鲁教版八年级数学上册5.4多边形的内角和与外角和(2)
课堂小结
• 多边形的外角的定义； • 多边形的外角和的定义； • 多边形的外角和公式.
补充练习：
1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是 边形（ ）
A.7
B.6
C.5
D.4
2.一个多边形的内角和与外角和为540°，则它
6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则 它 的边数是_________.
7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它 的内角和为2880°，那么它的内角为_________.
8.已知多边形的内角和与某一个 外角的度数总和为1350°，求 多边形的边数.
是边形（ ）
A.5
B.4
C.3
D.不确定
3.若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是 边形（ ）
A.n=8 B.n=9 C.n＞9 D.n≥9
4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数 与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这 个多边形的边数为________.
5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 每个外角的度数为________，每个内角的度数 为________.
E'
A
A'
1
B
5
θ
2ELeabharlann αδB'
βOγ
D'
C
3
4
D
C'
结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于360°.
想一想：
• 如果广场的形状是六边形、八边形，那么 还有类似的结论吗？
多边形内角的一边与另一边的反向延长 线所组成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个多边形的外角和.
多边形的外角和等于360°.
想一想
• （1）还有什么方法可以推导出多 边形外角和？
• （2）利用多边形外角和的结论， 能否推导出多边形内角和的结论？
议一议
• 利用多边形外角和的结论，能推 导多边形内角和的结论吗？反过 来呢？
例1：一个多边形的内角和等于它 的外角和的3倍，它是几边形？
随堂练习
1.一个多边形的外角都等于60度,这 个多边形是几边形?
5.4 多边形的内角和与外角 和（2）
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步.
• （1）小明每从一条街道转到下一条街 道时，身体转过的角是哪个角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过的角度 之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+
• 3+ 4+ 5= ? 吗？你是怎样得到 的？
鲁教版数学八年级上册5.4《多边形的内角与外角和》教学设计2
鲁教版数学八年级上册5.4《多边形的内角与外角和》教学设计2一. 教材分析《多边形的内角与外角和》是鲁教版数学八年级上册第五章《几何图形的性质》中的一个重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了多边形的定义、多边形的边和角的概念、以及多边形的基本性质的基础上进行学习的。
通过学习本节内容，使学生理解并掌握多边形的内角和、外角和的概念，以及多边形内角和、外角和的计算方法，进一步培养学生的空间想象能力、抽象思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经具备了以下知识基础和能力：1.掌握了多边形的定义、多边形的边和角的概念；2.掌握了多边形的基本性质，如对边相等、对角相等等；3.具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力；4.具备了通过观察、操作、归纳、推理等方法解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解并掌握多边形的内角和、外角和的概念，以及多边形内角和、外角和的计算方法。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、归纳、推理等方法，培养学生的空间想象能力、抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：多边形的内角和、外角和的概念，以及多边形内角和、外角和的计算方法。
2.难点：多边形内角和、外角和的计算方法的推导和理解。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、思考，发现多边形的内角和、外角和的性质和计算方法。
2.归纳总结法：教师引导学生通过观察、操作、归纳、推理等方法，总结出多边形的内角和、外角和的性质和计算方法。
3.合作交流法：教师学生进行小组合作交流，共同探讨多边形的内角和、外角和的问题，培养学生的合作精神和交流能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、黑板、粉笔、投影仪等。
2.学具准备：学生每人一份多边形的内角和、外角和的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的定义、多边形的边和角的概念，以及多边形的基本性质。
鲁教版(五四制)八年级上册数学 5.4多边形的内角和与外角和(2)教案设计
周次：学科：数学主备人: 审核人：备课日期：授课日期：授课人：课题 5.4多边形的内角和与外角和（2）课型新授课时：1学习目标1、了解多边形的外角及外角和的定义，并能准确找出多边形的外角；2、掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题。
重点掌握多边形的外角和公式难点灵活利用内角和与外角和公式解决实际问题学习过程二次备课预习案一、温故知新1、多边形的内角和公式：2、三角形的外角3、如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步。
（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？探究案二、自主学习你的思路与小刚一样吗？与同伴交流。
想一想如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的。
多边形的外角和等于3600. 例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？三、巩固练习1、一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？2、一个多边形能否有4个锐角？为什么？四、课堂小结本节课我学会了什么？还有哪些疑惑？训练案当堂检测1、一个多边形的每个外角都是锐角，那么这个多边形的边数至少是（）A.3B.4C.5D.62、如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=700，则∠AED的度数是（）A.1100B.1080C.1050D.10003、一个四边形四个外角的比是1:2:3：4，则对应的内角的比是4、某多边形的内角和与外角和共10800，则多边形的边数为5、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
反思。
2024八年级数学上册第五章平行四边形4多边形的内角和与外角和第1课时多边形的内角和课件鲁教版五四制
归纳
已知边数求内角和，可直接代入 内角和公式： n边形内角和等于(n－2)×180° 求解．
例2 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°. ∠B 与∠D有怎样的关系? 解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝(4－2)×180°＝360°， ∴∠B＋∠D ＝360°－(∠A＋∠C) ＝360°－180°＝180°.
