基于排队论的病床安排动态规划模型
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
医院病床安排的数学模型及算法分析
信 息 技 术
医院病 床 安排 的数学模 型及 算法分析
顿 毅 杰 马 明
（ 西北民族 大学 计算机科学与信 息３ 程学院 ， － ＂ 甘肃 兰州 ７ ０ ３ ） ３０ ０
摘 要： 医院病 床 的合理 安排 是病人 和 医 院共 同关注 的问题 。 理论 上这 一 问题 有排 队论 和规 划论 的特 点。 考虑 到病 人 、 床和 手术之 病 间的 流程 关 间 、 平 平均 逗 留时 间 、 均等待 队 长和 住 院率 来作 为评 价指 标 ． 些指标 可以 充 平 这
分 反 映 医 院病 床 安 排 的 优 劣 。
关键词 ： 排队模 型 ； 系统 仿真 ； 支限界 算法 分 １问题简述 当前医院实行 的 Ｆ Ｆ 规则可 看作是一个 ＣＳ 单 队列 多服务 台的排 队模型 ，不能有效地分配 医院资源 。 因此我们把病 人按照手术类 型分 为 ４ 个 队列 ， 将病床 当作服务 台， 建立 了一个 ４ 队列 多服务 台的具有优先权 的排队模型急症优先权 是非强拆型的。 型中的服务规 则为“ 模 当前选 中 的病人总平均逗 留时 间最 短” 同类 型内部先 和“ 果暂时没有病床 ， 则等待住院 ， 因而等待 的人 数 及空间在理论上是无 限制 的。病人按 照先 到先 服务 的规则 ， 排成 一队 ， 依次 住院 ； 病人住 院 从 到出院表示服务完 成， 离开排队系统。 先到先服 其 中 ， １ ， ｏ … ，Ｊ 选 中住 院的 ， ｊ ， ｘ ＝ …４ ＝ 表示 务规则可看作是一个单 队列多服务 台的排 队系 第 ｉ 类病人中第 ｉ 个病人的逗 留时间 ，规定 ｃ ｉ ｏ ＝ 统 ， 中， 其 服务台 即为病床。因此 。 问题构成了一 ０ （ ｌ ，ｉ ， ＝ …４ ｏ 个具有 ２ 队列 ，９ 个 ７ 个服务台的排 队系统 。 假设 ５模型 的求解 ｆ急症病人具有 优先权的 ， ２ 】 是非强拆 晴形 急症 （ 利用计算机编程对周六 、 日可安排手术 周 病人有优先住院权 ，但无权赶走正住 院的其 它 与周六 、 日 周 不安排手术 的两种情况 分别进行 病人 ）但按照先到先服务的规则进行排队会导 模拟 解 。 。 致等待住院病人 队列越来越长 ， 不能有效 的利 ５ 算法描述 ． １ 用医院资源。 整个过程用 计算机 ， 照模 拟计算完成 ， 仿 其 ４模型的建立与求 解 计算原则概括如下 ： 显然 ，医院的病床服 务系统既有 离散 时间 ５． ．１初始 状态 ； １ 初始 日期天 数设 置为 ｌ ， 排队系统 的特点又有规划模 型的特点 ， 但在 服 用 １ 来递增 天数循环 开始模拟 ； 务的时间约束方面不 同于服务 系统 ， 在动态性 ５． ． １ ２一旦 有 出院 ， 出现空床 位 ， 开始进 则 质上又 区别于线性规划结构 ， 因此 ， 建模时 既要 行床铺分 配 ， 分配时优先考虑 急症 ， 选择总 然后 考虑系统 结构 ， 又要考虑 内部的优化选择。 逗 留时 间小 的人数 分配原则进 行分配 ，若无床 ４ ． １系统结构模型的建立 位则加入等待队列 ； 因为各 类病 人服 务方 式与 服务 时 间的不 ５ ３ 对每 个进 入到及 出院 的人 的信息 进 ． １ 同 ， 以我们把病人分为 四大类 ， 所 建立一个 四队 行记 录， 随后天数增一继续模 拟第 二天的情况 ， 列多服务台的具有 优先权 的非强拆排 队模型。 