含全参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
含绝对值的一元一次方程解法
含绝对值的一元一次方程解法形如 | x | = a（a≥0）方程的解法（2课时）一、教学目的：1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法；2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。
二、教学重点与难点：教学重点：解形如| x | = a（a≥0）和| x – a | = b（b≥0）的方程。
教学难点：解含绝对值方程时如何去掉绝对值。
（一）1、绝对值的代数和几何意义。
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
a （a > 0）0 （a = 0）用字母表示为 | a | =– a （a < 0）绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。
因此任何数的绝对值是非负数。
2、求下列方程的解：（1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9.解：（1） x =±7；（2） x = ±2；（3） x = 0；（4）方程无解；（5） x = ±3.（二）根据绝对值的意义，我们可以得到：当a > 0时 x =± a| x | = a当a = 0时 x = 0当a < 0时方程无解.（三）例1：解方程：（1）19 – | x | = 100 – 10 | x |（2）2||33|| 4xx+=-解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x |9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3| x | = 9 6 | x | = 9x = ±9 | x | =x = ±例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = – 1.解： x – 1 = 2 或 x – 1 = – 2x = 3 x = – 1例题小结：形如| x – a | = b（b≥0）的方程的解法：解： x – a = b 或 x – a = – bx = a + b x = a – b例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0解：| 2x – 1 | = 32x – 1 = 3 或 2x – 1 = – 32x = 4 2x = – 2x = 2 x = – 1把绝对值内的式子看成一个整体，用一个字母表示的方法叫换元法，形如| mx – n | = a（m，n，a为已知数，且a ≥0）方程分为两步解（1）先解 | y | = a（a≥0）（2）再解 mx – n = y的方程解： mx – n = ±amx – n = a或mx – n = – ax = n am+x =n am-练习：1、解方程：3|21|62y-=（y = 或–）（四）解形如 | x | = a（a≥0）的方程a > 0时， x = ±aa = 0时， x = 0a < 0时，方程无解1、解形如| mx – n | = a（m，n，a为已知数，且a ≥0）的方程mx – n = a或mx – n = – ax = n am+x =n am-。
一元一次方程(2)——解含绝对值的一元一次方程
一元一次方程（2）——解含绝对值的一元一次方程一、含绝对值的一次方程（我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．）1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如 ax b c(a 0)型的绝对值方程的解法：①当c 0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当c 0时，原方程变为ax b0，即axb；b0，解得xa③当c 0 时，原方程变为ax b c或ax bcb或xc b c，解得xa．a（2）形如ax b cx d(ac 0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知cx d 0 ，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d和ax b (cx d)；③分别解方程ax b cx d和ax b (cx d)；④将求得的解代入cx d 0检验，舍去不合条件的解．（3）形如ax b cx d(ac 0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d或ax b (cx d)；②分别解方程ax b cx d和ax b (cx d)．（4）形如x a xb c(a b)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b ab；②当c a b时，此时方程无解；当c a b时，此时方程的解为ax b；当cab时，分两种情况：①当x a时，原方程的解为x ab c；②当x b时，原方程的解为2x a b c．