第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册有答案
精编北师版数学七年级下册 第一章 整式的乘除
七年级数学·下新课标[北师]第一章整式的乘除1.了解正整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质,掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等有关幂的运算法则,掌握整式乘除法法则.2.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算.3.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.4.掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质.5.会逆用幂的运算法则、乘法公式解决有关问题.1.让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程,发展学生的符号感和应用意识,提高应用代数方法解决问题的能力.2.在解决综合题目的过程中,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表达能力.1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识.2.通过数学活动了解数学的价值,发展“用数学”的信心.本章的内容是在已经学习了有理数的四则混合运算、幂的概念、用字母表示数、合并同类项、去括号、整式的加减等内容的基础上进行的,是前面知识的延伸,本章具有承前启后的作用,是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础.本章既是中学数学中数与式的重要组成部分,又是联系现实世界及其他学科的重要工具.为学习整式的乘除运算,需要首先学习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,以及同底数幂的除法运算,即前3节的内容.教科书在这里的处理方法,总的来说是类比数的运算,从数的运算开始,通过观察和进一步体会、运用幂的意义,最终得到以字母为底数的幂的运算法则.教科书还在得到这些运算法则的过程中,通过创设情境问题、穿插应用问题等,使学生从不同角度体会引入这些运算的意义,同时避免单纯代数式运算给学习带来的枯燥感.本章还引入零指数幂和负整数指数幂的意义,并明确指出它们是规定的,教科书所设计的猜想过程,实际上是用来体会规定的合理性.由于负整数指数幂的引入,这里偶尔会有分式形式出现,但它是作为同底数幂除法的一个自然延续,并不是作为知识点出现,在八年级下册,我们有专门的章节研究分式的问题.在探究整式乘法法则(包括乘法公式)的过程中,即第4~6节中,教科书特别注重借助几何图形理解法则,同时进一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用,进一步发展学生的符号意识.本章“科学记数法”一课时,是用科学记数法表示小于1的正数,是七年级上册内容的延续.教科书在此还安排了让学生体会“较小数”的活动,把数的表示和具体数的实际意义结合起来,进一步发展学生的数感.本章第7节,整式的除法运算是由整式乘法的“逆运算”引入的.另外特别要注意的是,本章只涉及整式除以单项式结果仍为整式的除法.本章内容的设计注重代数推理与几何直观两个方面的结合,注重学生对算理的理解和运算能力的提高,注重学生数感、符号意识的发展,希望为后续分式、方程、函数等内容的学习奠定坚实的基础.【重点】1.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算.2.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.【难点】1.整式乘法公式的灵活应用.2.逆用幂的运算性质解决问题.1.准确把握教学要求.为减轻学生负担,培养学生的创新精神和实践能力,新课标对于那些对后续学习意义不大、学得很早但用得很晚,以及过繁过难的内容进行了删减或降低了要求.教学中要注意准确把握教学要求,避免将删掉或降低难度的内容重新拣回.在内容减少、要求降低,但课时不变的情况下,组织课堂教学要逐渐由以教师传授知识为主转变为以学生的主动探索学习为主,留给学生足够的时间,让学生进行充分的讨论与探究,发展学生的合作能力和创新精神.2.合理配置问题.本章主要学习正整数指数幂运算性质与整式乘除的运算法则及乘法公式的应用.以运算为主是本章的一个特点,因此本章是培养学生正确使用公式、性质、法则进行运算,提高运算能力的很好的素材.教学时要让学生做一定量的习题,使学生不仅能够根据这些运算公式、性质和法则进行正确的运算,而且能够理解运算的算理,合理安排运算顺序,寻找简捷的运算途径.但习题量要适当,难度要适中,题目要有针对性,避免过多的机械性重复训练和偏题、难题、怪题,对公式、性质、法则等的应用,切忌死记硬背、生搬硬套,真正提高学生的运算能力.3.有关幂的运算法则,教学时要注意导出公式的过程,而不只是要求学生记住结论,导出性质的教学,是一个由特殊到一般的认知过程.学生对于字母表示数的广泛意义已有初步认识,但对于用字母表示幂的指数还是初次遇到,所以他们会感到抽象,不易理解.为此,教学时应从特殊到一般,从具体到抽象,有层次地进行概括抽象,归纳推理.从数的运算过渡到字母,把幂的底数与指数分两步进行概括抽象,就能使学生容易理解.4.在整式的乘除法教学中,一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘除法的必要性,鼓励学生运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则,及运用乘法分配律、同底数幂的运算性质说明单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算结果的合理性.教学中还要重视学生对算理的理解,使学生体会重要的数学思想方法——转化思想,而不必要求学生背诵法则.乘法公式应用非常广泛,一方面可以简化计算,另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础.乘法公式也是本章的重点之一,教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征,掌握公式的实质,让学生在欣赏数学结构美的同时,体会数学公式的优越性.5.本章的教学中要留充分的时间让学生进行自主探索、观察、分析、交流、概括、抽象、归纳等数学活动,充分认识活动在发展数学中的作用,在解决问题中能够获得成功的体验,无论这种成功是多还是少,要给学生留出足够的思考时间和空间,以及与同伴交流的机会.本章内容的呈现突出了学生的自主探索过程,有的是依据原有的知识基础,有的是运用乘法的各种运算律,有的是借助直观形象的图形面积,得到各种运算的基本法则,所有这一切都要让学生自己进行体验、探索与认识,这也是本章教学的关键.1同底数幂的乘法1.经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题.1.在探索性质的过程中,让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般”的思维方法.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】同底数幂的乘法法则及其灵活应用.【难点】理解同底数幂的乘法法则及运算性质.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P2~3.导入一:北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计,奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃识.导入二:上学期我们学习了有理数的乘方,同学们回顾一下,什么样的运算叫做乘方?乘方的结果叫做什么?幂的意义是什么?举例说明.,从而为下一步探索同底数幂[设计意图]通过此活动,让学生回忆幂与乘法之间的关系,即a n=个的乘法法则提供了依据,培养学生知识迁移的能力.导入三:太阳光照射到地球表面所需要的时间约是5×102 s,光在真空中的速度约是3×108 m/s,地球与太阳之活的密切联系.思路一活动1:学生独立完成下列题目(1)求n个相同因数积的运算叫做,乘方的结果叫做,n个a相乘写成乘方的形式为,其中a叫,n叫,a n读作.(2)x3表示个相乘,把x3写成乘法的形式为x3=.(3)x3,x5,x,x2的指数相同吗?它们的底数相同吗?[设计意图]让学生回顾乘方的相关知识,为同底数幂的乘法的学习做铺垫.活动2:探究a3×a2(1)指导学生根据乘方的意义可得:103×102=(10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10=105.[设计意图]让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性,并通过有步骤、有依据的计算,为探索同底数幂乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.(2)学生完成填空.①43×42===.②a3×a2===.