以此类推 ； 急症 病 人 （ 优先 权 ）白 内障 、 内障 （ 、 白 双 ５ ４ 天数到达所设 定的数值后结束循 环 ， ． １ 眼） 、 其他病人 病床 出院 对记录到的数据进行计算 分析。 ４ ． 院病床安排模型 ２住 ５ ． ２参数 的确定 根据问题要求 ，我们对不 同的眼科疾病所 在进行仿真时 ， 要用 到一些 参数来计算 评 花费的时间进行分析 ，总结 出两个可有效 降低 价指标 ， 中包括 其 住院病人总逗 留时间，从而提高对 医院资源的 病人的住院时间 ： ｚ ： ｓｚ ｙ ｓ ｂ＋ ｚｓ ｌｓ＋ ｅ ｓ ｃ ｓ＋ Ｗ 有效利用的两个规则。 规则 １ ：当前选中住 院的病 人的总逗 留时 动手术 日期 ： 间最小（ 最小逗 留规则 ） ｓｄ ＝ ｂ ｓｚ ｚｓ ｓ ｓｂ ｌｓ 规则 ２ ：每类病人 内部遵循 先到先服务 原 出院时间 ： ｃ ＝ ｓｄ＋ｅ Ｓ ｙ ｓ Ｃ Ｓ＋ Ｗ 则 在 ４队列多服务台 的具有优先权 的病房排 逗留时间 ： ｄ ＝ ｄ ｌ ｒ＋ ｓ ｚ － ｌ ｓ ｅ ｓ ｓ ｂ４ ｚｓ ＋ ｃ ｓ＋ ｗ 队模型 内部需要进行住 院病 床安排 ， 下面我们 干用以上两规则建立住 院病床安排模 型。 Ｕ 分别给 出周六 、 日可安排手术和周六 、 周 周 设 某天（ 例如 ｂ日 这一 天 ） 一些病 人出院后 日 不安排手术情形 下的距 离可动手术时间。分 共有 Ｎ个 空床 （ 腾出的和原 空的 ）目前等 待 析可知 ， 、 日 新 ， 周六 周 不安排手术在住院安排模 型 住院的外科 急症病人 （ 第一类 病人 ） 共有 ｎ 个 ， 中仅对急症 和其它疾病距 离可 动手术时间有影 白内障 （ 眼 ） 人（ 单 病 第二类病 人 ） 共有 ｎ个 ， 响 ， 以可 预测其 它疾病 对 白内障的队长不影 白 所 内障（ 双眼 ） 病人 （ 三类病 人 ） 第 共有 ｎ个 ， 他 响 ， 固定其 它疾病和急 症情况 下 ， 其 在 周六 、 日是 病人 （ 四类病人 ，包括视网膜疾病 和青光 眼 否安排手术对 白内障无影响。 第 等） 共有 ｎ个 ， ４ 现要从四类等待住院的病人中分 ６结果 分析 别选出 ｘ，， ， 位病人住 院， ｌ ４ ｘ ｘｘ 当然要遵循 急症 ６ ． １评价指标选择 优先的原则 ， 显然 ， ｎ ｎ ｎ Ｎ条件 下 ， 在 柙 ＋ － 应 对两个方案建立评 价指标 体系 ，评价这 两 满足 ｘ ｘ ｘ Ｎ且 ｎ ｎ ｎ ４ ｌ ＋ ４ ＝ ｔ ２ ｎ Ｎ条 件下 ， ＋ ＋ ＜ 应 个方案 的优 劣。因该 问题 是一个 整体排 队的问 满足 Ｘ ｎ Ｘ Ｈ，－ ３４￣即（ ｌ ｌ２ ２３ｌＸ １ ＝ ，＝ Ｘ ｌ，－ ￣ － 床铺 满员原则 ） 题 ， ， 对于一个排 队方案 的优劣主要由该排队系 则在规则 ２ 和规则 ３ 条件下可建立病床安排 模 统 的平均 等待时间 、 平均服 务时间 、 逗留时 平均 型 ： ｍｎ ｉｆ： 间和平均等待队长等主要 因素决 定日 所 以决定 。 对该 问题 的评 价指标 体 系 由平均 等待 入 院时 Ｓｔ 间、 平均住院时 间 、 平均逗 留时 间和平 均等待队 长和住院率构成。 ＋ ＋ Ｎ 若∑忙≥ ＋ ＿＝ Ｎ ①｛ ６ ． ２结果对 比 ｌ‘＝ ， １ ， 若 ｎｉ ， ４ ∑＿＜ ＝… Ｎ 使用 Ｍ ｔ ｂ 件按 照上述 过程 进行 编程 ａａ 软 ｌ
