模糊集理论概述
模糊理论综述
模糊理论综述引言模糊理论（Fuzzy Logic)是在美国加州大学伯克利分校电气工程系的L.A.zadeh（扎德）教授于1965年创立的模糊集合理论的数学基础上发展起来的,主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容.L.A.Zadeh教授在1965年发表了著名的论文，文中首次提出表达事物模糊性的重要概念：隶属函数，从而突破了19世纪末康托尔的经典集合理论,奠定模糊理论的基础。
1974年英国的E.H.Mamdani成功地将模糊控制应用于锅炉和蒸汽机的控制，标志着模糊控制技术的诞生。
随之几十年的发展，至今为止模糊理论已经非常成熟，主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容。
模糊理论是以模糊集合为基础，其基本精神是接受模糊性现象存在的事实，而以处理概念模糊不确定的事物为其研究目标，并积极的将其严密的量化成计算机可以处理的讯息，不主张用繁杂的数学分析即模型来解决问题。
二、模糊理论的一般原理由于客观世界广泛存在的非定量化的特点，如拔地而起的大树，人们可以估计它很重，但无法测准它实际重量。
又如一群人，男性女性是可明确划分的，但是谁是“老年人”谁又算“中年人”；谁个子高，谁不高都只能凭一时印象去论说，而实际人们对这些事物本身的判断是带有模糊性的，也就是非定量化特征。
因此事物的模糊性往往是人类推理，认识客观世界时存在的现象。
虽然利用数学手段甚至精确到小数点后几位，实际仍然是近似的。
特别是对某一个即将运行的系统进行分析，设计时，系统越复杂，它的精确化能力越难以提高。
当复杂性和精确化需求达到一定阈值时，这二者必将出现不相容性，这就是著名的“系统不相容原理”。
由于系统影响因素众多，甚至某些因素限于人们认识方法，水准，角度不同而认识不足，原希望繁荣兴旺，最后导致失败，这些都是客观存在的。
这些事物的现象，正反映了我们认识它们时存在模糊性。
所以一味追求精确，倒可能是模糊的，而适当模糊以达到一定的精确倒是科学的，这就是模糊理论的一般原理。
vague集模糊理论
vague集模糊理论模糊集理论是由日本学者庆应义雄于1965年提出的，是一种用于处理模糊信息的数学工具和方法。
模糊集理论的核心思想是引入了模糊概念，使得我们能够更好地处理那些不确定、模糊、模棱两可的问题。
在传统的集合论中，一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在中间状态。
而在模糊集理论中，一个元素可以同时属于多个集合，且属于某个集合的程度可以是一个介于0到1之间的实数。
这就是模糊集的核心特点。
模糊集理论的应用非常广泛，特别是在人工智能、控制系统、模式识别、决策分析等领域。
例如，在控制系统中，模糊控制可以用于处理那些输入和输出都不是精确的问题，通过模糊规则和模糊推理来实现自适应控制。
在决策分析中，模糊集可以用于处理那些带有不确定性和模糊性的决策问题，通过模糊逻辑和模糊推理来做出最优决策。
模糊集理论的核心是模糊隶属函数，它描述了一个元素对于某个模糊集的隶属程度。
常用的模糊隶属函数有三角隶属函数、梯形隶属函数、高斯隶属函数等。
这些函数可以根据实际问题的需要来选择和设计，以便更好地描述模糊集的特征。
模糊集理论的关键操作是模糊运算，包括模糊交、模糊并、模糊补等。
这些运算可以通过模糊隶属函数的计算来实现，用于处理模糊集的运算和逻辑推理。
模糊集理论的优点在于能够处理那些传统方法难以处理的问题。
例如，在图像处理中，通过模糊集理论可以更好地处理模糊边缘、模糊纹理等问题，提高图像的质量和清晰度。
在自然语言处理中，模糊集理论可以用于处理语义模糊、语义歧义等问题，提高自然语言的理解和处理能力。
当然，模糊集理论也存在一些局限性。
首先，模糊集理论需要给出模糊隶属函数和模糊规则，这对于一些复杂问题来说可能比较困难。
其次，模糊集理论对于模糊集的表示和运算需要一定的计算资源和算法支持，这对于一些资源有限的环境来说可能不太适用。
总的来说，模糊集理论是一种处理模糊信息的有效工具和方法。
通过引入模糊概念，模糊集理论可以更好地处理那些不确定、模糊、模棱两可的问题，提高问题的处理能力和解决效果。
模糊集理论
模糊集理论模糊集理论（Fuzzy Set Theory）是一种理论，主要关注定义和应用模糊（模糊）集合（fuzzy set）。
它由芬兰科学家Lotfi Zadeh在1965年提出，随后历经修正和扩展，今天已成为人工智能的重要研究概念。
它引入了模糊集合的概念，允许将不弱量化数据藉基于概率理论进行处理，以研究各种模式。
这种理论允许模糊集合随着数据流而变化，从而允许对诸如特征抽取、模式识别和对象识别等计算问题进行实例。