【师生活动】学生独立完成计算,小组成员互相检查,一位同学在黑板上板书,师生共同分析板书结果.如果学生有困难,教师可以引导学生回顾问题(1)的解答过程,再进行计算.[设计意图](2)中两个特殊的算式具有代表性和层次性,其中算式①底数和指数都是整数,算式②底数为字母,指数为整数.这两个算式和(1)中的算式为抽象概括出一般的结论奠定基础,让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法,进而得出正确结果.活动3:同底数幂的乘法法则请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系.103×102=103+2=105;43×42=43+2=45;a3×a2=a3+2=a5.猜想:对于任意底数a,a m×a n=(m,n都是正整数).(学生小组讨论,能说出结果即可,教师引导推导过程)a m·a n=个·个=个=a m+n.结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征,并猜想出其性质:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).由此得到同底数幂乘法的性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.思路二活动1:猜想结果(1)102×103;(2)a2×a3;(3)10m×10n(m,n都是正整数).同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么?[处理方式]让同学们发表不同看法.猜想1:(1)的结果是105,(2)的结果是a5,(3)的结果是10m+n.猜想2:(1)的结果是106,(2)的结果是a6,(3)的结果是10mn.[设计意图]在法则的推导过程中,采用了让学生猜想的方式,引起学生的争论,激发了学生进一步探求的欲望,培养学生大胆猜想的数学品质.活动2:验证猜想,获取正确的结论[处理方式]听取学生猜想后老师总结.猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个10相乘,那么102×103就表示五个10相乘,所以结果应该是105;a2表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,a2×a3就表示5个a相乘,结果为a5;10m表示m个10相乘,10n表示n个10相乘,10m×10n就表示(m+n)个10相乘,结果为10m+n.教师利用多媒体课件展示推理过程:102×103=(10×10)×(10×10×10)=10×10×10×10×10=105;a2×a3=(a×a)×(a×a×a)=a×a×a×a×a=a5;10m×10n=个×个=10m+n.活动3:推导同底数幂的乘法法则根据上述计算可知(m,n都是正整数): (1)2m×2n=;(2)×=;(3)(- 3)m×(- 3)n=;(4)a4×a5=.分析:以上四个算式有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个算式,可把底数和指数都抽象成用字母去表示.底数和指数都变成一般的字母时,即:a m·a n=个·个=个=a m+n.结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.字母表示:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).提醒学生注意:等式左边是积的形式,右边的指数是和的形式.[设计意图]探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用,使学生初步理解“由特殊到一般”的认知规律,体会数学思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生的探索创新精神.学生通过相互之间的合作,归纳出法则,发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.[知识拓展]三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.(m,n,p都是正整数)a m·a n·a p=个·个·个=个=a m+n+p.或(a m·a n)·a p=a m+n·a p=a m+n+p.[设计意图]本环节主要是让学生通过自己的探究,使法则得到了完善、推广,解决了心中的疑惑,进一步理解法则.探究活动2同底数幂乘法法则的应用(教材例1)计算.(1)(- 3)7×(- 3)6;(2)×;(3)- x3·x5;(4)b2m·b2m+1.【师生活动】让4名学生板演,其余学生先独立完成,然后小组互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题,然后共同纠错.教师最后强调书写要规范,如:当底数为负数或分数时一定要加括号,并且第(1)小题的结果也可以写为- 313,第(3)题的结果容易错写为(- x)8.解:(1)(- 3)7×(- 3)6=(- 3)7+6=(- 3)13.(2)×==.(3)- x3·x5=- x3+5=- x8.(4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.(教材例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远?【师生活动】学生认真读题,充分思考分析,一名学生进行板演,其余学生先独立完成,然后同桌互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.学生完成后教师进行点评,强调结果的书写要符合科学记数法.解:3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m).地球距离太阳大约有1.5×1011 m.[设计意图]以教材中例题为落脚点,让学生学会应用所学知识解决问题,以达到巩固新知的目的.同时让学生感受大数,发展数感,提高对问题的分析、解决能力,使自己在不知不觉中进步.已知a m=4,a n=3,求下列各式的值.(1)a m+n;(2)a3m+n.〔解析〕同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把a m+n=a m·a n(m,n都是正整数)当成公式用.解:(1)a m+n=a m·a n=4×3=12.(2)a3m+n=a m·a m·a m·a n=4×4×4×3=192.[知识拓展]同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为a m·a n=a m+n,其中m,n均为正整数,将公式倒过来就是a m+n=a m·a n,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果.(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算.(3)公式中的m,n都是正整数.(4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算,以三个同底数幂相乘为例,用字母表示为a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数).1.填空.(1)若a m·a4=a20,则m=;(2)若102·10m=102013,则m=.解析:(1)由a m·a n=a m+n,可知m+4=20,所以m=16.(2)由a m·a n=a m+n可知m+2=2013,则m=2011.答案:(1)16(2)20112.计算.(1)y·y2·y3;(2)y m·y m+1;(3)y m- 1·y m+1·y;(4)- b2·(- b)2·(- b)3.解析:运用同底数幂的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底数这个前提,注意确定积的符号.解:(1)y·y2·y3=y1+2+3=y6.(2)y m·y m+1=y m+m+1=y2m+1.(3)y m- 1·y m+1·y=y m- 1+m+1+1=y2m+1.(4)- b2·(- b)2·(- b)3=- b2·(- b)5=b2·b5=b7.3.某种计算机每秒钟可以进行3×108次运算,那么这台计算机3×102秒可以进行多少次运算?解:3×108×3×102=9×1010(次).故3×102秒可以进行9×1010次运算.4.若a m=2,a n=5,求a m+n的值.解析:注意同底数幂乘法法则的逆用.解:a m+n=a m·a n=2×5=10.1同底数幂的乘法探究活动1同底数幂的乘法法则探究活动2同底数幂乘法法则的应用例1例2例3一、教材作业【必做题】教材第4页习题1.1知识技能第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1问题解决第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列计算正确的是()A.y3·y5=y15B.y2+y3=y5C.y2+y2=2y4D.y3·y5=y82.下列各式中,结果为(a+b)3的是()A.a3+b3B.(a+b)(a2+b2)C.