结构力学——力矩分配法分解
结构力学下多结点力矩分配法
结构力学下多结点力矩分配法引言在结构力学中，力矩分配法是一种常见的分析方法，用于计算多结点约束下的力矩分配。
多结点力矩分配法通过将外加载荷分配给结构中的各个节点，以确定每个节点承载的力矩。
本文将介绍结构力学下的多结点力矩分配法的基本原理和计算方法。
原理多结点力矩分配法的原理基于以下假设：1.结构是一个刚体，可以忽略其变形。
2.结构中的每个节点都可以承受力矩，且力矩的分配是均匀的。
基于这些假设，我们可以将外加载荷分配给结构中的各个节点，并计算每个节点承载的力矩。
力矩的分配是根据节点间的刚性关系来确定的。
计算方法多结点力矩分配法可以通过以下步骤进行计算：1.确定结构的节点个数和节点编号。
2.根据结构的几何形状和边界条件，建立节点间的刚性关系。
3.将外加载荷均匀地分配给每个节点。
可以根据结构的几何形状和边界条件，考虑节点之间的距离和角度来确定各个节点的分配比例。
4.根据节点间的刚性关系，计算每个节点承载的力矩。
可以使用刚体平衡条件来计算力矩的分配。
5.检查计算结果的合理性。
根据结构的几何形状和边界条件，验证计算得到的力矩分配是否符合工程实际。
示例下面以一个简单的桁架结构为例，介绍多结点力矩分配法的计算方法。
假设桁架结构的节点个数为4，节点编号分别为1, 2, 3和4。
外加载荷为M，沿结构的纵向均匀分布。
根据桁架结构的几何形状和边界条件，建立节点间的刚性关系。
假设节点1和节点2之间的刚性系数为k1，节点2和节点3之间的刚性系数为k2，节点3和节点4之间的刚性系数为k3。
将外加载荷均匀地分配给每个节点。
假设节点1承载的力矩为M1，节点2承载的力矩为M2，节点3承载的力矩为M3，节点4承载的力矩为M4，可以得到以下关系：M1 + M2 + M3 + M4 = M根据节点间的刚性关系，可以得到以下关系：k1 * (M2 - M1) = 0k2 * (M3 - M2) = 0k3 * (M4 - M3) = 0通过这些关系，我们可以求解出每个节点承载的力矩。
结构力学次课力矩分配法分配系数结点不平衡力矩
梦想不会逃跑，会逃跑的永远都是自己！结构力学第27次课 第8章力矩分配法 分配系数 结点不平衡力矩2012-6-6第1节课 其他约束情况下 超静定单跨梁的转动刚度1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒⇒=∆=远端为自由端远端为平行支链杆远端为铰支端远端为固定端0341ik ikik ik ik ik i i i S S M 2 分配系数：与转动刚度成正比()1==∑∑iikiikikik S S μμ3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒-⇒⇒==远端为平行支链杆远端为铰支端远端为固定端1021ikkiik M M C ⏹结构力学第26次课（mardi 5-juin -2012）内容回顾( )( )a b1234AllllBCADE=1i =1i =1i =1i第2节课 结点不平衡力矩求解单结点的力矩分配F P q A原结构=F P qAA 状态-MB 状态+A 点附加刚臂阻止转动，承担汇交杆端的不平衡固端弯矩M 。
在结点上加一个反向的力矩。
