工程力学 第三章 一般力系的简化
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《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
工程力学-平面任意力系
即：
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
工程力学基础第3章 力系的静力等效和简化
二、力系简化的最终结果 根据力系主矢和主矩的性质，力系可最终简化为下列四种情形 1 2 3 4 平衡力系 即与零力系等效。其条件为主矢F′R=0，主矩M 该力偶称为力系的合力偶。力系存在合力 该力称为力系的合力。
O=0 单一等效力偶 单一等效力 力螺旋 偶的条件为主矢F′R≠0，主矩MO≠0。 在最一般的情况下，力系的主矢和主矩不垂直
三、平面力系的简化结果
（1）沿直线路面行驶的汽车，若不考虑由于路面不平引起的
左右摇摆和侧滑，则由汽车所受的重力、空气阻力及地面对车 轮的约束力构成的空间力系将对称于汽车的纵向对称面。将该 力系向汽车的纵向对称面简化，就可得到一个平面一般力系， 如图3-11 （2）工厂车间里的桥式起重机，梁的自重、起重机小车的自 重和起吊物的重量均作用在梁的纵向对称面内。梁两端四个车 轮的约束力也对称于该平面，故该力系可简化为梁纵向对称面 内的一个平面力系，如图3-12所示。
图3-3
力的平移定理
可以把作用于刚体上点A的力F平行移动到任一
点O，同时附加一个力偶，其力偶矩矢M等于力F对点O的力矩
矢，即M=MO（F），则平移后得到的新力系与原力系等效， 如图3-4 力的平移定理可以直接用等效力系定理来证明。反之，作用于 同一刚体的同一平面内的一个力和一个力偶（即力偶矩矢和力 矢垂直时），可以用一个力等效代替。
（一般）力系，这是力系的最一般的形式。当力系中各力的作 用线位于同一平面内时，称为平面（一般）力系，这是工程实 际中常见的重要情形。有些空间力系通过等效转换的方法也可 以变为平面力系。如果力系中各力的作用线交于一点，则称为 汇交力系。如果力系全部由力偶组成，则称为力偶系。汇交力 系和力偶系也有空间和平面两种情形，汇交力系和力偶系是两
图3-4
平面一般力系的简化
O m2
F1
m1
x
F2
(a)
(b)
1.简化方法
向一点简化
一般力系（任意力系）
（未知力系）
FR（已知力系）
汇交力系合力
4
附加力偶的合力偶矩
2.主矢与主矩
①. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和
。
主矢 的 解析求法
大小： 方向： 注意：因以主它矢与等简于化原中力心系的各位力置的无矢关量。和,所
4、固定端（插入端）约束 在工程中常见的有：
A 雨搭
车刀
固定端（插入端）约束的构造
Fi A
约束反力
①认为Fi这群力在同一 平面内;
7
MA
FA
A
MA A
FA y FA x
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy ,MA为固定端 约束反力; ⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
A (a)
B F
F A (b)
m B A
(c)
2
讨论
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。
P
e
O
A
P
m
O
A
（刚体、变形体两 种情况）
③力线平移定理是力系简化的理论基础。 3
二、 平面一般力系向一点简化
Fn
An O
A2
F1
A1 F2
y Fn mn
5
②主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。
大小：
主矩 MO 正、负规定 ： 转向 +
F1
m1
x
F2
(a)
(b)
1.简化方法
向一点简化
一般力系（任意力系）
（未知力系）
FR（已知力系）
汇交力系合力
4
附加力偶的合力偶矩
2.主矢与主矩
①. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和
。
主矢 的 解析求法
大小： 方向： 注意：因以主它矢与等简于化原中力心系的各位力置的无矢关量。和,所
4、固定端（插入端）约束 在工程中常见的有：
A 雨搭
车刀
固定端（插入端）约束的构造
Fi A
约束反力
①认为Fi这群力在同一 平面内;
7
MA
FA
A
MA A
FA y FA x
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy ,MA为固定端 约束反力; ⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
A (a)
B F
F A (b)
m B A
(c)
2
讨论
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。
P
e
O
A
P
m
O
A
（刚体、变形体两 种情况）
③力线平移定理是力系简化的理论基础。 3
二、 平面一般力系向一点简化
Fn
An O
A2
F1
A1 F2
y Fn mn
5
②主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。
大小：
主矩 MO 正、负规定 ： 转向 +
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
工程力学--平面一般力系解读
Fi Fi
作用在简化中心。是各力的矢量和，所以与简化中心位置无关。
主矩 MO m1 m2 m3
mi
mO (F1) mO (F2 ) mO (Fi )
是各力对简化中心的力矩之和，所以与简化中心位置有关。
例题 1 已知平面任意力系如图，F1 100 2N , F2 100N , F3 50N
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如图所
示。 合力FR到O点的距离
d
MO FR
0.51
m
例题 3 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集
度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
F
q A
解：在梁上距A端为x的微段dx上，作 q 用力的大小为q’dx，其中q’ 为该处的载 B x 荷集度 ，由相似三角形关系可知
列平衡方程得：
X XA 0 Y YA NB P 0
mA (Fi ) P 2a NB 3a 0
解得： YXAAP30
N
B
2P 3
例题 5 如图所示，支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链
A，D连接于铅直墙上。已知AC=CB，杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，
(2)当Q=180kN，满载W=200kN时，由平面平行力系的平衡方程可得：
Fi Q P W NA NB 0 mA (F ) Q(6 2) P 2 W (12 2) NB 4 0
解得：
N N
A B
210 870
kN kN
•§3-6 静定与静不定问题的概念
