动力学方程
3动力学方程解析
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
动力学方程与控制理论
动力学方程与控制理论动力学方程和控制理论是现代科学领域中至关重要的两个分支，它们分别研究物体的运动方式和如何对其进行控制。
本文将介绍它们的基本概念、应用和未来发展方向。
一. 动力学方程动力学方程是研究物体运动的基础。
它的核心是牛顿运动定律，即物体的加速度与作用于物体上的力成正比。
通过对牛顿运动定律的研究，人们得出了质点动力学方程和刚体动力学方程等不同类型的动力学方程。
质点动力学方程描述的是质点在空间中的运动，可以用一组关于时间的二阶微分方程表达。
即：m d^2r/dt^2=F其中，m 是质量，r 是位置矢量，F 是作用在质点上的外力。
刚体动力学方程则用于描述刚体的运动，它的基本方程为角动量守恒定律和动量守恒定律。
角动量守恒定律指物体的角动量在没有外力作用时保持不变，而动量守恒定律指物体的动量在没有外力作用时保持不变。
通过这两个定律可以推导出刚体动力学方程，从而对刚体的运动方式进行分析。
动力学方程在工程和物理学等领域有广泛应用。
例如在机器人控制中，动力学方程可以用来描述机器人的运动方式和状态，进而进行运动规划和控制。
在飞行器制造中，动力学方程可以用来分析飞机的飞行状态和特性，为飞机设计提供理论支持。
二. 控制理论控制理论则研究如何将物体的运动状态控制在期望范围内。
控制技术的核心是反馈控制原理，即根据物体的运动状态进行反馈，对其进行控制并调整。
控制理论主要包括线性控制和非线性控制两种形式。
线性控制是一种处理线性系统的控制方法，它的基本思路是将系统分解成可分析的小部分，并对每个部分进行控制。
线性控制包括PID控制和状态反馈控制等形式。
PID控制是一种最为基本的线性控制方法，它通过控制输出和目标点之间的误差，对系统进行调整和控制。
状态反馈控制则是一种更为高级的线性控制方法，它通过对系统状态进行反馈来调整控制器的参数，从而对系统进行更为精确的控制。
非线性控制是一种处理非线性系统的控制方法，它的基本思路是对系统进行非线性建模，并以此设计控制器。
动力学方程
动力学方程1. 引言动力学方程是研究物体在运动中受到的力学作用的数学描述。
它是物理学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、生物学等。
本文将介绍动力学方程的基本概念、求解方法以及应用等方面的内容。
2. 动力学方程的定义动力学方程描述了物体在运动过程中所受到的力学作用。
一般来说，动力学方程可以分为牛顿第二定律和拉格朗日方程两种形式。
2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律是描述质点运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma其中，F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以得到物体在受到外力作用下的运动方程。
2.2 拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体运动的另一种形式，它基于能量守恒的原理。
拉格朗日方程的数学表达式为：d/dt ( ∂L/∂(dq/dt) ) - ∂L/∂q = 0其中，L表示物体的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间。
拉格朗日方程可以从运动的作用量原理推导得到，它可以描述多自由度、非洛加多力学系统的运动。
3. 动力学方程的求解方法求解动力学方程是研究物体运动的关键步骤之一。
常见的求解方法主要有解析解法和数值解法两种。
3.1 解析解法解析解法是通过数学计算的方法，求得动力学方程的精确解。
在一些简单的情况下，动力学方程可以直接求解得到解析解。
例如，简谐振动的运动方程可以通过解微分方程得到解析解。
3.2 数值解法数值解法是通过数值计算的方法，求得动力学方程的近似解。
数值解法通常采用数值求解微分方程的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值解法在复杂的情况下具有更好的适用性，但是精度相对较低。
4. 动力学方程的应用动力学方程广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些典型的应用。
