【材料课件】第七章 弯曲变形
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第7章 弯曲变形 材料力学,力学,物理,课件
本章主要研究：
●弯曲变形基本方程●计算梁位移的几种方法●简单静不定梁分析●
梁的合理刚度设计
第七章弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴
各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？
自由端：
怎样描绘挠曲轴的大致形状？
依据1：画出弯矩图，根据弯矩的正负，零值点，确定挠曲轴的凹凸和拐点。
依据2：约束处，应满足位移边界条件；分段点处，应满足位移连续条件。
qa
1. 绘制弯矩图。
§7-5 计算梁位移的叠加法
❒载荷叠加法
❒逐段变形叠加法
A
B
qa
A
B (3a
qa
B
C
B
刚化AB段：
F
B
C
B
刚化AB段：
F
B
刚化BC段：
F
B
§7-6 简单静不定梁
B
R B
A R B
A
由于结构具有对称性，直接求出Y
所以只有一个未知量，只用一个条件即可。
A
思考第二种方案的变形协调条件是什么？。
13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
七弯曲变形ppt课件
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
材料力学课件：弯曲变形
()
w
A,q
ql 4 8 EI
()
w
A
w
A,F
w
A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
wA ?
当梁上作用几个载荷时，任一横截面 的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
32
理论依据
EI
d2w dx 2
M
(
x
)
（小变形,比例极限内）
M(x)MF (x)Mq(x)
（小变形）
27
梁位移的通用方程
优势：只有2个积分常数
28
重讲例题6-3
利用奇异函数法＝积分技巧
29
例题6-4
载荷处理：分布载荷问题
30
§7-5 计算梁位移的叠加法
载荷叠加法 逐段变形效应叠加法 两类叠加法比较 例题
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
w
A,F
Fl 3 3EI
A
x
B M0
解: 1、弯矩方程: M x M0
2、挠曲轴近似微分方程 w x M0
EI
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
16
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
A
x
3、积分常数的确定
w(0) = 0 w’(0) = 0
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF
(
x)
w wF ( x)
EI
d2w dx 2
Mq(
x)
【材料课件】第七章 弯曲变形
x 2x 3 3 l/2 , y2y 3
×
§7–4 叠加法计算弯曲变形
一、简单梁简单荷载下的变形
A EI l
B
m
B
ml EI
,
yB
ml 2 2EI
P
A EI B l q
A EI B l
B
Pl 2 2 EI
,
yB
Pl 3 3EI
B
ql 3 6 EI
例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。
q 解：
Ax
C EI
B x M(x)1qlx1qx2, (0xl)
l/2 l/2
22
YA=yql/E 2 'Iy EI Fq B=(q1lx /23lx2E) I"C yq2(x2 lx)
23 2
EIy q(1x4lx3)C xD 212 6
x0,y0; D0
x
x
M
M
M
M
y
M0
y" 0
y
M0
y" 0
y" M(x) EI
这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一 次可求转角，再积分一次可求挠度。
×
§7–3 积分法计算弯曲变形
为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为
EI"yM(x)
E' IE y I M (x)d x C 转角方程 E I yM (x )dx C d x D x 挠度方程
转角方程 挠度方程
B2q E(Il2lll21 3l3)6 qE 3lI
yB2q E(1 2 Il2l21 3ll31 12 l4)8 q E 4lI
×
例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。
材料力学 弯曲变形PPT课件
EIw ql x3 - q x4 Cx D 12 24
(3) 利用边界条件确定积分常数
x 0: w0 D0 x l : w 0 C ql3
24
(4) 求转角方程、挠度方程 EIw ql x q x2 0 x l
22
w q l3 6lx2 4x3
转角方程
EI为常量 EIw [ M (x)dx] dx Cx D 挠度方程
C、D 为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。
边界条件: 固定端：w＝0；θ＝0；
铰支座：w＝0；
弯曲变形的对称点：θ＝0。
连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个
值。
[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝
第七章 弯曲变形
第七章 弯曲变形
§7.1 概述 §7.2 挠曲线的近似微分方程 §7.3 用积分法求挠度和转角 §7.4 用叠加法求挠度和转角 §7.5 梁的刚度计算 §7.6 简单超静定梁 §7.7 梁的弯曲应变能 §7.8 提高弯曲刚度的措施
§7-1 概述
一、工程中的弯曲变形问题
若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工 作的平稳性。
又如，车床主轴：
若变形过大，不 仅会影响齿轮的 啮合和轴承的配 合，使传动不平 稳，磨损加快， 而且还会严重地 影响加工精度。
4
又如，如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工 作的平稳性等。
5
但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能 符合使用要求。
如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆 行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。
24EI
w
q
w qx l3 2lx2 x3
【材料课件】第七章 弯曲变形
第七章
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
