3.设a=21(sin56°-cos56°),b=cos50°cos128°-cos40°cos38°，c=21(cos80°-2cos 250°+1),则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>c 落C.c>a>bD.a>c>b思路解析：把a,b,c 化为同名三角函数值然后利用单调性可比较. a=22sin56°22-cos56°=sin(56°-45°)=sin11° b=-cos50°sin38°-sin50°cos38°=-sin88° c=21(2cos 240°-2cos 250°)=cos 240°-sin 240°=cos80°=sin10° ∴a>c>b答案：D4.化简cos72°cos36°=______.思路解析：将72°化为2×36°即可解决原式=4136sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =︒︒=︒︒︒=︒︒∙︒︒. 答案：41 5.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=_________.思路解析：逆用两角差的余弦公式可得，原式=cos(α-35°-25°-α)=c os(-60°)=21. 答案：21 6.已知cos(α+β)=54,cos(α-β)=54-,23π<α+β<2π，2π<α-β<π，求cos2α,cos2β. 思路解析：观察角的关系，可以发现2α=α+β+α-β，2β=(α+β)-(α-β).这是解决这一问题的关键. 解：∵23π<α+β<2π，∴sin(α+β)=53)54(12-=--. ∵2π<α-β<π，∴sin(α-β)=53. ∴cos2α=cos ［(α+β)+(α-β)］=25753)53()54(54-=⨯---⨯. cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=53)53()54(54⨯-+-⨯=-1. 7.计算：(tan10°-3sin40°.思路解析：将tan10°化为︒︒10cos 10sin 再计算 解：原式=(310cos 10sin -︒︒)sin40°=︒︒-︒10cos 10cos 310sin =sin40° =︒︒-01cos )50sin(2sin40°=︒︒︒-10cos 50cos 50sin 2=︒︒-=︒︒-10cos 10cos 10cos 100sin =1. 8.在△ABC 中，tanA+tanB+3=3tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 思路解析：判断三角形的形状就是找出边或角的关系. 解：由sinAcosA=43,得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°，∴A=30°或60°. 又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB),得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ， ∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°.即三角形为等边三角形.9.α,β都是锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β.思路解析：已知条件中的角是α,β,2α,2β，而要求的角是α,2β，所以可以先求α+2β的三角函数值.再求解.解：由题意,知3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β,3sin2α=2sin2β,即23sin2α=sin2β.∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α23-sinαsin2α 3sin 2αcosα-3sin 2αcosα=0.又∵0<α<2π,0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 我综合我发展 10.︒-︒︒-︒25cos 35cos 25sin 35sin 的值等于( ) A.33- B.3- C.33 D.3 思路解析：将35拆成30°+5°，25拆成30°+5展开化简.原式=︒︒-︒︒=︒-︒-︒+︒︒-︒-︒+︒5sin 30sin 25sin 30cos 2)530cos()530cos()530sin()530sin(=-cot30°=3-. 答案：B11.(2005天津高考，文17) 已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sinα及tan(α+3π). 思路解析：此题可由cos2α直接求出sinα，但要注意sinα的符号；或由sin(α-4π)展开求sinα-cosα，再与cos2α联立求sinα.解：由sin(α-4π)=1027,得22(sinα-cosα)=1027， 即sinα-cosα=57. ① 又由cos2α=257,得cos 2α-sin 2α=257， 即(cosα+sinα)(cosα-sinα)=257，∴cosα+sinα=51-. ② 由①②得sinα=53，cosα=54-.∴tanα=43-. tan(α+3π)=11325483341344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 12.设平面上有两向量a =(cosα,sinα)(0°≤α<360°)，b=(-21,23). (1)求证：两向量a +b 与a -b 垂直；(2)求当k a +b 与a -k b (k≠0)的模相等时α的值.思路解析：(1)可据a ·b =0⇔a ⊥b 证明；(2)可由条件及据|a |=|b |⇒a 2=b 2求出α的某种三角函数值.(1)证明：(a +b )·（a -b ）=|a |2-|b |2=cos 2α+sin 2α-［(-21)2+(23)2］=0, ∴a +b ⊥a -b .(2)解：由题意知(k a +b )2=(a -k b )2,整理得(k 2-1)(|a |2-|b |2)+4k a ·b =0.∵|a |=|b |,∴a ·b =0，即-21cosα+23sinα=0.∴sin(α-30°)=0. ∴α-30°=k·180°.又∵0°≤α＜360°,∴α=30°或210°.14.如图3-1-2，工人师傅要把宽是4 cm 和8 cm 的钢板焊接成60°角，下料时x 应满足什么条件？图3-1-2思路解析：可寻找关于x 的三角函数的某种关系，寻求x 满足的条件.解：由图可知∠CBD=60°，则∠ABD=60°-x.在△ABC 中，sinx=AB4，① 在△ABD 中，sin(60°-x)=AB8.② 由①②得x x sin )60sin(-︒=2，即sin(60°-x)=2sinx ， 23cosx-21sinx=2sinx.∴25sinx=23cosx ，∴tanx=53. ∴当x 满足tanx=53时，符合要求.。