2（5）形如axbcxdexf(ac0)型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令ax b 0，得xx1，令cxd0得x x2；②零点分段讨论：不妨设x1x2，将数轴分为三个区段，即①xx1；②x1 xx2；③xx2；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如ax b cxd ex f(a0)型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知ex f 0，求出x的取值范围；解方程并检验，舍去不符合②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程ax b ex f (cxd) 和ax b (ex f) (cxd) ；③解②中的两个绝对值方程．黑体小四黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1．含绝对值的一次方程的解法例1、（1）2x35x11 2x1 （2） 12 32x 10的解为例2、方程 3 ．2例3、解方程x 2005 2005x 2006例4、已知：当m n时，代数式m2n22n25的值互为相反数，求关于x的3和m2方程m1 x n的解．例5、（1）4x32x9 （2）x52x5例6、（1）2x13x1 （2）x1x34 （3）x 2 x 1 6 （4）2x 1 2 x 3例7、（1）2x3x14x3 （2）x33x 9x523x 5（2）3x548例8、（1）x 162（3）2x 1 1 2 （4）x 3x 1 4例9、解方程：x 2 1 2x 1例10、求方程x 3x 1 4的解．例11、当0≤x≤1时，求方程x 1 1 1 0的解例12、解方程：x 1 1 1 1 0黑体小四2．含绝对值的一次方程解的讨论例13、不解方程直接判断方程①2x 4 3 0；②3x 2 x；③x 3 3 x；④x 2 x 0无解的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例14、证明：方程x x 1 x 2 x 3只有一个解．黑体小四二、含字母系数和绝对值的一次方程黑体小四1．含字母系数和绝对值的一次方程的解法楷体五号例15、求关于x的方程1x2 3a的解．2例16、解关于 x的方程 x 1 x 5 a．例17、解方程x 3 2 k例18、求x 2 1 a 0(0 a 1)的所有解的和．楷体五号2．含字母系数和绝对值的一次方程解的讨论楷体五号例19、若关于x的方程2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解，4x 5 k 0有两个解，则m，n，k的大小关系为（）A．m n k B ．n k m C．k m n D．m k n例20、方程m 8 m 8 0的解的个数为（）A．2个B．3个C．无数个D．无数个例21、若x 2 1 a有三个整数解，求a的值．例22、设a、b为有理数，且 a 0，方程x a b 3有三个不相等的解，求b的值．例23、已知关于 x的方程kx 3 2x有一个正数解，求k的取值范围．例24、已知方程x ax 1有一个负根而没有正根，求a的取值范围．。
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程一.学习目标1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．二.重难点分析1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.三.要点集结四.精讲精练一元一次方程的定义当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参数的一元一次方程一元一次方程的定义一元一次方程的解同解方程一元一次方程与新定义含绝对值符号的一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）代数式的值．【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，∴＝＝﹣．练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．【答案】-1【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝【答案】﹣1【解析】根据一元一次方程的定义，得到|a|＝1和a﹣1≠0，结合绝对值的定义，解之即可．练习3.已知ax2+2x+14＝2x2﹣2x+3a是关于x的一元一次方程，则其解是（）．A、x＝﹣2B、x＝12C、x＝﹣12D、x＝2【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义，2次方的项的系数必为零，才能满足题意要求，故解：方程整理得：(a－2）x＋4x+14－3 a＝0，由方程为一元一次方程，得到a－2＝0，即a＝2，方程为4x+14－6＝0，解得：x＝－2.小结根据定义判断含字母参数的一元一次方程，一般先将方程化为标准型，x的指数高于一次的项系数是0，x的指数为1的项的系数不等于0。
含有绝对值符号的一元一次方程
含有绝对值符号的一元一次方程
绝对值符号是数学中常见的符号，它可以表达一个数的大小，也就是一个数的绝对值。
绝对值符号有着重要的应用，特别是在解决一元一次方程的时候。
一元一次方程是最基本的数学方程，它以一个未知数x来表示，如果一个数学公式中含有一个x，而且它们的系数以及常数项都只有一个，那么它就是一个一元一次方程。
一元一次方程的求解可以分为两类，一类是没有绝对值符号的一元一次方程，另一类是含有绝对值符号的一元一次方程。
其中，含有绝对值符号的一元一次方程比较特殊，它的解法与普通的一元一次方程有一定的不同。
首先，我们来看看如何求解含有绝对值符号的一元一次方程。
比如，有这样一个一元一次方程 |x-2|=4，首先，我们将绝对值符号去掉，得到 x-2=4 x-2=-4 。
然后，我们可以得到 x=6 x=-2两个解。
也就是说，绝对值符号在一元一次方程中的作用就是将一个方程变成两个相互独立的方程，解这两个方程，就可以得到这个一元一次方程的解。