解：在四边形BEFG中， ∵∠EBG＝∠C＋∠D， ∠BGF＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝∠BGF＋∠EBG＋∠E＋∠F＝360°.
归纳
(1)化不规则为规则是转化思想中一种常见的方法， 它主要经历了两步：第一步找规则图形，第二步 将不规则图形的角转化到规则图形中；关键是找 规则图形．这类题一般有不同的解法，如本例还 可以将四边形DEFH作为基础四边形，请读者自 己完成其解法．
(1)正n边形的每个内角都相等，都等于
n
2 ×181080. °
n
(2)n边形的内角和与边数有关，每增加一条边，内角
和就增加180°.
(3)利用公式，已知n边形的边数可求内角和，同样已
知内角和也可求边数．
知识是力量， 梦想是翅膀。
(2)若图中没有已知的规则图形，则需通过作辅助线 构造规则图形．
1. 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算 正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果 不正确，请说明理由.
解：不正确． 理由：假设是正n边形，由多边形的内角和定理， 得(n－2)×180°＝n×145°， 解得n＝ 72 ，不是整数，所以不正确．
鲁教版八年级上学期5.4多边形的内角和与外角和
5.4多边形内角和与外角和1.多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形.（n 边形有n 条边，n 个顶点.）2.多边形分为凸多边形和凹多边形.凸多边形 凹多边形3. 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫多边形的对角线.4. 从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形.5. n 边形共有2)3(-n n 条对角线. 6.n 边形的内角和等于0180)2(⋅-n .n 是大于等于3的自然数.内角和随着边数的变化而变化：变数每增加1，内角和就增加1800.7. 在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫正多边形. 正多边形的每个内角都相等，都等于.18020⋅-nn 8. 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫这个多边形的外角和.9. 多边形的外角和都等于3600.证明：因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n 边形的外角和和内角和等于0180⋅n ，内角和为0180)2(⋅-n ，因此，外角和为.360180)2(180000=⋅--⋅n n10. 多边形外角和恒等于3600，与多边形的变数无关. 正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，都等于n360. 基础闯关1. 已知一个多边形的内角和是5400，则这个多边形是（ ）A. 四边形B.五边形C.六边形D.七边形2. 在五边形ABCDE 中，若∠A=1000，且其余四个内角度数相等，则∠C=（ ）A.650B.1000C.1080D.11003. 正多边形的一个内角度数为1350，则该多边形的边数为（ ）A.9B.8C.7D.44. 若一个多边形增加一条边，则它的内角和（ ）A.增加1800B.减少3600C.不变D.增加3600 5.一个正多边形的每个外角都等于360，则这个多边形是（ ）A.正六边形B. 正八边形C.正十边形D.正十二边形6.一个多边形的内角和是外角和的的2倍，则这个多边形是（ ）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形7.（2013烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为7200，那么原多边形的边数为（ ）A.5B.5或6C.5或7D.5或6 或78. 如图，小雪从O 点出发，前进4米后向右转200，再前进4米后又向右转200，...，这样一直走下去，她第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A.40米B.60米C.70米D.72米（8题图） （9题图） （10题图）9. 如图，4321∠+∠+∠+∠等于（ ）A.1800B.3600C.2700D.4500 10. 如图为五边形公园的抽象图，已知∠1=950，小梅沿公园边由A 点经F E D C B →→→→散步，则小梅共转了（ ）A.4450B.3600C.2650D.275011. 若凸n 边形的内角和为19800，则从一个顶点出发能引的对角线条数是 .12. 正n 边形的每一个外角是600，则n= .13. 已知一个多边形的内角和与外角和的差为14400，求这个多边形的边数.14. 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多200，求此正多边形的边数.15. 小刚在计算内角和时，得到的答案是52430，老师指出他把一个外角也加了进去.（1）为什么老师说小刚计算结果不是内角和？（2）求这个多边形的边数及这个外角的度数.能力提升16. 已知一个正多边形的内角和是5400，则这个正多边形的一个外角是（ ）A.450B.600C.720D.90017. 一个多边形的所有内角与一个外角的度数和为13700，则它的边数是（ ）A.7B.8C.9D.1018. 如图，4,3,2,1∠∠∠∠是五边形ABCDE 的外角，且,7043210=∠=∠=∠=∠则∠AED 的度数是（ ）A.1100B.1080C.1050D.1000（18题图） （19题图） （20题图）19. 在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则=∠α 0.20. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=450，直线l 与边AB ，AD 分别相交于点M ，N ，则 =∠+∠21 .21. 正n 边形的外角和与内角和相差1800，则n 的值为 .22. 已知过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则n p m )(-= .23. 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的52，求多边形的边数. 24. 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是28800，则原多边形的边数是多少？25. 一个n 边形的最大外角为850，其他外角依次减少100，求n 的值.26. 如图，求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.27. 如图，求7654321∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的大小.。