4.1 经济学在经济学中，动力学方程可以用于描述经济系统的运动规律。
例如，经济增长模型可以通过动力学方程来描述经济发展的速度和方向，从而为经济政策制定提供理论依据。
第三章_动力学方程的三种基本形式
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
2
12
12
δϕ1
M g2
13
1
1
2
g1
x g2
x g3
3
M2' 右转 轴承O3： ϕ 3 ≡ 0 轴承
& 左转， ϕ1 左转，故M13'右转 右转
M 13 = M 13′ = M 1
& & ϕ3r = ϕ31 左转
（3）加惯性力 ） && 左转， && && && 左转， && ϕ1 = ϕ 左转， ϕ 2 = 2ϕ1 左转， ϕ 3 = 0 曲柄O 简化中心为O 曲柄 1O3：简化中心为 1
r r r Fi + N i + Fgi = 0
r r r r & ∆Pi = ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0
& 在此瞬时，相应的位形上给第 个质点虚速度 r 在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度 ∆ri ，第i个质点的虚功率 个质点的虚功率
对于系统可得： 对于系统可得：
& && & ∆PC = ( −mg sin θ − RgC ) ∆vC + ( -M gC ) ∆ϕC = - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ
动力学方程的推导和解析
动力学方程的推导和解析动力学方程是研究物体运动规律的重要工具，在物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念出发，介绍动力学方程的推导和解析方法，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的物理学原理。
一、动力学方程的基本概念动力学方程描述了物体运动的规律，它是牛顿力学的基石。
在牛顿力学中，动力学方程可以用力的平衡原理来推导，即物体所受合力等于物体的质量乘以加速度。
这一原理可以表示为以下形式的方程：F = ma其中，F代表物体所受的合力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个方程是动力学方程的基本形式，可以用来描述物体在给定力作用下的运动状态。
二、动力学方程的推导动力学方程的推导可以通过分析物体所受的力和质量之间的关系来实现。
首先，我们需要确定物体所受的力，这些力可以来自于重力、弹力、摩擦力等。
然后，根据力的平衡原理，将这些力相加得到物体所受的合力。
最后，将合力除以物体的质量，得到物体的加速度。
以一个简单的例子来说明动力学方程的推导过程。
假设有一个质量为m的物体，受到一个向下的重力作用，以及一个向上的弹力。
根据牛顿第二定律，物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度。
因此，我们可以得到以下方程：mg - kx = ma其中，g代表重力加速度，k代表弹簧的劲度系数，x代表弹簧的伸长量。
这个方程描述了物体在重力和弹力作用下的运动规律。
三、动力学方程的解析解析动力学方程是指通过数学方法求解方程，得到物体在给定力作用下的运动规律。
一般情况下，动力学方程是一个微分方程，需要通过积分或其他数学方法来求解。
继续以前面的例子为基础，我们可以通过求解微分方程来得到物体的运动规律。
首先，将方程重写为标准形式：ma + kx = mg然后，我们可以使用数学方法来求解这个微分方程。
例如，我们可以假设物体的位移x是一个关于时间t的函数，即x = x(t)，然后将这个函数代入微分方程中，得到一个关于x和t的方程。
通过求解这个方程，我们可以得到物体的位移随时间变化的函数关系。
物理学中的动力学方程及其解析方法
物理学中的动力学方程及其解析方法动力学方程是描述物体运动规律的数学模型。
在物理学中，动力学方程常常用于研究物体的力学、电磁学、热力学、量子力学等各个领域。
本文将介绍一些常见的动力学方程及其解析方法，以帮助读者更好地理解和应用这些方程。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体受力运动的基本原理，它表达了物体的加速度与物体所受力的关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于作用在其上的合力与物体的质量之比。
