高三数学分层抽样1
2014年人教A版高中数学必修三 2.1.3 《分层抽样》
入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的
某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
（C）从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
（D）从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
2.分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类（层）， 然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个
（3）采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，
抽样间隔为 k
N 当总体容量不能被样本容量整除时，先用 ; n
简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为 k N .
n
【典例训练】
1.（2012·浏阳高一检测）①学校为了了解高一学生的情况，
从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人的成 绩在110分以上，10人的成绩在100～110分，30人的成绩在 90～100分，12人的成绩低于90分，现在从中抽取12人了解有 关情况；③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑 道.就这三件事，合适的抽样方法为（ ）
2.1.3 分层抽样
1.理解分层抽样的概念.
2.掌握分层抽样的一般步骤. 3.区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方 法进行抽样.
1.本节重点是正确理解分层抽样的定义和步骤. 2.本节难点是灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当地选择三种 抽样方法解决现实生活中的抽样问题.
分层抽样的有关概念
分层抽样的设计 【技法点拨】 分层抽样的操作步骤
第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.
第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的
个体数.
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的 个体. 第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.
高中数学 学案 分层抽样
2.1.3 分层抽样学 习 目 标核 心 素 养1.记住分层抽样的特点和步骤(重点)2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点) 3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点)1.通过分层抽样的学习,培养数学运算素养．2．借助多种抽样方法的选择,提升逻辑推理素养.1．分层抽样一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法是一种分层抽样．当总体是由差异明显的几部分组成时,往往选用分层抽样的方法． 2．分层抽样的实施步骤第一步,按某种特征将总体分成若干部分(层)． 第二步,计算抽样比．抽样比＝样本容量总体容量.第三步,各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比． 第四步,依各层抽取的个体数,按简单随机抽样从各层抽取样本． 第五步,综合每层抽样,组成样本． 思考：什么情况下适用分层抽样？[提示] 当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．1．为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样C [依据题意,了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,且男女生视力情况差异不大,故要了解该地区学生的视力情况,应按学段分层抽样．]2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取,必须要求( ) A ．每层等可能抽取 B ．每层抽取的个体数相等C ．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样D ．只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制 C [分层抽样为等比例抽样．]3．某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( )A ．8,8B ．10,6C ．9,7D ．12,4C [抽样比1654＋42＝16,则一班被抽取人数为54×16＝9人,二班被抽取人数为42×16＝7人．]4．在抽样过程中,每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样,那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,为不放回抽样的有________个．三 [三种抽样方法均为不放回抽样．]分层抽样的概念【例1】 下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( ) A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会B ．某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125个,中等收入的家庭280个,低收入的家庭95个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本C ．从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间D ．从生产流水线上,抽取样本检查产品质量B [A 中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样；C 中,D 中总体个体无明显差异且个数较多,适合用系统抽样；B 中总体个体差异明显,适合用分层抽样．]分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． (2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等．1．某校有在校高中生共1 600人,其中高一学生520人,高二学生500人,高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况,考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别,而同一年级内消费情况差异较小,问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？[解] 因为不同年级的学生消费情况有明显差别,所以应采用分层抽样． 