(a+b)(a+b)2D.a+b(a+b)23.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是()A.(a+b)(a+b)2B.(a+b)(a- b)2C.- (a- b)(b- a)2D.(a+b)(a+b)3(a+b)24.下列计算中,错误的是()A.2y4+y4=2y8B.(- 7)5·(- 7)3·74=712C.(- a)2·a5·a3=a10D.(a- b)3(b- a)2=(a- b)5【能力提升】5.计算.(1)- x5·x3·(- x)4;(2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4;(3)x3m- n·x2m- 3n·x n- m;(4)(- 2)×(- 2)2×(- 2)3×…×(- 2)100.6.(1)已知a x=2,a y=3,求a x+y的值;(2)已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求a b的值.【拓展探究】7.1千克铀235释放的热量相当于2.7×106千克煤燃烧释放的热量.1吨铀235释放的热量相当于多少千克煤燃烧释放的热量?【答案与解析】1.D(解析:由同底数幂相乘,底数不变,指数相加可知D正确.)2.C(解析:将a+b看成一个整体作为底数,再利用法则可以得出.)3.B(解析:选项A和D中底数都是a+b,可以利用法则,C中a- b和b- a互为相反数,可以化为同底数幂的乘法.故选B.)4.A(解析:B,C,D选项可以利用同底数幂的乘法法则得到,选项A不属于同底数幂的乘法,应该是合并同类项.)5.解:(1)- x5·x3·(- x)4=- x5·x3·x4=- x12.(2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4=b2·(- b3)+b5=- b5+b5=0. (3)x3m- n·x2m- 3n·x n- m=x4m- 3n.(4)原式=(- 2)1+2+…+100=(- 2)5050=25050.6.解:(1)a x+y=a x·a y=2×3=6.(2)由题意可知22a+3=29,即2a+3=9,则a=3,由2a+b=8可得b=2,故a b=32=9.7.解:1吨=103千克,103×2.7×106=2.7×109(千克),故相当于2.7×109千克煤燃烧释放的热量.本节课同底数幂乘法公式推导过程中,学生经历了猜想、质疑、推理、论证的学习过程,也渗透了转化和从特殊到一般的数学思想,充分体现了自主探究的学习方式.而在巩固深化环节上精心设计题目,通过学生独立思考,小组合作等手段,让学生个个动手、人人参与,充分调动学生学习数学的积极性.同时也使各层次的学生有不同的收获.课堂节奏把握不够紧凑,最后例题讲解环节时间不够充分.对例题在计算过程中容易出错的地方强调不足,对同底数幂的运算法则的条件强调较少,容易导致学生在计算的过程中发生错误.本节课始终围绕着同底数幂的乘法公式展开,充分调动学生思维,鼓励学生积极探索.在设置习题的时候,在注重基础训练的基础上,强调灵活运用同底数幂的运算法则.在完成第二个例题的时候,可以让学生独立完成后再合作交流.随堂练习(教材第3页)1.解:(1)59.(2)76.(3)- x5.(4)(- c)3+m.2.解:4×109×5×102=2×1012(次).3.解:比邻星与地球的距离约为3×108×3×107×4.22=37.98×108×107=37.98×1015=3.798×1016(m).习题1.1(教材第4页)知识技能1.解:(1)c12.(2)107.(3)- b5.(4)- b5.(5)x2m.(6)a4+n.2.解:a m+n=a m·a n=2×8=16.数学理解3.解:(1)错误,a3·a2=a5.(2)错误,b4·b4=b8. (3)错误,x5+x5=2x5.(4)正确.问题解决4.解:(1.3×108)×(9.6×106)=1.248×1015(千克).5.解:(1)25=32(个).(2)25·2t=25+t(个).本节课的设计,学生要经历从实际情境中抽象出数学问题的过程,在探索中,学生将自然地体会同底数幂运算的必要性,有助于培养学生的数感与符号感,同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力.在教学过程中,教师可进一步启发要求学生往更深一层次去研究、剖析知识,概括出“底数互为相反数”时的运算方法,培养学生知识的运用能力,加深对所学知识的理解.若m a- 2=6,m b+5=11,求m a+b+3的值.〔解析〕此题主要考察同底数幂的乘法法则的逆用,注意观察待求得幂的指数为a+b+3,恰好为前两个指数a- 2与b+5的和,根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘时指数相加,所以很容易得到应该将前两个幂的形式相乘.解:m a+b+3=m a- 2·m b+5=6×11=66.2幂的乘方与积的乘方1.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.2.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】幂的乘方、积的乘方的灵活应用.【难点】幂的乘方、积的乘方的逆运用.第课时学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的运算的意义,并能解决实际问题.经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.培养学习数学的兴趣,建立学习数学的信心,感受数学的内在美.【重点】幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.【难点】幂的乘方性质的逆运用.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P5~6.导入一:1.填空.(1)(23)2=23×23=2();(2)(72)3=72×()×()=7();323()2.情境引入.【课件展示】地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?提示:球的体积公式是V=πr3,其中V是球的体积,r是球的半径[处理方式]让学生思考后,自己得出结论.生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍.师:那么你知道(102)3等于多少吗?102是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.[设计意图]从地球、木星、太阳的半径关系入手,有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知欲望,从而顺利导入新课.师:这个问题大家解决得很好,如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗?生:可以,是106.师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗?生:也是106.师:为什么是这个结果呢?(学生思考2分钟,进行展示)生:(102)3=(100)3=100×100×100=106.(103)2=(1000)2=1000×1000=106.师:这两个式子分别表示什么意义?它也是一种运算,也就是我们这节课要学习的幂的乘方.(板书课题) [设计意图]通过复习知识,直接点出本节课的主题,激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备.思路一1.你知道(102)3等于多少吗?学生展示计算过程:(102)3=102×102×102①=102+2+2②=106=102×3.【思考】推出第①步和第②步的根据是什么呢?点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.【思考】观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.2.做一做:计算下列各式,并说明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(a m)2;(4)(a m)n.[处理方式]通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.【师生活动】展示解答过程:(1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6.(3)(a m)2=a m·a m=a m+m=.(4)(a m)n=个=个=a mn.【知识归纳】由上面的“做一做”我们可推出幂的乘方的运算性质,即:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.[设计意图]由幂的意义和同底数幂的乘法得出幂的乘方的运算法则,知识自然生成,学生很容易接受.思路二回答下列问题:(1)64的底数是,指数是,它表示个相乘.(2)(62)4的底数是,指数是,它表示个相乘.(3)(a2)3的底数是,指数是,它表示个相乘.[处理方式]学生先独立思考,然后小组内共同探究结果,并归纳总结得到结论,从而得到幂的乘方的法则.教师引导归纳:(62)4=×××==.(a2)3=××==.