鲁教版-数学-八年级上册-5.4 多边形的内角和与外角和(2)
2.这五个平角和与五边形的 B
1A 6
5
内角和、外角和有什么关 2
E
系？
C
4
3
D
知识探究
五边形80°－(5－2) × 180° B 1
=360 °
6
5
2
E
C 3
结论：五边形的外角和等于360°.
4 D
由于∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°， ∠5+∠DEA=180°， 所以∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD +∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°， 又五边形的内角和为(5-2)×180°=540°， 即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540° 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°
知识探究
每个内角的度数是 n 2 •180
n 360
每个外角的度数是 n
知识应用
已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍， 求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360º， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得: n=6. ∴这个多边形的边数为6.
知识探究
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外 角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多
少？
B1
2
C
3
A6 D4
F
5
E
_ 5-4 多边形的内角和与外角和 22--23学年鲁教版(五四制)数学八年级上册
∴十边形的内角和为（10-2）×180°＝1440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180＝1800，解得n＝12，
故这个多边形的边数为12.
例1
（1）十边形的内角和为__________；
（2）如果一个多边形的内角和为1800°，那么这个多边形的边数是
________.
解析
（1）∵n边形的内角和为（n-2）·180°，
（n＋1-2）×180＝1440°，解得n＝9.
故原多边形的边数为9.
点拨 本题也可以利用多边形边数每增加1，其内角和就增加180°这一
规律来解答，即原多边形的内角和为1440°180°，若设原多边形的边
数为n，则可得方程（n-2）×180°＝1440°-180°，解得n＝9.
题型二
求多边形中角的度数
数时，通常根据多边形的外角和定理来解答，并且与多边形内角
和与外角和有关的问题，通常借助方程思想来解答.
经典例题
题型一
应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的
边数.
题型一
应用多边形的内角和公式求边数
例1 若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的
＋30°＋a，
∴n-2＝13，30°＋a＝180°,则n＝15，a＝150°.
故这个多边形的边数是15，∠A的度数是150°.
题型二
求多边形中角的度数
例2 一个多边形除一个内角∠A外，其余所有内角之和为2190°，
求出这个多边形的边数及∠A的度数.
解析
设此多边形的边数为n，∠A的度数为a，
则（n-2）·180°＝2190°＋a，即（n-2）·180°＝12×180°
鲁教版数学八年级上册 5.4多边形的内角与外角和(1)(2)h
5.4 多边形的内角与外角和（1）学习目标：1.探索多边形的内角和公式，会用多边形的内角和公式解决相关问题。
学习重点：多边形的内角和公式的探究及应用。
第一模块：自学设计自学任务：1、阅读课本143-144页，解答下列问题：三角形的内角和等于多少度？2、从五边形的一个顶点出发可以画 条对角线，这些对角线把这个五边形分别分成了 个三角形；类比归纳，从n 边形的一个顶点出发可以引 条对角线呢，这些对角线把这个n 边形分别分成了 个三角形，利用分割的三角形个数推导n 边形的内角和公式，归纳：多边形内角和公式：n 边形内角和等于_______________.自学诊断;（1）十二边形的内角和是_____ _.（2）在四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，∠B 与∠D 的关系是第二模块：训练设计1．六边形的内角和等于_______度．2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．正十边形（每条边相等，每个内角相等的十边形）的每一个内角的度数等于______达标测试(每题2.5分,共10分)1、n 边形的内角和是_______.2、已知一个多边形的每个内角为140度，则这个多边形是______边形.3、若一个多边形边数加1，则这多边形的内角和增加_______.4、下列角中能成为一个多边形内角和的是____.A 270度B 560度C 1800度D 1900度选做：在2008年的北京奥运会上有很多设计美丽的多边形花坛，猜想：是否存在一个内角和为2008°的多边形花坛?第四节多边形的内角与外角和（二）【学习目标】1.了解多边形的外角及外角和的定义，并能准确找出多边形的外角；2.掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题。
【学习重难点】重点：多边形外角和定理.第一模块：自学设计一、自学任务：1、n边形的内角和为。
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：54多边形的内角和外角和(2)
1.任意一个外角和他相邻的内角有
1
什么关系？
B
2.五个外角加上他们分别相邻的五
6
5
2 个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、
E
外角和有什么关系？
C
4
3D
探究在n边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做内角和
1 =n×180 °-(n-2) × 180° B
通过这节课的学习你 有哪些收获？
作业
八年级上册第五章 平行四边形
多边形的内角和与外角和（2）
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之 后回到点A.最后再转回出发时的方向.在行程中所转的各个角的 和，就是多边形的外角和.