绝对值符号也可以用在其他类型的方程中，比如说一元二次方程。
一元二次方程的求解与一元一次方程的求解有很大的不同，但是它们的原理都是相同的，即将绝对值符号所在的方程变成若干相互独立的方程，分别对每一个方程做求解，最后汇总求得的答案，便可以得到原问题的解。
绝对值符号在数学中的应用十分广泛，它可以用来表示一个数的
绝对值，还可以用在一些比较复杂的方程中，比如一元一次方程和一元二次方程等，以及一些特殊的函数中，比如双曲线等。
绝对值并不是某一种特定的算法，而是一种概念，它使得数学问题变得更加清晰容易理解，为数学中各种不同类型的问题提供了方便。
初中一年级数学上册解方程专项训练题(500)
初中一年级数学上册解方程专项训练题（500）好的，以下是一份针对初中一年级数学上册解方程专项训练题的内容：一、一元一次方程1. 解方程：\[ 3x + 5 = 14 \]2. 解方程：\[ 2x - 7 = 1 \]3. 解方程：\[ 4x = 12 \]4. 解方程：\[ 6x - 9 = 3x + 3 \]5. 解方程：\[ 5x + 10 = 2x + 20 \]二、含括号的一元一次方程6. 解方程：\[ 2(x + 3) = 10 \]7. 解方程：\[ 3(x - 2) - 5 = 1 \]8. 解方程：\[ 4(x + 1) = 3(x - 1) + 10 \]三、一元一次方程的应用9. 某商品的进价为每件50元，售价为每件70元，每天可售出20件。
如果每降价1元，每天可多售出5件。
问每件商品降价多少元时，每天的总利润最大？10. 甲乙两地相距300公里，一辆汽车从甲地出发，以60公里/小时的速度行驶。
问汽车行驶多少小时后，距离乙地还有150公里？四、二元一次方程组11. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 10 \\2x - y = 4\end{cases}\]12. 解方程组：\[\begin{cases}3x + 2y = 11 \\x - y = 1\end{cases}\]五、含绝对值的一元一次方程13. 解方程：\[ |2x - 3| = 5 \]14. 解方程：\[ |x + 4| - |x - 3| = 7 \]六、含参数的一元一次方程15. 当\( a \)为何值时，方程\( ax - 3 = 0 \)的解为\( x = 2 \)？16. 当\( b \)为何值时，方程\( 2x + b = 0 \)的解为\( x = -3 \)？七、方程的整数解17. 方程\( 3x - 7 = 11 \)的解是否为整数？如果是，请给出解。
18. 方程\( 5x + 6 = 23 \)的解是否为整数？如果是，请给出解。
七年级数学上册专题提分精练含绝对值的一元一次方程(解析版)
专题26 含绝对值的一元一次方程1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：|3|2x -=．解：当30x -时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =．所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法求解方程：|37|80x --=，则得到的解为 5x =或13x =- ． 【解答】解：|37|80x --=，378x ∴-=或378x -=-，解得5x =或13x =-， 故答案为：5x =或13x =-． 2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程|3|2x -=．解：当30x -时，3x ，方程化为32x -=，解得5x =（符合题意）；当30x -<时，3x <，方程化为(3)2x --=，解得1x =（符合题意）．∴方程|3|2x -=的解为5x =或1x =．（1）方程|4|3x x -=的解为 1x = ；（2）方程|3||2|3x x x --+=的解为 ．【解答】解：（1）当40x -时，即4x 时，方程化为43x x -=，解得2x =-，因为4x ，所以2x =-不合题意；当40x -<时，即4x <时，方程化为(4)3x x --=，解得1x =，因为4x <，所以1x =符合题意；所以方程的解为1x =．（2）当2x -时，原方程化为：323x x x -++=，解得53x =， 因为2x -， 所以53x =不符合题意； 当23x -<时，原方程化为：3(2)3x x x --+=， 解得15x =， 因为23x -<， 所以15x =符合题意； 当3x >时，原方程化为：3(2)3x x x --+=， 解得53x =-， 因为3x >， 所以53x =-不符合题意； 故方程的解为15x =． 3．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．例如解绝对值方程：|2|1x =．解：分类讨论：当0x 时，原方程可化为21x =，它的解是12x =． 当0x <时，原方程可化为21x -=，它的标是12x =-． ∴原方程的解为12x =或12x =-． （1）依例题的解法，方程1||32x =的解是 6x =或6x =- ． （2）在尝试解绝对值方程|2|3x -=时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；（3）在尝试解绝对值方程|3|5x -=时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，||a b -表示数a ，b 在数轴上对应的两点A 、B 之间的距离，则|3|5x -=表示数x 与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ；（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x 的方程|2||1|(0)x x m m -+-=>；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．