数学期望和方差
第六章 数学期望与方差
解 引入随机变量 Xi ,
0, 在第 i 站没有人下车,
Xi
1,
在第 i 站有人下车,
则 X X1 X2 X10.
i 1,2,,10.
则有
P{ X i
0}
9
20
,
10
P{ X i
1}
1
9 20, 10
i 1,2,,10.
由此
E
(
X
i
)
1
9 10
20
,
i 1,2,.
得 E( X ) E( X1 X2 X10)
E( X1) E( X2 ) E( X10)
101
9 10
20
8.784(次).
*三、 随机变量函数的数学期望
1. 离散型随机变量函数的数学期望 设随机变量 X 的分布律为
X xk 1
0
1
P{X xk } pk p1
p2
p3
若 Y g( X ) X 2,求 E(Y ).
解 先求 Y X 2 的分布律
Y X2
0
1
p
p2
p1 p3
2 p4
4 p4
则有 E(Y ) E(g( X )) E( X 2 )
0 p2 1 ( p1 p2 ) 4 p4
0 p2 (1)2 p1 12 p2 22 p4
一、随机变量方差的概念及性质
1. 概念的引入
方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.
实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.
•
• • • • • •• • •
O
1000
x
• •• • •
O
数学期望和方差
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .
( x ) f ( x )dx (令t x )
( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。
记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。
第27讲数学期望与方差的计算
第27讲数学期望与方差的计算数学期望与方差是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的平均值和离散程度。
在实际问题中，计算数学期望和方差有助于理解和分析随机变量的特征，从而进行合理的决策和预测。
首先，我们来介绍数学期望的计算方法。
数学期望是随机变量的平均值，可以用来预测实验结果的平均结果。
对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x表示随机变量的可能取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
通过将每个可能取值与其对应的概率相乘，然后将所有结果相加，即可得到数学期望。
举个例子，假设我们有一个投硬币的实验，结果正面的概率为p，反面的概率为1-p。
我们定义随机变量X表示投硬币的结果，1表示正面，0表示反面。
那么投硬币的数学期望E(X)的计算公式为：E(X)=1*p+0*(1-p)=p即投硬币的数学期望为正面的概率。
类似地，对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
通过将每个可能取值与其对应的概率密度相乘，然后对所有结果进行积分，即可得到数学期望。
接下来，我们来介绍方差的计算方法。
方差是随机变量的离散程度的度量，反映了观测值与其平均值的偏离程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))其中，x表示随机变量的可能取值，E(X)表示随机变量X的数学期望。
通过将每个可能取值与其对应的偏离程度的平方与其概率相乘，然后将所有结果相加，即可得到方差。
举个例子，假设我们有一个骰子的实验，骰子有六个面，每个面的概率相等。
我们定义随机变量X表示骰子的结果，那么骰子的方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ((1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + ... + (6-3.5)^2) / 6即骰子的方差为35/12对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，x表示随机变量的可能取值，E(X)表示随机变量X的数学期望，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望与方差讲解
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E
n i1
ai X i
C
n i1
ai E( X i )
C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
8
k1 k![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
p qi (n1)i
i0 i![(n 1) i]!
n1
np Cni 1 p i q n1i i0
np np( p q)n1
(3) Poisson 分布： X ~ P()
E( X ) k k e e k1
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。
而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。 11
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
PX
1k
2k k
1 2k
,k
1,2,
求EX.
解
由于
xk pk
k 1
1k 1
k 1
k
lnk .
但是
k 1
xk
pk
1 k 1 k
.
因而其数学期望EX不存在.
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
第四章 数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
第四章 数学期望和方差
注：性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij X -1
Y
-1
18
0
18
第四章 数学期望和方差
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f(x)0, x0,
所以
E Xxf(x )d xxf(x )d x 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
数学期望与方差
x
4,
x x
0 0
则 P{X 1}
1
pX (x)d x
寿命不超过1年的概率 ＝出售的设备在售出
11
-
e
x 4
dx
1
1
e4
04
一年之内调换的概率
PX
1
1
e4
寿命超过1年的概率 ＝不需调换的概率
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y 100 100 300
内容小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种
加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上
体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.