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
医院床位安排排队系统研究
ｈ ｓ ｉ ｌ ｅ ｓａ ｄ ｍａ ｅ ｂ ｓ ｓ ｆｍｅ ｉａ ｅ ｏ ｒ ｅ ． ｏ ｕ ｕ ｎ ｌ ｏ ｉ ｍ ｎ ｅ ｆａ ａ ｔ ｇ ｑ ｅ ｉ ｇ ｍ ｏ ｅ ｒ ｒ ｐ ｓ ｄ ｏ ｐ ｔ ｄ ｎ ｋ ｅ ｔ ｅ ｏ ｄ ｃ ｌ ｓ ｕ ｃ ｓ Ｓ ｍｅ ｑ ｅ ｉｇ ａｇ ｒｔ ａｂ ｕ ｒ ｈ ａ ｄ ｓ ｌ－ ｄ ｐ ｉ ｕ ｕｎ ｄ ｌｗｅ ｅ ｐ ｏ ｏ ｅ ． ｎ
Ｖ０ ．３ ＮＯ １ １ ． ２ Ｍ ａ ０ ０ Ｌ２ １
医院床 位安排排 队系统研究
程望斌 周海燕 ２ ，
（． １ 湖南理工学 院 信息与通信 工程学 院，湖南 岳 阳 ４ ４ ０ ； ． 阳职业技术学院 临床医学系，湖南 岳 阳 ４ ４ ０ ） １０ ６ ２岳 １００ 摘
一
改善 病房 管理 、挖掘 内部潜 力 、增强 服务 能力 具有重 要 意义 ．
眼科病床合理安排数学建模优秀
眼科病床合理安排数学建模优秀眼科病床合理安排摘要本文讨论了病床的合理安排问题，属于优化问题中的排队问题。
我们根据始数据利用EXCEL软件进行了统计分析，得出各类眼科病人的平均等待时间等相关数据信息。
对于问题一，我们综合考虑医院与病人的利益，提出了平均病床周转次数A、病人住院平均等待时间B、等待住院病人队列长度C、等待住院病人队列变化趋势这四项评价指标，用以对病床安排模型的优劣进行评价。
并利用该评价指标体系对医院当前的病床安排模型进行了评价。
对于问题二，我们基于医院的当前情况，以平均病床周转次数A为优化目标，以改进后的优先非抢占排队思想为依据，采用优先级随时间变化的规则来进行病床安排，并根据五类眼科病人的平均住院时间设置了初始优先度值，建立起单目标优化模型一。
我们利用模型一对前来门诊的病人重新进行病床安排，得出了相关结果。
由结果我们可以看出，模型一可以较好的解决医院的等待住院病人队列越来越长的问题。
我们利用问题一里确定的评价指标体系对模型一进行了评价，并将其与医院当前采用的模型进行了对比分析，突显出模型一的优势。
对于问题三，我们根据问题二里得出的病人信息，统计出了各类病人的平均等待时间和等待队列长度，发现在模型一的病床分配方案下，每天门诊总病人数与出院总人数大致平衡。
于是，我们可以根据各类病人的等待时间分布来给出门诊病人的入院时间区间：外伤：1天；视网膜疾病：（10，15）天；青光眼：（7，12）天；白内障单眼：（4，8）天。
白内障双眼病人需视门诊时间而定。
对于问题四，在周六、周日不安排手术的情况下，利用模型一重新对病人进行入院安排，并用评价指标体系对结果进行了评价，发现分配结果并不理想，等待队列长度很长，且等待入院的病人队列会越来越长。
因此，我们认为医院手术时间应该调整，我们建议将白内障双眼病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。
对于问题五，我们利用多服务台排队系统c/来进行求解。
排队问题的三种方法
排队问题的三种方法排队问题是一类经典的图论问题，通常涉及到在一条流水线上安排生产任务或者服务请求，使得所有任务或者请求都能够及时完成，本文将介绍三种解决排队问题的方法。
方法一：贪心算法贪心算法是一种简单的算法思想，通过每次选择最优解来得到全局最优解。
在排队问题中，贪心算法可以通过不断尝试最坏情况来得到最优解。
具体来说，我们可以从最后一个待安排的任务开始，依次将当前任务和已经安排的任务进行交换，直到任务队列为空。