【解答】解：（1）当0x 时，原方程可化为132x =，它的解是6x =， 当0x <时，原方程可化为132x -=，它的解是6x =-， ∴原方程的解为6x =或6x =-，故答案为：6x =或6x =-；（2）当2x 时，原方程可化为23x -=，它的解是5x =，当2x <时，原方程可化为23x -+=，它的解是1x =-，∴原方程的解为5x =或1x =-，故答案为：5x =或1x =-；（3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或2-，∴方程的解是8x =或2x =-，故答案为：8x =或2x =-；（4）当2x 时，21x x m -+-=，解得32m x +=； 当12x <<时，21x x m -+-=，可得1m =；当1x 时，21x x m -+-=，解得32m x -=； ∴当1m =时，方程有无数解；当01m <<时，方程无解；当1m >时，32m x +=或32m x -=． 4．【我阅读】解方程：|5|2x +=．解：当50x +时，原方程可化为：52x +=，解得3x =-；当50x +<时，原方程可化为：52x +=-，解得7x =-．所以原方程的解是3x =-或7x =-．【我会解】解方程：|32|50x --=．【解答】解：当320x -时，原方程可化为：3250x --=， 解得73x =； 当320x -<时，原方程可化为：3250x -+-=，解得1x =-． 所以原方程的解是73x =或1x =．5．[现场学习]定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：||2x =，|21|3x -=，1||22x x --=，⋯都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由||2x =，可得2x =或2x =-．[例]解方程：|21|3x -=．我们只要把21x -看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得213x -=或21x -= 3- ．解这两个一元一次方程，得2x =或1x =-；经检验可知，原方程的解是2x =或1x =-．[解决问题] 解方程：1||22x x --=． 解：根据绝对值的意义，得12x -= 或12x -= ， 解这两个一元一次方程，得x = 或x = ，经检验可知，原方程的解是 ．[学以致用]解方程：|21||56|x x +=-．【解答】解：[解决问题]1||22x x --=， 根据绝对值的意义，得122x x --=或122x x ---=， ∴122x x -=+或122x x -=--， 解这两个一元一次方程，得5x =-或1x =-，经检验可知，原方程的解是1x =-；故答案为：2x +，2x --，5-，1-，1x =-；[学以致用]|21||56|x x +=-，根据绝对值的意义，得2156x x +=-或2156x x +=-+，解这两个一元一次方程，得73x =或57x =， 经检验可知，原方程的解是73x =或57x =． 6．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程2||3x x +=．解：当0x 时，方程可化为：23331x x x x +===，符合题意．当0x <时，方程可化为：2333x x x x -=-==-，符合题意．所以原方程的解为：1x =或3x =-．仿照上面解法，解方程：3|1|7x x +-=．【解答】解：当1x 时，3(1)7x x +-=， 解得52x =； 当1x <时，3(1)7x x --=，解得2x =-；∴原方程的解为：52x =或2x =-． 7．阅读下题和解题过程：化简|2|12(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：①当20x -时，即2x 时，原式21243x x x =-+-+=-+；②当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：（1）|3|5x -=；（2）2(|2|1)3x x +-=+．【解答】解：（1）①当30x -时，即3x ，35x -=，解得：8x =；②当30x -<，即3x <，35x -+=，解得：2x =-；∴方程|3|5x -=的解为8x =或2-；（2）①当20x +时，即2x -，2(21)3x x +-=+，解得：1x =；②当20x +<，即2x <-，2(21)3x x ---=+，解得：3x =-；∴方程2(|2|1)3x x +-=+的解为1x =或3-．8．阅读下列问题：例．解方程|2|5x =．解：当20x ，即0x 时，25x =，52x ∴=； 当20x <，即0x <时，25x -=，52x ∴=-． ∴方程|2|5x =的解为52x =或52x =． 请你参照例题的解法，求方程21||13x -=的解． 【解答】解：当210x -时，即12x， 2113x -=， 2x ∴=；当210x -<时，即12x <， 2113x -=-， 1x ∴=-；∴方程21||13x -=的解为1x =-或2x =． 9．阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，则A 、B 两点的距离可用式子||a b -表示．例如：5和2-的距离可用|5(2)|--或|25|--来表示．