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知，，那么的值为________ ．【答案】【解析】因为=，所以===．【考点】角的配凑；两角差的正切公式2.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．3.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．4.若为锐角，且sin＝，则sin的值为________．【答案】【解析】 sin＝，为锐角，故，cos=,，故答案为：.【考点】两角和的正弦公式；三角函数求值.5.函数是( )A．周期为的偶函数B．周期为2的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为2的奇函数【答案】【解析】利用余弦和差角公式,化简函数式有,所以周期为.又因为.【考点】余弦和差角公式;周期公式.6. .【答案】【解析】根据两角和的正切公式可得，所以，所以.【考点】两角和的正切公式.7.在中，已知．（1）求角的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用正余弦的二倍角公式将化简得到，结合，进而得到的值，从中可确定的值；（2）先由角的大小及的值，结合正弦定理得到，进而由三角形的内角和定理算出，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形的面积计算公式即可求得的面积．试题解析：（1）因为，所以因为，所以，从而所以 6分（2）因为，，根据正弦定理得所以因为，所以所以△的面积 12分．【考点】1．正、余弦的二倍角公式；2．正弦定理；3．三角形的面积计算公式．8.= ．【答案】【解析】根据两角和的正弦公式：得：【考点】两角和的正弦公式9.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．10.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.11. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。
高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解
高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为( ) A ．1B.12C.22D.32[答案] C[解析] sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 3．(2010·吉林省质检)对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )< 2 B ．∃x ∈R ，f (x )< 2 C ．∀x ∈R ，f (x )> 2D ．∃x ∈R ，f (x )> 2[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴不存在x ∈R 使f (x )>2且存在x ∈R ，使f (x )＝2，故A 、C 、D 均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°. (理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B [解析] y ＝32cos2x －12x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π.(理)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92C.12D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A.17B ．－17C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.7．(文)(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. (理)(2010·杭州模拟)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C. 3D ．不存在[答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4tan(α＋β)＝tan π4＝1.9．(2010·全国新课标理，9)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12，故选A.[点评] 本题解题思路广阔，由cos α可求sin α，也可求sin α2及cos α2，从而求出tan α2.也可以利用和角公式将待求式变形为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．10．(2011·浙江五校联考)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] D[解析] 因为在三角形中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C 2＝cosC 2sin C2，而sin C＝2sin C 2cos C 2∵tan A ＋B 2sin C ，∴cosC2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C 2≠0，sin C 2>0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，∴C ＝π2，A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]，排除A 、C ；cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故选D. 二、填空题11．(2010·哈三中)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1[解析] tan(α＋β)＝tan(α＋β－π) ＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.12．(2010·重庆南开中学)已知等差数列{a n }满足：a 1005＝4π3，则tan(a 1＋a 2009)＝________.[答案] － 3[解析] 由等差数列的性质知，tan(a 1＋a 2009) ＝tan(2a 1005)＝tan 8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.13．(2010·山师大附中模考)若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13则tan(x ＋π3)的值是________．