(a m)2=×==.(a m)n=××…×==,即(a m)n=(m,n都是正整数).【思考】通过上面的探索活动,你发现了什么?幂的乘方,底数,指数.用字母表示:(a m)n=a mn(m,n都是正整数).[知识拓展][(a m)n]p=a mnp(m,n,p都是正整数).[设计意图]通过三个问题由浅入深,由特殊到一般,由猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的性质,并运用自己的语言进行描述,教师再引导学生归纳总结幂的乘方的法则,充分利用课堂中的一切机会,调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力.[过渡语]在具体问题中怎样运用幂的乘方的运算性质呢?下面通过例题看看同学们有什么高见.(教材例1)计算.(1)(102)3;(2)(b5)5;(3)(a n)3;(4)- (x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6- (a3)4.[处理方式]请几个同学口答(1)~(3)题,并课件展示解题过程:(1)(102)3=102×3=106.(2)(b5)5=b5×5=b25.(3)(a n)3=a3n.教师点拨(4)~(6)题:(4)- (x2)m表示(x2)m的相反数,所以- (x2)m=- .(5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先算乘方,再算乘法,所以(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7.(6)2(a2)6- (a3)4按运算顺序应先算乘方,后算减法,所以2(a2)6- (a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12.[设计意图]例题的设计用来教会学生如何运用幂的乘方法则,同时进一步体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方法则.探究活动3幂的乘方法则的延伸1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.(1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24.2.计算.(1)(103)3;(2)- [(a- b)2]5;(3)(x3)4·x2.[处理方式]第1题:独立解答,汇报交流.(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x3×3=x9.。
初中数学_北师大版数学七年级下册第一章《整式的乘除》讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思
四、巩固提升归纳第一章《整式的乘除》中出现的三类典型的蕴含重要数学思想的题型，让学生对知识的运用形成体系，明确在具体题目当中出现的数学方式，并能较好的进行分析和解决。
1.公式的灵活应用将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个形如（a+b）的完全平方，则添加单项式的方法共有多少种2.数形结合思想我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用如图所示的面积关系来说明。
（1）根据图形请你写出一个等式：（2）根据等式请你画出一个能说明等式成立的图形：（2a+b）（a+3b）=2a2+7ab+3b2从代数到图形，从图形到代数，彼此是互相支撑互相补充的关系。
对于给出的代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用同一个图形的面积相等去解释等号左右相等，所谓“以形助数”使代数问题几何化。
另外一方面，给出一个图形，学生也可以根据面积相等列出一个代数恒等式，所谓的“以数辅形”，使几何问题代数化。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，初中数学中实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系。
学情分析学生的知识技能基础：学生在这一章中了解了整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，经历了探索整式乘除法法则的过程，理解了整式乘除的算理，运用这些知识解决了一些相关的实际问题。
但这一章的运算法则较多，公式也容易混淆，而且学生对这些知识的理解缺乏整体认知，还没形成体系.学生活动经验基础：在学习整式乘除法的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的经验.但是学生有条理的思考和表达能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决较复杂问题的经验，需要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。
学生在进行完章测试之后，迫切希望知道成绩以及自己知识点上的欠缺，所以讲评课要抓住学生的这种心理，趁热打铁，促进知识的稳固和提升。
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析试题(含答案及详细解析)
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、计算02022的结果是（）A．1 B．0 C．2022 D．1 20222、下列计算正确的是（）A．a+3a＝4a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a73、三个数02，23-，()13--中，负数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4、已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么DEG∆的面积1S和正方形BEFG的面积的2S大小关系是（）A ．1212=S S B ．12S S C ．122S S = D ．1234S S = 5、计算(1)(2)m m m ++结果中，3m 项的系数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、下列运算正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 6B ．a 2•a 3＝a 6C ．a 7÷a ＝a 7D ．（﹣2a 2）3＝8a 6 7、()23a -的值是（ ） A ．5a - B ．6a C ．5a D ．6a -8、下列计算中，正确的是（ ）A ．3515a a a ⋅=B ．22a b ab +=C ．()2362a b a b =D ．()2224a a =++ 9、下列计算正确的是( )．A ．()33xy xy =B ．()222455xy x y -=- C ．()22439x x -=- D ．()323628xy x y -=- 10、下列计算中，结果正确的是（ ）A ．3515x x ⋅=B ．248x x x ⋅=C ．()236x x =D ．623x x x ÷=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、计算：|﹣2|﹣20210＋（12）﹣1＝______________．2、比较大小：4442____33333、若(x +x )(2x −4)的结果中不含x 的一次项，则a 的值为______．4、（﹣2021）0＝_____．5、计算：332a a ＋6a ÷2a ＝____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3（1）求（x ＋1）（y ＋1）的值；（2）求x 2＋y 2的值．2、化简：()()()2231x x x -+++．3、计算：20-211(3).93⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 4、计算（1）（3x ﹣2）（2x +y +1）．（2）62a （13ab ﹣2b ）﹣22a b （a ﹣b ）．5、计算：（1）53(9126)3x x x x +-÷（2）(-2x +1)(3x -2)-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据任何数（除了0以外）的零次幂都为1可直接进行求解．【详解】解：02022=1；故答案为1．【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．2、A【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．【详解】解：A选项，原式＝4a，故该选项符合题意；B选项，原式＝b6，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a10，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了整式的计算：合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方法则，熟记各法则是解题的关键．