（相当于刚臂放松）B 状态的内力——分配弯矩用力矩分配法计算A 状态的内力——固端弯矩查表计算例题-M(作用在结点上)结点不平衡力矩3/74/7i iMiiM BM BM B =-MM1. 直接作用结点力偶分配系数：二、结点不平衡力矩例题3/74/7-ql 2/8固端弯矩qiill分配系数：-ql 2/8结点不平衡力矩8ql ⏹结构力学第27次课（merdredi 5-juin -2012）内容回顾2. 杆上作用荷载MB M B8ql单结点的力矩分配例题-F P l 固端弯矩-F P l 0F P l/2F P l 杆端弯矩0F P l /2F P l分配、传递ll2iiF P10F P lF P l/2M 图3. 带悬臂端杆件分配系数：单结点连续梁的力矩分配法小结2．具有一个结点角位移结构的计算步骤：● 加约束：在刚结点i 处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约束力矩f i M 。
第十七章力矩分配法
M
F AB
ql2 12
1582 12
80kN m
M
F BA
ql 2 12
1582 12
80kN
m
M
F BC
Fl 8
100 6 8
75kN
m
M
F CD
ql 2 8
1582 8
120kN
M
M
F DC
0
2. 确定各刚节点处各杆的分配系数，(可令 EI = 1) B 节点处：
SBA
4iAB
由此可知，一个节点所连各杆的近端杆端分配弯矩总和在数值上等于节点不平衡力矩，
但符号相反，即：
M
BA
M
BC
M
BD
S BA SB
(
M
F B
)
S BC SB
(
M
F B
)
S BD SB
(
M
F B
)
(
M
F B
)
而各杆的近端分配弯矩是将不平衡力矩变号后按比例分配得到的。
3、远端传递弯矩的计算及传递系数 近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到，而远端传递 弯矩则可通过近端位移弯矩得到。 设
1、转动刚度（S）
定义：杆件固定端转动单位角位移所引起的力矩称为该杆的转动刚度，(转动刚度也可
定义为使杆件固定端转动单位角位移所需施加的力矩)。转动刚度与远端约束及线刚度有关
远端固定：
S=4i
远端铰支：
S = 3i
远端双滑动支座： S = i
远端自由：
S = 0 (i 为线刚度)
力矩分配法的基本思路
3. 通过列表方式计算分配弯矩与传递弯矩及杆端弯矩。 4. 叠加计算，得出最后的杆端弯矩，作弯矩图。
工程力学-结构力学课件-8力矩分配法
40kN .m
求不平衡力矩
40kN.m
A EI
6m
C B EI
4m
MBu
20kN / m
40kN .m
60
60
M
u B
60
40
100kN .m
A
60 B
C
40
8 /17 9 /17
M F 60
60
分 配
23.5
传
递
47 53
M 83.5 13 53
§8-2多结点的力矩分配A q 12kN / m
对于同层柱等高，剪力分配系数可简化为按各柱的线刚度进行
分配，即
i
ii ii
顶层：
1
i1 ii
1 3
2
3
底层：
5
i5
2
0.4
ii 1.5 2 1.5
4
i4 ii
1.5 1.5 2 1.5
0.3
6
(2)计算各柱剪力
第8章 渐近法及其他算法简介
§8-1 力矩分配法的基本概念
力法、位移法：精确，求解方程。 力矩分配法是基于位移法，逐步逼近精确解 的近似方法。 单独使用时只能用于无侧移（无线位移）的 结构。
1.名词解释
B
q 1
C
M1B 3i ql2 / 8
M1A 4i ql 2 / 4
M1C i
1.8 3.5 2.6
… … ...