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x23l/4, y20
x33l/4, y30
x 1x2l/4 , 12
x2x33 l/4 , 23
×
q EAC
a
Ax
Bx
l y
x0, y0
xl, ylBC qla 2EA
例5 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界
条件和变形连续条件是什么？
q
P
q
A x1 B
C
x2
x3
Dx
l/2 l/2 l/2
例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。
q 解：
A x C EI B x M(x)1qlx1qx2, (0xl)
l/2 l/2
22
YA=yql/E 2 'Iy EI Fq B=(q1lx /23lx2E) I"C yq2(x2 lx)
23 2
EIy q(1x4lx3)C xD 212 6
x0,y0; D0
ql3 24EI
EC I yq 2[1 1(2 2 l)46 l(2 l)3]q 23l42 l; yC
5ql4 384EI
×
例4 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界
条件和变形连续条件是什么？
P1 x1
q
P2
AB x2
C x3
Dx
l/4
l/2 l/4
y
x1l/4, y10
x2l/4, y20
xl,y0; 0q(l4 l4)Cl C ql 3
2 12 6
24
×
q
A x C EI B x
l/2 l/2
YA=ql/2 y
FB=ql/2
E'IyEIq(1x3lx2)q3l
23 2 24 EIyq(1x4lx3)q3lx
212 6 24
EI
A
ql3 24
;
A
ql 3 24 EI
EB Iq 2(1 3l32 ll2)q 23l4 q 23l;4 B
×
例1 求图示悬臂梁B 截面的转角和挠度。
q
A x
EI B
l
y
Fs(x) q
解： mx 0;
x M(x)1q(lx)20 2
M(x)1q(lx)2(0xl)
2
M(x)
l-x
B
E" I1 yq (lx)21q (l22 lx x2)
2
2
E' IE yI1q(l2xl2 x1x3)C
2
3
E I1 y q (1l2x2 1l3 x1x4) C D x 22 3 12
×
⒉ 确定积分常数。 每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边 界条件和变形连续条件来确定。
⑴边界条件（支承条件）
固定端： = 0，y = 0。
铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：
y = 0。
⑵变形连续条件
在两段梁的交界面：x 1 x 2: 12 ,y 1 y 2
×
解题步骤： ⒈ 建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向 右，y 轴竖直向下； ⒉ 将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁 的弯矩方程； ⒊ 将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次； ⒋ 根据边界条件和变形连续条件确定积分常数； ⒌ 将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求 指定截面的转角和挠度。
E2I'yE2 IP (3 2 lx21 2x2 2)C 2
E2Iy P (3 4 lx2 21 6x2 3)C 2x2D 2
x2l,y20;
0P(3 4ll21 6l3)C2lD 2
x1x2l, 12; P42lP 122lP(32 l2l22)C2
×
x1 A
YA=P/2 y
x2
P
0P(3 4ll21 6l3)C2lD 2
转角方程 挠度方程
B2q E(Il2lll21 3l3)6 qE 3lI
yB2q E(1 2 Il2l21 3ll31 12 l4)8 q E 4lI
×
例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。
x2 x1
P
解：
A
EI
B
C
x
M(x1)
1 2
Px1
(0x1l)
l
l/2
YA=yPEE /2Iy11 I"' yE 12 PI1x11 4P12xC1,
y
x1l/2, y10 x2l/2, y20 x23l/2, y20
x 1 x 2 x2 x3 l/l,2 ,21 32
x2x3l, y2y3
A x1 B C D x
x2 l x3
l l/2 l/2
y
x10, y10
x1l, y10
x2l, y20
x32l, x1x2l,
y31 0 2
x2x3 3 l/2 , y2y3
EI l
B Cx l/2
P42lP 122lP(32 l2l22)C2
5Pl2 C2 6 ,
D2
Pl 3 4
E2I'yE2 IP (3 2 lx21 2x2 2)5P 62l
E2Iy P (3 4 lx2 21 6x2 3)5P 62lx2P 43l
y C E 1{ P [ I3 4 l(3 2 l)2 1 6 (3 2 l)3 ] 5 P 6 23 2 ll P 4 3 } l8 P E 3 lI
M(x2)P(32lx2)(l
x2
3l 2
)
x10,y10; D1 0
E1 I y112P13xC1
Pl 2 12
B1E 1(I1 4P2lP 122l)6PE2lI
×
x2 x1
P
M(x2)P(32lx2)
A
EI
l
YA=P/2 y
B Cx l/2
(l
x1
3l 2
)
EI2y"P(32l x2)
×
q
A x
EI B x
l
y
E' IE yI1q(l2xl2 x1x3)C
2
3
E I1 y q (1l2x2 1l3 x1x4) C D x 22 3 12
确定积分常数：
x0,0; C0
x0,y0; D0
×
q
A x
EI B x
l
y q (l2xlx21x3)
2EI
3
yq(1l2x21lx 31x4) 2EI2 3 12
§7–2 梁的挠曲线近似微分方程
挠曲线的曲率与弯矩间的关系为 1 M(x)
(x) EI
由高等数学可知，曲线的曲率为 1 y"
(x) [1(y')2]3/2
小变形下， 很小，(y')2 2 0，于是得
y" M(x) EI
×
x
x
M
M
M
M
y
M0
y" 0
y
M0
y" 0
y" M(x) EI
这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一 次可求转角，再积分一次可求挠度。
×
§7–3 积分法计算弯曲变形
为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为
EI"yM(x)
E' IE y I M (x)d x C 转角方程 E I yM (x )dx C d x D x 挠度方程
解题关键： ⒈ 正确建立梁的弯矩方程M（x）。若梁的各段弯矩方程 不同，需分段建立；