因为520∶500∶580＝26∶25∶29. 所以将80分成26∶25∶29的三部分． 设三部分各抽取的个体数分别为26x,25x,29x, 由26x ＋25x ＋29x ＝80得x ＝1, 所以高三学生中应抽查29人．分层抽样的设计及应用1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？ [提示] 在实际操作时,应先计算出抽样比＝样本容量总体容量,获得各层入样数的百分比,再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝样本容量总体容量×该层个体数目．2．计算各层所抽个体的个数时,如果算出的个数值不是整数怎么办？ [提示] 可四舍五入取整,也可先将该层等可能地剔除多余个体． 3．分层抽样公平吗？[提示] 分层抽样中,每个个体被抽到的可能性是相同的,与层数、分层无关．如果总体的个数为N,样本容量为n,N i 为第i 层的个体数,则第i 层抽取的个体数n i ＝n·N iN ,每个个体被抽到的可能性是n i N i ＝1N i ·n ·N i N ＝nN.【例2】 某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作．思路点拨：观察特征→确定抽样方法→求出比例→确定各层样本数→从各层中抽样→样本 [解] ∵机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层抽样方法较妥． ∵10020＝5, ∴105＝2,705＝14,205＝4. ∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人数都较少,他们分别按1～10编号和1～20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01,…,69编号,然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．1．(变条件)某大型工厂有管理人员1 200人,销售人员2 000人,车间工人6 000人,若要了解改革意见,从全厂人员中抽取一个容量为46的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作．[解] 改革关系到每个人的利益,采用分层抽样较好．抽样比：461 200＋2 000＋6 000＝1200.∵1 200×1200＝6(人),2 000×1200＝10(人),6 000×1200＝30(人)．∴从管理人员中抽取6人,从销售人员中抽取10人,从车间工人中抽取30人． 因为各层中个体数目均较多,可以采用系统抽样的方法获得样本． 2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．[解] 从100人中抽取20人,总体中每一个个体的入样可能性都是20100＝15,即抽样比,按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×15＝2人,一般干部抽70×15＝14人,工人抽20×15＝4人,以保证每一层中每个个体的入样可能性相同,均为15,故这种抽样是公平合理的．分层抽样的步骤抽样方法的选择14人在120分以上,35人在90～119分,7人不及格,现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会,要产生两位“幸运者”．就这三件事,合适的抽样方法分别为( )A ．分层抽样,分层抽样,简单随机抽样B ．系统抽样,系统抽样,简单随机抽样C ．分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样D ．系统抽样,分层抽样,简单随机抽样思路点拨：根据各抽样方法的特征、适用范围判断．D [①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层,应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小,应用简单随机抽样．故选D.]抽样方法的选取(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层抽样；(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大,样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大,样本容量也较大时宜用系统抽样；2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查．事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按年龄分层抽样D ．系统抽样C [因为不同年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异．而男女对此活动差异不大,所以按年龄段分层抽样最合理．]1．对于分层抽样中的比值问题,常利用以下关系式[解] (1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比． 2．选择抽样方法的规律(1)当总体容量较小,样本容量也较小时,制签简单,号签容易搅匀,可采用抽签法． (2)当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法． (3)当总体容量较大,样本容量也较大时,可采用系统抽样法． (4)当总体是由差异明显的几部分组成时,可采用分层抽样法．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当总体由差异明显的几部分组成时,往往采用分层抽样．( )(2)由于分层抽样是在各层中按比例抽取,故每个个体被抽到的可能性不一样．( )(3)分层抽样中不含系统抽样和简单随机抽样．( )[答案](1)√(2)×(3)×2．甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )A．30人、30人、30人B．30人、45人、15人C．20人、30人、40人D．30人、50人、10人B[根据各校人数比例有3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1,由于样本容量为90,不难求出甲校应抽取30人、乙校应抽取45人、丙校应抽取15人．]3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家,其中农民家庭1 800户,工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本,调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法有( )①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样A．②③B．①③C．③D．①②③D[由三种抽样方法的特点知,应先采用分层抽样对农民家庭需用系统抽样得到样本,对工人家庭需用简单随机抽样．]4．一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法？并写出具体过程．[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：(1)将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．(4)将300人合到一起,即得到一个样本．W。
