数学建模预测股市走向

2012年A股市场涨跌预测摘要本文主要解决了预估未来一年时间内A股市场的涨跌变化的问题。

首先通过收集2011年的上证A股指数每天开盘后的收盘价，对其进行分析处理，作出A股收盘价指数的走势图观察后，然后对数据作级比分析，得知一部分级比数据不在区间()0.9474中，故先对数据进行变换，变换后的数据,1.0555的级比都落在了上述区间中。

然后通过分析建立灰色预测)1,1(GM模型，代入数据求解模型，并进行参数检验，先进行残差检验，得出预测模型的精度为：96.69%；然后进行相关度检验，检验合格；但是在进行后验差检验中的小概率检验时不合格，故又对模型进行残差修正后，用修正模型预测出2012年的上证A股指数的收盘价，但是由于灰色预测模型在预测长期数据时误差有可能增大，故用2011年的实际数据与用灰色预测模型预测2011年收盘价值之间的误差值修正了2012年A股指数的预测值。

为使预测值更准确，又采用了马尔科可夫链模型预测出每天的涨幅情况来进一步修正预测值，得到了更精确的预测结果。

预测上证A 股指数在2012年233天的收盘价分别为：2236.5 2221.5…1574.7 1601.9。

其收盘价走势图为：关键词：A股灰色预测马尔可夫链模型预测问题重述未来一年时间A股市场涨跌的评估预计A股即人民币普通股票，是中国大陆机构和个人投资的主要股票。

A股市场的涨跌受经济形势，国家政策，外部环境以及投资者心态等多个因素影响。

2011年A股市场的上证指数和深成指数都出现暴跌，使投资者蒙受了很大的损失。

请查阅网上的资料和数据。

建立数学模型，定量分析并预估未来一年时间内A股市场的涨跌变化。

符号说明α----------为发展灰度数μ---------为内生控制灰度)(tX------表示在时间244...2,1,=t t时的股票收盘价r----------表示关联度S1-------- 表示序列)(t X的标准差S2--------表示绝对误差序列的标准差C----------表示方差比A i---------表示对数据划分区间,244)1,2,(i⋯=pij --------表示第i状态转移到第j状态的概率18....2,1,=jiI0------------表示时刻0处于状态18...2,1=j的概率i k j1+-----------表示经过k步转移后处于状态18...2,1=j的概率模型假设（1）运用的数据的来源是有效的，在统计过程中无错误（2）假设无人为操纵股市的走向,为随机数据（3）假设2009年到2011年无统计数据的日期为股市休息日模型分析一、问题的分析因为A股指数包括上证A股指数与深成A股指数，选择其中一个进行分析即可，所以就不妨选择上证A股指数2011年1月4日到2011年12月30日的每天收盘价的数据，总共244个综合指数收盘价数据排列成时间序列，1t =表示2010年1月4日,244=t 表示2011年12月30日，设数列}36,...2,1),({=t t X 表示时间t 的股票收盘价（见附件A ）。

进行数据处理、分析，做出时间序列图如下图所示。

时间收盘价又因为A 股指数的走势受经济形势，国家政策，外部环境以及投资者心态等多个因素影响；经济形式因素考虑每年GDP 、CPI 值；国家政策则考虑银行存款利率与银行准备金率；外部环境考虑其他股票对其的影响；投资者心态则考虑A 股指数的涨跌情况。

通过查阅资料，灰色预测)1,1(GM 模型[1]是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，又知股票市场正满足这种情况，又得知马尔可夫链模型[2]研究的是受利率、汇率、通货膨胀率、所属行业前、经营者能力、个人预期及心理因素等多种随机因素的影响，所以先用灰色预测)1,1(GM 模型对股票市场涨跌变化进行预测。

假定，根据表1得原始时间序列序列：{}244,......)0()()0()2()0()1()0(==i X X X X t 级比分析由原始数据)0(X 的级比{}()244,...)0()()0()3()0()2()0()(==i i i σσσσ：244,....2,)0()()0()1()0()(==-i XX i i i σ要求级比{})0()(i σ满足：{}()1.0555,0.9474,1212)0()(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈++-n n i ee σ 比及判别：利用matlab 软件编程（程序见附件1）计算， {})0()(i σ数列在()1.0393,0.9705 范围内，但数列{})0()(i σ中有107个数据未在区间()1.0555,0.9474内，所以不可用原始数据)0(X 作GM(1,1)模型.为此我们先对原始数据)0(X 做以下变换{}244,...2,1,....,,max4)0(244)0(3)0(2)0(1)0()00(=+=i X X X XXXii{}244,...)00()()00()2()00()1()00(==t X X X X t 级比： 244....3,2,)00()()00()1()00()(==-i XX i i i σ要求满足：{}()1.0555,0.9474,1212)00()(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈++-n n i ee σ比及判别：利用matlab 软件编程（程序见附件2）计算，)00(X ，且}{)00()(i σ在)7006.1,9950.0(范围内， 所以所有数据均在区间()1.0555,0.9474内，则级比检验合格。

