数学期望优秀PPT
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《数学期望》课件
注意事项
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
随机变量的数学期望 ppt课件
概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
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24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
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12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
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32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
数学期望E(x)D(x).ppt
绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
注释
A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先 确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由 前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容易。 因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定 理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求E(Y) 时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。
B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期 望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那 么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这
也是计算期望的一个技巧。
C.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函 数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X， Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若二
1
x 2
e 2 2 dx
2
令 x t，
E(X) 1
t2
t e 2 dt
t2
e 2 dt .
2
2
特别地，若XN(0,1)，则E(X)=0。
(1) 几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2. 证：X的概率密度为
f
(
x)
b
Y 8 2 9 5 10 3 9.1 10
结果：甲平均击中的环数9.3, 乙平均击中的环 数9.1,甲水平较高。
根据概率的统计定义作分析：击中次数N 与N的比值，是这 i
N次试验中射中环数的频率，按概率的统计定义，当N很大时, N /N接近于射中环数的概率。
i
1. 离散型随机变量的数学期望
维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
注释
A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先 确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由 前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容易。 因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定 理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求E(Y) 时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。
B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期 望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那 么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这
也是计算期望的一个技巧。
C.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函 数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X， Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若二
1
x 2
e 2 2 dx
2
令 x t，
E(X) 1
t2
t e 2 dt
t2
e 2 dt .
2
2
特别地，若XN(0,1)，则E(X)=0。
(1) 几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2. 证：X的概率密度为
f
(
x)
b
Y 8 2 9 5 10 3 9.1 10
结果：甲平均击中的环数9.3, 乙平均击中的环 数9.1,甲水平较高。
根据概率的统计定义作分析：击中次数N 与N的比值，是这 i
N次试验中射中环数的频率，按概率的统计定义，当N很大时, N /N接近于射中环数的概率。
i
1. 离散型随机变量的数学期望
维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有
《数学期望》课件
《数学期望》PPT课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
《数学期望》PPT课件
于X 和Y 的二元函数，则同样可定义随机变量 Z 的数学期望如下：
24
(1)c(rX,Y)已{知 pij},
则 ZgX,Y的数学期望为
E Z E gX ,Y gx i,yj p i.j i, 1j 1
(2)c(tX,Y)已f知 (x,y),
则 ZgX,Y的数学期望为
P { X x } p k 1 , 2 , , kk
若级数 gxk收 敛pk，则 k1 E (Y )E g X gxk pk k1
16
例1 设离散型随机变量X 的分布列为
X
-1
0
2
3
1131
P k
8
4
8
4
试计算：E X , E X 2和 E 2 X 1 。
17
解 由数学期望的定义可得
E X 1 10123311;1
8 4 8 48
E X 2 1 2 1 0 2 1 2 2 3 3 2 1 3;1 8 4 8 48
E 2 X 1 3 1 1 1 3 3 5 1
84 8 4
7. 4
18
例2 设 X 服从参数为 的泊松分布，试
Ex
x
fxd
x
9
反之，如果积分
x
发f 散x，d则x
称随机变量 X 的数学期望不存在。
例4 设 X 服从 (a,b)区间上的均匀分布， 求 X 的数学期望。
10
解 已知 X 的概率密度为
1
f
x
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
0
, xa,b，
从而
, 其它。
E x xx fd x b ax b 1 a d x 1 2 a b
14
24
(1)c(rX,Y)已{知 pij},
则 ZgX,Y的数学期望为
E Z E gX ,Y gx i,yj p i.j i, 1j 1
(2)c(tX,Y)已f知 (x,y),
则 ZgX,Y的数学期望为
P { X x } p k 1 , 2 , , kk
若级数 gxk收 敛pk，则 k1 E (Y )E g X gxk pk k1
16
例1 设离散型随机变量X 的分布列为
X
-1
0
2
3
1131
P k
8
4
8
4
试计算：E X , E X 2和 E 2 X 1 。
17
解 由数学期望的定义可得
E X 1 10123311;1
8 4 8 48
E X 2 1 2 1 0 2 1 2 2 3 3 2 1 3;1 8 4 8 48
E 2 X 1 3 1 1 1 3 3 5 1
84 8 4
7. 4
18
例2 设 X 服从参数为 的泊松分布，试
Ex
x
fxd
x
9
反之，如果积分
x
发f 散x，d则x
称随机变量 X 的数学期望不存在。
例4 设 X 服从 (a,b)区间上的均匀分布， 求 X 的数学期望。
10
解 已知 X 的概率密度为
1
f
x
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
0
, xa,b，
从而
, 其它。
E x xx fd x b ax b 1 a d x 1 2 a b
14
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
数学期望ppt课件
k 1
10:24
11
2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即
( X ) xf (x)dx
10:24
12
关于定义的几点说明：
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
10:24
9
二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
10:24
10:24
4
分析：
很容易设想出以下两种分法：
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
10:24
5
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
10:24
6
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
10:24
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
10:24
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示
10:24
11
2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即
( X ) xf (x)dx
10:24
12
关于定义的几点说明：
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
10:24
9
二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
10:24
10:24
4
分析：
很容易设想出以下两种分法：
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
10:24
5
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
10:24
6
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
10:24
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
10:24
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示
数学期望的定义与性质优秀课件
N
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.