高三数学抽样试题答案及解析
高三数学抽样试题答案及解析1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取名学生．【答案】32【解析】设从高一年级抽取4n名学生，则从高二、高三年级分别抽取3n,3n名学生,因此【考点】分层抽样2.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．【答案】【解析】从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有种基本事件，甲被选中包含种，基本事件，因此甲被选中的概率是【考点】古典概型概率3.春节前，有超过20万名广西，四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示．(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法；(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．【答案】（1）系统抽样方法（2）2（3）【解析】解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100名，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40名．设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得＝，解得x＝2，即四川籍的应抽取2名．(3)用a1，a2，a3，a4，a5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b1，b2表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有基本事件有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，a5}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，a5}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，a5}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，a5}，{a4，b1}，{a4，b 2}，{a5，b1}，{a5，b2}，{b1，b2}，共21个，其中2名驾驶人员都是四川籍的基本事件有{b1，b2},1个．所以抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率P1＝，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率P＝1－P1＝1－＝.4.某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中另外一个职工的编号是()A．19B．20C．18D．21【答案】A【解析】设样本中另外一个职工的编号是x，则用系统抽样抽出的4个职工的号码从小到大依次为：6，x,32,45，它们构成等差数列，所以6＋45＝x＋32，x＝6＋45－32＝19，因此另外一个职工的编号是19．故选A．5.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70D．80【答案】C【解析】n×＝15，解得n＝70．6.某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是()A．5B．7C．11D．13【答案】B【解析】间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数值为7．7.网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．【答案】57【解析】由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57．8.（本小题满分12分）海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测50150100（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【答案】(1) A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.（2）这2件商品来自相同地区的概率为.【解析】(1)首先确定样本容量与总体中的个数的比是，从而得到样本中包含三个地区的个体数量分别是：，，.（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为,写出抽取的这2件商品构成的所有基本事件：，,,,共15个.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，写出事件D包含的基本事件：共4个.由每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，利用古典概型概率的计算公式得解.试题解析：(1)因为样本容量与总体中的个数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：，，，所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为,则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：，,,,共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：共4个.所有，即这2件商品来自相同地区的概率为.【考点】分层抽样，古典概型.9.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选A.【考点】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.10.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60．【解析】应从一年级抽取名．【考点】等概型抽样中的分层抽样方法．11.总体由编号为01,02，…，19,20的个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数，则选出的第7个个体的编号为【答案】04【解析】由随机数表可看出所选的数字依次为：16,08,02,14,07,02,01,04，去掉重复数字02，则第7个个体编号为04.故答案为04.【考点】简单随机抽样.12.[2013·唐山质检]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9【答案】B【解析】本题考查系统抽样．依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.13.高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．15B．16C．17D．18【答案】C【解析】∵用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本对应的组距为56÷4=14，∴3+14=17，故样本中还有一个同学的座号是17，故选：C．