经过变换后的序列244,....2,1},{)00()()00(==i XXi ，通过一次累加（∑==ik k i X X1)00()()1()(）生成序列{}244...3,2,1,)1()()1(==i X X i模型的建立对)1(X 建立变量的一阶微分方程GM （1，1）模型【1】为：dtdX )1(+)1(X α=μ （1） 式中，α为发展灰度数，μ为内生控制灰度。

构造均值序列：令)1(Z 为)1(X 的均值序列{}243,...2,1,)1()()1(==i Z Z i ，其中：))(5.0)1()1()1()()1()(++=i i i X X Z设a ^为待估参数向量，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μαa ^，利用最小二乘法求解，可得n T T y B B B a1)(ˆ-= 式中：记：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()3()2()00()00()00(n X X X y n ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-+-=1 ),(1 ),3(1 ),2(1 )],()1([1 )],3()2([1 )],2()1([)1()1()1()1()1(21)1()1(21)1()1(21n Z Z Z n X n X X X X X B ，244=n求解微分方程，预测模型：n k k e X Xk ....,2,1,0,])1([)1(^00)1(=+-=+-αμαμα 模型的求解首先，利用matlab 软件编程（程序见附件3）计算得参数：即：0.00019343=α； 15971=μ又由：15793)1(00=X ；21144682567337.0=αμ。

代入参数最后得到的模型为：n k k eXk....,2,1,0, 21144682567337.0 0211446-82551544.)1(^0.00019343)1(=+=+-模型的检验（1）参数的检验因为：模型中参数α的取值范围：()70.00784313,70.00784313-12,12=⎪⎭⎫⎝⎛++-∈n n a α在此范围内，故此灰色预测模型适用 （2）灰色预测模型的精度检验灰色预测精度检验有残差检验、关联度检验和后验差检验。

1）残差检验按预测模型计算得预测值244...3,2,1,^1)(=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧i i X ，将⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧)(^1i X 经过一次累减生成244,...,2,1,)(^00=⎭⎬⎫⎩⎨⎧i i X ， 其中)1(^)1(^,244..3,2),1(^)(^)(^1001100XXXXXi i i i ==--=数据的变换还原:{}244....,2,1,....,,max 4)(^^)0(244)0(3)0(2)0(100)0()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧i i X X X XX X i 绝对误差：),...,2,1(|ˆ|)()0()0()(n i X X i i i =-=∆相对误差：),...,2,1%(100)()()0()(n i X i i i =⨯∆=Φ通过MATLBA 软件计算（见附件4）得：令0P 为精度 0P =%1001)(12441⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Φ-∑=n i i通过MATLBA 软件计算(见附件4)得: =0P 0.9669 所以运用该模型进行预测的精度为：96.69%。

2）关联度检验 关联系数244....,2,1,)(max )()(max )(min )(=∆+∆∆+∆=i i i i i i ρρη则关联度为：0.60.6840)(24412441>==∑=i i r η所以关联度检验合格。

3）后验差检验原始序列的标准差：242.6074 243)0()0(244121=-=∑⎪⎭⎫⎝⎛-=i X X S i绝对误差序列的标准差：71.7264 243244122)(=-=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=i i S方差比为；0.295612==SS C计算小误差概率163.6387 *6745.010==S S|)(|∆-∆=-i e i比较e i 与S可知（见附件5），e i 中有7个值大于S，所以小概率检验不合格。

(3) 模型的修正因为原预测模型：n k k eXk....,2,1,0, 21144682567337.0 0211446-82551544.)1(^0.0010589)1(=+=+-按预测模型计算得预测值244...3,2,1,^1)(=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧i i X ，对变换后的累加序列{}244...3,2,1,)()1(=i i X重新定义残差：)(^_)()(1)1()0(i i Xi Xe =对残差数列进行一次累加得：n i k i ik e e,....2,1,)()(1)0()1(==∑=)()1(i e 可以建立相应的)1,1(GM 模型： αμαμαe e k e ee e ek +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+-)1()1(^)1()1( 所以修正模型为：⎩⎨⎧<≥=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---++-=+--2,02,1)1(,)1())(1(])1([)1(^)1(00)1(k k k k k e e e XXke ee k eσασαμαμαμαα运用matlab 软件求解（见附件6）修正模型：nk k k k k k eeXkk....,2,1,0, 2,02,1)1(,)1(197.6101 21144682567337.0 0211446-82551544.)1(^0.00220.00019343)1(=⎩⎨⎧<≥=--++=+--σσ运用模型进行预测根据修正模型得到最后的预测模型为：{})0(244)0(3)0(2)0(1)1()1(0....,,m ax4)(^)1(^)1(^X X X XXXXk k k --+=+预测2012年的243天股票开盘的上证指数的收盘价（见附件B ）的图形走势图为：又知运用灰色模型进行长期预测会出现较大的误差，可以用2011年每天开盘价实际值与用该模型预测2011年每天的预测值之间的误差去修正2012年每天开盘价（见附件C ）指数。