数学表达式为F = ma，其中F表示合力，m表示质量，a表示加速度。
解析方法：对于简单的力学问题，可以通过代入合适的数值计算出物体的加速度。
而对于更复杂的问题，常常需要借助微积分的方法进行求解。
例如，当合力F 是关于时间t的函数时，可以通过对合力关于时间的函数进行积分，得到物体的速度v随时间的变化规律。
再通过对速度关于时间的函数进行积分，求解出物体的位移x随时间的变化规律。
这样就可以得到物体运动的完整描述。
二、电磁学中的动力学方程在电磁学中，动力学方程描述了电荷或电流在电磁场中的运动规律。
其中最著名的方程为麦克斯韦方程组，它包含了电场和磁场的运动方程。
解析方法：对于麦克斯韦方程组，通常采用数值解法或数值模拟方法求解。
利用有限差分法、有限元法等数值方法，可以将麦克斯韦方程组离散化为一系列的代数方程，然后通过计算机进行求解。
这种方法在计算电磁波传播、电磁场分布等问题上具有广泛的应用。
三、热力学中的动力学方程热力学中的动力学方程描述了物质内部热力学量的变化规律。
最基本的动力学方程为能量守恒定律，它表明系统能量的变化等于能量输入与能量输出之差。
解析方法：对于一些简单的热力学系统，可以通过分析能量输入与输出的关系，得到系统内部热力学量的变化规律。
而对于一些复杂的系统，常常需要借助数学模型和计算方法进行求解。
例如，用偏微分方程描述的热传导问题，可以通过数值解法或数值模拟方法求解。
通过将热传导方程离散化为差分方程，然后通过计算机进行求解，得到系统内部温度的变化规律。
速率方程(动力学方程)
速率方程中第一项中的 PNH31 表示生成物 NH3 对
正反应有阻抑作用；
而第二项 ：
k 2
PNH3 P1.5
H2
表示存在逆反应，其中 PH21.5 的表示 H2 对逆反应有
阻抑作用。 12
例2
乙烯在 Cu 催化剂上加氢反应：
C 2 H 4 H 2 Cu catalysts C 2 H 6
20
注意：
零级反应 n = 0，多属某些多相表面催化反 应，但没有零分子反应。
因此，有单分子反应、双分子反应、三分 子反应；
三个分子空间同时碰撞并发生反应的几率 很小，所以三分子反应很少；
没有四分子反应。
21
常见基元反应式：
单分子反应： A P 双分子反应： 2 A P
§7.3 速率方程（动力学方程）
一、基元反应
通常, 化学方程式仅为反应物与最终产物之间 的化学计量关系, 不代表真正实际的反应历程；
例如常见的（气相）反应： H2 + I2 2 HI （1）r∝[H2][I2] H2 + Cl2 2 HCl （2）r ∝[H2][Cl2]1/2
虽然计量式相同，各自的反应机理却不同。 1
基元反应具有简单的整数级数： n = 0，1，2，3
3 级反应已很少，无 4 级反应； n = 0 表示反应速率与反应物浓度无关，如某些
条件下的表面催化反应或酶催化反应。
2）非基元反应的反应级数：
由于速率方程较复杂，往往没有简单的整数级数； 反应级数可整数、分数、正数、负数，有时还无法确
A+BP 三分子反应： 3 A P
2A + B P A+B+C P
力学中的动力学方程与运动方程
力学中的动力学方程与运动方程在力学中，动力学方程和运动方程是研究物体运动规律的重要方程。
动力学方程描述了物体在外力作用下的运动状态，而运动方程则描述了物体在给定力场下的运动规律。
本文将详细介绍动力学方程和运动方程的概念、公式及其应用。
一、动力学方程1. 动力学方程的概念动力学方程是描述物体运动状态的数学表达式。
根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为F = ma，其中F为物体受到的合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
2. 动力学方程的应用动力学方程可用于解析求解物体的运动状态。
通过已知物体的质量和受力情况，可以计算出物体的加速度以及受力的大小和方向。
3. 动力学方程的例子（1）自由下落物体的动力学方程：考虑一个质量为m的物体自由下落，受到的合力为重力，方向向下。
根据动力学方程F = ma，可以得出物体的动力学方程为mg = ma，其中g为重力加速度。
根据动力学方程，可以求解出物体的加速度为g，即a = g。
（2）悬挂物体的动力学方程：考虑一个质量为m的物体悬挂在一根弹簧上，受到的合力包括重力和弹力。