【知识应用】我们解方程|5|2x -=时，可用把|5|x -看作一个点x 到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点(P P 表示的数为)x 与5的距离为2，所以该方程的解为7x =或3x =．所以，方程|5|2x +=的解为 3x =-或7x =- ．（直接写答案，不需过程）【知识拓展】我们在解方程|5||2|7x x -++=时，可以设A 表示数5，B 表示数2-，P 表示数x ，该方程可以看作在数轴上找一点P 使得7PA PB +=，因为7AB =，所以由图可知，P 在线段AB 上都可，所以该方程有无数解，x 的取值范围是25x -．类似的，方程|4||6|10x x ++-=的解 （填“唯一”或“不唯一” )，x 的取值是 ．( “唯一”填x 的值，“不唯一”填x 的取值范围）；【拓展应用】解方程|4||6|14x x ++-=．【解答】解：【知识应用】|5||(5)|x x +=--，|5|x ∴+可以看成是数轴上点A 所表示的数x 与5-的距离， 52x ∴+=或52x +=-，解得：3x =-或7x =-，故答案为：3x =-或7x =-；【知识拓展】设A 表示数4-，B 表示数6，P 表示数x ， ∴方程|4||6|10x x ++-=可以看作在数轴上找一点P 使得10PA PB +=， ∴点P 必在线段AB 上，∴该方程的解不唯一，x 的取值范围是46x -，故答案为：不唯一，46x -，【拓展应用】|4||6|14x x ++-=，设A 表示数4-，B 表示数6，P 表示数x ，①当点P 位于线段AB 上时，|4||6|4610x x x x ++-=++-=（不合题意，舍去）， ②当点P 位于A 点左侧时，|4||6|462214x x x x x ++-=---+=-+=，解得：6x =-，③当点P 位于B 点右侧时，|4||6|462214x x x x x ++-=++-=-=，解得：8x =，综上，6x =-或8x =．10．先阅读下列解题过程，然后回答问题．解方程：|4|3x +=．解：当40x +时，原方程可化为43x +=，解得1x =-； 当40x +<时，原方程可化为43x +=-，解得7x =-． ∴原方程的解是1x -或7x =-．根据上面的解题过程，解方程：|33|60x --=．【解答】解：当330x -时，原方程可化为3360x --=，解得3x =； 当330x -<时，原方程可化为(33)60x ---=，解得1x =-． 所以原方程的解是3x =或1x =-．11．阅读下面的解题过程：解方程：|5|2x =．解：（1）当50x 时，原方程可化为一元一次方程52x =，解得25x =； （2）当50x <时，原方程可化为一元一次方程52x -=，解得25x =-． 请同学们仿照上面例题的解法，解方程3|1|210x --=．【解答】解：（1）当10x -时，原方程可化为一元一次方程3(1)210x --=，解得5x =；（2）当10x -<时，原方程可化为一元一次方程3(1)210x ---=，解得3x =-．12．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程|2||3|5x x +++=解：①当3x <-时，20x +<，30x +<，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=--所以原方程可化为 （1） 5=解得x =②当32x -<-时，20x +<，30x +，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x --++=15=所以此时原方程无解③当2x -时，20x +，30x +>，所以|2|x += ，|3|x +=所以原方程可化为 5=解得x =（2）用上面的解题方法解方程：|1||2|6x x x +--=-．【解答】解：（1）①当3x <-时，20x +<，30x +<， 所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=--所以原方程可化为：235x x ----=解得：5x =-②当32x -<-时，20x +<，30x +，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x --++=15=所以此时原方程无解③当2x -时，20x +，30x +>，所以|2|2x x +=+，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x +++=解得0x =故答案为：23x x ----，5-，2x +，3x +，23x x +++，0（2）令10x +=，20x -=时，1x ∴=-或2x =．当1x <-时，10x ∴+<，20x -<，|1|1x x ∴+=--，|2|2x x -=-+，1(2)6x x x ∴----+=-3x ∴=（不符合题意，所以无解）当12x -<时，|1|1x x ∴+=+，|2|2x x -=-+，126x x x ∴++-=-5x ∴=-（不符合题意，所以无解）当2x 时，|1|1x x ∴+=+，|2|2x x -=-，126x x x ∴+-+=-9x ∴=．综上所述，x 的解为：9x =．13．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3|1x = 解：①当30x 时，原方程可化为一元一次方程为31x =，它的解是13x =②当30x <时，原方程可化为一元一次方程为31x -=，它的解是13x =-． （1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x -+=（2）探究：当b 为何值时，方程|2|1x b -=+①无解；②只有一个解；③有两个解．