[答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)]＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29.14．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.三、解答题15．(2010·福建福州市)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin⎝⎛2x －π6－2cos 2x . (1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． [解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1得，－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]． 且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)(2010·辽宁锦州)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC →， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域．[解析] (1)由正弦定理有： |BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120°∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6，∴12<sin(2θ＋π6)≤1， ∴0<f (θ)≤16f (θ)的值域为(0，16]．17．(文)(2010·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，三角形ABC 的面积为S △ABC ＝25，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求BC 的长； (2)cos ∠BAD 的值． [解析] (1)由S △ABC ＝25得， 12|AC →||AB →|·sin ∠CAB ＝25 由AC →·AB →＝120得，|AC →|·|AB →|·cos ∠CAB ＝120，以上两式相除得， tan ∠CAB ＝512，∴sin ∠CAB ＝513，cos ∠CAB ＝1213， ∴|AC →||AB →|＝130，又∵|AB →|＝13，∴|AC →|＝10， 在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝102＋132－2×10×13×1213＝29，∴|BC →|＝29，即BC ＝29(2)∵cos ∠DAC ＝35，∴sin ∠DAC ＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(∠BAC ＋∠CAD ) ＝cos ∠BAC ·cos ∠CAD －sin ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35－513×45＝1665. (理)(2010·江西新余一中)已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x4－1＋1＝sin x 2＋cos x 2＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋1∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝⎛A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3，∴π4<A 2＋π4<7π12， 又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4≤1， ∴2<f (A )≤2＋1.。
两角和与差的三角函数 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册(2022年)
10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（ ）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（ ）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】 先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】 易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（ ） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-， 联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D【分析】 利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论． 【详解】 函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象， 故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（ ） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】 根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】 由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈， 所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确， 故选：CD.【点睛】 本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+， 由62x k ωππ+=π+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈， 由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】 化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】 原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35， 将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=， （2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=， 因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45， 将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=， 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π， 所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求 （1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】 （1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。