根据动力学方程F = ma，可以得出物体的动力学方程为mg -kx = ma，其中k为弹簧的劲度系数，x为物体离开弹簧平衡位置的位移。
根据动力学方程，可以求解出物体的加速度与位移之间的关系。
二、运动方程1. 运动方程的概念运动方程描述了物体在给定力场下的运动规律。
根据牛顿第二定律和运动学的基本公式，运动方程可以表示为s = ut + 1/2at^2，其中s为物体的位移，u为物体的初速度，t为运动的时间，a为物体的加速度。
2. 运动方程的应用运动方程可用于计算物体在给定条件下的位移、速度和时间等参数。
通过已知物体的初速度、加速度和运动时间，可以求解出物体的位移以及其他运动参数。
3. 运动方程的例子（1）匀加速直线运动的运动方程：考虑一个在水平地面上匀速行驶的汽车，其初速度为u，加速度为a。
根据运动方程s = ut + 1/2at^2，可以求解出汽车的行驶距离。
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又
ri
(miai
)
ri
d(mivi dt
)
d dt
(ri
பைடு நூலகம்
mivi
)
d dt
LOi
13
ri Fi mO (Fi )
所以式（A）为
n
i 1
[mO
( Fi
)
d dt
LOi ]
0
(3.2.7)
动量矩
在t——t+t 时间内积分，得
n
[mO (Si ) (LOi lOi )] 0
i 1
(3.2.9)
[( X i mi xi )xi (Yi mi yi )yi (Zi mi zi )zi ]0
②不考虑约束反力。 ③解题时，一般不必按上式建立方程，只需先虚加惯性力， 将动力学问题变成形式上的解静力学问题，然后用虚位移原 理求解。
2
例6 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于
光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。
i1 n
[mCz (Si ) JCz ('i i )] ' 0
i1
(3.2.11) (3.2.12)
J—转动惯量，i、 ’ i 碰撞前、后的角速度。
三、平面运动的情形
将平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，由式 (3.2.5)、(3.2.12)，有
15
n
[Si mi (uCi vCi )] uCi
FgArA (FgBe FgBr cos )rBe
(FgBe cos Q sin FgBr )rBr 0
即：(Ma ma mar cos )rA (ma cos mg sin mar )rBr 0
因为 rA ,rBr 为互不相关的 独立虚位移，所以
Ma mamar cos 0
第三章 动力学方程的三种基本形式
3.1 虚功形式的动力学方程——动力学普遍方程
设质点系受理想约束，任取一质点： Mi : mi , Fi , Ni , ai ; 根据达兰贝尔原理，加上惯性力，则：
Fi Ni Fgi 0
对整个质点系： Fi Ni Fgi 0
给质点系任一虚位移，应用虚位移原理，有：
的角速度和质心的速度。(P108例3-3)
16
解：平面运动，f=3，广义坐标：xC、
yC及转角。
（1）计算角A碰撞后的速度uAx 、 uAy
A碰撞前： vAx =0， vAy = - v1
（a）
B碰撞前后速度均为零，即
vBx =0， vBy =0； uBx =0， uBy =0 。
完全弹性碰撞，恢复系数 kx =1 ， ky =1。由碰撞公式：
这就是系统的运动微分方程。
3.2.2 用动量和冲量表述的动力学方程
虚功率形式的动力学方程：
n
(Fi mai ) ri 0
(3.2.1)
i1
11
一、一般情形
在t——t+t 时间内，对质点Mi：
tt
t
(Fi miai )dt
t t t
Fidt vuiid(mivi ) Si mi (ui vi )
其中
t t
Si t Fidt
——作用在Mi质点上主动力的冲量
将虚速度用ui 表示，则式(3.2.1)为
n
[Si mi (ui vi )]ui 0
i1
(3.2.5)
这就是用动量和冲量表述的动力学方程。可用于碰撞问题。
在碰撞问题中，主动力很大，作用时间很小，可认为位移为
零但速度有变化，故用虚速度比虚位移优越。
uA uC uAC
投影，有 uAx uCx uAC cos 45 uAy uCy uAC sin 45
（e）
其中
uAC
2 b'
2
(f)
18