这种方法能够保证所有的任务都能够及时完成，但是可能会出现任务队列为空的情况，也就是没有任务可以安排。
方法二：动态规划算法动态规划算法是一种通过构建状态转移方程来求解问题的方法，通常适用于问题的规模较大或者最优解不是唯一的情况。
在排队问题中，我们可以将任务队列看作是状态，任务等待时间和执行任务的时间看作是状态转移方程。
具体来说，我们可以从最后一个待安排的任务开始，依次计算出当前任务需要等待的时间和已经安排的任务需要执行的时间，然后将当前任务和已经安排的任务进行交换，直到任务队列为空。
这种方法可以得到最优解，但是需要计算大量的状态转移方程。
方法三：图论算法图论算法是一种通过构建图来分析问题的方法，通常适用于问题的规模较大或者最优解不是唯一的情况。
在排队问题中，我们可以将任务队列看作是一个图，任务之间的等待关系看作是边，然后通过最小生成树或者贪心算法来得到最优解。
具体来说，我们可以从最后一个待安排的任务开始，依次将当前任务和已经安排的任务进行交换，直到任务队列为空。
这种方法可以得到最优解，但是需要计算大量的边。
以上三种方法是解决排队问题的常见方法，贪心算法适用于没有最优解的情况，动态规划算法适用于有多个最优解的情况，图论算法适用于问题规模较大的情况。
此外，排队问题的拓展应用还有很多，例如排队论、排队系统、排队论模型等。
一篇优秀的数学建模论文可以分为两类
一篇优秀的数学建模论文可以分为两类：第一类，虽然结果并不如意，可是模型设计以及算法思想非常新颖，论文中分析透彻。
第二类，虽然模型中的思想算法解释并不清楚，可是所得结果完全正确。
对于全国赛来说，第二类型的论文获奖概率大，而第一类型的论文更加适用于美国赛。
论文总体可以分为摘要、问题重述、问题分析、模型假设与符号约定、模型分析与建立、模型求解、模型验证以及模型的推广与应用八大部分。
对于评委来说，总体印象是最为重要的。
论文写作是建模最后的一环，也是最关键的一环。
一篇优秀的论文首先给人的感觉是逻辑清晰、有条理；其次，论文在语言上的表述也很重要，要注意用词的准确性。
分析要中肯、确切。
相关术语要专业、内行；原理要准确、明晰；表述要简明、直观，便于比较分析；数值结果表示也要精心设计表格，尽量用数形结合的方式阐述求解的过程和步骤。
另外，一篇好的论文应有闪光点，有自己的特色和创新点，有自己的想法和思考。
接下来，谈一些看了一些全国赛论文以后的认识。
一、团队合作首先，一个团队由3个人构成，3个人必须分工明确并且对于不同的分工也最好是精通的。
在分工明确的基础上，也应该相互帮助，减少队友的负担。
团队精神是一个团队取得比赛胜利的关键。
队友之间应该相互扶持，相互体谅，相互鼓励，相互督促，我们不是孤军奋战，即使一篇论文犯了一个严重的错误，这也不是一个人的原因，这是一个团队，在一个团队中，没有自我，只有集体。
然后撰写论文的过程中，每个人可能都持有不同的意见，因此团队讨论也十分重要。
在讨论的过程中，思想的火花一次又一次的碰擦，会产生更多的创新的点子，使论文更上一个层次，结构更加严谨，从多方面考虑问题。
但是思想的磨合还是要有限度的，在规定的时间里要想有一篇完整的论文，必须首先确定本次论文的主题，不能无休止的讨论一个问题，要有轻有重，分清枝干，然后有层次的讨论，在意见始终不同意的情况下，撰写论文者必须得统一一个观点。
最后的是每个队员都得有信心，遇到再大的困难也要有勇气坚持下去。
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