数学必修4达标训练：3.1两角和与差的三角函数 含解析
更上一层楼基础·巩固1.sin15°cos165°的值等于( ) A.41 B.-41 C.21 D.-21 思路解析：sin15°cos165°=sin15°cos(180°-15°)=-sin15°cos15° =-21(sin15°cos15°+cos15°sin15°)=-21sin30°=-41. 答案：B2.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m 且β为第三象限角，则cosβ为( ) A.21m - B.-21m - C.12+m D.-12-m思路解析：由题意知sin(α-β-α)=sin(-β)=m,∴sinβ=-m.又∵β为第三象限角，∴cosβ=-β2sin 1-=-21m -.本题也可用排除法，由β为第三象限角，排除A 、C,又m 2-1＜0，故选B ．答案：B3.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值是( )A.-1B.-51C.75D.71 思路解析：tan(β-2α)=tan ［(β-α)-α］=ααβααβtan )tan(1tan )tan(-+--=6123+-=71. 答案：D4.若AA tan 1tan 1+-=32+,则cot(45°+A)等于( ) A.32-- B.32+- C.32+ D.32-思路解析：由A A tan 1tan 1+-=32+,得AA tan 45tan 1tan 45tan ︒+-︒=tan(45°-A)=32+, ∴cot(45°+A)=tan(45°-A)=32+.答案：C5.已知α∈(23π，2π)，且tan(23π+α)=34，则cos(α-43π)的值是( ) A.-102 B.102 C.-1027 D.1027 思路解析：∵tan(23π+α)=-cotα=34，∴tanα=-43，α∈(23π，2π). ∴cosα=22)43(11tan 11-+=+α=54，sinα=cosα·tanα=54×(-43)=-53. ∴cos(α-43π)=cosαcos 43π+sinαsin 43π =54×(-22)+(-53)×22=-1027. 答案：C6.cos285°=__________________.思路解析：法一：原式=cos(180°+105°)=-cos105°=-cos(60°+45°)=-cos60°cos45°+sin60°·sin45°=-21×22+23×22=426-. 法二：原式=cos(360°-75°)=cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45° =23×22-21×22=426-. 答案：426- 7.化简cos44°sin166°+sin44°cos166°=________________. 思路解析：原式=cos44°sin14°-cos14°sin44°=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-21. 答案：-21 8.计算︒︒+︒-︒32tan 28cot 158cot 62tan =___________________. 思路解析：原式=︒︒+︒-︒32tan 62tan 132tan 62tan =tan(62°-32°)=tan30°=33. 答案:33 9.求证:)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+=tan(β-α). 思路分析：利用两角和与差三角公式，将左边分子分母分别展开整理.证明:左边=)cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin αβαββαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--=+-=-+-+=tan(β-α)=右边.∴原等式成立.10.计算(tan10°-3)︒︒50sin 10cos .思路分析：利用两角和差三角公式.可将tan10°化为︒︒10cos 10sin ，或将3化为tan60°. 解法一：原式=(310cos 10sin -︒︒)︒︒50sin 10cos =︒︒-︒10cos 10cos 310sin ·︒︒50sin 10cos =︒︒-=︒︒-︒50sin 50sin 250sin )6010sin(2=-2. 解法二：原式=(tan10°-tan60°)︒︒50sin 10cos =(︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin )︒︒50sin 10cos =︒︒︒-60cos 10cos )50sin(·︒︒50sin 10cos =-︒60cos 1=-2. 综合·应用11.使得点A(cos2α,cosα)到点B(sin2α,sinα)的距离为1的α的一个值为…( ) A.3π B.6π C.-6π D.9π 思路解析：由已知可得22)sin 2(sin )cos 2(cos αααα-+-=1，整理得cosα=21，故选择A.此外，本题也可以用反代法解题，即将选项一一代入后验证.答案：A12.化简sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x)=______________.思路解析：原式=21sinx+23cosx+2(21sinx-23cosx)-3(-21cosx+23sinx) =21sinx+23cosx+sinx-3cosx+23cosx-23sinx=0. 答案：013.化简tan(6π-θ)+tan(6π+θ)+3tan(6π-θ)tan(6π+θ)=__________________. 思路解析：原式=tan(6π-θ+6π+θ)［1-tan(6π-θ)tan(6π+θ)］+3tan(6π-θ)tan(6π+θ) =tan 3π-tan 3πtan(6π-θ)tan(6π+θ)+3tan(6π-θ)tan(6π+θ)=3. 答案：314.已知sinα=32,cosβ=-41,且α、β为相邻象限的角,求sin(α+β)和sin (α-β)的值. 思路分析：应用两角和、差公式.解:∵sinα=32＞0,cosβ=-41且α、β为相邻象限的角, ∴α、β分别在一、二象限或二、三象限.