湖北省黄冈中学2012届高三年级九月摸底考试

湖北省黄冈中学2012届高三年级九月摸底考试 数 学 试 题（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．cos300︒=（ ）A ．32-B ．-12C ．12 D ．322．函数y ＝ln(x ＋1)－x2－3x ＋4的定义域为 （ ）A ．（－4，－1）B ．（－4,1）C ．（－1,1）D ．（－1,1] 3．下列命题正确的是 （ ） A ．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B ．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行 C ．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D ．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 4．下列有关命题的说法正确的是 （ ） A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则p n m ,,的大小关系是（ ）A ．p n m <<．B ．n p m <<C ．n m p <<D ．m n p <<6．如果函数f （x ）＝x2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－3，＋∞） B ．（－∞，－3] C ．（－∞，5] D ．[3，＋∞）7．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=+b a3（ ）A ．7B ．10C ．13D ．48．若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过14， 则()f x 可以是（ ）A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =-C ．()1xf x e =-D ．1()ln()2f x x =- 9．如下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）正视图侧视图俯视图O thh t Oh tOOthA ．B ．C ．D ．10．设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是 （ ）①()f x 的图象关于直线3x π=对称 ②()f x 的图象关于点(,0)4π对称③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数 A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．③二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上） 11．已知球的半径为3，则该球的表面积为________．12．已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =-，且,,A B C 三点共线，则k =________．13．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，则________cos sin =-x x14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________． 14题图15．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，使|()|||f x m x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③2()1xf x x x =++；④ ()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的序号是 ．三、解答题．（本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知m R ∈，{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}|22,B x m x m x R =-+≤≤+∈（1）若[]0,3A B =,求m 的值；（2）若⊆A RB，求m 的取值范围．17．（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形ABCD 是平行四边形，已知A （－1,－2）、B （2,3）、D （－2,－1）。

（1）分别求两条对角线AC,BD 的长度； （2）若向量AB tOD - 与OD 垂直，求实数t 的值。

OCBy18．（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知c b a ,,成等比数列，.43cos =B（1）求11tan tan A C +的值；（2）设32BA BC ⋅=，求c a +的值．19．（本题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价p （元）与时间t （天）组成有序数对(,)t p ，点(,)t p 落在如下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示，已知日交易量Q （万股）与时间t （天）满足一次函数关系。

（1）根据提供的图象和表格，写出该股票每股交易价格p （元）与时间t （天）所满足的函数关系式以及日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式．（2）用y 表示该股票日交易额（万元），写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？第t 天 4 10 16 22 Q（万股）363024182 5620 30 tpO AD20．（本小题13分）已知函数22()sin 23sin()cos()cos 344f x x x x x ππ=++---．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求()f x 在(,)122ππ-上的值域．（3）若(,)122A ππ∈-，且()3f A =,求A ．21．（本小题满分14分） 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且同时满足以下①②③三个条件： ①(1)f =3；②()2f x ≥对一切[]0,1x ∈恒成立；③若0,0,1a b a b ≥≥+≤，则()()()2f a b f a f b +≥+-。

（1）求(0)f ；（2）设12,[0,1]x x ∈，且12x x <，试证明12()()f x f x ≤并利用此结论求函数()f x 的最大值和最小值; （3）试比较1()2n f 与122n()n N ∈的大小,并证明对一切(0,1]x ∈，都有()22f x x参考答案1．C 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=2．C 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x2－3x ＋4＞0，解得－1＜x ＜13．C4．D5．C 【解析】01p m n <<<<6．B 【解析】∵f （x ）＝x2＋2（a －1）x ＋2， ∴对称轴为x ＝1－a ，∴递减区间为（－∞，1－a]．依题意，有（－∞，4]⊆（－∞，1－a]， ∴4≤1－a ，得a≤－3，∴a ∈（－∞，－3]． 7．C8．A 【解析】()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1xf x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23．现在我们来估算()422xg x x =+-的零点，因 为g （0）= -1,g （21）=1, g （41）=12202+-<所以g （x ）的零点x ∈（41, 21）,又函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过41，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