3、B【分析】先计算各数，并与0比较大小，根据比0小的个数得出结论即可．【详解】解：021=＞0，2211339-==＞0，()111333--==--＜0， 负数的个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，掌握有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，和比较大小是解题关键．4、A【分析】设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，利用面积和差求出面积即可判断．【详解】解：设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，S 1＝S 正方形ABCD +S 正方形BEFG ﹣（S △ADE +S △CDG +S △GEF ）＝m 2+n 2﹣[12m （m +n ）+ 12m （m ﹣n ）+ 12n 2] ＝12n 2；∴S 1＝12S 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算．5、B【分析】根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，最后根据要求求解即可．【详解】解：∵(1)(2)m m m ++=232(32)32m m m m m m ++=++，∴3m 项的系数是1．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．6、A【分析】根据同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方可直接进行排除选项．【详解】解：A 、()326a a =，原选项正确，故符合题意； B 、235a a a ⋅=，原选项错误，故不符合题意；C 、76a a a ÷=，原选项错误，故不符合题意；D 、()32628a a -=-，原选项错误，故不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方是解题的关键．【分析】根据幂的乘方法则计算即可．【详解】解：()23a-=6a，故选B．【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．8、C【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答．【详解】解：A. 3583+5=⋅=，故原选项计算错误，不符合题意；a a a aB. 2a与b不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. ()2362=，计算正确，符合题意；a b a bD. ()22+=++，故原选项计算错误，不符合题意．a a a244故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．【详解】解：A、()333xy x y=，故本选项不合题意；B、()2224-=，故本选项符合题意；xy x y525C、()224-=，故本选项不合题意；x x39D、(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项正确故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．10、C【分析】根据整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次判断．【详解】解：A、3515x x⋅=x2，故该项不符合题意，B、246⋅=，故该项不符合题意，x x xC、()236=，故该项符合题意，x xD、624x x x÷=，故该项不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则是解题的关键．二、填空题1、3【分析】先化简绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可【详解】解：|﹣2|﹣20210＋(1)﹣12=2-1+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的意义，熟练掌握绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．2、【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：∵2444=（24）111=16111，3333=（33）111=27111，而16111<27111，∴2444<3333，故答案为：<．【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3、2【分析】将原式化简后，将含有x 的项进行合并，然后令其系数为0即可求出答案．【详解】解：原式=2x 2−4x +2xx −4x=2x 2+(2x −4)x −4x令240a -=，2a ∴=，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．4、1【分析】根据任何非0的数的零指数幂为1进行求解即可．【详解】解：()020211-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握一个非0的数的零指数幂为1．5、47a【分析】由题意先计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，最后合并同类项即可得出答案.【详解】解：332a a ＋6a ÷2a ＝44467a a a +=.故答案为：47a .【点睛】本题考查整式的乘除，熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算是解题的关键.三、解答题1、（1）112-（2）164【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．（1）（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1 =-3+12+1 =112- ；（2）（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy4=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．2、227x【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可.【详解】解：()()()2231x x x -+++224433x x x x x227x 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键.3、8.9【分析】先计算0次幂和负指数幂及绝对值和有理数的乘方运算，然后运用有理数的加减法法则计算即可．【详解】解：()20211393-⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 1111999=-+-9【点睛】题目主要考查负指数幂、0指数幂、有理数的乘方，去绝对值，有理数的加减混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．4、（1）62x+3xy﹣x﹣2y﹣2（2）﹣42a2b【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可．（1）解：（1）（3x﹣2）（2x+y+1）＝62x+3xy+3x﹣4x﹣2y﹣2＝62x+3xy﹣x﹣2y﹣2．（2）解：原式＝62a×13ab﹣62a×2b﹣22a b×a+22a b×b＝23a b﹣62a2b﹣23a b+22a2b＝﹣42a2b．【点睛】本题考查了了整式的乘法，熟练掌握乘法运算的法则是解题的关键．5、（1）42342x x+-；（2）2672x x-+-【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．【详解】（1）53x x x x+-÷(9126)3=53÷+÷+-÷x x x x x x(93)(123)(6)3=42+-；x x342（2）(-2x+1)(3x-2)=2x x x-++-6432=2-+-．x x672【点睛】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．。
2019年北师大七年级(下)数学 第一章：整式的乘除运算讲义