模糊集的一般定义是一组非常宽的概念，即这些概念可以模糊地概括其中的数据和事件。
典型的例子包括定义“热”时可以指的内容。
这可以指很热的水，但也可以指很热的空气，甚至指温度处于中间范围内的物体，如细砂沙。
由于我们通常在一种普通的处理方式中不能够构建这种多义性，因此出现了模糊集理论。
模糊集理论将条件分解成可被计算的成分，并提供了两种比较语句，以替代确定的相等和比较关系：“如果X属于Y”与“如果X不属于Y”。
模糊集理论和理论的一个重要舞台是节点（membership）函数。
节点函数将离散值链接到集合中，该集合可能建立在模糊集概念上，以及定义当值处于属性范围时，集合中元素的状态概念。
模糊集理论可以用来表示和处理有关诸如决策系统、专家系统、状态识别系统和控制系统等领域的许多模糊结构。
例如，模糊集理论可用来表示“暖”的语义，可以定义一个给定限度的暖度成分，用于计算属性范围内的暖度。
同样，你也可以定义一个语义表示“如果暖一点，就觉得很好”。
在其他方面，它也可以用来表示系统输入，以及它们之间的关系，以及它们到系统输出的影响。
因此，模糊集理论的应用范围非常广泛，被用于机器学习，数据挖掘，机器视觉，语音识别，建模和仿真，以及工业控制等计算机任务的解决方案。
它高度重视“不确定性”，减少了我们在研究实例时常常面临的困难，允许用户在可以定义的模糊集上使用模糊逻辑来解决复杂问题。
今天，它已经成为人工智能领域及其它多学科间的流行工具，并被许多应用领域所采用。
模糊集理论
模糊集理论
模糊集理论是一种有助于更好地理解和应用经济规律的研究方法。
它表明，在经济中，某些结果可能存在多种可能的结果，并且很难确定其中哪一种是最好的。
因此，模糊集理论强调通过改善规划过程中的不确定性，从而改善经济规律的应用。
模糊集理论是由美国数学家Lotfi Zadeh提出的。
他提出，经济中的许多结果不是"黑白分明"的，而是有一定程度的模糊性。
例如，在一个市场中，某种商品的价格可能有多种可能的结果，并不是唯一的，而是一个模糊的范围。
模糊集理论的一个重要应用是经济规划。
模糊集理论的目的是提出一种更加科学的规划方法，以改善经济规划过程中的不确定性。
模糊集理论强调，规划的结果不是固定的，而是可能存在多种可能的结果，因此，规划者必须对各种可能的结果进行模糊处理，以确定最优的规划结果。
模糊集理论还可以用于经济分析和决策分析。
例如，模糊集理论可以用来分析一个公司的决策，因为决策可能有多种可能的结果，可以通过模糊集理论来分析决策结果。
总之，模糊集理论是一种重要的研究方法，可以用来更好地理解和应用经济规律。
它的应用范围很广，可以用于经济规划，经济分析
和决策分析等。
模糊集理论简介
模糊集理论简介一、经典数学的基础及其缺陷19世纪末，德国数学家康托尔（Cantor）建立了集合论,奠定了经典数学的基础。
集合可以表示概念、性质、运算和变换，可以表现判断和推理。
因此，经典数学成为能描述和表现个门学科的语言和系统。
如：圆、关系、函数等；又如：钢笔A与笔。
经典集合论中，一个元素x要么属于集合X，要么不属于集合X，两者必居其一，且仅居其一，不存在模棱两可的中间状态。
这种规定就是所谓的排中律，它使得经典集合只能表现非此即彼的现象。
因此经典数学研究的是确定性的事物。
如苹果B与水果。
集合的定义本身存在一定的缺陷，产生了一些关于集合的悖论，如“罗元素（B.Russell）悖论”（ A={Z|Z Z},即A的元素是一切不以自身为元素的集合）等。
后来经过策梅罗（Clairaut）等数学家的努力，建立了集合论的公理化体系，制定了集合论的应用条件。
但对于一些自然语言中出现的如“年青”、“秃头”、“亚金属”、“植物”、“半导体”等概念，经典集合论则显得无能为力。
二、模糊数学的基础1. 模糊现象与模糊概念模糊概念来源于模糊现象，而模糊现象在自然界中客观存在的。
例如，“下雨”是常见的自然现象，从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”，各种程度的雨都会经常发生，这种不是以固定不变的一种或几种程度（或方式）出现，使得人们很难用确定的尺度（或模型）来刻画的现象就是模糊现象。
模糊现象在人的大脑中所形成的概念就是模糊概念，它处处存在。
例如，在日常生活中的厚、薄，快、慢，大、小，长、短，轻、重，高、低，稀、稠，贵、贱，强、弱，软、硬，锐、钝，深、浅，美、丑；白天、黑夜，早晨、中午、傍晚，黎明、黄昏，夕阳，多云、晴天、阴天、雨天，中雨、暴雨、大暴雨等。
在生命科学、经济管理领域中模糊现象也无处不在。
如感冒，胃病，心脏病；高产作物、低产作物；早熟小麦；红壤，黄壤，棕壤；蔬菜，水果；动物，植物，微生物；通货膨胀，经济繁荣，经济萧条，失业；劳动密集型企业；信得过产品，次品；贫困，温饱，小康，富强，富有等，都是模糊概念。