14.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .【答案】06【解析】因为按系统抽样方法选取的编号依次构成一个等差数列，且公差为10，所以由得：因此确定的号码是06.【考点】系统抽样15.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为．【答案】30【解析】根据分层抽样的特点：按比例，可得，解得.【考点】分层抽样16.某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取__________人．【答案】【解析】设高二学生抽取人，则，解得．【考点】分层抽样．17.2013年湖北省宜昌市为了创建国家级文明卫生城市，采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．20B．19C．10D．9【答案】C【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个.【考点】系统抽样.18.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．【答案】600【解析】，，∴，所以在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是600.【考点】1.频率分布直方图；2.分层抽样.19.2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从三所不同的中学抽取60名教师进行调查.已知学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（）.A．10B．12C．18D．24【答案】A【解析】从学校中应抽取的人数为,选A.【考点】分层抽样.20.为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5的汽车检查，这种抽样方法称为________．【答案】系统抽样【解析】由于这种抽样方法采用抽取车牌末位数字为5的汽车检查，可以看成是将所有的汽车车牌号分段为若干段(一个车牌末位数字从0到9为一段)，每一段抽取一个个体，因此它符合系统抽样的特征，故答案为系统抽样．21.下列抽样中是系统抽样的有__________．(填序号)①从标有1～15的15个球中，任取3个作为样本，按从小号到大号排序，随机选起点i，以后i 0＋5，i＋10(超过15则从1再数起)号入样；②在用传送带将工厂生产的产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈．【答案】①②④【解析】系统抽样实际上是一种等距抽样，只要按照一定的规则(事先确定即可以)．因此在本题中，只有③不是系统抽样，因为事先不知道总体，不能保证每个个体按事先规定的概率入样．22.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为________．【答案】25，17，8【解析】根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为＝12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．23.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．【答案】37，20【解析】由系统抽样知识可知，将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段，且分段的间隔相等．在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．由题意，第5组抽出的号码为22，因为2＋(5－1)×5＝22，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋(8－1)×5＝37.由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取40×50%＝20(人)．24.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是________．【答案】③【解析】若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；由题目看不出是系统抽样，所以②错；这五名男生成绩的平均数，男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，这五名女生成绩的平均数＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，故这五名男生成绩的方差为＝(42＋42女＋22＋22＋02)＝8，这五名女生成绩的方差为＝(32＋22＋22＋32＋22)＝6.显然③正确，④错25.某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为________．【答案】15、2、3【解析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．∵120∶16∶24＝15∶2∶3，又共抽出20人，∴各层抽取人数分别为20×＝15(人)，20×＝2(人)，20×＝3(人)．26.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【答案】15【解析】由已知，高二人数占总人数的，所以抽取人数为×50＝15.27.高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．【答案】17【解析】根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.28.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．【答案】12【解析】设应抽取的女运动员人数是x，则＝，易得x＝12.29.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()．A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D【解析】总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．30.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【答案】C【解析】不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样．31.北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人．（ⅰ）求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率；（ⅱ）求选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．【答案】（Ⅰ）100；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的30名学生中体质优秀的有10人，所以优秀率为，用总数乘以优秀率即可得优秀的总人数。
