第12章-相对论基础

第12章 相对论基础12.1 确认狭义相对论两个基本假设,为什么必须修改伽利略变换？答：是因为从两个基本假设出发所得时空坐标变换关系与伽利略变换相矛盾。

12.2 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大,是否还有同时的相对性.答：同时的相对性是指在一参考系不同地点同时发生的两事件，在任何其它与之相对运动的参照系看来是不同时发生的。

同时的相对性结论是由光速不变原理决定的，它反映了时空的性质。

如果光速是无限大的，就不存在同时的相对性了。

12.3 相对论中,在垂直于两个参考系的相对运动方向上,长度的量度与参考系无关,而为什么在这个方向上的速度分量却又和参考系有关？答：这是由于时间因参考系的变化而不同，速度又是位移的时间变化率。

12.4 能把一个粒子加速到光速吗？为什么？答：若粒子的静止质量不为零，这样的粒子不可能加速到光速，其原因是粒子的能量2mc E =当c →υ时，∞→E ，故在做有限功时，不可能将其速度加速到光速，只能无限的趋向于光速。

12.5 如果我们说,在一个惯性系中测得某两个事件的时间间隔是它们的固有时间,这就意味着,在该惯性系中观测,这两个事件发生在 同一 地点,若在其他惯性系中观测,它们发生在 不同 地点,时间间隔 大 于固有时间.12.6 一短跑选手以10s 的时间跑完100m.一飞船沿同一方向以速度c u 98.0=飞行.问在飞船上的观察者看来,这位选手跑了多长时间和多长距离？解：据洛仑兹变换得s 25.50/)98.0(1/10098.010/1/'222222=-⨯-=-∆-∆=∆cc c c cc x t t υυm c c c c t x x 922221047.1/)98.0(11098.0100/1'⨯-=-⨯-=-∆-∆=∆υυ负号表示运动员沿'x 轴负方向跑动。

应注意运动员相对于飞船移动的距离和飞船上测得跑道的长度是不同概念，所以不能用22/1/'c x x υ-∆=∆去求题中要求的距离。

12.7 一艘飞船和一颗彗星相对于地面分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动,在地面上观测,再有5s 两者就要相撞,试求从飞船上的钟看再过多少时间两者将相撞.解 方法一：开始飞船经过地面上1x 位置和到达3x 位置（与彗星相撞处，如图所示），这两个事件在飞船上观察是在同一地点上发生的，它们的时间间隔't ∆应是原时，由于在地面上看这两事件的时间间隔为s t 5=∆，所以 s 4)6.0(15/1'222=-=-∆=∆cc c t t υ方法二：如图所示，以飞船经过地面上1x 位置为事件1，同时观测到彗星经过地面上2x 位置为事件2，再设飞船和彗星在地面上3x 位置相撞为事件3。

从地面上看事件1、2是同时在0t 时刻发生的，而事件3发生在1t 时刻。

在飞船参考系看，则这三个事件发生时间分别为',','321t t t 。

显然'2'1t t ≠，而'3'1,t t 时刻可由飞船中同一时钟给出，其间隔't ∆即为所求的时间。

22012012213201'1'3'/1)()(/1)()(ct t c t t c x x c t t t t t υυυυυ----=----=-=∆s 4)6.0(15/1)(22201=-=--=cc c t t υ 12.8 一空间站发射两个飞船,它们的运动路径相互垂直.设一观察者位于空间站内,他测得第一个飞船和第二个飞船相对空间站的速率分别为0.60c 和0.80c,试求第一个飞船的观察者测得第二个飞船的速度.解：设第一飞船沿x 轴正向运动。