(1)当α、β分别在一、二象限时,cosα=35)32(12=-,sinβ=415)41(12=--， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=32×(-41)+35×415=12235-, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-12235+. (2)当α、β分别在二、三象限时，cosα=-35,sinβ=-415, 可求sin(α+β)=12235-,sin(α-β)=-12235+. 综上,sin(α+β)=12235-,sin(α-β)=-12235+. 回顾·展望15.(2006福建高考)已知α∈(2π,π)，sinα=53,则tan(α+4π)等于( ) A.71 B.7 C.-71 D.-7 思路解析：∵α∈(2π,π)，sinα=53，∴cosα=-54. ∴tanα=ααcos sin =-43.而tan(α+4π)=ααtan 1tan 1-+=71. 答案：A16.(2006重庆高考)已知α、β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,则cos(α+4π)=________. 思路解析：∵α、β∈(43π,π),∴α+β∈(23π,2π),β-4π∈(2π,43π). ∴cos(α+β)=)(sin 12βα+-=54,cos(β-4π)=-135. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］=cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =54×(-135)+(-53)×1312=-6556. 答案：-6556 17.(2006江苏高考)cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=_________________.思路解析：cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=tan70°(cos10°+3sin10°)-2cos40°=2tan70°(21cos10°+23sin10°)-2cos40° =2tan70°(sin30°cos10°+cos30°sin10°)-2cos40°=2tan70°sin40°-2cos40° =︒︒=︒︒-=︒︒︒-︒︒70cos 70cos 270cos 10cos 270cos 40cos 70cos 240sin 70sin 2=2. 答案：218.(2006全国高考)已知向量a =(sinθ,1)，b =(1,cosθ)，-2π＜θ＜2π. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a +b |的最大值.思路分析：由a ⊥b 可得关于θ的三角方程,从而根据角的范围求出θ;(2)|a +b |用关于θ的代数式表示出来,利用三角函数的性质求最值.解:(1)若a ⊥b ，则有sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，又-2π＜θ＜2π,所以θ=-4π. (2)由a =(sinθ,1)，b =(1,cosθ)得a +b =(sinθ+1,1+cosθ), |a+b|=)4sin(223)cos (sin 23)cos 1()1(sin 22πθθθθθ++=++=+++, 又-2π＜θ＜2π，则当sin(θ+4π)=1时，|a +b |取最大值，即当θ=4π时，|a +b |取最大值2+1.。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.若，那么（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，．【考点】两角差的正切公式．2.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．3.在中，角的对边分别为，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求的值。
【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．试题解析：解：∵∴∴，即B= （3分）（1）由即∴（5分）当时，＜＜,C＜A＜B=与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴（7分）（2）（10分）∵A∈（0，），∴∈，）即∈，1]当=，即A=时，（12分）【考点】1．二倍角的余弦；2．两角和与差的正弦函数；3．余弦定理．4.若，则 __________ ．【答案】【解析】,根据,,代入上式，得到原式=2.【考点】两角和的正切公式的应用5.若,则________.【答案】【解析】∵,∴＝＝＝＝．【考点】1、两角和与差的余弦函数；2、二倍角的余弦．6.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．7.若均为锐角，且，则的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】Ｂ【解析】因为由，联系已知有，又均为锐角，故，即，均为锐角，所以【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性8.求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间.【答案】函数最小正周期是；最小值是-2；单增区间是【解析】利用同角函数的基本关系式、辅助角公式先把函数化简成为的形式，再根据三角函数的性质求解.试题解析：故该函数最小正周期是；最小值是-2；单增区间是 .【考点】本题考查同角函数的基本关系式、辅助角公式，三角函数的周期性、最值性、单调性.9.（1）求值：；（2）已知求的值．【答案】（1），（2）.【解析】（1）原式有弦又有切，先＂切化弦＂，在括号内通分，对分子利用配角公式化为，再根据诱导公式及倍角公式化简求值，本小题难点在于多个公式的综合运用，需对公式的结构有深刻的理解.本题还有解法二：利用，原式这样可避开运用配角公式，（2）本题关键在于角的变换，只要看出就可实现条件角向目标角的转化，本题如对条件简单展开，就会陷入迷茫.在三角函数解题中，尤其注重对角的分析，这是考核的重点.试题解析：（1）原式7分（2）由已知，得，13分【考点】两角和与差正弦公式，配角公式.10.下列等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由两角和与差的三角函数公式，，正确，共线D。
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.3.两角和与差的三角公式学案含解析
第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。
利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。
