2由平行截面面积求体积.ppt
§2已知幂势平行截面面积求体积
1 §2 由平行截面面积求体积一、已知平行截面面积函数的一般体积公式：设一几何体夹在x ＝a 和x ＝b （a<b ）这两个平行平面之间，用垂直于X 轴的平面去截此几何体，设载面与X 轴交点为（x ，0），可得的截面面积为S （x ），如果S(x)是[a,b]上的（R ）可积函数，则该几何体的体积V 等于：()ba V S x dx =⎰。
注：利用微元法推导公式例1 求由两个圆柱面 222a y x =+ 和 222a z x =+所围立体体积 . ( 3316a ) 例2 求由椭球面2222221x y z a b c ++=所围的几何体体积。
(a,b,c>0) ( abc π34 ) 祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子，齐梁时人，大约在五世纪下半叶到六世纪初 )补例1 求底面积为S ，高为h 的斜柱体的体积V 。
补例2 求底面积为S ，高为h 的圆锥体的体积V 。
二、旋转体的体积定义旋转体并推导出体积公式.设y ＝y(x)于[a,b]（R ）可积，曲线y ＝y(x)，a ≤x ≤b ，绕x 轴产生旋转体的截面积为S(x)＝2()y x π，则 V 旋体＝2()b ba a S x dx y dx π=⎰⎰ 注：利用微元法推导公式例3 推导高为h , 底面半径为r 的正圆锥体体积公式.例4求由圆)0(,)(222R r r R y x <<≤-+绕X 轴一周所得旋转体体积.特别有 25)20(22≤-+y x 对应的面积为10002π补例3 求抛物线22y x =，0≤x ≤1分别绕x 轴和y 轴所产生的旋转体体积。
补例4 求由曲线02=-y x 和0=-y x 所围平面图形绕X 轴旋转所得立体体积.补例5 ,0 , :==-x e y D x X 轴正半轴 . D 绕X 轴旋转 . 求所得旋转体体积.作业 P 246：1，2（1）、（2）、（3）、5*。
已知平行截面面积求立体的体积：图形、动画、计算
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 3
例 1立 体 以 f(x ) x 2 1 和 g (x ) x 4 1 （ 3 x 3 ） 之 间 的 区 域 为 底 ，
1 0
1 5 0
在 x 处 的 垂 直 于 x 轴 的 截 面 是 一 个 高 H 3 的 等 腰 三 角 形 。
3
3 2 1 01 5 0 1 2 5
3
-3230x21100x432709 dx125
f:=x->(3/2)*(x^2/10+x^4/150+2): a:=-3:b:=3: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 5
现在来求这个立体的体积
截面面积 A(x) 1 3 [ f (x) g (x)]
2 3 x2 x4 ( 2) 2 10 150
立 体 体 积 V 3A ( x ) d x 33 (x 2 x 4 2 ) d x 2 7 0 9
切片法 1
已知平行截面的面积求体积
（切片法）
h蜀ttp南://xu竹xzm海
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 2
用数学软件Maple作了有关动画 这些动画生动地显示了立体的形成过程
计算了一些立体的体积
g(x) x4 1 150
x
y
f (x) x2 1 10
四川大学数学学院 徐小湛
July 1, 2012
切片法 4
动画的Maple程序
数学分析10.2由平行截面面积求体积
第十章 定积分的应用 2 由平行截面面积求体积定义：设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与x=b 之间(a<b). 称Ω为位于[a,b]的立体. 若在任意一点x ∈[a,b]处作垂直于x 轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x 的函数，记为A(x), x ∈[a,b]，并称之为Ω的截面面积函数.公式1：设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，对[a,b]作分割T ：a=x 0<x 1<…<x n =b. 过各分点作垂直于x 的平面x=x i , i=1,2,…,n ，它们把Ω切割成n 个薄片. 设A(x)在每个小区间△i =[x i-1,x i ]上的最大, 最小值分别为M i 与m i ，那么每一薄片的体积△V i 满足 m i △x i ≤△V i ≤M i △x i . 于是Ω的体积V=∑=n1i i V △满足∑=n1i iix△m ≤V ≤∑=n1i i i x △M . 