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基于排队论的病床安排动态规划模型
参赛学生：周雨微 (2007 级国际商务) 缪 丹 (2007 级国际商务) 赵 泽 (2007 级行政管理)
指导教师：刘淑环
参赛时间：2009 年 9 月 11 日 8：00 ——9 月 14 日 8：00
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基于排队论的病床安排动态规划模型
摘要： 本文针对某医院眼科病床住院排队等待队伍过长， 医院资源没有得到充分利 用的问题： 首先，建立了改进病床安排的三个评价指标：病人平均逗留时间、病床使用 率和平均住院日，并按照重要程度赋给相应权重，构建了一个评价指标体系； 然后，根据病人就诊过程的历史数据，对每天到达医院进行门诊的病人数量 及每天出院的病人数量进行了假设检验， 确定了每天到达门诊部的病人数量服从 泊松分布，每天出院人数服从指数分布； 接着，由于医院采取的是简单的 FCFS 排队原则，导致病人等待住院队伍越 来越长，为了改善这一状况，本文提出了一个动态规划模型：将病人在医院系统 内的逗留时间分成等待入院时间、等待手术时间以及留院观察时间三个阶段，以 逗留时间最短为目标函数建立了动态规划模型， 病人依次通过这三个阶段就完成 了一次就诊过程，各个阶段之间有状态转移。依次求解三段时间的最小值，从而 得到了使得病人逗留时间最短的病床分配方案：对留院观察阶段，各类病人的留 院观察时间不能改变， 因此对样本数据取平均值， 以表征该阶段的平均时间长度； 对等待手术阶段，根据该医院现有的时间安排限制，得到了为使得等待入院时间 最短的病床安排策略，即尽量使得病人的等待手术时间接近或等于手术准备时 间，从而让病人在医院病床上停留的时间最短，病床使用率最高，医院资源得到 最充分的利用；对等待入院阶段，利用排队论的基本原理，根据等待手术阶段确 定的病床分配原则，计算得出最短的等待入院时间，再把三段时间加总求得病人 的最短逗留时间。 接下来，我们用上述三个评价指标对该模型进行了评价，得到系统平均队长 由 166.8744 缩短为 77.20559，病人的平均逗留时间由原来的 19.20304 缩短为 8.884418，说明了我们所建模型的有效性。然后对病人的平均等待入院时间、等 待手术时间求和，结合新确定的病床安排规则，考虑最快和最慢两种极端情况， 得到了每一位病人的入院时间估计方法。对问题四中周六、日不做手术的调整， 我们将各种可能对比，取住院时间最短的方案，得到了新的手术时间安排表，即 将每周三和周五确定为固定进行白内障手术的时间，其他规律不变。 最后，我们考虑固定各类病人床位数的新条件，将四类病人看成四个不同的 排队子系统分开排队，类比排队论优化中的最优服务台数计算方法，分别求出四 类病人的最佳床位数，对其取整之后得到四类病床的分配比例为白内障（双眼） ： 白内障：外伤：青光眼：视网膜疾病=19：10：8：21：21。这样我们就建立了一 个较为合理的病床分配方案，并得到了在不同约束条件下的次优选择。 关键词： 排队论 病床 动态规划 病人逗留时间
2、问题分析