S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。
T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan＝________.【答案】－2－【解析】由sin 2α＝sinα，可得2sin αcos α＝sin α，又0<α<π，所以cos α＝.故sin α＝，tan α＝.所以tan＝＝＝－2－.2.函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x=+(cos2x+sin2x)=+sin(2x+)∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为3.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式4.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式5.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式6.已知向量，，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)利用两向量内积的坐标计算公式(两向量的横纵坐标对应相乘再相加)即可得到的函数解析式.(2)由(1)可得的函数解析式,把带入函数即可得到的值.(3)把等式带入,利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)化简等式即可得到的值,正余弦的关系即可求出的值,再把带入函数即可得到,再利用和差角和倍角公式展开并把的值带入即可得到的值.试题解析：（1）∵，，，∴，即函数. （3分）（2）（6分）（3）∵，又，∴，即. （7分）∵，∴. （8分）∴，（9分）. （10分）∴（11分）. （12分）【考点】正余弦和差角与倍角公式诱导公式内积公式7.若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．【答案】【解析】(解法1)依题意有cosα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝＞0.∵α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.(解法2)∵α、β都是锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，∴ 0＜α，β＜，0＜α＋β＜，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，sin(α＋β)＝.∴α＋β＝.8.已知0＜β＜＜α＜π，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．【答案】【解析】∵＜α＜，∴－＜－α＜－，∴－＜－α＜0.又cos(－α)＝，∴ sin(－α)＝－.∵ 0＜β＜，∴＜＋β＜π.又sin(＋β)＝，∴ cos(＋β)＝－.∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－cos cos－sin(＋β)·sin＝9.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝10.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－(x)＝，【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则fmax依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.11.如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．【答案】（1）＋1（2）【解析】(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以·＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP的面积为S＝||·| |sin θ＝sin θ，所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，因为CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sin θ＝，cos θ＝，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.12.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.13.求证：(1)(2)【答案】证明见解析．【解析】三角恒等式的证明也遵循从繁化简的原则，当然三角函数还有函数名称的转化与角的转化．(1)本题从左向右变化，首先把左边分子用两角差的正弦公式展开，就能证明，当然也可从右向左转化(切化弦)，；(2)这个证明要求我们善于联想，首先左边的和怎么求？能否变为两数的差(利用裂项相消的思想方法)？这个想法实际上在第(1)小题已经为我们做了，只要乘以(因为每个分母上的两角的差都是)，每个分式都化为两数的差，而且恰好能够前后项相消．试题解析：证明：（1） 3分6分（2）由（1）得（） 8分可得10分12分即. 14分【考点】两角差的正弦公式，同角三角函数关系．14.若对∀a∈(－∞，0)，∃θ∈R，使asin θ≤a成立，则cos的值为 ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵asin θ≤a⇔a(sin θ－1)≤0，依题意，得∀a∈(－∞，0)，有asin θ≤a.∴sin θ－1≥0，则sin θ≥1.又－1≤sin θ≤1，因此sin θ＝1，cos θ＝0.故cos＝sin θsin＋cos θcos＝.15.已知向量，，函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）在中，设角，的对边分别为，若，且，求角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由向量数量积的定义只需将其化为一个角的三角函数就能求出的最大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果和正弦定理：,又 ,所以，，由以上两式即可解出,.试题解析：（Ⅰ） 2分4分（注：也可以化为）所以的最大值为． 6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（Ⅱ）因为，由（1）和正弦定理，得． 7分又，所以，即， 9分而是三角形的内角，所以，故，， 11分所以，，． 12分【考点】1.正弦定理；2、两角和与差的在角函数公式、倍角公式；3、三角函数的性质.16.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．