高三数学下册 18.2《抽样技术》教案(1) 沪教版
18.2 抽样技术一、教学内容分析在实际统计应用中，如何根据样本情况对总体情况作出推断是统计学的核心问题.而样本的合理选取和科学抽样方法的正确选用是解决上述核心问题的关键.本节内容是在掌握了统计学中的一些基本概念和基本统计量的基础上，学习科学的抽样技术，掌握常用的抽样方法，为统计估计打下基础.二、教学目标设计理解抽样的必要性与科学性，掌握抽样的基本方法和抽样原则；理解总体与样本的联系与区别，理解样本容量与统计估计精确度的关系.三、教学重点及难点教学重点：抽样方法的科学选择.教学难点：运用样本统计分析推断总体四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入播放奥运“鸟巢”的施工现场采访武钢党委书记顾强圻的视频.思考：“鸟巢”钢筋铁骨中最坚硬的一部分400吨Q460型自主研发钢材的质量检验（如厚度、强韧度等）如何完成？ [说明]北京奥运牵动着每个国人的心.以让国人骄傲的“鸟巢”引入课题《抽样技术》，容易激发起学生学习的积极性.二、学习新课1．基本概念（1）样本：从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样）.（2）样本容量：样本中所含个体的个数叫做样本容量.（3）抽样：抽取样本的过程叫做抽样.[说明]在学习基本概念的同时，通过具体实例说明抽样的必要性和科学抽样的重要性.2．常用抽样方法介绍方法一：随机抽样若在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，则这种抽样方法叫做随机抽样.当样本容量不大时，随机抽样可采用抽签法；当样本容量较大时，随机抽样可采用随机数进行抽样.方法二：系统抽样把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法叫做系统抽样.方法三：分层抽样把总体分成若干个部分，然后再每个部分进行随机抽样的方法，叫做分层抽样.[说明]由学生自行阅读教材，初步了解上述常用的抽样方法.3、实例说明学校即将召开学生代表大会.在准备期间，筹备委员会为了了解学生的所思所想，准备进行一系列抽样调查：调查一：学生对校园环境满意度调查调查方法——随机抽样：在全校千余名学生的学籍卡中，随机抽取50位学生开展调查.总结给出美化校园环境的措施与方案.调查二：高一理科特色班学生数学素养调查调查方法——系统抽样：在高一理科特色班48名学生中，抽出12名学生，根据系统抽样法，先在1至4号中随机抽取一个学号a，再将班级学号被4除余a的学生抽出组成一个样本进行调查测试.通过调查反馈，来更好地开展理科特色班的教学.调查三：高中学生体煅达标抽样测试为了更合理地让学生在校内做到劳逸结合，校方连同体育组和学生会等部门，决定根据学生体煅现状，制定出校内学生体煅计划.受场地、人员、时间等限制，将抽取部分学生进行体煅达标抽样测试.高一360名学生抽取9人，高二400名学生中抽取10人，高三440名学生中抽取12人，组成一个容量为31人的样本开展调查测试.[说明]通过上述与学生贴近的实例，帮助学生进一步理解上述常用的三种抽样方法.三、尝试练习阅读材料：北京奥运虽然已经落幕，但新建的奥运场馆和国家大剧院尽展风姿，基础设施不断完善，城市环境更加优美，由此带来的城市变化逐渐形成了对外地游客新的吸引力，使北京的国内旅游市场表现出更大的潜力.北京假日旅游市场兴旺平稳，活跃安全，秩序景然，效益增加，在京旅游的满意度也得到提高.2020年“十一”黄金周即将到来，北京市统计调查咨询中心将在“十一“期间的开展黄金周游客满意度调查.小组讨论：请给出北京市统计调查咨询中心一个合理的抽样调查方案，并说明采用的抽样方法.[说明]学以致用，让学生体会数学的实用性.四、课堂小结掌握科学的抽样方法，并会合理选择运用于实际工作生活中.五、作业布置习题18.2七、教学设计说明本节课从生活实际出发，让学生理解常用抽样方法的合理选择和科学运用.通过阅读教材，提高学生的阅读理解能力.在由学生讨论，合作完成抽样调查统计的过程中，去体会抽样技术的科学性和必要性.同时培养了学生的团队意识和协作精神.。
2.1.3分层抽样方法
注:
(1)分层抽样法适用于总体中个体差异明显的几 部分组成的抽样 , 每一部分称为层 , 在每一层中实行 简单随机抽样或系统抽样.分层抽样是建立在简单随 机抽样或系统抽样的基础上的,这种方法由于它充分 地利用了总体己有信息,是一种实用、操作性强的方 法,而且更具代表性,在实践的应用更为广泛. (2)分层抽样的一个重要问题是总体如何分层,分多少 层,这要视具体情况而定。总的原则是:层内样本的差异 要小,而层与层之间的差异尽可能地大 ,分层是按总体中 个体的明显差异进行分类,否则将失去分层的意义。 （3）分层抽样是等概率抽样,它也是公平的.分层 抽样是按各层中个体在总体中所占的比例确定, 用分 层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样 本时,在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等, n 都等于 ．
例 3 、一个单位的职工有 500 人 , 其中不到 35 岁的有 125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人。为了 了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽 取100名职工作为样本，应该怎样抽取？ 分析：根据总体具有某些特征 ,它可以分成几 个不同的部分 : 不到 35 岁 ;35 ～ 49 岁 ;50 岁以上 ,把 每一部分称为一个层,因此该总体可以分为3个层. 由于抽取的样本为100,所以必须确定每一层的比 例,在每一个层中实行简单随机抽样。 解 : 抽取人数与职工总数的比是 100:500 ＝ 1:5, 则各年 龄段(层)的职工人数依次是125:280:95＝25:56:19,然后 分别在各年龄段(层)运用简单随机抽样方法抽取。 答：在分层抽样时,不到35岁、35～49岁、50岁以上的 三个年龄段分别抽取25人、56人和19人。
1.中央电视台要从春节联欢晚会的60名热 心观众中随机抽出4名幸运观众，试用抽签法 为其设计产生这4名幸运观众的过程.
2.1.3分层抽样
数学运用
3.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从 中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法： ①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，„，99，抽签取 出20个； ②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随 机抽取1个； ③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽 取6个，从三级品中随机抽取10个。
解 : 可用分层抽样的方法 , 由条件可知小学部有 2000 人 , 高中部有1200 人 , 其总体容量为 4000 人 . 1 “小学部”占 2000 = , 应取 80× 1 = 40 人 ; 2 4000 2 1 1 “初中部”占 800 = , 应取 80× 5 = 16 人 5 4000 ; 3 = 24 人 ; 3 1200 “高中部”占 = , 应取 80× 10 10 4000 因为 40 + 16 + 24 = 80 , 所以平均 50 名学生中抽取一名学生 .