粗糙集与模糊集理论的概述
粗糙集与模糊集理论的概述作者：张越来源：《商情》2016年第18期【摘要】粗糙集理论是用来刻画不完整和不分明的数据理论的工具，模糊集理论也是用来处理不确定性的集合理论.由于它们都是用来处理这些模糊的和不清晰的问题的集合理论.同时他们又存在着各自的优缺点。
【关键词】粗糙集信息系统模糊集1.粗糙集理论的概述在当今信息时代，计算机网络信息技术飞快的发展，数据信息也爆炸似的增长.我们在生活工作当中，可能经常会参与研究一些数目庞大且又功能繁琐的数据系统.例如在股票市场分析领域上的数据系统，这些数据库中的数据不仅个数繁多，种类结构又多样，而且很可能存在着一些缺省的数据。
我们怎样从这些数目庞大，类型复杂，杂乱无章的数据中.去深入并挖掘有用的知识，给我们数学和计算机领域的工作人员提出了严峻的挑战。
粗糙集（Rough Set）理论是用来刻画不完整和不分明的数据理论的，最早是由波兰的数学家Pawlak Z于1982年提出来的.这个理论能够有效的对数据中有价值的知识从中进行挖掘 . 粗糙集理论的属性约简是一个非常有研究价值并具有挑战性的研究课题.属性约简可以删除当中没有价值的信息，得到相对简单而准确的分类。
最初粗糙集理论的研究并没有得到国际学术的关注，只在东欧的某些国家进行研究.直到20世纪80年代末期，粗糙集理论在人工智能方面得到了研究成果，逐渐开始引来了各领域研究学者的重视.近些年来，它在特征选择，分类学习，和规则提取等方面获得了极大的发展.并在知识发现，决策分析，数据挖掘，医疗中新病诊断等方面广泛应用，这些都表明了粗糙集理论及应用在信息科学技术中有着广泛的发展前景。
2.模糊集理论的概述提起数学，精确自然成为了它最显著的特点.可是“精确”的数学有时不能更准确的描述现实生活工作中的一些模糊现象.比如说“个子比较高的学生”“成绩优秀的同学”“很冷的天气”“重感冒”“漂亮的裙子”等等.但是这些“尺度”往往在人们的脑部意识里有了一定的衡量标准，我们可以利用这些模糊量让理解更为清晰.但计算机对模糊量难以做出准确的分辨，在计算机技术迅速发展的今天，迫切的需要加载一处理模糊信息的工具用以配合计算机简单而又准确的得到答案.也就是说，模糊理论的产生和发展是有一定必然性的。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊集的基本概念
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是 即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然 数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集， 否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
（1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。 记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
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模糊集理论概述
4.模糊集的水平截集
λ水平截集是把模糊集合转化成普通集合的一个重要概念。 定义2.16 设A∈F(U),λ∈[0,1]，则称普通集合
Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ} 为A的一个λ水平截集， λ称为阈值或置信水平。
模糊集理论概述
λ水平截集有如下性质： (1)设A，B ∈F(U)，则：
模糊集理论概述
1.模糊集特征 随机性：事物本身含义明确，但条件不明而不可预知。 模糊性：事物本身是模糊的。例如：青年、老年；高低； 2.集合与特征函数 定义：设A是论域U上的一个集合，对于任意u∈U，令
1,当u A C A (u ) 0,当u A
则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值 CA(u0)称为u0对A的隶属度，这个值越接近1，表示隶属度越高。
模糊集理论概述
若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。 例如： 以年龄为论域U=[0,100]， “年轻”和“年老”这两 个概念可表示为
1 年轻 (u ) u 25 2 1 [1 ( ) ] 5 0 年老 (u ) 5 2 1 [1 ( ) ] u 50 当0 u 25 当25 u 100 当0 u 50 当50 u 100