M1FA ql 2 / 8 150
M1F2 ql 2 / 12 100
S21 4i
S2B 3i
结构力学——力矩分配法
结构力学——力矩分配法结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
其中，力矩分配法是一种求解结构梁的内力和变形的常用方法之一、本文将介绍力矩分配法的基本理论和应用。
首先，对于结构力学的研究，我们需要了解一些基本概念。
力矩是由力的作用点与旋转轴之间的距离和力的大小决定的。
在结构力学中，我们通常考虑作用在梁上的力和力矩。
梁是一种常见的结构元件，可以将其看作是在两个固定点之间作用的力的集合。
在力矩分配法中，我们将梁分割成若干个小段，然后逐段计算每个小段的内力和变形。
假设有一根长度为L，截面形状均匀的梁，并且在两个固定点之间施加了一系列分布力。
我们可以将梁分割成n个小段，每个小段的长度为Δx=L/n。
接下来，我们需要计算每个小段的内力和变形。
首先，我们可以根据材料力学的基本原理得出梁的拉伸、压缩和弯曲的力学方程。
然后，我们可以根据小段的切线方向和切线上的任意一点来推导出该小段的内力和弯曲方程。
最后，我们将内力分量在小段两端的力矩分配系数和位置矩分配系数进行合成，从而得出该小段的内力和弯曲方程。
在力矩分配法中，一个重要的概念是力矩分配系数。
力矩分配系数是一个无量纲的参数，用来表示力和力矩在小段两端分配的比例。
在计算力矩分配系数时，我们可以根据梁的几何形状和分布力的位置，利用力矩的基本原理进行推导。
力矩分配系数是力矩分配法的核心，它可以帮助我们计算出每个小段的内力和变形。
在实际应用中，力矩分配法通常用于求解多跨梁的内力和变形。
我们可以将多跨梁分割成若干个小段，并根据力矩分配法计算出每个小段的内力和变形。
然后，我们可以将各个小段的内力和变形进行叠加，得出整个多跨梁的内力和变形。
需要注意的是，力矩分配法具有一定的局限性。
首先，它只适用于存在弯曲变形的梁，对于其他类型的结构，如框架和板，需要采用其他的分析方法。
其次，力矩分配法仅适用于分布力作用在梁的直线部分上，对于弯曲部分或非均匀分布力的情况，需要采用其他的方法进行分析。
结构力学——力矩分配法分解课件
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复杂结构的力矩分配法分析
总结词
需要对复杂结构进行精细的力矩分配
详细描述
对于复杂结构，如桥梁、高层建筑等，力矩分配法需要更加精细的分析。这需要对结构的各种参数进 行详细的计算和调整，包括转动刚度、分配系数、传递系数等。通过合理的简化模型和精细的计算， 可以获得结构的整体性能和局部细节，满足工程设计的需要。
应用范围
适用于具有刚性转动 部分的连续梁和框架
适用于具有弹性支撑 的连续梁和框架
适用于具有弹性转动 部分的连续梁和框架
适用条件
结构体系为连续梁或框架 结构具有刚性转动部分，且转动部分在分配力矩后不会出现弹性变形
结构具有弹性支撑，且弹性支撑在分配力矩后不会出现弹性变形
计算复杂度与精度要求
力矩分配法的计算复杂度取决于梁和框 架的自由度数量，自由度越多，计算越
。
误差传递
由于传递系数和分配系数的近似 计算，可能会引入一定的误差，
影响分析结果的准确性。
计算复杂度
对于大型复杂结构，力矩分配法 的计算量可能会变得很大，需要
借助计算机辅助分析。
改进与发展方向
01
02
03
04
数值优化
通过改进算法和优化计算方法 ，提高力矩分配法的计算效率
和精度。
考虑非线性因素
将非线性因素纳入力矩分配法 中，以适应更广泛的结构类型
在力矩分配法中，将结构中的结点分为两类：基本结点和附属结点。基本结点是承 受力矩的结点，附属结点则是传递力矩的结点。
力矩分配法的原理是将所有结点的力矩自由度进行分配，通过调整传递系数来使各 结点的力矩平衡，从而求解出各个结点的位移。
刚度系数与传递系数
刚度系数是指单位力矩作用下结 点的位移，它反映了结点的刚度
7 力矩分配法 结构力学
第7章 力矩分配法
Moment Distribution Method
工程技术学院土木教研室
主要内容:
§9-1
力矩分配法的基本概念 点线位移刚架
§9-2 力矩分配法计算连续梁和无结
§9-3 超静定结构超静定结构小结
§9－1 力矩分配法的基本概念
一、转动刚度：
（3）计算分配弯矩 A 和传递弯矩
3m
40KN B EI 3m
16KN/m C EI 3m
1.分配系数 2.固端弯矩 -30 3.分配弯矩 传递弯矩 -2.4
' M BA 0.4 ( 12) 4.8 KNm
0.4 0.6 30 -18 －4.8 -7.2
0
0
' M BC 0.6 ( 12) 7.2 KNm
1 j
S1 j
S
(1)
M1 j 1 j M
ij
S ij
S
(i )
ij
S ij
S
(i )
M ij ij M
各杆的分配弯矩 Mij 各杆在i端的分配系数之和等于1。 校核分配系数的计算是否正确？
ij 1
(i )
三、传递系数：
• 传递系数：远端弯矩与近端（转动端）弯矩的 比值称为近端向远端的传递系数，简称传递系 数。用Cij表示。 • 传递弯矩：远端弯矩
(1) (1)
M1 j
S1 j
S14 M S
(1)
S
(1)
M
M1 j
S1 j
S
(1 )
M
各杆在1端的弯矩与该杆在1端的转 动刚度成正比。 下标 j 为汇交于1点的各杆之远端， j＝ 2、 3、 4、 5 各杆在1端的弯矩等于外力矩乘上 一个相应的系数 1j－－分配系数。 下标 i 为近端、j 为汇交于 i 点的 各杆之远端。
结构力学第七章力矩分配法
§7-1 引言
➢ 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的 近似方法。
➢ 力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精 度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。
➢ 从数学上说，是一种异步迭代法。
➢ 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
➢ 力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法 中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号 规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。
1
远端铰支时: 3i A i B
C=0
1
远端定向时: i A i B
C=-1
与远端支承 情况有关
§7-2 力矩分配法的基本原理
例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图
所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
(a)
B
C