因为A(x)连续，从而在[a,b]上可积，所以当T 足够小时，能使i n1i i x △ω∑==∑=n1i i i i x )△m -(M <ε，ε为任意小的正数.∴V=∑=→n 1i i 0T M lim △x i (或∑=→n 1i i 0T m lim △x i )=∑=→n1i 0T A lim (ξi )△x i . 其中A(ξi )=M i (或m i ). ∴V=⎰ba A(x )dx.例1：求由两个圆柱面x 2+y 2=a 2与z 2+x 2=a 2 所围立体的体积.解：如图取该立体的第一卦限，即81部分.对任一x 0∈[0,a]，平面x=x 0与这部分立体的截面是正方形，边长为：202x a -，即A(x)=a 2-x 2, x ∈[0,a]. ∴V=8⎰a 0A(x )dx=8⎰-a22)x (a dx=316a 3.例2：求由椭球面222222cz b y a x ++=1所围立体(椭球)的体积.解：以平面x=x 0(|x 0|≤a)截椭球面，得椭圆：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-220222222a x 1c z a x 1b y =1.∴截面面积函数为：A(x)=πbc ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22a x 1, x ∈[-a,a]. ∴V=⎰aa -A(x )dx=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-aa -22a x 1πbc dx=34πabc.注：当a=b=c=r 时，就等于球的体积34πr 3.定理：设ΩA ,ΩB 为位于同一区间a,b 的两个立体，其体积分别V A ,V B .若在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续，且A(x)=B(x)则V A =V B .公式2：设f 是[a,b]上的连续函数，Ω是由平面图形0≤|y|≤|f(x)|, a ≤x ≤b 绕x 轴旋转一周的旋转体，则截面面积函数为A(x)=π[f(x)]2, x ∈[a,b]. ∴旋转体Ω的体积为：V=π⎰ba2[f(x )]dx.例3：试用公式2导出圆锥体的体积公式.解：设正圆锥的高为h ，底圆半径为r ，则有0≤|y|≤hrx, x ∈[0,h].∴V=π⎰⎪⎭⎫⎝⎛h02x h r dx=31πr 2h.例4：求由圆x 2+(y-R)2≤r 2 (0<r<R)绕x 轴旋转一周所得环状立体体积.解：圆的上下半圆分别为：y=f(x)=R+22x r -；y=g(x)=R-22x r -, |x|≤r. ∴圆环体截面面积函数为：A(x)=π[f(x)]2-π[g(x)]2=4πR 22x r -, x ∈[-r,r]. ∴V=2⎰-r022x r πR 4dx=8πR ⎰-r022x r dx= 2π2r 2R.习题1、如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积.解：如图所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为：16y 100x 22+=1， 斜面的方程为Z=2x.用平面x=t 截这个立体，得一长方形，其边长为：8100t 12-和2t.∴A(x)=82x 100x 12⋅-=4x 100x 12-, x ∈[0,10].∴截得楔形体的体积为：V=⎰-1002100x 1x 4dx=3400.2、求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积： (1)y=sinx, 0≤x ≤π, 绕x 轴；(2)x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0), 0≤t ≤2π, 绕x 轴； (3)r=a(1+cos θ), (a>0), 绕极轴；(4)2222b y a x +=1, 绕y 轴. 解：(1)V=π⎰π02x sin dx=2π2.(2)V=π⎰2π22cost)-(1a d[a(t-sint)]=πa3⎰2π3cost)-(1dt=5a 3π2.(3)r=a(1+cos θ), (a>0)是心脏线，而心脏线极轴之上部分的参数方程为： x=a(1+cos θ)cos θ; y=a(1+cos θ)sin θ, (0≤θ≤π) ∴V=|π⎰π322y dx|-|π⎰π32π2y dx|=|π⎰+π222θsin ) cos θ(1a da(1+cos θ)cos θ|=πa3⎰+++π2333) cos θ2θ)(1θcos sin 2θcosθsin 2θ(sin d θ=38πa 3.