9．B 【解析】容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B 。

10．D 11．36π12．23-13．57-【解析】由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即.2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故.57cos sin -=-x x14．－83 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋ 13BC →＝AB →＋13（AC →－AB →）＝13AC →＋23AB →， 又∵BC →＝AC →－AB →，|AC →|2＝1，|AB →|2＝4， ∴AB →·AC →＝2×1×cos120°＝－1， ∴AD →·BC →＝（13AC →＋23AB →）·（AC →－AB →） ＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83，故填－83．15．①③④【解析】由|()||()|||||f x f x m x m x ≤⇒≥，①()0f x =，取0m >即可；②|()|||||f x x x =,无最大值，此时不可能存在m 符合题目要求； ③2|()|14||13f x x x x =≤++，43m ≥即可；④令210,x x x==,由(0)0f =，知|()|2||f x x ≤故存在m 符合题目要求16．解：（1Ⅰ）]3 ,1[-=A ，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，若[]0,3A B =，则⎩⎨⎧≥+=+-3202m m ，故2=m （2）) ,2()2 ,(∞++⋃+--∞=m m B C R ，若⊆A B C R ， 则 m +-<23 或 12-<+m ， 故 3-<m 或 5>m 17．解：（1）BD=42,AC=210。

（2）由(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-。

18．解：（1）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由b2=ac 及正弦定理得.sin sin sin 2C A B = 则11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin A C C A C AA C A C A C ++=+=22sin()sin 147.sin sin sin 7A C B B B B +====（2）由32BA BC ⋅=，得ca•cos B ＝32，由.43cos =B ，可得ac ＝2，即b2＝2． 由余弦定理b2=a2+c2－2accosB ，得a2+c2=b2+2ac ·cosB=5．3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a19．解：（1）依题意可得，每股交易价格p （元）与时间t （天）所满足的函数关系式为12,020518,203010t t p t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩（t 为正整数）．日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式为40,030Q t t =-+<≤（t 为正整数）．（2）y 关于t 的函数关系式为：221(15)125,02051(60)40,203010t t y t t ⎧--+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩（t 为正整数）．当0t 20,t 15<≤=时maxy =125万元；当20t 30<≤，y 随t 的增大而减小，即21y (2060)40=12010<--万元．综上所述，第15天日交易额最大，最大值为125万元．20．解：（1）22()sin 23sin()cos()cos 344f x x x x x ππ=++---223sin ()cos233sin 2cos22sin(2)46x x x x x ππ=+--=-=-故函数()f x 的最小正周期22T ππ==令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈故()f x 的单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）当(,)122x ππ∈-，知52(,)636x πππ-∈-，故3sin(2)(,1]62x π-∈-．所以()f x 在(,)122ππ-上的值域是(3,2]-．（3）若(,)122A ππ∈-，52(,)636A πππ-∈-()2sin(2)36f A A π=-=，3sin(2)62A π∴-=263A ππ-=或2263A ππ-=解得4A π=或512A π=21．解：（1）(0)(00)2(0)2(0)2f f f f =+≥-⇒≤而(0)2f ≥∴(0)2f = （2）设12,[0,1]x x ∈，12x x <，则21[0,1]x x -∈ ∴2211211()[()]()()2f x f x x x f x x f x =-+≥-+- ∴2121()()()20f x f x f x x -≥--≥∴12()()f x f x ≤则当01x ≤≤时，(0)()(1)f f x f ≤≤∴min max ()2,()3f x f x ==（3）在③中令12n a b ==，得111()2()222n n f f -≥-∴10111111()2[()2][()2]222222n n n n f f f --≤-≤≤-=∴11()222n n f ≤+ （Ⅰ）对∀(0,1]x ∈，总存在n N ∈，满足11122n n x +<≤ 由（2）及（Ⅰ）得：11()()222n n f x f ≤≤+又1112222222n n x ++>+=+∴()22f x x <+ 综上所述，对任意(0,1]x ∈，()22f x x <+恒成立。