数学运用
1.在某年有奖明信片销售活动中 , 规定每 100 万张为一 个开奖组 , 通过随机抽取的方式确定号码的后四位数为 2709 的为三等奖 . 这样确定获奖号码的抽样方法是
系 统 抽 样 . 2.一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙3条生产 线。为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样 ，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数，组成一个等差数 5600 件产品。 列，则乙生产线生产了______
9200 6000 9200
=
3 23
, 应取 46× 3 = 6 辆 ; 23
“型号二”占
15 = 23
, 应取 46×
15 = 30 辆 ; 23
高中数学(人教B版)必修第二册：分层抽样【精品课件】
2．下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是( ) A．从一箱 3 000 个零件中抽取 5 个入样 B．从一箱 3 000 个零件中抽取 600 个入样 C．从一箱 30 个零件中抽取 5 个入样 D．从甲厂生产的 100 个零件和乙厂生产的 200 个零件中抽取 6 个入样 D [D 选项中甲、乙生产的零件有差异，最适合分层抽样．]
160 [男生人数为 560×5602＋80420＝160.]14源自合 作探究
释 疑
难
15
分层抽样的概念 【例 1】 (1)下列各项中属于分层抽样的特点的是( ) A．从总体中逐个抽取 B．将总体分成几层，分层进行抽取 C．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 D．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取
(2)分成的各层互不交叉；
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即Nn ，其中 n 为样本容量，N 为总体容量．
31
2．计算各层所抽取个体的个数时，若 Ni·Nn 的值不是整数怎么 办？
[提示] 为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比Nn，若 Ni·Nn 的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多 余的个体．
21
(1)④ (2)分层抽样 [(1)①中对四个饲养房抽取的白鼠平均分， 但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了每个个体入选的可能性 不相等，是错误的方法．②中保证了每个个体入选的可能性相等， 但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采用分 层抽样可靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量．③中总体 采用了分层抽样，但在每个层次中抽取时有一定的主观性，貌似随 机，实则每个个体被抽到的可能性无法保证相等．
11
3．甲校有 3 600 名学生，乙校有 5 400 名学生，丙校有 1 800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取 一个容量为 90 的样本，应在这三校分别抽取学生( )
分层抽样
《分层抽样》说课稿我说课的题目是《分层抽样》，内容选自于新课程人教A版必修3第二章第一节，课时安排为一个课时。
下面我将从教材分析、教学目标分析、教法和学法分析、和教学过程分析等四大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用本节是在学习了前两节简单随机抽样和系统抽样的基础上，结合此两种随机抽样特点和适用范围，针对总体的复杂性，为提高样本的代表性，有学习掌握分层抽样这种随机抽样的必要性；为下节“用样本估计总体”的学习打下了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．2 教学的重点和难点重点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
难点：恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
二、教学目标分析1．知识与技能目标：（1）正确理解分层抽样的概念；（2）掌握分层抽样的一般步骤；（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法目标：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
感悟有具体到一般的研究方法，培养学生的归纳概括能力。
3、情感态度与价值观目标：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计”与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
三、教法与学法分析1、教法：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
2、学法：以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。
四、教学过程分析为了突出重点，突破难点，在教学上我将分以下几个环节进行阐述（一）复习回顾、设问激疑（请学生回答问题和思考）问题：系统抽样的基本含义如何？系统抽样的操作步骤是什么？思考：设计科学合理的抽样方法，其核心问题是保证抽样公平，并且样本具有好的代表性，如果要调查我校高一学生的平均身高，由于男生一般比女生高，故用简单随机抽样或系统抽样，都可能使样本不具有好的代表性。
2.1.3 分层抽样
思考：有人说：“如果抽样方法设计得好，用样本
进行视力调查与对24 300名学生进行视力普查的结 果会差不多，而且对于教育部门掌握学生视力状况 来说，因为节省了人力、物力和财力，抽样调查更 可取.”你认为这种说法有道理吗？ 有道理，像上面这种抽样方法，我们称之为分层
x 45 500 900
解得x=25，所以应抽取的男生为25名. 答案：25
5．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河 沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取 17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的
7,4,6 ． 亩数分别是________
6.一个电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱 程度进行调查，参加调查的总人数为12000人， 其中持各种态度的人数如下表所示:
样本容量 各层抽取个数 各 层 个 数 总体个数
(4)在每一层进行抽样
分层
计算比例 定每层抽取容量 抽样
组样
结束
（可用简单随机抽样或系统抽样)； (5)综合每层抽样，组成样本.