【解答】（1）解：当30x -时，原方程可化为一元一次方程为2(3)513x -+=，方程的解是7x =；②当30x -<时，原方程可化为一元一次方程为2(3)513x -+=，方程的解是1x =-；所以方程的解是7x =或1x =-；（2）解：|2|0x -，∴当10b +<，即1b <-时，方程无解；当10b +=，即1b =-时，方程只有一个解；当10b +>，即1b >-时，方程有两个解．14．先阅读，后解题：符号|2|-表示2-的绝对值为2，|2|+表示2+的绝对值为2，如果||2x =那么2x =或2x =-． 若解方程|1|2x -=，可将绝对值符号内的1x -看成一个整体，则可得12x -=或12x -=-，分别解方程可得3x =或1x =-，利用上面的知识，解方程：|21|70x --=．【解答】解：移项得，|21|7x -=，根据绝对值的意义，得217x -=或217x -=-，解得4x =或3x =-．15．定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．如||2x =，|21|3x -=，1||12x x --=，⋯，都是含有绝对值的方程．含有绝对值的方程的解题思路是将含有绝对值的方程转化为不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由||2x =，可得2x =或2x =-．[例]解方程：|21|3x -=．解析：我们只要把21x -看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得213x -=或21x -= 3- ．解这两个一元一次方程，得2x =或1x =-．检验：（1）当2x =时，原方程的左边|21||221|3x =-=⨯-=，右边3=，因为左边=右边，所以2x =是原方程的解．（2）当1x =-时，原方程的左边|21||2(1)1|3x =-=⨯--=．右边3=，因为左边=右边，所以1x =-是原方程的解．综合（1）（2）可知，原方程的解是2x =或1x =-． 【解决问题】解方程：1||12x x --=． 【解答】解：1||12x x --=， 1||12x x -∴=+， ∴112x x -=+或112x x -=--， 解得3x =-或13x =-， 检验：当3x =-时，原方程的左边131||||3522x x ---=-=+=，右边≠右边，因为左边=右边，所以3x =-不是原方程的解， （2）当13x =-时，原方程的左边11113||||1223x x ---=-=+=．右边1=，因为左边=右边，所以13x =-是原方程的解， ∴原方程的解是13x =-．16．阅读所给材料，解决问题：分类讨论思想是求解带绝对值的方程的常用方法，例如，解方程|2|3x -=时，我们需要讨论2x -的正负性，当20x -时，原方程可化为23x -=，解得5x =；当20x -<时，原方程可化为(2)3x --=，即23x -=，解得1x -，所以原绝对值方程的解为5x =，或1x =-．（1）求解方程|1|52x x +-=； （2）若关于x 的方程|3|123x m +-=-+只有1个解，求方程的解及m 的值．【解答】解：（1）|1|52x x +-=， 当1x 时 原方程可化为152x x +-=； 解得4x =， 当1x <时，原方程可化为程152x x +-=； 解得8x =-， ∴原方程的解为8x =-或4x =；（2）|3|123x m +-=-+，当3x -时，原方程可化为3123x m +-=-+，解得12x m =-，当3x <-时，原方程可化为3123x m ---=-+，解得27x m =-，方程只有一个解，当123m -<-时，2m >，则273m ->-，此时方程无解；当273m --时，2m ，则123m --，此时方程有一个解，2m ∴=，方程的解为3x =-．17．阅读理解：在解形如3|2||2|4x x -=-+这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分2x <和2x 两种情况讨论：当2x <时，原方程可化为3(2)(2)4x x --=--+，解得：0x =，符合2x <． 当2x 时，原方程可化为3(2)(2)4x x -=-+，解得：4x =，符合2x ． ∴原方程的解为：0x =或4x =．解题回顾：本题中，2为(2)x -的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了2x <和2x 两部分，所以分2x <和2x 两种情况讨论．尝试应用：（1）仿照上面方法解方程：|3|83|3|x x -+=-．迁移拓展：（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：|3|3|2|9x x x --+=-． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？)【解答】解：（1）分两种情况：当3x <时，原方程可化为：383(3)x x -+=-，解得：1x =-，符合3x <， 当3x 时，原方程可化为：383(3)x x -+=-，解得：7x =，符合3x ， ∴原方程的解为：1x =-或7x =；（2）分三种情况讨论：当2x <-时，原方程可化为：33(2)9x x x -++=-，解得：18x =-，符合2x <-， 当23x -<时，原方程可化为：33(2)9x x x --+=-，解得：65x =，符合23x -<， 当3x 时，原方程可化为：33(2)9x x x --+=-，解得：0x =，不符合3x ， ∴原方程的解为：18x =-或65x =．。
含绝对值的一元一次方程解法
含绝对值的一元一次方程解法引言一元一次方程是数学中常见的方程类型。