模糊集理论概述
也可表示为：
A={μA(u1)/u1,μA(u2)/u2,…,μA(un)/un} A={(μA(u1),u1),(μA(u2),u2),…,(μA(un),un)}
隶属度为0的元素可以不写。 例如： A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4
模糊集理论概述
4.模糊集表示方法
若论域离散且有限，则模糊集A可表示为： A={μA(u1),μA(u2),…,μA(un)} 也可写为： A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un
A
i 1
n
n
A
(ui ) / ui , 或者A
i 1
A
(u i ) / u i
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3.其它运算
有界和算子 和有界积算子
A B : min 1, uA (u) uB (u) A B : min0, uA (u) uB (u) -1
ˆ与实数积算子· 概率和算子
ˆ B : A (u ) B (u A (u ) B (u ) A A B : A (u ) B (u )
(A∪B)λ=Aλ∪Bλ (A∩B)λ=Aλ∩Bλ (2)若λ1, λ2∈[0,1]，且λ1<λ2 ，则：A A 阈值λ越大，其水平截集Aλ越小，当λ＝1时，Aλ最小，称它为模糊 集的核。
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模糊集理论概述
3.模糊集的思路：把特征函数的取值范围从{0,1}推广到 [0,1]上。 设U是论域，μA是把任意u∈U映射为[0,1]上某个值 的函数，即 μA :U→[0,1]或者u→μA(u) 则称μA为定义在U上的一个隶属函数，由μA(u)(u∈U)所 构成的集合A称为U上的一个模糊集，μA(u)称为u对A的 隶属度。
μB(u)≤μA(u) 成立，则称A包含B，记为 B A 。
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（2）交、并、补运算 设A，B∈F(U)，以下为扎德算子
A B : AB (u ) max{ A (u ), B (u )} A (u ) B (u )
uU
A B : AB (u ) min{ A (u ), B (u )} A (u ) B (u )
模糊集理论概述
例 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表示“学 习好”这个概念。 解：先给出三人的平均成绩： 高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学习好” 的隶属度： μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为： A={0.98, 0.90, 0.86}
模糊集理论概述
无论论域U有限还是无限，离散还是连续，扎德用如下 记号作为模糊集A的一般表示形式:
A
uU
A (u ) / u
U上的全体模糊集，记为： F(U)={A|μA:U→[0,1]}
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5.模糊集的运算 模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。 （1）包含运算 设A，B∈F(U)，若对任意u∈U，都有
uU
A : A (u ) 1 A (u )
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例子：设U={u1,u2,u3}， A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3 B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3 则： A∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3 A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3 ¬ A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 =0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3