3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类别 简单 随机 抽样 共同点
（1）抽样 过程中每 个个体被 抽到的可 能性相等 （2）每次 抽出个体 后不再将 它放回， 即不放回 抽样
各自特点 从总体中逐 个抽取
将总体平均分成 几部分，按预先 制定的规则在各 部分抽取
适 用 范 围 是系统抽样 总体中 和分层抽样 个体较 少 的基础 联 系
在起始部分 总体中 时采用简单 个体较 随机抽样 多
系统 抽样
(部编版)2020学年高中数学第2章统计2.1抽样方法2.1..1.3系统抽样分层抽样教学案苏教版必修19
2．1.2 & 2.1.3 系统抽样 分层抽样[新知初探]1．系统抽样 (1)系统抽样的概念将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，其步骤为： ①采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；②将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n，并将剩下的总体重新编号； ③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；④按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出． (3)系统抽样的特征①系统抽样也称为“等距抽样”． ②适用于总体容量较大的情况．③将总体分成几个部分，各部分必须是均衡的，间隔是相等的．④剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而系统抽样与简单随机抽样有密切联系． ⑤它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N. 2．分层抽样 (1)分层抽样的概念当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几个部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法称为分层抽样，其中所分成的各个部分称为“层”．(2)分层抽样的步骤：①将总体按一定标准进行分层；②计算各层的个体数与总体的个体数的比；③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．(3)分层抽样的特征：总体由差异比较明显的几个部分组成．3．三种抽样方法的比较[小试身手]1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是________．①都是从总体中逐个抽取．②将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取．③抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的． ④将总体分成几层，然后分层按比例抽取． 答案：③2．采用系统抽样的方法，从个体数为1 004的总体中抽取一个容量为50的样本，则在抽样过程中，抽样间隔为________．答案：203．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．答案：40[典例] 某工厂有工人1 003名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．[解] 样本容量为100，总体容量为1 003，不能被100整除，因此需要剔除3个个体，然后确定抽样间隔为1 000100＝10，利用系统抽样即可．第一步，编号，将1 003名工人编号，号码为0001,0002，…，1 003. 第二步，利用随机数表法抽取3个号码，将对应编号的工人剔除． 第三步，将剩余的1 000名工人重新编号，号码为0001,0002，…，1 000. 第四步，确定分段间隔k ＝1 000100＝10，将总体分成100段，每段10名工人． 第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m .第六步，利用抽样间隔，将m ，m ＋10，m ＋20，…，m ＋990共100个号码抽出． 第七步，将与号码对应的工人抽出，组成样本．[活学活用]1．高三某班有学生56人，学生编号依次为1,2,3，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6,34,48的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为56/4＝14，所以样本编号应为6,20,34,48. 答案：202．从某厂生产的883辆同一型号的家用轿车中随机抽取40辆测试某项性能．现在用系统抽样的方法进行抽样，请写出抽样过程．解：采用系统抽样法的步骤如下：系统抽样的应用第一步，将883辆轿车随机编号：001,002， (883)第二步，用随机数表法从总体中随机抽取3个编号，剔除这3个个体，将剩下的880个个体重新随机编号，分别为001,002，…，880，并分成40段，每段22个编号；第三步，在第一段001,002，…，022中用简单随机抽样法随机抽取一个个体编号作为起始号(例如008)； 第四步，把起始号依次加上22，即可获得抽取的样本的个体编号(例如008,030，…，866)； 第五步，由以上编号的个体即可组成抽取的样本.[典例] 一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程．[解] 分层抽样中的抽样比为20160＝18.由112×18＝14,16×18＝2,32×18＝4，可得业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取14人，2人和4人．确定样本的组成部分之后，下面进行层内抽样，用系统抽样法完成．若将112名业务人员依次编号为1,2,3，…，112，管理人员编号为113,114，…，128，后勤服务人员编号为129,130，…，160.在1～112号业务人员中第一部分的个体编号为1～8中随机抽取一个号码．如它是4号，那么可以从4号起，按系统抽样法每隔8个号码抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.同样可抽出管理人员和后勤服务人员的号码分别为116,124和132,140,148,156.将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．[活学活用]1．某地区的高中分三类，A 类学校共有学生4 000人，B 类学校共有学生2 000人，C 类学校共有学生3 000人．现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类学校抽取的试卷份数应为________份．解析：试卷份数应为900× 4 0004 000＋2 000＋3 000＝400(份)．答案：400分层抽样的应2．某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作． 解：由于机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样的方法为妥． ∵10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4， ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．由于副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用签法分别抽取2人和4分；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.[典例] 在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？ (1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验．(2)一个礼堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)，一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下32名听众进行座谈．