然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。
本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。
解法步骤解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。
绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。
确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。
绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。
2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。
对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。
列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。
对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。
3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。
这些解将是含绝对值的方程的解。
解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。
这些解将是含绝对值的方程的解。
4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。
只有满足条件的解才是方程的真正解。
检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。
只有满足条件的解才是方程的真正解。
简单示例让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。
题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。
解方程 $|2x - 3| = 5$。
解法：1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式：- $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。
- $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。
2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。
解得 $x = 4$。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
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含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一． 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）二： 解含有绝对值的一元一次方程一. 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -=119x k=- ∵,x k 均为整数∴91,11k -=±±∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ;(2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数 又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=--∴2,0,2,4m =-测一测1： 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3答案：D方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -=即:179x k =-,x 为正整数,则88k =或-测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k(x+3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2， 代入方程1252(1)3x x --+=中解得k=4测一测1:【易】方程213x +=与202a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A 、7 B 、0 C 、3 D 、5【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得：12=02a --，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和32x k k x -=-解互为相反数，则k 的值为（）A. 143-B. 143C. 113k =- D. 113k = 【答案】 A首先解方程231x -=得：2x =；把2x =-代入方程32x k k x -=-，得到：232k k x --=-； 得到：143k =- 测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍【答案】由4231x m x -=-可知21x m =-，由23x x m =-可知3x m =∵ 关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的2倍∴2123m m -=⨯解得14m =-3. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴ 【易】已知方程()2412x a x +=-的解为3x =，则____a = 【答案】根据方程的意义，把3x =代入原方程，得()234312a ⨯+=-，解这个关于a 的方程，得10a =测一测1：【易】 若3x =是方程123x b -=的一个解，则b=________。