2019年北师大七年级（下） 第一章：整式的乘除运算讲义【解题方法与策略】整式的乘法（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c ．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加．公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加．公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++整式的除法（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c ．（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加．公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．典例剖析【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．236326a a a ⋅=B ．358248x x x ⋅=C ．44339x x x ⋅=D ．88165510y y y ⋅=【例2】 直接写出结果：（1）23232a b a b ⋅= （2）22558x y xyz ⋅=（3）3263b a b ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭（4）()()2424a b b -⋅-=【例3】 计算：（1）3223152a bc ab ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()1323443m x yz x y z +⋅-（3）)21).(43).(32(222z xy z yz x -- （4）33332543ab a b abc ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()1245m m a b b a -⎡⎤⎡⎤-⋅--⎣⎦⎣⎦ （6）()()()21536m n m x y x y y x +⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦【练习】计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦．【例4】 计算：（1）()()43322.a ab c （2）()()233222x x y -⋅-（3）()()23226.3xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（4）()32223334x x y xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（5）()()2323m n x y x y -⋅ （6）()()()232223m n n x y x y xy -⋅-⋅-【例5】 若()18333m n m n a a b a b ++⋅=，则m = ，n = ．【例6】 如果223a b x y --和35825a b a bx y ++是同类项，那么这两个单项式的积是 ．【例7】 直接写出结果：（1）()62m n ---= （2）()222a a ab b --=（3）()()253a b ab -+⋅-= （4）()21684.2x x x ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭（5）()23413=3x x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ （6）()1=m m na a a --【例8】 计算：（1）()()22324a a b a a ab --- （2）()()222131a b ab ab ab -++-（3）()()2321322m n x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ （4）()()3213222m n ab b a b b a b ⎡⎤⎛⎫+--⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）()()()()534233515221x x y x x y ⎡⎤--⋅---⎣⎦ （6）12123111264226n n x y xy x y xy ++⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例9】 化简求值25365(21)4(3)24m m m n m m n --+-+---，其中12m n =-=，．【例10】 解方程()()()22614116x x x x x x ---=-+．【练习】若2(31)6(3)16x x x x --+-=，则______x =．【例11】 解不等式()()()222224253x x x x x x -+-+-≤．【例12】 对代数式进行恰当的变形求代数式的值 （1）若56x y +=，求2530x xy y ++；（2）若210m m +-=，求3222013m m ++；（3）若20x y +=，求()3342x xy x y y +++．【例13】 直接写出结果：（1）()()a b m n ++= （2）()()2a b m n +-= （3）()()23x x +-= （4）()()34y y --= （5）()()3x y x y -+= （6）()()22a b a b --=【例14】 下列计算正确的是：（ ）A ．()()22222a b a b a b +-=-B ．()()22a b a b a b --+=-C ．()()22333103a b a b a ab b --=-+D ．()()2233a b a ab b a b --+=-【例15】 下列计算正确的是：（ ）A ．()2222a b a ab b --=-+ B ．()222a b a b -=-C ．()()()2244x y x y x y x y +--=-D ．()()222244a b b a a ab b --=-+-【例16】 计算：（1）()()3123a a +- （2）)214)(221(-+x x（3）()(2)x y x y ++ （4）()()43a b a b ---（5）(2)(2)(21)a a a -++； （6）233222()()x y x y x y -⋅-【例17】 计算：（1）(2)(3)a a a +- （2）()()0.10.20.30.4m n m n -+（3）2(23)(2)()x y x y x y -+-+ （4）2(2)(2)()a b a b a b +--+（5）22()()()x y x y y x -+--+ （6）()()22x xy y x y ++-【例18】 已知230a a --=，则(3)(2)a a -+的值是_________．【例19】 （1）若()()22345+x x ax bx c +-=+，则a = ，b = ，c = ．（2）若2(2)()6x x n x mx --=-+，则___________m n ==，．【例20】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【例21】 先化简再求值：()()()()3123454a a a a +----，其中2a =-．【例22】 直接写出结果：（1）52x x ÷= （2）94y y ÷= （3）88x x ÷= （4）()()106xy xy ÷= （5）()63c c -÷= （6）()1312x x -÷= （7）()323x x ⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭（8）()5122ax x -÷=（9）()()7426=3a b b a -÷- （10）()0π 3.14-=【例23】 计算：（1）()42m m nx x x ÷⋅ （2）42m m n x x x ÷⋅（3）()()233223a b a÷ （4）211528n n a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭（5）()()2483pq m n n m ⎡⎤--÷-⎣⎦ （6）()()21212n n x y x y +⎡⎤⎡⎤+÷+⎢⎥⎣⎦⎣⎦【练习】计算：（1）222(4)8x y y ÷（2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷（3）3232213()()34a b ab ÷ （4）2322(0.8)(4)n n x y x y ÷【例24】 若()28332233m n ax y x y x y ÷=，求a m n 、、的值．【例25】 化简求值：()()()43242322422a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⋅-÷-÷-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中5a =-．【例26】 直接写出结果：（1）()269123x x -+÷= （2）()()32281477x x x x --÷-= （3）()()32121866x x x x -+÷-= （4）()()433226892x y x y x y xy -+÷-=【例27】 计算：（1）472632211()()393a b a b ab -÷-（2）()282342336( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷（3）()323453360.90.645a x a x ax ax ⎡⎤-+-÷⎢⎥⎣⎦（4）()()2233735322728217m n m m n m n m n ⎡⎤+-÷-⎢⎥⎣⎦【例28】 先化简，再求值：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+- ，其中15a =-，1b =- ．