(3)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．[解] (1)总体容量为8，样本容量为2，因此选择抽签法进行样本的抽取．(2)总体容量为32×40＝1 280，样本容量为32.由于座位数已经分为32排，因此用系统抽样更合适． (3)总体由差异明显的四部分组成，因此可采用分层抽样方法．[活学活用]在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为 样本．方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01，…，99，用抽签法抽取 20个；方法二：采用系统抽样的方法，将所有零件分为20组，每组5个，然后从每组中随机抽取1个；方法三：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法中正确的有________．①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的可能性都是15②采用上述三种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的可能性各不相同③在上述三种抽样方法中，方法三抽到的样本比方法一和方法二抽到的样本更能反映总体的特征 ④在上述三种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一和方法三抽到的样本更能反映总体的特征抽样方法的选取解析：根据三种抽样方法的定义可知，三种方法都是等可能抽样．对于明显分层的总体，方法三抽到的样本更能准确地反映总体特征，故①③正确． 答案：①③层级一 学业水平达标1．下列抽样是系统抽样的是________．(填序号)①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样；②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5 min 抽一件产品进行检验； ③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止； ④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下座谈． 答案：①②④2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：为等距抽样，即为系统抽样． 答案：系统抽样3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n ，由题意得，n120＝2790，解得n ＝36. 答案：364．在学生人数比例为2∶3∶5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________.解析：由22＋3＋5＝6n ，得n ＝30.答案：305．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2.(1)若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？(2)若从青年职工中抽取120人，试求所抽取的样本容量．解：(1)由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理． 按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人． (2)由题设可知青年职工共有310×3 200＝960人．设抽取的样本容量为n ，则有n3 200×960＝120.∴n ＝400， 因此所抽取的样本容量为400.层级二 应试能力达标1．从2 016个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________． 解析：先从2 016个个体中剔除16个，则分段间隔为2 00020＝100.答案：1002．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为________．解析：由题意系统抽样的组距为20， 则15＋39×20＝795，故第40个号码为0795. 答案：07953．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)．答案：454．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．解析：了解学生的健康情况，男、女生抽取比例应该相同，因此应用分层抽样法．由题意，25500＝20400，∴本题采用的抽样方法是分层抽样法． 答案：分层抽样5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度．其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人．按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学．那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人．解析：本班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的人数比例为5∶1∶3，可设三种态度的人数分别是5x ，x,3x ，则3x －x ＝12，∴x ＝6.即人数分别为30,6,18.∴30－30＋6＋182＝3.故结果是3人．答案：36．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，第7组中号码的十位数字为6.所以抽取号码为63.答案：637．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、丙二条生产线抽取的个体数和为乙生产线抽取的个体数的两倍，则乙生产线生产了________件产品．解析：甲、乙、丙抽取的个体数为x ，y ，z ，由题意x ＋z ＝2y ，即乙占总体的13，故乙生产线生产了16 800×13＝5 600.答案：5 6008．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C 产品的数量是______件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品的数量为1 700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，解得x ＝800.答案：8009．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题． 本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人； 应抽户数：30户； 抽样间隔：1 20030＝40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户； ……(1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？ 解：(1)系统抽样．(2)本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村个人收入情况抽样，故抽样间隔应为30030＝10.其他步骤相应改为：确定随机数字：任取一张人民币，编号的最后一位为2； 确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户； ……(3)在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一张人民币，记下编号的最后一位．10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36·6＝n6，技术员人数为n 36·12＝n3，技工人数为n 36·18＝n2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。
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