几何专题突破

几何专题突破
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（一）等腰等边专题
【例1】1.如图，在等边三角形ABC 中，AD=CE ，线段AE 上存在一点F ，连接CF 使得CF ⊥BD ，过点B 作BG ⊥AE ，垂足为G （1）求证：BF=2FG （2）点F 为AG 的中点
2.已知在△ABC 中，D 为BC 边上一点，CD=2BD, ∠ADC=60°，∠ABC=45°，AE ⊥BC 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，AE 与CF 交与点G.
求证：（1）△AFG ≌△CFD
（2）若BC=3，AF=√3，求线段EG 的长
（二）一题多变探究题
【例2】1..操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？
（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？并证明你发现的结论；
（3）深入探究：如图③，当动点D 在等边△边BA 的延长线上运动时，连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF 、BF′，探究AF 、BF′与AB 有何数量关系？写出并证明你发现的结论
G
E
C
A
B
D
F
2．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点H是BC中点，过点H作DH⊥BC于H且与BA延长线相交于点D.
（1）图中存在连接两点的线段等于DB,请画出此线段并说明理由；
（2）如图（1），当∠B=45°时，三条线段AB、AD、BC之间存在BC=AB+2AD，请给出证明；
（3）如图（2），∠B=36°时，三条线段AB、AD、BC之间又存在何种确定的等量关系？请写出结论并证明.
图（1）图（2）图（2）
3.如图，已知△ABC中，∠B=300，现将△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，直线BC与直线DE 交于点F，连结AF
1）若α=600（如图1），则∠AFB= ；若α=900（如图2），则∠AFB=
2）若00＜α＜1200（如图3），猜想∠AFB的度数（用α表示），并证明你的结论
3）若1200＜α＜1800（如图4），（2）中的猜想结论还成立吗？若不成立，试探究∠AFB的度数，并写出你的结论（不必证明）
A
B C
D
E
F
图
A
B C
D
E
F
图
A
B C
D
E
F
图
A
B C
D
E
F
图
4.已知，如图ABCD 为正方形，E 点为对角线AC 上一动点，连接DE ，以DE 为边作等边△DEF ，连接BF ，交AC 于点P ，试判断EP 、FP 、BP 之间的数量关系。

（1）
（2）
（3）
5.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与
B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．
作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度；
（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
F
C A
B D E
P F
C A
B D E
P
F C
A
B D E
A E E A C C
D D
B B 图图
A A 备用
B
C B
C
备用
图1
O
y x
P
D C B
A y 图2
E
A
B
C D P
x
O
（三） 代数几何综合题
【例3】1．如图，OA 为第一象限的角平分线，点E 在y 轴上，∠OEF=∠AOF ，FE ⊥OF 交OA 于点M ,求证：EM=2OF
2.如图1，在平面直角坐标系中，已知A （-5,0），C （0，-4），点B 在y 轴正半轴上，满足S
ABC =20，点
P （m,0），（-4＜
m<0），线段PB 绕点P 顺时针旋转90°至PD. （1）求证：OB=OC ；
（2）求点D 的坐标；（用含m 的式子表示）
（3）如图2，连接CD 并延长交x 轴于点E ，求证：∠PDC=45°+∠PBO.
3.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰三角形，顶角顶点为A （4,4） （1）求B 点坐标
（2）若C 为x 轴正半轴上一点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连接OD 求∠AOD 的度数。

（3）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E 点，F 为x 轴上负半轴上一动点，G 在EF 延长线上，以EG 为直角边作等腰直角△EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，当点F 在x 轴负半轴上移动，式子 （AM-FM ）/OF 的值是否发生变化？不变，求其值。

4.如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点
B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ， 求证∠BDO =∠EDA ；
（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点
Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的
取值范围.
A
B
O
D
E
F y
x
A
B O M
P
x
y
5.如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为(0，1)，∠BAO =30°． （1）求AB 的长度；
（2）以AB 为一边作等边△ABE ，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ．求证：BD =OE ．
（3）在（2）的条件下，连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点．
6.已知：在平面直角坐标系中，A 、B 、C 为坐标轴上的点，期中B 点为（2,0），C 点为（0,4），D 点是C 点关于x 轴的对称点， E 为BC 延长线上一点，F 为DB 延长线上一点，连接AE 、AF ，∠EAF=∠EBF （1）证明：AE=AF
（2）证明：2=-OB
BF
BE
D
E
N
M B O
x
y
A
D E
B O
x
y
F A
x
y A
O
B
C F
E。