【练习】()()()()32322524a b a b a b a b a +--+--÷⎡⎤⎣⎦，其中23a b =-=，．【例29】 已知2610x x -+=，求221x x +的值．【练习】已知23530x x --=，求221x x +的值．【例30】 已知多项式322x x ax -+的除式为1bx -，商式为22x x -+，余式为2，求a b 、的值．【例31】 将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +余式为1 求a b c --= ．【例32】 (3)x +与(2)x m -的积中不含x 的一次项，则________m =．【例33】 如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．【练习】已知23(536)(12)x mx x x -+--的计算结果中不含3x 的项，则m 的值为 ．【例34】 计算322(25)(231)x x x x -+--+．【例35】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【练习】使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值．【例36】 在()()22231x ax b x x ++--的积中，3x 项的系数是5-，2x 项的系数是6-，求a b 、的值．【练习】已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【例37】 已知实数a b x y 、、、满足35ax by ay bx +=-=，．求()()2222a b x y ++的值．【例38】 规定一种新运算“*”：a *()()()()2534b a b a b =++-++，试化简()1m -*()1n +．【练习】规定一种新运算“*”：对于任意实数()x y ，恒有()x y ，*()()211x y x y x y =++--，，．若实数a b ，满足()a b ，*()()=a b b a ，，，则a b ，的值为多少？【例39】 已知()5543221x ax bx cx dx ex f +=+++++，则a b c d e +++++的值为 ；a b c d e f -+-+-的值 ．【练习】已知()66543232x ax bx cx dx ex fx g -=++++++，则a c e g +++的值为 ； b d f ++的值为 ．知识回顾计算：（1）()()22x x +- （2）()()3131x x +- （3）()()a b a b +- （4）()()2323x x +-（5）()21x + （6）()221x - （7）()2a b + （8）()2a b -【解题方法及策略】平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差． ①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式． 如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(39x y x y x y +-=-）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-．②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形．如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍．完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”．注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
第一章 整式的乘除(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
考点专练
【要点指导】幂的运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、 积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂、负整数指数 幂的运算, 计算时, 要熟练掌握各自的运算法则, 并能灵活 运用这些运算法则进行计算. 幂的运算法则还可以逆用.
考2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3. 解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2) ×3x2y
=(2x3y2－2x2y) ×3x2y = 6x5y3－6x4y2 . 当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108.
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新课标 北师大版 七年级下册
第一章 整式的乘除
单元小结
本章知识架构
整式的乘法
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 （平方差公式，完全平方公式）
整式的除法
同底数幂的除法（零指数，负指数次幂，科学计数法） 单项式除以单项式 多项式除以单项式
知识专题
知识专题
1.零指数幂. 任何不等于0的数的零次幂都等于1.
a0＝1 （a≠0）
2.负指数幂.
a≠0，p是正整数
知识专题
3.科学记数法 一般地，一个绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为：
a×10-n（其中1≤|a|＜10，n是整数） 注意: (1) 1≤|a|＜10 ，
(2) n从左起第一个非零数前零的个数.
（三）积的乘方. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘，即， (ab)n＝anbn(n是正整数).
知识专题
(四）同底数幂的除法. 同底数幂相除，底数不变，指数相减.即 am÷an＝am－n (a≠0，m，n都是正整数，m＞n). 注：(1)底数必须相同. (2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除. (3)逆运用常考am-n= am÷an
第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册
《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型【知识梳理】1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；2.解题方法：配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。
初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。
.【典型例题】例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=4例3.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a−b)2+(a+2)2=0,∴a=b=−2,∴原式=-6例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。
解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,∴ x=−1,y=4,,∴原式=1-4=-3例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,∴ a=1,b=−2,∴原式=-1例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）A．正数 B．零 C．负数 D．非负数解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A例7.不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x −4y +7的值（ A ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数解析：原式=(x ²+2x+1)+（y ²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
第一章整式的乘除最新北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除
1、同底数幂的乘法
CONTEN T 目 录
幂的乘方与积的乘方 2、 同底数幂的除法 3、 4、整式的乘法 5、平方差公式 6、完全平方公式 7、整式的除法
1.1 同底数幂的乘法
名师导学
新知 同底数幂的乘法
(1)正整数指数幂的意义.