4
kNk
k2
N
4
=k
k2
Nk N
4
kfk
k2
4
定 义 ：设离散型随机变量 的可能的取为ai(i=1,2...)，
其分布列为 P { a i} p i, i 1 ,2 , . 若
aipi
绝对收
i1
敛，则称随机变量 存在数学期望
E = ai pi i 1
思考 ：1、为什么要绝对收敛？
变量，设其可能取值为bj,(j 1,2,...)
则 P(bj)
P(ai)
g(ai )bj
由数学期望的定义有：Eg()EbjP(bj) j1
b j P ( ai ) j1 g (ai )b j
g (ai )Байду номын сангаасP ( ai ) j 1 g ( ai )b j
g(ai)P( ai) i1 16
其 分 布 列 为 ： 1 k 1 1 k
q
k
1 qk
由此可求的每人所需的平均检验次数：
E=a1p1a2p2 1kqk (11k)(1qk)
1qk 1k
每 人 检 验 一 次 ， 所 以 当 1-qk+1k1时 ， 即 q>1kk,
需 要 分 组 ， 若 q已 知 ， 还 可 以 从 E=1-qk+1k
6
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射,他 手们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 概率
8 9 10 0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
7
解 设 甲 ,乙 射 手 击 中 的 环 数 分 别 为 ,.
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的期望值与算术平均值相等.
0
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三、数学期望的应用
数学期望反映了离散型随机变量取 值的平均水平，在社会生活中存在着广 泛的应用。
0
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实例1 谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
(2) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
0
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X1 2 假设
p 0.02 0.98
则随机变量 X 的算术平均值为1 2 1.5,
而其数学期望为：
2
E( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
•
• • ••
x
O
1
2
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.
当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X
设头等奖1个， 奖金 1万元, 二等奖2个，奖金各 5 千元；三等奖 10个， 奖金各1千元； 四等奖 100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各 10 元。每张彩票的成本费为 0.3 元， 请计算彩 票发行单位的创收利润。
分析：设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则称积分 xf (x)dx 的值为
随机变量X的数学期望，记为 ( X )
即
( X ) xf (x)dx
0
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关于定义的几点说明：
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一 种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本 质上体现了随机变量 X 取可能值的真正 的平均值, 也称均值.
产生的一个概念。当时研究的概率问题大
多与赌博有关。
0
3
一、数学期望的起源
引例 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100法郎,并约定先胜三局者 为胜, 取得全部 200 法郎.由于出 现意外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博, 如果要分 赌金,该如何分配才算公平?
即A 应获得赌金的 3 , 4
而
B
1
只能获得赌金的4
.
因此, A 能“期望”得到的数
为
200 3 0 1 150 (法郎),
44
而B 能“期望”得到的数目则
为
200 1 0 3 50(法郎).
44
0
8
若设随机变量 X 为:在 A胜2局B胜1局的前提下 , 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
0
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 105 1000 105 p0
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每张彩票平均能得到奖金
1
2
E( X ) 10000 105 5000 105 0 p0
0.5(元),
每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
0
21
分析:
设这个人一次购物得奖金X元，X的分布 列为：
X 500 100
10
20
p 1 105 10 105 102 105 103 105 0
0
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X的数学期望为：
( X ) 500 1/105 100 10 /105 10 102 /105 2103 /105 0 0 0.045（元）
问哪个射手技术比较好?
0
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分析：
设甲乙两射手射中的环数分别为：X1, X2 故有：
E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
0
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实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元。
E(X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元)
存入银行的利息: 10 5% 0.5(万元)
0
20
实例4 有奖促销决策问题
某商场某月开展有奖促销活动，按规定 100000人次中，一等奖1个，奖金500元；二 等奖10个，各奖100元；三等奖100个，各奖 10元；四等奖1000个，各奖2元。某人这个月 内在该商场买了5次商品，他期望得奖多少元?
0
4
分析：很容易设想出以下两种源自法：（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
0
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既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
0
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假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
100000 1.2 120000(元).
0
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实例3 投资决策问题
某人现有10万元现金，想投资 于某项目，预估成功的机会为 30%， 可得利润8万元 ， 失败的机会为70% ，将损失 2 万元。若存入银行，同期 间的利率为5% ，问是否作此项投资?
分析：设 X 为投资利润，则
X8 p 0.3
2 0.7
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P{ X xk } pk , k 1,2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即
E( X ) xk pk .
k 1
0
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2、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x)
BB
A胜B负 A胜B负
A胜B负 B胜A负
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局B胜1局)与上述结果 相结合, 即 A、B 赌完五局,
前三局: A 胜 2 局 B 胜 1 局
后二局: A A A B B A BB
A胜
B胜
0
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故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 3 : 1,
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值
等于 200 3 0 1 150(法郎).
4
4
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
0
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二、数学期望的定义
数学期望的分类
数学期望
离散型随机变量的 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
0
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1、离散型随机变量的数学期望
数学期望在生活中的应用
医学信息工程系
0
杨敏
1
内容提要：
1 数学期望的起源
2 数学期望的定义
3 数学期望的应用
0
2
表示随机事件发生可 能性大小的量
表述随机变量取值 的概率规律
随机试验结果的 量的表示
数学期望又称期望或均值,是随机变量
按概率的加权平均,表征其概率分布的中心
位置。数学期望是概率论早期发展中就已