17.在中，角的对边分别为，已知：，且．（Ⅰ）若，求边；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先由条件用和差公式化简，再根据三角形内角范围得到角.再由得到角，最后由正弦定理得到；（Ⅱ）先由余弦定理及条件得到，又因为，从而可知为直角三角形，其中角为直角.又，所以.既而得到三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由已知，所以，故，解得. (4分)由，且，得.由，即，解得. (7分)（Ⅱ）因为，所以，解得. (10分)由此得，故为直角三角形.其面积. (12分)【考点】1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.18.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.19.如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：①设,将表示成的函数关系式；②设,将表示成的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）①要用表示矩形的面积，关键是把用表示，在中可表示出，在中可表示出，即得；②在中，可用表示和，在在中可用即表示出，即得；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，是常见的函数或三角函数问题，较为容易解答，求出其最大值.试题解析：(Ⅰ) ①因为,所以,又,所以 2分故() 4分②当时, ,则,又,所以6分故() 8分(Ⅱ)由②得= 12分故当时,取得最大值为 15分【考点】函数的应用、三角函数.20.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.21.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.22.设是方程的两个根，则的值为A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以由二次方程根与系数的关系可以得到，所以【考点】本题主要考查二次方程的根与系数的关系，以及两角和的正切公式。
专题10两角和与差的三角函数(解析版)
2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题10两角和与差的三角函数1专题综述两角和与差的三角函数，由于集中交汇了三角函数内部各知识模块间的内容，还常常涉及函数、向量、解三角形等知识，形成了化简、求值(最值)求单调区间等多种题型，对于考查学生的数学思维能力、计算能力推理能力是一个很好的平台.本节内容是高考数学试卷中必考的、反复考查的知识点，要求学生能够做到熟练掌握、灵活运用.在《考试大纲》中，对两角和与差的三角函数的要求是:(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；(2)能利用两角差的余弦公式，导出两角差的正弦、正切公式；(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.由此，我们可以分析出本节内容的两个考点:能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，及两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系；掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.命题趋势分析:近3年来，各地的高考数学试卷中，对两角和与差的三角函数的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，其命题规律大致为:利用两角和与差的三角函数公式直接进行求值，或通过两角和与差公式的逆用、变形使用进行求值、化简，主要考查两角和与差的三角函数等基础知识和利用这些知识进行运算的能力；通过拆角、拼角等方法，利用两角和与差三角函数公式进行求值、化简，考查学生的推理能力和运算能力；以两角和与差的三角函数、解三角形、函数、向量等知识为素材形成交汇，主要考查学生综合运用上述知识进行运算求解的能力.通过研究已经公布的2018年《考试说明》发现，2018年高考对本节知识的考查要求未有改变.近3年高考的命题思路和命题风格均相对稳定，预计2018年高考对两角和与差的三角函数的考查会延续上述命题的思路和风格.2难点与剖析2.1难点梳理对于求值(求角)、化简等题型来说，学生学习的难点有两个:一是如何准确地记住众多两角和与差的三角函数公式，以及如何理解这些公式之间的内在联系；二是如何根据题目条件中三角函数的结构形式去选择合适的方法来解决问题.对于两角和与差的三角函数与三角函数、解三角形、向量等知识的综合题型，对学生的思维和运算能力要求相对较高，难度较大.2.2突破难点如何才能让学生准确记住两角和与差的三角函数的公式，并能理解这些公式之间的关系，我们的做法是:在复习时，帮助学生回忆并重建这些知识，包括两角差的余弦公式的推导过程，以及由此出发，推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切公式.通过这些公式的推导，让学生深刻理解这些公式的来龙去脉和公式之间的联系，建立起完整的知识结构.同时，也复习了解决三角函数问题中常用的数形结合、转化与化归、整体代换等思想方法，以及弦化切、切化弦、正弦与余弦互化等常用方法.两角和与差的三角函数与其他三角函数的综合，通常需要将f(x)的解析式转化为的形式加以解决.两角和与差的三角函数与向量的综合，通常要利用向量的共线、数量积的概念和运算，将向量问题转化为三角函数问题，利用三角函数有关知识和方法加以解决.两角和与差的三角函数与解三角形综合，通常涉及求解三角形基本量、判定三角形形状以及解三角形应用题等三类问题.不过在这三类问题中，两角和与差的三角函数不是考查的重点，其核心考点通常是解三角形及其应用.解这类综合题的基本思路是将几何问题转化为代数问题，分析已知等式中的边角关系，利用两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形边角互化，或将已知量和未知量集中在一个三角形中，利用正弦定理和余弦定理加以解决.针对不同问题的个性化的难点突破方法，我们将通过下面的典例剖析加以阐述.3典例剖析例1(1)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox轴为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则.(2).(3).(4)已知，则.(5).(6).思路探求:(1)对角的终边所在的象限合理分类讨论，分别求出，直接代入求出.(2)利用160°+20°=180°，将cos160°=－cos20°，逆用两角和的正弦公式sin30°=.(3)通过观察，发现15°+75°=90°，将式子化为.