A EI
EI
EI l
D
l
l
(b) A
B EI
EI
θB C
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；
可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。 例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。
近端弯矩MBA、MBC为
§7-2 力矩分配法的基本原理
利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得
A
B
k=EI/l 3 l
A
θ =1
B
Δ =θ l
FyB=k
SAB
A
B
FyB EI/l
解:当A 端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产
生向下的竖向位移Δ=l×θ=l ，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2 。则
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3 . 一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确 到三位有效数字，计算中取4位计算，以保证前三位的 精确度
第三节 多结点力矩分配法
计算的指导思想由两个步骤说明：
固定状态的计算（与单点固定一样）。
即刚臂→荷载→固端力矩→约束力矩；
100k0N
EI
1 EI
2 EI
0.43 0.57 0.57 0.43
-500 -1000
M3B＝1000
例题：有支座移动（已知结点线位移）E=200GPa，I = 2500cm4
绘制弯矩图。
A
B
C
D
EI
EI
=1cm
10m
10m
10m
0.429 0.571
0.571 0.429
MF
3000
3000 -1500
2 . 不相邻 点可同时 释放.
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A
EI
10m
1 EI
10m
100k0N 2 EI 3 B 3B是悬臂梁，
转动结点3 时，
10m 1m 悬臂可自由转
0.43 0.57 0.5 0.5 1 0
动，固其转动
MF
1000 刚度为零
或A
MF
100k0N
放松状态的计算（与单点放松不同）。
力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的， 因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能 放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个 放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。
第三节 多结点力矩分配法
计算过程详述
⑴ 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁 （基本体系），计算各杆固端弯矩 MF，由结点力矩平 衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基 本体系与原结构的差别是：在受力上，结点1、2上多了 不平衡力矩；在变形上结点1、2不能转动.
M M F M M C
注3、由于内力只与各杆相 对刚度有关，故可用 相对值计算（EI 可取 任意值）
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A EI
B
8m
10kN
EI C
6m
30kN.m
60kN.m
M
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
100 M 10 k0 N m
S AD M S
(A)
可以看出，刚结点A在外力偶荷载作用下，结点A上各杆在A
端的弯矩与各杆的转动刚度成正比，由此我们进入分配系
数
Aj
S Aj M
S
(
j
B、C、D)
( A)
定义：结点处，某杆的转动刚度与汇交于该结点的所有杆
件的转动刚度之和的比值。
特性：相交于的所有杆件的分配系数之和为1
弯矩分配：
近端弯矩=分配系数×结点弯矩 远端弯矩=近端弯矩×传递系数
分配 传递
M
1C
i 4i3ii
1/8
q ql2/8
B
1 ql2/4 C
2ql
ql2/4 A
3ql2/64 ql2/64
B
1 ql2/16 C
11ql2/32 A M
结点 B 杆端 B1
MF 0
分配 传递
0
M0
A
1
C
A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
1/4 -1/4 -1/8 0 0
MCA 0
MDAiAD Z1
B
MBA MAB
CAB
1 2
MCA MAC
CAC
0
MDA MAD
CAD
1
MA' A
1
MAC
MAD
远端固定 C Aj 2 远端滑动 CAj 1 远端铰M支AB CAj 0
在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况 而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
结构力学——力矩分配法分解
学习目的和要求
目的：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实 用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆 端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。
要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧 移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分 配法计算有侧移刚架。
A EI
4m
MF
分 配 传 递
B
4m
EI C
6m
M
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常数) 。
q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al
l/2 l/2
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
MF
S1B 3i S1A 4i S1C i
1A4i43iii 1/2 1B4i33iii 3/8
123 116
11.0 312 160 152
5 8 9 7 2 1941 6 0 6
6 243 .21 0 9 4 5 4 7 21.2
417130 76 208
M
…. …. ….