【答案】1 3x =代入到方程中，得1|2|3x b -=，解得1b = 测一测2：【易】 已知4x =-是方程3602kx -=的解，则1999k =_________。
【答案】 4x =-代入到方程中，得()34602k ⨯--=，解得1k =-⑵【易】 某同学在解方程513x x -=•+，把•处的数字看错了，解得43x =-，该同学把•看成了_________。
【答案】 将43x =-代入方程中解得=8• 测一测1: 【易】 某书中有一道解方程的题：113x x +•+=，•处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解就是2x =-，那么•处应该是________【答案】=5•将2x =-代入方程中解得=5•4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）知识点： 讨论关于x 的方程ax b =的解的情况.答案：当0a ≠时，方程有唯一的解b x a=； 当0,0a b =≠时，方程无解 当0,0.a b == 方程的解为任意数.例题5：⑴ 【中】 已知方程(2)4(2)a a x a -=-当此方程有唯一的解时，a 的取值范围是__________当此方程无解时，a 的取值范围是__________当此方程有无数多解时，a 的取值范围是_______答案：02a a ≠≠且； 0a =； 2a =知识点：讨论关于x 的方程ax b =的解的情况.当0a ≠时，方程有唯一的解b x a =； 当0,0a b =≠时，方程无解当0,0.a b == 方程的解为任意数.⑵ 【中】 关于x 的方程43mx x n +=-. 分别求,m n 为何值时，原方程： ⑴ 有唯一解 ⑵ 有无数多解 ⑶无解答案：原方程可以转化为()34m x n -=+⑴ 当3,m n ≠为任意值时，方程有唯一解；⑵ 当3,4m n ==时，方程有无数解；⑶ 当3,4m n =≠-时，无解测一测1：【中】 若关于x 的方程 ()2125a x b x +=+ 有无穷多个解。
求________a b ==答案： ()2125a x ab -=-. 要使x 有无穷多个解，则2120a -= 50ab -= 得到56;6a b == 测一测2： 【中】 已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+ 有无数多个解，那么___,____a b ==答案： 2253ax a x ax b -=-+ ，即()3523a x a b -=+所以350230a a b -=+=且，即510,39a b ==-即测一测3： 【中】 已知关于x 的方程 ()2132a x x -=- 无解，试求a =_______ 答案： 方程可化简为()232a x a -=- 由题意得 230,20a a -=-≠ 即32a =例题6：【中】解关于x 的方程：()10x x ab a b -=≠答案： (),bx ax ab b a x ab -=-=当a b =时， 0ab ≠ 所以此方程无解当a b ≠时，ab x b a=-二： 含有绝对值的一元一次方程例题7: 【中】 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程： 32x +=解：当x+3≥0时，原方程可化为： x+3=2， 解得x=-1当x+3＜0时，原方程可化为： x+3=-2，解得x=-5所以原方程的解是x=-1，x=-5（1）解方程： 3240x --=答案： 原方程可化简为: |32|4x -=当32x -≥0时，原方程可化为：324x -=，解得2x =当32x -＜0时，原方程可化为：324x -=-，解得23x =-所以原方程的解是：22,3x x ==- （2）探究：当b 为何值时，方程21x b -=+ ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解. 答案：① 无解 1b -＜② 只有一个解1b =-③ 有两个解 1b >- 考点：20x -≥10b +< 无解+10b = 唯一解+10b > 有两个解测一测1：【易】方程 |23|5x +=的解是_______答案： 235x += 或235x +=-1x =或-4测一测2：【易】 方程|21|302x --= 的解为________ 答案： |21|32x -= |21|6x -= 216216x x -=-=-或7522x x ==-或家庭作业：1. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值2. 若1x =是关于x 的方程(0)ax b c a +=≠的解，求：（1）2001)(c b a -+的值； （2）b ac +的值； （3）1c a b ---的值.3. （1）解关于x 的方程4(1)(5)2a x a x b -=-+有无数多个解，试求b a ,（2）当k 取什么整数时，方程24kx kx +=的解是正整数？4. 已知：05)2(2312=+-++a y y b a 是关于y 的一元一次方程，求,a b 的值．5. 解方程：（1）|32|40x --=（2）x n m x n m m )()(2-=+-。