针对题中住院部按照 FCFS 原则安排住院却导致等待住院病人队列越来越 长以及手术安排不合理的情况： 首先，我们从病人的平均逗留时间、病床使用率、平均住院日这三方面考 虑，建立了三个指标构成的评价体系来评价该医院现有的病床安排制度的优劣； 然后，结合医院现有的条件限制，对附录数据一的分析，我们把病人在整 个就诊过程中的等待时间分成三部分：等待入院时间、等待手术时间、留院观察 时间，并从病人角度出发把病人从门诊到入院的过程（即等待入院时间）看做是 一个等待制排队系统， 将病人的等待手术时间按医院所需准备手术的时间作为限 制，加上病人留院观察的时间，把病人整个就诊过程所需时间最短为优化目标， 建立一个基于排队论的动态规划模型，并用建立的评价体系评价所建立的模型。 接下来，根据病人的门诊时间，将排队的队伍长度与等待时间看成正比关 系，算得最短的等待时间；然后将每天都不满员的情况下病人所要等待的时间视 为最长的等待时间，从而得到病人的等待入院时间区间。 最后，如果医院周六、日不安排手术，需改变手术安排方案，使得改变条 件之后的方案仍然能够满足病人等待时间最短的要求。 针对有人提出的固定床位 比例的方法，我们将病人分成白内障（双眼） 、白内障、外伤和其他四类，看成 四个排队子系统，分别计算各类病人的最佳服务台数，即最佳病床数，然后将四 类的最佳病床数相比，求得四类病床在总和为 79 的约束条件下的最佳配比。
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年 07 月 13 日到 2008 年 09 月 11 日的病人信息的第一部分数据，可求得病人的 平均逗留时间是 19 天。 （见附录数据） 3.2.2 病床使用率： 病床使用率是反映医院工作效率的一项重要指标，它既反映工作量，涉及到 经济效益问题。本文中根据国家卫生部发布的《医院审查评价指南》知，病床使 用率是指“实际占用总床数”与“实际开放总床数”之比，该病床使用率应满足： 病床使用率>90%。根据附录数据一，我们计算得出该医院在现有的状态下的病床 使用率为 89.56%。 3.2.3 平均住院日： 与一般文献使用病床情况的指标相比，我们把平均住院日引入了指标体系， 认为：平均住院日是指“出院者占用总床日数”与“出院人数”之比，这样，该 式中的 “出院者占用总床日数” 也与病床使用相关系起来， 这样更有说服力。 （其 中，出院者占用总床日数=出院者住院日数的总和）根据国家卫生部发布的《医 院审查评价指南》知，平均住院日应满足：平均住院日<16 天。同样根据附录算 得平均住院日是 9 天，符合国家要求，但距离病人的实际需求还有一定差距。 3.3 评价指标体系 我们结合病人和医院，选用了上述三个评价指标来构成一个评价体系，通过 相关文献介绍和判断，我们将这三个指标看作是影响病床安排因素中主要的因 素，再考虑到影响指标的各种因素，采取经验定性和层次分析法定量的方法，利 用正交矩阵归一化处理得出其权重系数比为：病人平均逗留时间：病床使用率： 平均住院日=5：3：2，从而大致评价病床安排的优劣情况。 （见表 1）
由边界条件出发 ， 由基本 方程可以算出每 一阶段的 Fk nk ， 最后可得 Fn bk Fm 0 为全过程的最优解，即最短时间。 4.3 问题二的分步求解 4.3.1 等待手术时间 t 2 按照之前的分类，我们将病人仍分成四类：白内障（双眼） ，白内障，外伤， 其他（青光眼，视网膜疾病） 。其中，白内障（双眼）算到做完第二次手术时为 止，因此要在此基础上每一个数值加上 2 天。由于受到医院自身条件限制，只安 排在每周一、三做白内障手术，且白内障（双眼）第一次手术只安排在周一；每 周二、四、五、六、日可以进行青光眼、视网膜疾病的手术；外伤病人可以在每 周的任意一天进行，就诊时有空床位的情况下，立即入院，入院第二天就进行手 术。结合以上条件和各类病人所需的术前准备时间，各类病人在一周内任意一天 住院，需等待手术的最短时间，如表 2 所示： 表 2：等待手术时间表