第二个飞船沿y 轴正向运动。

以地面为S 系，以第一个飞船为'S 系，则c 60.0=υ，c u y 80.0=，0=x u 。

由洛仑兹速度变换得：c cu u u x x x 60.0)1/()(2'-=-=--=υυυ c c c c cu c u u x y y 64.0)6.0(18.0)1/(/12222'=-=--=υυ c c u u u y x 877.064.0)6.0(222'2''=+=+=速度方向与x 轴正向夹角 02.13360.064.0arctan=-=ccθ12.9 在以0.50c 相对于地球飞行的宇宙飞船上进行某实验,实验时仪器向飞船的正前方发射电子束,同时又向飞船的正后方发射光子束.已知电子相对于飞船的速率为0.70c.试求：123x题12.7示图(1) 电子相对于地球的速率；(2) 光子相对于地球的速率；(3) 从地球上看电子相对于飞船的速率；(4) 从地球上看电子相对于光子的速率；(5) 从地球上看光子相对于飞船的速率.解（1）由速度反变换得电子相对于地球的速率为c ccc c c c c u u u 89.035.12.1/5.07.015.07.0)1/()(22''==⨯++=++=υυ电子电子电子 （2）光子相对于地球的速率c cc c c c c c u u u0.15.05.05.015.0122''-=-=⨯-+-=++=υυ光子光子光子（3）从地球上看电子相对于飞船的速度 c c c u 39.05.089.0=-=-υ电子 （4）从地球上看电子相对于光子的速率 c c c u u 89.1)0.1(89.0=--=-光子电子 （5）从地球上看光子相对于飞船的速率 c c c u 5.1)0.1(5.0=--=-光子υ12.10 宇宙射线与大气相互作用时能产生π介子衰变,此衰变在大气上层放出叫做μ子的基本粒子.这些μ子的速度接近光速(c 998.0=υ ) .由实验室内测得的静止μ子的平均寿命等于s 102.26-⨯ ,试问在8000m 高空由π介子衰变放出的μ子能否飞到地面.解：以地面为s 系，以's 子为μ系，由时钟延缓效应得从地面参考系中观察μ子的寿命s t 526221048.3)998.0(1102.2/1--⨯=-⨯=-∆=∆υυτ在其寿命期间运动的距离 m m t l 8000104191048.3103998.058>=⨯⨯⨯⨯=∆=-υ所以在8000m 高空由π介子衰变放出的μ子能飞到地面。