(4)y=b 22a x 1-, ∴V=πb 2⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a -22a x 1dx =34a b 2π.3、已知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积V=πh 2(r-3h) (h ≤r). 证：球缺体积可看作曲线y=22x R -,R-h ≤x ≤R 绕x 轴旋转而得， V=π⎰Rh-R 2y dx=π⎰-Rh-R 22)x (R dx=πh 2(r-3h). 得证.4、求曲线x=Rcos3t, y=Rsin3t, (R>0)所围平面绕x轴旋转所得立体体积.解：V=π⎰RR-2y dx=π⎰0π62tsinR dRcos3t=3πR3⎰π027ttcossin dt=10516πR3.5、导出曲边梯形0≤y≤f(x), a≤x≤b绕y轴旋转所得立体的体积公式为：V=2π⎰bax f(x)dx.证：曲边梯形绕y轴旋转，在x处的截面图形为一圆柱的侧面，其面积为：A(x)=2πx·f(x), a≤x≤b. 所围立体体积为：V=⎰baA(x)dx=2π⎰b a x f(x)dx. 得证.6、求0≤y≤sinx, 0≤x≤π所示平面图形绕y轴旋转所得立体体积. 解法1：曲线y=sinx可分成两部分：x=arcsiny, x=π-arcsiny, 0≤y≤1. 用y=t截这个立体，其截面面积为：A(t)=π[(π-arcsint)2- (arcsint)2]=π3-2π2arcsint.即面积函数为A(y)=π3-2π2arcsiny.∴V=⎰123arcsiny)2π-(πdy=2π2.解法2：利用第5题的结论可得：V=2π⎰πx sinx dx=2π2.。
二重积分计算法ppt详解.
8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,
高数上册之立体的体积
一系列圆柱形薄壳组成的， 以此柱壳的体积作为体积元素，
当dx很小时，此小柱体的高看作f（x），
即为圆柱薄壳
8
y
在区间 [ x , x dx] 上
柱壳体的体积元素为
绵 阳
师 范 学 院
y f (x)
dV 2x dx f ( x )
V dV 2 xf ( x )dx
a a
b
o
a
x
b
4
x
图1
y
绵 同理,如旋转体由图2的曲边梯 阳 师 范 学 d 形绕y轴形成. x=(y) d 2 c 则体积为 V [ ( y )] dy 院
c
例3 求如图直角三角形绕x轴 旋转而成的圆锥体的体积.
解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为
r y x h
o
2 3 2
o
x
例4 求阿基米德螺线r=a(a>0)上 相应于从0到2的一段弧长. 解
s
b
r ( ) r ( )d a
2 2
2
1 2 d
0
a [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 )] 2
14
1
绵 阳
师 范 学 院
解
如图,过x的截面是直角三角形,
边长分别为y和ytan .因此
1 2 A( x ) ( R x 2 ) tan ,-R 2 o R 1 x y 2 2 V ( R x ) tandx R R 2 x 1 2 1 3 2 3 R ( R x x ) tan | R R tan 2 3 3
o
b
x
解 圆的方程为 ( x b) 2 y 2 a 2 ,则所求体积可视为
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
最新-第二节二重积分的计算方法-PPT文档资料
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
平行截面面积求体积
例2 求由圆 x2 ( y R)2 r 2 (0 r R) 绕 x 轴
旋转一周所得环状立体的体积.
y
r
解 x2 ( y R)2 r2 的上下半圆分别为
R
y f2(x) R r2 x2,
O
x
y f1( x) R r 2 x2 .
因此
A( x)dx.
a
i 1
i 1
因此
b
V A( x)dx.
a
例1 求由两个圆柱面 围立体的体积.
x2 y2 a2 与 z2 x2 a2 所
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
A( x)
f
2 2
(
x)
f12( x) 4
R
r2 x2 ,
从而
r
V 8 R
r 2 x2dx 2 2r 2R.
0
例3 求由区域 ( x, y) | 0 x 1 , x y 2 x2
绕 y 轴旋转一周所得立体的体积. y
解 旋转体由曲线
2
x
y,
y [0,1]
2 y , y [1, 2]
围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的
体积公式.