3、问题一：评价指标体系
3.1 初选评价指标的确定 评价指标的确定是医院病床安排合理的评价基础。 基于查阅国内有关评价指 标设定、文献资料和当前国家卫生部官方发布的《医院审查评价指南》 ，我们选 取了病人的平均逗留时间、病床使用率、平均住院日这三个指标来作为医院病床 合理安排评价指标体系的量化指标。 3.2 评价指标的分析 3.2.1 病人平均逗留时间 病人平均逗留时间是指病人门诊时间到病人出院所间隔的天数。根据 2008
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状态转移方程为： nk nk 1 bk bk 1 ， 允许决策集合为： Dk bk bk | 0 bk k ，
k bk x k ,79，
从第一阶段到第三阶段的总时间为： b h Fk n k min [ f k k hk k Fk 1 nk 1 ] bk Dk n k 79 79 则问题的基本方程为：
表 1：评价指标权重系数表 平均逗留时间 外伤 白内障（双眼） 白内障 其他 5 5 5 5 病床使用率 3 3 3 3 平均住院日 2 2 2 2
4、问题二：基于排队论的动态规划模型
4.1 问题二的分析 医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象， 这是由于病人到达的随机 性，所以排队现象是不可避免的。如果医院增添服务人员和设备，就要增加投资 或发生空闲浪费；如果减少服务设备，排队等待时间太长，对病人和社会都会带 来不良影响。为了让医院现有的设备资源充分利用，我们建立一个基于排队论的 动态规划模型，使得病人在整个就医过程中所停留的时间最短。 4.2 问题二的模型建立 动态规划，一般用于解决与时间概念有关的规划问题，其特点就是将问题按 照时间或空间特征分为若干个阶段，从而将整个问题转化为多阶段的决策问题。 在本题中，根据动态规划的一般形式，病人在系统中所经历的不同阶段可以看成 不同的连续时间段，从而将问题分割成等待入院时间、等待手术时间和留院观察
星期一 白内障（双眼） 白内障 其他 外伤 9 2 3 1六 7 5 2 1 6 4 2 1 5 3 2 1 4 2 3 1 星期天 3 1 2 1
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时间。规划目标为病人在系统中停留的总时间最短，而病人在系统中停留的总时 间可用下式表示： 病人逗留的总时间=等待入院时间+等待手术时间+留院观察时间（见图 1）
等待入 院时间
等待手 术时间
留院观 察时间
门诊时间
入院时间
手术时间
出院时间
图 1：病人就诊过程示意图 4.2.1 基本假设 1）当病人有住院需求时，所有床位都不空，病人按照先后顺序加入排队行列等 待住院。 2）病人门诊过后必须在该医院排队接受治疗，即排队没有流失。 3）不考虑医生的手术情况，认为只要符合当天的手术安排的手术，不管有多少 都一定能在当天全部做完。 4.2.2 动态规划模型的建立 令病人在系统中停留的总时间为 T ， 等待入院时间为 t1 ， 等待手术时间为 t 2 ， 留院观察时间为 t 3 ，白内障病人的手术准备时间为 t 2 ，其他眼科疾病的手术准备 时间为 t 2 ，急诊病人的手术准备时间 t23 （考虑到门诊后第二天才住院） ，则问题 的静态目标函数为：