本题可由尺度缩短效应计算说明。

12.11 宇宙飞船以0.8c 的速度离开地球,并先后发出两个光信号.若地球上的观测者接收到这两个光信号的时间间隔为10s,试求宇航员以自己的时钟记时,发出这两个信号的时间间隔.解：取地面为s 系，宇宙飞船为's 系，发出两信号的时间间隔在's 系是固有时τ∆，据时钟延缓效应得在s 系中发出这两信号的时间间隔为 22/1/c t υτ-∆=∆然而发出这两信号在地球系s 中观测，飞船到地球的距离差为t x ∆=∆υ，所以有ττυυ∆=-∆+=∆+=∆+∆=∆+∆=38.01)8.01()1(102t c t c t t c x由此得宇航员所测得发出这两个信号的时间间隔为 s 310=∆τ 12.12 一把米尺沿其纵向相对于实验室运动时,测得的长度为0.63m,求该尺的运动速率.解：由尺度缩短效应公式得 22/163.0c υ-= 由此解得该尺的运动速率为 c c 78.063.012=-=υ12.13 在S'坐标系中有一根长度为'l 的静止棒,它与x' 轴的夹角为θ', S'系相对于S 系以速度υ沿x 轴正向运动 .(1) 从S 系观测时,棒的长度l 是多少？它与x 轴的夹角θ是多少？(2) 若0045,30'==θθ,求两坐标系的相对速度的大小.解：（1）'''cos θl l x = '''sin θl l =⊥由尺缩效应公式得 22''22'/1cos /1c l c l l x x υθυ-=-=， '''sin θl l l ==⊥⊥ 由此得 '222'22cos 1θυcl l l l yx-=+=尺与x 轴的夹角正切值为 22'22''''/1tan /1cos sin tan cc l l l l x υθυθθθ-=-==⊥ (2) 将0'30=θ，045=θ代入上式得220/130tan 45tan c υ-=由此解得 c c c 3231130tan 102=-=-=υ 12.14 求火箭以0.15c 和0.85c 的速率运动时,其运动质量与静止质量之比. 解：当c 15.0=υ，01.115.011/112220=-=-=c m m υ当c 85.0=υ时90.185.011/112220=-=-=c m m υ12.15 在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍？又在什么速度下粒子的动能等于非相对论动能的两倍.解：（1）υυυ02202/1m cm =-，由此得运动速度 c866.0=υ（2）20202220212/1υυm c m c c m ⨯=--，由此解得 c 786.0=υ12.16 要使电子的速率从m/s 102.18⨯增加到m /s 104.28⨯,必须做多少功？ 解：据功能原理可得 22122222121/1/cc m c c m E E A e e υυ---=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-2882882831)103102.1(1/1)103104.2(1/1()103(101.9 =eV J 5141095.2107.4⨯=⨯-12.17一个质子的静质量为kg 1067265.127-⨯=p m ,一个中子的静质量为kg 1067495.127-⨯=n m ,一个质子和一个中子结合成的氘核的静质量为kg 1034365.327-⨯=D m .求结合过程中放出的能量是多少M eV ？这能量称为氘核的结合能,它是氘核静能量的百分之几？一个电子和一个质子结合成一个氢原子,结合能是13.58eV,这一结合能是氢原子静能量的百分之几？已知氢原子的静质量为kg 1067323.127-⨯=H m .解：（1）在结合过程中的质量亏损为2710)34365.367495.167265.1()(-⨯-+=-+=∆D n p m m m M =kg 271000395.0-⨯相对应的结合能 MeV 22.2J 10555.3)103(1000395.01328272=⨯=⨯⨯⨯=∆=∆--Mc E氘核的结合能所占氘核静能量的 %12.01034365.31000395.0272722=⨯⨯=∆=∆=∆--D D D M M c M Mc E E （2）对于氢原子，%1044.1)103(1067323.1106.158.1362827192---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆c M E E E H H 12.18 假设有一静止质量为0m ,动能为202c m 的粒子与一个静止质量为02m ,处于静止状态的粒子相碰撞并结合在一起,试求碰撞后的复合粒子的静止质量.解：动能 202022202/1c m c m c c m E k =--=υ由此得，c 322=υ设碰撞后复合粒子的速度和质量分别为'υ和0M .则由动量和动能守恒可得220220/'1'0/1cM cm υυυυ-=+-；2220202220/'12/1cc M c m cc m υυ-=+-将c 322=υ代入上两式得 2200/'1'22cM c m υυ-=（1） 22'00/'15cM m υ-=（2）（1）式除以（2）式得 c 522'=υ 并将其代回（2）式得 000175)522(1/5M M m =-=，由此得 000175517m m M =⨯= *12.19 一质子以0.99c 的速度沿直线匀速飞行.求在其正前方、正后方、正左方距离都是m 1010-处的电场强度各多大？解：对于匀速飞行质子的正前方，正后方 00180,0=θ，0sin 2=θ则[])1(41sin )/(1/1422202/32222220cr e c c r qE υπεθυυπε-=--=m V /109.2)99.01()10(106.110992210199⨯=-⨯⨯⨯=-- 对于正左方 1sin 2=θ 则[]2/32222202/32222220)/1(/141sin )/(1/14c c r e c c r qE υυπεθυυπε--=--=m V /100.199.011)10(106.1109122210199⨯=-⨯⨯⨯=--*12.20 证明(12.31)式的两个特例：(1) 如果在S'系中电荷系统不产生磁场,即到处0=B',则在S 系中可观测到磁场,它和电场的关系为 c /E υB ⨯=.(2) 如果在S'系中电荷系统不产生电场,即到处0=E',则在S 系中可观测到电场,它和磁场的关系为 B υE ⨯-=证明：（1）在式（12.31）中，取0=B'，则得22'/1/c E E y y υ-= 22'/1/c E E z z υ-= （1）0'==xx B B ， 2222'//1/c E c c E B z z y υυυ-=--=，2222'//1/c E c c E B y y z υυυ=--= （2）考虑到两系相对运动速度沿x 方向，则可得式（2）的如下矢量形式 c /E υB ⨯=（2） 在式（12.31）中取0=E'，则得22'/1/c B B y y υ-=，22'/1/c B B z z υ-= （3）0'==x x E E ，z z y B c B E υυυ=-=22'/1/，y y z B c B E υυυ=--=22'/1/ （4）同样考虑到两系相对运动速度沿x 方向，则得（4）的如下矢量形式 B υE ⨯-=（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。