作业： P246：1，2（2，4），4，5，6
[ xi1, xi ] 上 A( x) 的最大、最小值分别为 Mi , mi ,
则第 i 个小薄片的体积 Vi 满足
mi xi Vi Mi xi ,
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
掌握微元法
第十章定积分的应用【教学目的】1、掌握微元法，并能够应用微元法或定积分定义将问题化成定积分；2、熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
【教学重点】熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等.【教学难点】用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积.§ 1 平面图形的面积（ 2 时）【教学目的】1、掌握微元法，并能够应用微元法或定积分定义将问题化成定积分；2、熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
【教学重点，难点】熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
【教学目的】一、直角坐标系下平面图形的面积：1、 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 .由连续曲线()y f x =,直线,x a x b ==及x 轴所围成的图形()()0()()ba baf x dxf x A f x dx f x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩⎰⎰不都是非负。
由上下两条连续曲线1()y f x =和2()y f x =以及两条直线x a =和x b =所围图形,其面积为21[()()]baA f x f x dx =-⎰例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积. 2、简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例2 求由22,ax y ay x ==所围图形面积。
3、参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( ,, )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ.⎰⎰'==-badt t t y dx x y S βαχχ)(| )( || )]([ |1,亦即 ⎰⎰==βαβαχ)(| )( || |t d t y dx y S .具体计算时常利用图形的几何特征 .例3求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积.例4 求椭圆12222=+by a x 所围平面图形的面积.二、极坐标下平面图形的面积推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ==，) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ∆的扇形面积为 θ∆221r . )⎰=βαθθd r A )(212 .例5、求由双纽线 θ2cos 22a r = 所围平面图形的面积 .解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒≥4 , 4 , 02cos ππθθ或⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ45 , 43. ( 可见图形夹在过极点,倾角为4π±的两条直线之间 ) . 以θ-代θ 方程不变⇒图形关于X 轴对称;以θπ-代θ, 方程不变, ⇒图形关于Y 轴对称. ( 参阅教材P242 图610- ) 因此⎰=⋅=40222cos 214πθθa d a A .作业 P242 1—6.§2 由平行截面面积求体积【教学目的】熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
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为三维空间中一立体,它夹在垂直于 x 轴的两平
面 x = a , x = b 之间(a < b). x [a,b] , 作垂直于 x
轴的平面,截得 的截面面积为 A(x).
A( x)
a
bx
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若A(x) 在 [a,b] 上连续, 则 的体积为
b
V a A( x)dx.
绕 y 轴旋转一周所得立体的体积. y
解 旋转体由曲线
2
x
y,
y [0,1]
2 y , y [1, 2]
1
和 y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周而得.因此
O
1x
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V π
1 x2dy 2 x2dy π
1 y2dy
2
(2 y)dy
0
1
0
1
π y3
1
π(2 y
R
y f2(x) R r2 x2,
O
x
y f1( x) R r 2 x2 .
因此
A( x)
f
2 2
(
x)
f12( x) 4
R
r2 x2 ,
从而
r
V 8 R
r 2 x2dx 2 2r 2R.
0
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例3 求由区域 ( x, y) | 0 x 1 , x y 2 x2
y2
)
2
7
π.
30
2 16
复习思考题
*若曲线 C 由极坐 标方程 r r( ), [ , ] 表示,其
中 0 π.试求由曲线 C 和射线 ,
围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的
体积公式.
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证设T : a x0 x1 xn b 是 [a,b ]的一分割,
[ xi1, xi ] 上 A( x) 的最大、最小值分别为 Mi , mi , 则第 i 个小薄片的体积 ΔVi 满足
于是
mi Δxi ΔVi Mi Δxi ,
n
n
n
miΔ xi V ΔVi MiΔxi .
i 1
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
前页 后页 返回Βιβλιοθήκη 所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
V
8V1 8
9 0
a2 x2
dx 16 a3. 3
以下讨论旋转体的体积.
设 f 是 [a,b] 上连续函数， 是由平面图形
A {( x, y) 0 | y | | f ( x) | , a x b}
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体,则
A( x) π f 2 ( x) , x [a,b],
V π b f 2 ( x)dx. a
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例2 求由圆 x2 ( y R)2 r2 (0 r R) 绕 x 轴
旋转一周所得环状立体的体积.
y
r
解 x2 ( y R)2 r2 的上下半圆分别为
i 1
i 1
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返回
当 T 0 时,
n
b
n
b
Mi xi
A( x)dx,
a
mi xi
A( x)dx.
a
i 1
i 1
因此
b
V A( x)dx.
a
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例1 求由两个圆柱面 x2 y2 a2 与 z2 x2 a2 所
围立体的体积.
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,