几个相同因数a相乘，即 a· a· …· a，记作an，读作a的
(2)原式＝－a3· a4＝－a3＋4＝－a7；
(3)原式＝32· 3m· 32n＝32＋m＋2n.
【例2】已知：2x＝4, 2y＝8，求2x＋y. 解析 将2x＋y转化为2x· 2y进行解答.
解 ∵2x＝4, 2y＝8， ∴2x＋y＝2x· 2y＝4×8＝32.
举一反三 1. 计算： (1)35×(－3)3×(－3)2；
【例1】计算(a3)2的结果a5
C. －a6
D. a6
解析 此题考查幂的乘方问题，关键是根据幂的乘方 法则进行计算. (a3)2＝a3×2＝a6.
答案
D
举一反三 1. 计算：
(1)(－b2)5· (－b3)2；
答案 －b16 (2)(－x3)2· (－x2)3； 答案 －x12 (3)(y3)2· (y2)3. 答案 y12 2. 当a＝－1时， － ＝ .
n个(ab) n个 a n个 b
(2)积的乘方法则.
一般地，我们有(ab)n＝anbn(n为正整数). 即积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
拓展：①三个或三个以上因式的积的乘方，也具有
这一性质. 如(abc)n＝anbncn； ②此性质可以逆用：anbn＝(ab)n(n为正整数).
解得n＝3.
新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题
第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
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《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型
【知识梳理】
1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；
2.解题方法：
配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。
初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。
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【典型例题】
例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______ 解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；
②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6
）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．
例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655
解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552
=(1.2345+0.7655)2
=4
例3.若a ，b 为有理数，且2a 2−2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2 =__________
解析：原方程可变形为： (a −b)2+(a +2)2=0,
∴a=b=−2,
∴原式=-6
例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。
解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,
∴ x=−1,y=4,,
∴原式=1-4=-3
例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________
解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,
∴ a=1,b=−2,
∴原式=-1
例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A
例7.不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x−4y+7的值（ A ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
解析：原式=(x²+2x+1)+（y²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A
例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
求代数式y 2+4y +8的最小值。
解：y 2+4y +8=y 2+4y +4+4=(y +2)2+4,
∵(y +2)2≥0,∴(y +2)2+4≥4,
∴y 2+4y +8的最小值是4.
（1）求代数式m 2+m +1的最小值；
（2）求代数式4−x 2+4x 的最大值。
解析：材料阅读题型，考查完全平方公式、平方的非负性及数学理解能力，解题方法：配方法求最值。
（1）m 2+m +1=m 2+m +14+34=(m +12)2+34,
∵(m +12)2≥0,∴(m +12)2+34≥34,
∴m 2+m +1的最小值是34. （2）4−x 2+4x =−x 2+4x +4=−(x 2−4x +4)+8=−(x −2)2+8,
∵(x −2)2≥0,
∴−(x −2)2≤0 ,
∴−(x −2)2+8≤8,
∴4−x 2+4x 的最大值是8.
例9.（1）求多项式3x 2−6x +2的最小值是多少，并写出对应的x 的值；
（2）多项式−x2+2x+4的最大值，并写出对应的x的值；
（3）试说明：不管x和y取何值，多项式x2+2x+y2−4y+9总为正；
解析：考查完全平方公式的拓展和平方的非负性，解题方法是：配方法；
（1）3x2−6x+2=3x2−6x+3−1=3(x2−2x+1)−1=3(x−1)2−1，
∵(x−1)2≥0，
∴当x=1时，3x2−6x+2有最小值，最小值为-1；
（2）−x2+2x+4=−x2+2x−1+5=−(x2−2x+1)+5=−(x−1)2+5，
∵−(x−1)2≤0，
∴当x=1时，−x2+2x+4有最大值，最大值为5；
（3）x2+2x+y2−4y+9=(x2+2x+1)+(y2−4y+4)+4=(x+1)2+(y−2)2+4，
∵(x+1)2≥0，(y−2)2≥0，
∴(x+1)2+(y−2)2+4≥4，
即x2+2x+y2−4y+9≥4，多项式的值永为正。
例10.阅读下列材料，并利用材料中所使用的方法解决问题。
在学习完全平方公式时老师提出这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2-2a+2最小值吗？小明作出如下的回答:
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把他找出来,
a2-2a+2=a2-2·a·1+12+1=(a+1)2+1
因为完全平方式是恢复的，所以它一定大于等于0,余下的1为常数，所以有
a2-2a+2=(a+1)2+1≥1
所以a2-2a+2最小值是1。
当且仅当a-1=0即a=1时取得最小值。
其中我们将代数式a2-2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方。
利用配方求解下列问题:
（1）记S=(x+3)2+4,求S的最小值,并说明x取何之时S最小。
（2）已知a2+b2+6a-8b+25=0,求a,b的值。
（3）记T=a2+2ab+3b2+4b+5,求T的最小值，并且说明a,b取何值时T最小。
解析：
（1）∵(x+3)2≥0,∴S=(x+3)2+4≥4,当x=-3时，(x+3)2=0，S有最小值为4.
（2）配方法解题.原等式可变形为：(a2+6a+9)+(b2-8b+16)=0，即(a+3)2+(b-4)2=0,∵(a+3)2≥0,(b-4)2≥0，∴a+3=0，b-4=0，∴a=-3，b=4.
（3）配方法解题.T=(a2+2ab+b2)+2(b2+2b+1)+3=(a+b)2+2(b+1)2+3,∵(a+b)2≥0,(b+1)2≥0，∴T≥3,∴当a+b=0，b+1=0时，即a=b=-1时，T有最小值3.。