将式（c）、（f）代入（e），解得
uCx=-0.5b′， uCy= v1+0.5b′
(g )
对式（g）一阶等时变分，得虚角速度与质心虚速度的关系：
即
(P1
P1 g
aA )vA
(P2
P1 g
aA )vA
(M
Qr 2g
aA
)
vA r
Qr 2g
aA
vA r
0
8
即
(P1
P1 g
aA )vA
(P2
P1 g
aA )vA
(M
Qr 2g
aA
)
vA r
Qr 2g
aA
vA r
0
约去虚速度ΔvA，得
aA
M (P2 (P1 P2
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
束方程的统一形式为式(1.1.20)、(1.1.21)。为方便起见，选坐标
分解形式(1.1.21)：
n
(Aidxi Bidyi Cidzi ) A dt 0
i1
改写为： 3n
Ardxr A dt 0
r 1
(1.1.21)
( =1，2，…，d+g) (3.3.1)
22
式中系数Ar、 A都是时间和各质点位形的函数。故方程除以
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
x2 x1 l cos, y2 l sin x2 x1 lcos l 2 sin , y2 lsin l 2 cos
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
rB rBe rBr , rBe rA
3
由动力学普遍方程：
(Fi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
ΔuCx=-0.5bΔ′， ΔuCy= 0.5bΔ′ (h )
(3)受力分析
重力非碰撞力，可忽略。角A承受碰 撞力，对应为Sx、 Sy 。
(4)建立碰撞过程的动力学方程 本题为刚体的平面运动，只有一个 刚体（i=1），由式(3.2.13) 得:
19
n
[Si mi (uCi vCi )] uCi
macos mgsin mar 0
解得：
a
2(
m sin 2 M msin 2
)
g
4
3.2 虚功率形式的动力学方程
3.2.1 虚功率形式的动力学方程
质点系：n个质点，d个完整约束，g个非完整约束。
任意瞬时，质点Mi：主动力 Fi，约束力 Ni ，惯性力 Fgi mi ai ，则：
Fi Ni Fgi 0
这就是用动量矩和冲量矩表述的动力学方程。其中：
冲量矩
t t
mO (Si ) t mO (Fi )dt
lO ， LO为碰撞前、后的动量矩。
(3.2.8)
14
对质心C，同样有：
n
[mC (Si ) (LCi lCi )] 0
i 1
(3.2.10)
如果是绕定轴z或绕过质心C的轴转动，则
n
[mz (Si ) J z ('i i )] ' 0
在此瞬时和相应的位形上，给Mi虚速度
ri，则Mi的虚功率
Pi (Fi Ni Fgi ) ri 0
对质点系：
5
n
n
Pi (Fi Ni Fgi ) ri 0
i1
i1
由于虚速度与虚位移的方向相同，所以，对应理想约束：
n
Ni ri 0
于是上式成为：i1
n
n
Pi (Fi mai ) ri 0
i1
(3.2.2)
解题时，同动力学普遍方程。一般不必按上式建立方程，只需
画上主动力，再虚加惯性力及惯性力偶，然后同解静力学问题
一样用虚功率原理求解。
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
12
二、转动的情形
设质点系绕固定点O转动，理论力学知： 虚速度与虚角速度的关系为：
ri ri
(3.2.6)
代入式(3.2.1)，得
n
(Fi mai ) ( ri ) 0
( A)
i1
由矢量运算规则： a (b c ) b (c a ) c (a b )
(Fi mai ) ( ri ) [ri (Fi mai )]
10
将 x2, y2, x2, y2 代入并整理，得
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l 2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
由于 x1, 彼此独立，欲上式成立，必须 (m1 m2 )x1 m2lcos m2l 2 sin 0 m2lx1 cos m2l m2gl sin 0
三、可能加速度
质点系在可能运动中，在给定瞬时和位形上，各质点的加