2. 数学期望的性质
10 EC C;
20 ECX CX ;
30
E
n
ai
i 1
Xi
k1 k![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
p qi (n1)i
i0 i![(n 1) i]!
n1
np Cni 1 p i q n1i i0
np np( p q)n1
(3) Poisson 分布： X ~ P()
E( X ) k k e e k1
10 100
X
X ki.
k 1 i1
17
例5.（续）
而X ki服从 p ek 的( 0 — 1)分布，E( X ki ) ek . i 1,2,,100, 所以
10 100
10
E(X )
E( X ki ) 100ek
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数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
np Cnk1 p k (1 p) ( n1)k np
k 0
n1
第四章
数学期望和方差
(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
第四章
数学期望和方差
(4)几何分布
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
第四章
数学期望和方差
Y X 1 2
1
1/8 1/2
2
1/4 1/8
解: E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125 =4.25 2 注:这里的 g ( x, y) x y.
第四章
数学期望和方差
例5
解:
设随机变量X 服从 二项分布B(n , p), Y = eaX, 求 E(Y).
第四章
数学期望和方差
A. 随机向量函数的数学期望
设X=(X1 ,…, Xn)为离散型随机向量，概 率分布为
P( X ( x j1 ,, x jn )) p j1 jn , j1,, jn 1.
Z = g(X1 ,…, Xn), 若级数 g ( x j1 ,, x jn ) p j1 jn .
Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
g ( x1 , , xn ) f ( x1 , , xn )dx1 d xn
绝对收敛，则
E( Z ) E( g( X 1 ,, X n ))
g ( x1 ,, xn ) f ( x1 ,, xn )dx1 d xn
第四章
数学期望和方差
推论
ab (1)若X ~ U (a , b ), 则E ( X ) . 2
( 2)若X ~ N ( , 2 ), 则E ( X ) .
第四章
数学期望和方差
例2
设X 的概率密度为： 1 x, 1 x 0 f ( x ) 1 x, 0 x 1 0, 其他
P ( X xk ) p k ,
若无穷级数
k 1,2,
xk pk
k 1
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E ( X ) xk pk
k 1
第四章
数学期望和方差
常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布
这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
求E(X).
解:
E ( X ) xf ( x)dx
x(1 x)dx x(1 x)dx
1 0
0
1
0
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
第四章
数学期望和方差
注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
1 f ( x) , 2 (1 x )
kq k 1 (1 q) nqn 1
kq k 1
k 1
n 1
kq k nqn 1
(1 2q 3q 2 (n 1)q n 2 ) ( q 2q 2 (n 2)q n 2 (n 1)q n 1 ) nqn 1
第四章
数学期望和方差
反例
pij Y -1 X -1
18 18 18
0
18
1
18 18 18
p• j
38 28 38
0
1 pi•
0
18
38
28
38
第四章
数学期望和方差
XY P
-1
0
1
28
48
28
E ( X ) E (Y ) 0; E ( XY ) E ( X ) E (Y )
但
E ( XY ) 0;
第四章
数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 —— 协方差与相关系数
第四章
数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 数量（个）
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
q k 1 p, k 1,2,, n 1; P{X k} q n1 , k n.
其中q 1 p，于是
E( X )
k 1
n 1
kq k 1 p nqn 1
第四章
E( X )
数学期望和方差
k 1 k 1 n 1
n 1
j1 j n
绝对收敛，则 E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))
j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
第四章
数学期望和方差
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn )
137 60
E ( M ) 137 60 11 1 E( N ) 5
可见，并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多. 注： 128页的4.20与此例为同一模型。
第四章
数学期望和方差
B. 数学期望的性质
E (C ) = C
E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
2 P( XБайду номын сангаас 0) P(Y 0) 8
P( X 0, Y 0) 0
第四章
数学期望和方差
例6
设X ~ U[0,], Y =sinX, 求 E(Y). 解: X 的概率密度为
所以
第四章
数学期望和方差
例7
五个独立元件,寿命分别为 X 1 , X 2 ,, X 5 ,
都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1)串联； (2)并联 成整机，求整机寿命的均值. 解：(1) 设整机寿命为 NN min { X k } ,
k 1, 2 ,, 5
(1 e ) , x 0, FM ( x) Fk ( x) k 1 0, 其它， x x 4 5e (1 e ) , x 0, f M ( x) 0, 其它，
5
x 5
第四章
数学期望和方差
E ( M ) xf M ( x)dx 0 5xe x (1 e x ) 4 dx
1 q q 2 q n1
1 q n 1 (1 p ) n 1 q p
第四章
数学期望和方差
定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf ( x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
( x ) f ( x )dx f ( x )dx