例1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外 角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边 形的外角和等于多少？
=360 °
2
结论：
C
n边形的外角和等于360°3 D
A n F
45
E
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角 的和等于一个周角.
即：多边形的外角和等于360º
练一练
1.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是_____.
2.正五边形的每一个外角等于____，每一个内角 等于_____ 3.已知一个多边形，它的内角和等 于外角和 的2倍，求这个多边形的边数.
鲁教版八年级数学5.4多边形的内角和与外角和课后练习题2(附答案)
鲁教版八年级数学5.4多边形的内角和与外角和课后练习题2（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°4．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A．141°B．144°C．147°D．150°6．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）A．6B．7C．8D．97．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°C．180°或360°D．540°或360°或180°8．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是（）A．3B．4C．6D．129．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD＝52°，∠ABC＝116°，∠ACB＝α°，则∠BDC的度数为（）A．αB．C．90﹣αD．90﹣α10．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为（）A．1620°B．1800°C．1980°D．2160°二．填空题（共10小题）11．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是边形．12．过九边形的一个顶点有条对角线．13．p n表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数P4＝1，五边形对角线交点个数P5＝5．则六边形对角线交点个数P6＝；发现P n＝n（其中a，b是常数n≥4），则P12＝．14．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．15．一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n＝．16．若n边形的每个内角都等于150°，则n＝．17．一个多边形的每个外角都是1°，那么这个多边形的边数是．18．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是边形．19．一个正多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是．20．一个六边形ABCDEF纸片上剪去一个角∠BGD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°则∠BGD＝．三．解答题（共8小题）21．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做条对角线；同样，经过B点可以做条；经过C 点可以做条；经过D点可以做条对角线．通过以上分析和总结，图1共有条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有对角线．22．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）23．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画条对角线，过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线（用含n的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）24．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）25．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为．26．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：（1）这个多边形是几边形？（2）这个多边形共有多少条对角线？27．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．28．一个多边形的每一个外角都相等，且都为36°，求多边形的边数及内角和．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°，故选：A．2．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【解答】解：∵五边形AOEFG的外角和为360°，且∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，∴∠AOE的邻补角为360°﹣225°＝135°，∴∠BOD＝180°﹣135°＝45°，故选：C．3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠P AB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠P AB+∠ABP）＝15°．故选：B．4．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．故选：C．5．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A．141°B．144°C．147°D．150°【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，（5﹣2）×180°÷5＝108°，∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°．故选：B．6．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．7．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（）A．360°B．540°C．180°或360°D．540°或360°或180°【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故选：D．8．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍，则该正多边形的边数是（）A．3B．4C．6D．12【解答】解：360°×2÷180°+2＝720°÷180°+2＝4+2＝6∴该正多边形的边数是6．故选：C．9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD＝52°，∠ABC＝116°，∠ACB＝α°，则∠BDC的度数为（）A．αB．C．90﹣αD．90﹣α【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，∵∠ABD＝52°，∠ABC＝116°，∴∠DBC＝∠CBE＝64°，∴BC平分∠DBE，∴CE＝CF，又∵AC平分∠BAD，∴CE＝CG，∴CF＝CG，又∵CG⊥AD，CF⊥DB，∴CD平分∠BDG，∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAB＝（∠DBE﹣∠DAB）＝∠ADB，∴∠ADB＝2∠ACB＝2α°，∴∠BDG＝180°﹣2α°，∴∠BDC＝∠BDG＝90°﹣α°，故选：C．10．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为（）A．1620°B．1800°C．1980°D．2160°【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，故该多边形边数为12，∴（12﹣2）•180°＝1800°，∴这个多边形的内角和为1800°．故选：B．二．填空题（共10小题）11．