(4)把两角和与差的正弦公式中的，分别看成一个整体，通过解方程组，求出，求出.(5)因为23°+37°=60°，联想公式，逆用两角和正切公式，并进行变形得:.(6)两角和的正切的分子中出现了“1”，利用1=进行代换，即得.设计说明:本题组设计意图是帮助学生熟悉两角和与差的三角函数公式的使用，包括常见的直接使用公式、变名(角)使用、逆用公式、整体求解、正切公式的变形使用、巧用“1”的代换等.本题组的创新之处在于，将常见的两角和与差的三角函数公式通过比较隐性的方式呈现给学生，让学生能在变化后的情形中，认清知识的本质，达到熟练使用公式的目的.教学建议:在帮助学生回顾两角和与差的三角函数公式来龙去脉、构建完整的知识体系的基础上，让学生自主完成本题组训练，师生共同总结常见的使用公式的规律.例2(1)若，则.(2)已知，则.(3)已知，且，则.(4)已知，则.思路探求:(1)直接将左边展开，求出或利用进行求解.(2)观察已知和所求式子的特点，利用，，再利用弦化切，求得.(3)观察已知角与所求角的关系得出，a+=(+a)－(4－－cos(a+)=sin(B)，再由，得，，分别求出，，进而得出.(4)观察已知角与所求角的关系，不难得出.由已知，得出，求出.若根据求解，需要求出的值，再利用，求出，因此.不过若按第一种思路，由，得，要确定的范围，还要根据和，才能得出.若由，得，仍不能确定的值.换一种思路，由，得，因而，又，故.设计说明:本题组是围绕利用“拆角、拼角”的方法来进行求值、求角，目的在于引导学生仔细分析已知角与所求角之间的关系，建立起沟通已知角和未知角之间的桥梁关系，进而解决问题.本题组的创新之处在于能够比较系统地呈现常见的运用“拆角、拼角”解题的方法，并对给值求值和给值求角中的典型问题——对角的范围的讨论进行了剖析.教学建议:本题组是两角和与差三角函数公式考查中的重点内容，教学时要让学生有充分的解题体验，引导学生自主探寻解题思路.对于角的范围的讨论，就解题步骤而言，要强调解题“三步曲”:第一步，求角的某个三角函数值；第二步，确定角的范围；第三步，根据角的范围，写出所求的角.需要强调的是，在选取某一三角函数值时，要先缩小所求角的范围，最好将角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而确定角的大小.就教学方法而言，要采用数形结合的思想方法引导学生，增强直观性；就学习方式而言，要采取合作探究的方式，引导学生相互寻找解题过程中的漏洞，并比较解题方法的优劣，提高解题效益.例3(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( ) A．B．C．D．(2)在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是.思路探求:(1)观察已知等式，容易发现可以利用两角和的正弦公式对其进行化简，得到，因为△ABC是锐角三角形，cosC≠0，即，由正弦定理得a=2b，故选A.(2)由，可得，(①).因△ABC是锐角三角形，cosB≠0，cosC≠0，在①式两侧同除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，可得(②)，令，因△ABC是锐角三角形，，由②得t>1，从而，当且仅当t=2时取等号，此时或tanB=.设计说明:本题组是将两角和与差的三角函数与解三角形、函数等知识结合.由于《考试说明》中，对两角和与差的三角函数是C级要求，第(2)小题是填空题的最后一题，起着分步把关的作用.两题都以三角形为背景，体现了此类问题的共同点:将三角形内角和定理与两角和与差的三角函数公式结合，起到化繁为简的作用.不同点是第(1)小题化简后，利用正弦定理知识加以解决，第(2)小题化简后转化为函数最值问题加以解决.教学建议:解决此类问题的关键是引导学生分析已知式子的结构，或分析已知和未知之间的异同点，利用三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，对已知条件进行化简.拨开迷雾，看清方向，逐步将未知问题转化为学生熟悉的解三角形、函数最值等知识加以解决.例4已知向量.(I)若a∥b，求x的值；思路探求:(I)因为，所以.若cosx=0，则sinx=0，与矛盾，故cosx≠0，于是.又，所以.(Ⅱ).因为，所以，从而，于是，当，即x=0时，f(x)取到最大值3；当，即时，f(x)取到最小值.设计说明:本题主要考查向量共线、数量积的概念及运算、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数、三角函数图像与性质等基础知识，训练学生的运算求解能力.本题的创新之处有两点:一是把向量共线、数量积的概念和运算与三角函数知识结合起来；二是给出x的范围，求三角函数的条件最值，预设易错点.通过上述变化，可以更全面地考查学生的运算能力.教学建议:由于这类综合题涉及的知识点较多，因而对学生的运算能力有较高的要求.在教学时，要引导学生回顾有关概念和公式，这是准确运算的前提.对于的处理，考虑到学生的运算习惯，可以转化为进行解决，即.值得注意的是，由于，因此，此时，学生常常误以为，避免这类错误的有效策略就是数形结合，画出正弦函数的图像，能直观准确地得出结论.另外，解题规范也是需要强调的内容，解题过程要严谨，要力争不失分.例5△ABC的内角A，B，C.已知△ABC的面积为.(I)求；(Ⅱ)若，求△ABC的周长.思路探求:(I)由题设得，即.由正弦定理得，故.(Ⅱ)由题设及(I)得，即.所以，故.由题设得，即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2－bc =9，即(b +c )2－3bc =9，得，故△ABC 的周长为.设计说明:本题考查两角和与差的三角函数、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，可以训练学生的运算能力.此类题型是近年来各地高考的热点.本题的创新之处在于，设计不同的情境，让学生选用合适的三角形面积公式、余弦定理公式进行运算；采用化整为零、整体求解等运算策略解题.通过上述创新举措，考查学生灵活选用公式、灵活使用求解策略解题的能力.教学建议:在分析第(I )问解题思路时，要引导学生认真审题，仔细分析已知条件和求解目标的关联性，合理选择三角形面积公式.在分析第(Ⅱ)问解题思路时，要引导学生分析第(I )问的结论与第(Ⅱ)问的条件之间的关联性，在得出后，选用什么三角形面积公式建立等式；在得出bc =8后，引导学生选择合适的余弦定理公式，建立bc 与b +c 的关系，无须分别求出b ，c 的值，只需整体求出bc 的值即可.最新模拟题强化1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转4π后，终边经过点(21)P ，，则cos2α=（ ）A ．23 B ．223C ．23-D ．223-【答案】B 【解析】设旋转之后的角为β，由题得4παβ+=，3sin 3β=，6cos 3β=，又因为222παβ=-，所以得3622cos 2cos(2)sin 22sin cos 22333παββββ=-===⨯⨯=，故选B 。