一、静定与静不定问题的概念
作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。
AA
作用在简化中心。是各力的矢量和，所以与简化中心位置无关。
主矩 MO m1 m2 m3
mi
mO (F1) mO (F2 ) mO (Fi )
是各力对简化中心的力矩之和，所以与简化中心位置有关。
例题 1 已知平面任意力系如图，F1 100 2N , F2 100N , F3 50N
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如图所
示。 合力FR到O点的距离
d
MO FR
0.51
m
例题 3 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集
度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
F
q A
解：在梁上距A端为x的微段dx上，作 q 用力的大小为q’dx，其中q’ 为该处的载 B x 荷集度 ，由相似三角形关系可知
列平衡方程得：
X XA 0 Y YA NB P 0
mA (Fi ) P 2a NB 3a 0
解得： YXAAP30
N
B
2P 3
例题 5 如图所示，支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链
A，D连接于铅直墙上。已知AC=CB，杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，
(2)当Q=180kN，满载W=200kN时，由平面平行力系的平衡方程可得：
Fi Q P W NA NB 0 mA (F ) Q(6 2) P 2 W (12 2) NB 4 0
解得：
N N
A B
210 870
kN kN
•§3-6 静定与静不定问题的概念
一、静定与静不定问题的概念
作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。
AA
gxt3第三章工程力学课后题答案
第三章 平面任意力系3-1 如图（a ）所示，已知F 1=150N ，F 2=200N ，F 3=300N ，N 200='=F F 。
求力系向O 点简化的结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。
解：（1）将力系向O 点简化N6.43752300101200211505210121321R-=---=---=∑='F F F F F x xN6.16151300103200211505110321321R-=+--=+--=∑='F F F F F y y()()N F F F y x 5.4666.1616.437222R 2R R=-+-='+'='设主矢与x 轴所夹锐角为θ，则有61206.4376.161arctanarctanRR '︒=--=''=x y F F θ因为0R <'x F ，0R <'y F ，所以主矢F ＇R在第三象限。
08.02002.0513001.02115008.02.0511.021)(31⨯-⨯+⨯=⨯-⨯+⨯==∑F F F M M O O F(a)(b) (c)将力系向O 点简化的结果如图（b ）。
(2)因为主矢和主矩都不为零，所以此力系可以简化为一个合力如图（c ），合力的大小mm 96.4504596.05.46644.21N 5.466RR R ====='=m F M d F F o3-2重力坝的横截面形状如图（a ）所示。
为了计算的方便，取坝的长度（垂直于图面）l =1m 。
已知混凝土的密度为2.4×103 kg/m 3，水的密度为1×103 kg/m 3，试求坝体的重力W 1，W 2和水压力P 的合力F R ，并计算F R 的作用线与x 轴交点的坐标x 。
解：（1）求坝体的重力W 1，W 2和水压力P 的大小kNN dy y dy y q P mN y dyy dy y q 5.9922105.9922245108.9)45(108.9)()45(108.9)45(8.91011)(3234534533=⨯=⨯⨯=⋅-⨯=⋅=-⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=⎰⎰（2）将坝体的重力W 1，W 2和水压力P 向O 点简化，则kN 5.9922R==∑='P F F x xkN 3057621168940821R-=--=--=∑='W W F F y y()kN 7.32145305765.9922222R 2R R=-+='+'='y x F F FkN N W kN N W 2116810211688.9104.2136)545(2194081094088.9104.218)545(332331=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+=(a) (b) (c)设主矢与x 轴所夹锐角为θ，则有︒=-=''= 02.725.992230576arctanarctanRR x y F F θ因为0R >'x F ，0R <'y F ，所以主矢F ＇R在第四象限，如图（b ）。
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（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx
即 2355 x 670.1 y 232.9 有： 670.1x 232.9 y 2355 0 求 FR 与x轴的交点 y 0
x 3.514m
§3–4
力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
（3–4）
又 则
（3–5） 力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为 （3–6)
2.力对轴的矩
（3–7） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。
M O M o ( Fi ) ( xi Fiy yi Fix )
Fy cos( FR, j ) FR
(3 1)
(3 2)
3、简化结果分析
=
其中
MO d FR
o R
M o FRd
O O i
FR FR FR
(3 3)
1、空间力偶矩以矢量表示
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
力偶矩矢
（3–11）
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。
力偶矩
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
例3-7
已知：F , l , a,
M 求： x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
M y F Fl cos
M z F F l sin
§3–5
空间力偶系
力偶矩矢
例4-13 已知：等厚均质偏心块的 R 100mm , r 17mm , b 13mm 求：其重心坐标。 解：用负面积法， 为三部分组成，设大半圆面积为 小半圆（半径为 ）面积为 , 小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。 由对称性，有 而 ，