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是12边形．【解答】解：由题意可知，n﹣2＝10，解得n＝12．所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．12．过九边形的一个顶点有6条对角线．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故答案为：613．p n表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数P4＝1，五边形对角线交点个数P5＝5．则六边形对角线交点个数P6＝15；发现P n＝n（其中a，b是常数n≥4），则P12＝495．【解答】解：由画图，可得：当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5．将数值将P4＝1，P5＝5代入公式，得：，解得：，∴P n＝n•••，∴六边形对角线交点个数P6＝15，P12＝495，故答案为：15，495．14．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝5，解得n＝7．故这个多边形是七边形．故答案为：七．15．一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n＝8．【解答】解：∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，∴n﹣3＝5，解得n＝8．故答案为：8．16．若n边形的每个内角都等于150°，则n＝十二．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．故答案为：十二．17．一个多边形的每个外角都是1°，那么这个多边形的边数是360．【解答】解：多边形的边数是：360°÷1°＝360，故答案为：360．18．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是十边形．【解答】解：设这个多边形有n条边．由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，解得n＝10．则这个多边形是十边形．故答案为：十．19．一个正多边形的内角和与外角和的比是4：1，则它的边数是10．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180＝1440，解得：n＝10．则此多边形的边数是10．故答案为：10．20．一个六边形ABCDEF纸片上剪去一个角∠BGD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°则∠BGD＝80°．【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝440°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣440°＝280°，∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝80°．故答案为：80°．三．解答题（共8小题）21．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（用含n的式子表示）（4）特例验证：十边形有35对角线．【解答】解：经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有2条对角线．（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有条对角线．（4）特例验证：十边形有＝35对角线．故答案为：（1）1，1，1，1，2；5，9；；35．22．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．23．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A2可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A3可以画（n﹣3）条对角线（用含n 的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？有重复③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）【解答】解：故答案：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）（2）有重复（3）24．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．所以共有132种分割方案．25．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是∠1＝2∠A；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为28°．【解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．（3）如图③，∵∠1＝∠DF A+∠A，∠DF A＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．故答案为：∠1＝2∠A；28°．26．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：（1）这个多边形是几边形？（2）这个多边形共有多少条对角线？【解答】解：（1）设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°＝4×360°，∴n＝10．（2）10×（10﹣3）÷2＝35（条）．27．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，n﹣2＝6﹣1，n＝7．∴这个多边形的边数是7．28．一个多边形的每一个外角都相等，且都为36°，求多边形的边数及内角和．【解答】解：360°÷36°＝10，（10﹣2）•180°＝1440°．故多边形的边数为10，内角和为1440°。
2021秋八年级数学上第五章平行四边形5、4多边形的内角和与外角和第2课时多边形的外角和鲁教版五四制
(2)如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝40°，请 求α，β所满足的数量关系式，并说明理由；
解：β－α＝80°. 理由：如图，连接BD.
由(1)得，∠MBC＋∠NDC＝α＋β. ∵BE，DF 分别平分四边形 ABCD 的外角∠MBC 和∠NDC， ∴∠CBG＝12∠MBC，∠CDG＝12∠NDC， ∴∠CBG＋∠CDG＝12∠MBC＋12∠NDC＝12(∠MBC＋∠NDC) ＝12(α＋β)．
C．900° D．1 440°
9 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角， 且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，则∠AED的度数是
(C ) A．88° B．98° C．92° D．112°
【点拨】根据多边形外角和定理得到∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4＋∠5＝360°， ∴∠5＝360°－4×68°＝88°， ∴∠AED＝180°－∠5＝180°－88°＝92°.故选C.
∵∠BCD＝∠CDH＋∠DHB， ∴∠CDH＝∠BCD－∠DHB＝β－∠DHB， ∴∠CBE＋β－∠DHB＝12(α＋β)． ∵α＝β， ∴∠CBE＋β－∠DHB＝12(β＋β)＝β， ∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF.
15 请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图①，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB 的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝ ___1_2_5_°__．
第五章平行四边形
5.4.2 多边形的外角和
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1D 2C 3C 4 40°
5 296° 6C 7B 8D
答案呈现
9C 10 A 11 十二 12 12
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13 45° 14 15