….
M
423423
1095 1095
21182118
1 . 为避免小 数运算，可 先将固端弯 矩扩大100倍； 对结果再缩 小100倍。
SAB =4i 1
SAB =3i 1
A
EI
B
A
B
l
SAB = i
1 A
SAB =0 1
B
A
B
远端固定，SAB = 4i；远端铰支，SAB = 3i 远端滑动，SAB = i；远端自由，SAB = 0
说明：在SAB中，A端是施力端，也称为近端，B端称为远端
杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端 的支承情况有关。
第一节 力矩分配法的基本概念
一、引言
对于超静定结构的内力计算，我们前面学习了两种基本的 方法—力法和位移法，二者的共同特点是都要建立和求解联立 方程组，当未知量太多时，计算量也相应的增大，同时，在求 得未知量后，还需要利用杆端弯矩的叠加公式求得杆端弯矩， 整个计算求解过程较繁琐。
为了寻求计算超静定刚架更简捷的途径，自20世纪30年代 以来，又陆续出现了各种渐近法，如力矩分配法、无剪力分配 法、迭代法等。而这些方法的理论基础都是位移法，共同特点 是避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆 端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于 精确值。
A
RB ' P RBP
B
C
最终状态:
q12kN/m
杆端弯矩＝固端
A EI
B EI
C
弯矩+分配弯矩
10m
10m
+传递力矩
ql 2/12
ql 2/12 RBP100kNm
M A B10028.6128.6
q12kN/m
R BP
M B A 1 0 0 5 7 .1 4 2 .9 A
B
C
M BC042.942.9 MCB 0
固定状态:
q12kN/m
MA FB112ql2100kNm
MB FA100kNm
A EI
10m
B EI
C
10m
MB F CMC FB0
放松状态:
ql 2/12
ql 2/12 RBP100kNm
q12kN/m
R BP
A
B
C
不平衡力矩变号，再乘以
分配系数即为分配弯矩
M B AB A(R B P)57.1 M B CB C(R B P)42.9
A
RB ' P RBP
B
C
通常采用列 表方式计算
q12kN/m
A EI
10m
B EI
C
10m
0.571 0.429
M F 1 0 0 100 0
0
分 28.6
配
5 7 .1 42.9
0
传
递
M 1 2 8 .6 42.942.9
0
1用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40kN q10kN/m
第三节 多结点力矩分配法
经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较接 近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需要 再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约束
力矩分解（因为 <1，C <1），所以几个轮回约束力矩就会
小到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。
1 . 变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。
A
EI
B
15
EI C
8m
6m
M
0.7 0.3
M F 100
50 0 0
分 配
传0
递
35 15 15
M 100
15 15 15
第三节 多结点力矩分配法
用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架， 只需人为制造只有一个分配单元的情形。
方法：先固定，然后逐个放松。应用单结点的基 本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。
（3）弯矩传递系数和弯矩传递
传递系数C：表示当杆端发生转角时，杆件远端弯矩 与近端弯矩的比值。 当杆件的某一端发生转角时，在该端产生的弯矩称为 近端弯矩，另一端产生的弯矩称为远端弯矩。
远端弯矩与近端弯矩的比值称为弯矩传递系数。
C Aj
M jA M Aj
待分配力矩