由
A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 得 yC A A A 40.01mm 1 2 3
空间汇交力系的合力 称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
式中
分别表示各力
对
，
,
轴的矩。
力系简化的意义
—有效推进力 —有效升力 —侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩 —俯仰力矩
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 时，
' Ry
' R
F Fix F1 F2 cos 232.9kN
' Rx
AB ACB arctan 16.7 AC
F 大小 FR'
F F 709.4kN 的方向余弦 cos F , i F 0.3283 F F 向下与x正 F 0.9446 向成70.84度角 cos F , j F
主矢大小 FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 方向
Fix cos( FR, i ) FR
作用点
主矩
作用于简化中心上
Fiy cos( FR, j ) FR
M O M O ( Fi ) FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx cos( FR, i ) FR
2. 计算的简易方法
1）利用对称性 2）分割法 3）负面积法
例4-12 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。 求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可。 用虚线分割如图， 为三个小矩形， 其面积与坐标分别为 A1 300mm 2 x1 15mm y1 45mm x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 A3 300mm 2 x 3 15mm y 3 5mm 则 Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例3-9 已知： 两圆盘半径均为200mm， AB =800mm, 圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。 求:轴承A,B处的约束力。 解：取整体，受力图如图b所示。 由力偶系平衡方程 M x 0 F2 400mm FAz 800mm 0
(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
如同右图
有
为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
有 M ix 0 简写为
M iy M ix cos cos M M
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点 之矩的矢量和。 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。 （2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 当 ∥ 时 （3）力螺旋
力螺旋中心轴过简化中心
当
成角
且
既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
F
' R 2 2 ix iy
' R ix ' R
' R
' R
iy
主矩
M o M o F 3F1 1.5P 3.9P2 2355kN m 1
' R
（2）、求合力及其作用线位置。
Mo 2355 d 3.3197m ' FR 709.4
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
M iz cos M
M iy 0
M iz 0
（3–12）
称为空间力偶系的平衡方程。
例3-8 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 求力偶的投影 轴上的投影 。
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
4、平面固定端约束
=
=
≠
=
例3-6 P 已知： 1 450kN, F1 300kN,
F2 70kN;
P2 200kN,
求： 力系的合力FR , 合力与OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程。
FR'
解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩。
F Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
第三章 一般力系的简化
一般力系实例
§3-3 平面一般力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
M B M B ( F ) Fd
2、平面一般力系向作用面内一点简化 ·主矢和主矩
F1 F1
F2 F2 Fn Fn
M1 M 0 ( F1 )
M 2 M 0 ( F2 ) M n M 0 ( Fn )
（4）平衡
当
时，空间力系为平衡力系
§3–7 重 心
1． 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
质 心
有 对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 （3–13） 对均质物体，均质板状物体，有
xc
V x
i
i
V
yc
V y
i
i
V
zc
V z
V
i i
称为重心或形心公式
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力 ,力 在三根轴上的分力 用点的坐标 x, y, z ， ， ，力 作
求：力
对 x, y, z轴的矩
=
（3-8）
=
+0 -
=
（3-9）
= -
+ 0
=
（3-10）
比较（3-6）、（3-8）、（3-9）、（3-10）式可得
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
合力矩定理 M ( F ) M M ( F )后结果
合力 合力 合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心M O
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
3． 实测法确定重心 如： 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
4.质心—质点系的质量中心
rc mi r i m (3 15)
C——即为质点系的质心
投影到坐标系
xc
m x
i
i
yc
mi yi